湖南省郴州市2025屆高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)湖南省郴州市2025屆高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A=x∈N∣2x2?x?15≤0,B=A.{x∣?1≤x≤1} B.{0,1}

C.{?1,0,1} D.{1}2.已知集合A={z|z=in+1inA.1 B.2 C.3 D.43.已知向量a=1,2，向量b滿足b=2，若a⊥b，則向量a?A.255 B.54 4.已知a，b均為正實(shí)數(shù)，且滿足1a+3b=2，則A.2 B.22 C.25.設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，則“a>b”是“2a>log2A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.函數(shù)fx=sin2xA.?π2,?π3 B.?π7.已知過(guò)點(diǎn)Pa+1,b+1的直線l與圓M:(x?a)2+(y?b)2=4交于A.23 B.3 C.8.某學(xué)生家長(zhǎng)為繳納該學(xué)生上大學(xué)時(shí)的教育費(fèi)，于2018年8月20號(hào)從銀行貸款a元，為還清這筆貸款，該家長(zhǎng)從2019年起每年的8月20號(hào)便去銀行償還相同的金額，計(jì)劃恰好在貸款的m年后還清，若銀行按年利率為p的復(fù)利計(jì)息(復(fù)利：即將一年后的貸款利息也納入本金計(jì)算新的利息)，則該學(xué)生家長(zhǎng)每年的償還金額是(

)A.

am B.ap(1+p)m+1(1+p)m+1二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)R0是指在沒(méi)有外力介入，同時(shí)所有人都沒(méi)有免疫力的情況下，一個(gè)感染者平均傳染的人數(shù).初始感染者傳染R0個(gè)人為第一輪傳染，第一輪被傳染的R0個(gè)人每人再傳染R0個(gè)人為第二輪傳染，….假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)R0=4，平均感染周期為7A.第三輪被傳染人數(shù)為16人

B.前三輪被傳染人數(shù)累計(jì)為80人

C.每一輪被傳染的人數(shù)組成一個(gè)等比數(shù)列

D.被傳染人數(shù)累計(jì)達(dá)到1000人大約需要35天10.已知雙曲線C：x2a2?y2=1a>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線C右支上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作兩漸近線的垂線，垂足分別為AA.雙曲線C的離心率e=233

B.PA?PB為定值

C.|AB|的最小值為3

D.若直線y=k1x+m與雙曲線C的漸近線交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)D為11.已知f(x)=2sin(ωx+φ)(其中ω>0,0<φ<π)的部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.f(x)=2sin4x+π3

B.|f(x)|的

最小正周期為π2

C.不等式f(x)≥1的解集為x|?π24+kπ2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知函數(shù)fx滿足fx=fx+4，當(dāng)x∈?1,3時(shí)，fx=2x+a，且13.某公園有一座摩天輪，其旋轉(zhuǎn)半徑30米，最高點(diǎn)距離地面70米，勻速運(yùn)行一周大約18分鐘.某人在最低點(diǎn)的位置坐上摩天輪，則第3分鐘時(shí)，他距地面大約為

米.

14.如圖，P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且PA⊥平面ABCD，M、N分別為PC、PD上的點(diǎn)，且NM=xAB+yAD+zAP，PM=2MC，PN=四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且sinBsinA+sinAsinB?4cosC=0．

(1)證明：a2+b2=216.(本小題15分)已知數(shù)列an滿足a(1)求an(2)求數(shù)列an2n+2的前n項(xiàng)和T17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為直角梯形，其中AD//BC，AD=3，AB=BC=2，PA⊥平面ABCD，且PA=3，點(diǎn)M在棱PD上，點(diǎn)N為BC中點(diǎn)．

(1)證明：若DM=2MP，直線MN//平面PAB;

(2)求二面角C?PD?N的正弦值;

(3)是否存在點(diǎn)M，使NM與平面PCD所成角的正弦值為26?若存在，求出PMPD的值;若不存在，說(shuō)明理由．18.(本小題17分)

如圖，已知橢圓C1:x22+y2=1，雙曲線C2:x22?y2=1(x>0).P是C1的右頂點(diǎn)，過(guò)P作直線l1分別交C1和C2于點(diǎn)A，C，過(guò)(Ⅰ)若直線AB過(guò)橢圓C1的右焦點(diǎn)，求k1(Ⅱ)若k1?k219.(本小題17分)已知函數(shù)fx=ae(1)當(dāng)a=1時(shí)，判斷函數(shù)fx在區(qū)間?(2)令gx=f′x，若函數(shù)gx在區(qū)間(3)求證：當(dāng)a≥1時(shí)，fx≥0．參考答案1.B

2.C

3.C

4.B

5.A

6.B

7.D

8.D

9.CD

10.ABD

11.ACD

12.?7,?5∪13.25

14.2315.(1)證明：由正弦定理及條件可得ba+ab?4cosC=0，

由余弦定理可得b2+a2ab?4?a2+b2?c22ab=0，

整理得：a2+b2=2c2，得證；

(2)解：由余弦定理得

cosB=a16.解：(1)當(dāng)n=1時(shí)，a1當(dāng)n≥2時(shí)，由a1+a則ann=n?因?yàn)閍1也符合上式，所以a(2)由(1)可知，an則Tn則2T兩式相減得?T則Tn

17.解：(1)證明：如圖所示，在線段AD上取一點(diǎn)Q，使AQ=13AD，連接MQ，NQ，

∵DM=2MP，∴QM//AP，

又AD=3，AB=BC=2，AD/?/BC，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，

∴AQ//BN且AQ=BN，四邊形ABNQ為平行四邊形，

∴NQ//AB，又NQ∩MQ=Q，AB∩AP=A，

∴平面MNQ/?/平面PAB，

∵M(jìn)N?平面MNQ，

∴MN/?/平面PAB;

(2)如圖所示，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,3,0)，P(0,0,3)，

又N是BC中點(diǎn)，則N(2,1,0)，

所以PD=(0,3,?3)，CD=(?2,1,0)，DN=(2,?2,0)，

設(shè)平面PCD的法向量n1=(x1,y1,z1)，則PD?n1=3y1?3z1=0,CD?n1=?2x1+y1=0,

令x1=1，則n1=(1,2,2)，

設(shè)平面PND的法向量n2=(x2,y2,z2)，

則PD?n2=3y2?3z2=0,DN?n2=2x2?2y2=0,令x2=1，則n218.解：(Ⅰ)依題意AB斜率不為0，P點(diǎn)坐標(biāo)為P2,0，橢圓C1的右焦點(diǎn)為(1,0)

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，直線AB方程為x=my+1，

聯(lián)立直線AB與橢圓方程x=my+1x22+y2=1，

消去x得(m2+2)y2+2my?1=0，

Δ=4m2+4(m2+2)=8m2+8>0恒成立，

y1+y2=?2mm2+2，y1y2=?1m2+2，

x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2，

x1x2=(my1+1)(my2+1)=?2m2+2m2+2，

所以k1?k2=y1x1?2·y2x2?2=y1y2x1x2?2(x1+x2)+2=?3+219.解：(1)a=1時(shí)，fx顯然，f′x在區(qū)間?所以f′x<f′0所以fx在區(qū)間?(2)gx=f′x即g′x=ae令aex+2記?x=?2cosxex?′x易知?′x>0在0,π2