2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章計(jì)數(shù)原理1.3第2課時(shí)組合的應(yīng)用學(xué)案含解析北師大版選修2-3

PAGE其次課時(shí)組合的應(yīng)用授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第14頁[自主梳理]組合應(yīng)用題解決組合應(yīng)用題的基本思想是“化歸”，即由實(shí)際問題來建立組合模型，再由組合數(shù)公式來計(jì)算其結(jié)果，從而得出實(shí)際問題的解．(1)建立組合模型的第一步是分析該實(shí)際問題有無依次，有依次便不是組合問題．(2)解組合應(yīng)用題的基本方法仍舊是“干脆法”或“間接法”．[雙基自測(cè)]1．某小組共有10名學(xué)生，其中女生3名，現(xiàn)選舉2名代表，至少有1名女生當(dāng)選的不同選法有()A．27種 B．48種C．21種 D．24種2．4位同學(xué)參與某種形式的競(jìng)賽，競(jìng)賽規(guī)則是：每位同學(xué)必需從甲、乙兩道題中任選一題作答，選甲題答對(duì)得100分，答錯(cuò)得－100分；選乙題答對(duì)得90分，答錯(cuò)得－90分．若4位同學(xué)的總分為0，則4位同學(xué)不同得分狀況的種數(shù)是()A．48 B．36C．24 D．183．10個(gè)人分成甲、乙兩組，甲組4人，乙組6人，則不同的分組種數(shù)為________．(用數(shù)字作答)4．袋中有4個(gè)不同的紅球、3個(gè)不同的黃球，從中選3個(gè)球，則至少有一個(gè)紅球的不同選法有________種．[雙基自測(cè)]1．D解法一(干脆法)分類解決．明顯滿意題意的選法有兩類，一類是1名女生，1名男生，有Ceq\o\al(1,3)×Ceq\o\al(1,7)種選法；另一類是2名女生，有Ceq\o\al(2,3)種選法．所以至少有1名女生當(dāng)選的選法有Ceq\o\al(1,3)×Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(2,3)＝24(種)．故選D.解法二(間接法)先不考慮限制條件，10名學(xué)生選2名代表，有Ceq\o\al(2,10)種選法，再去掉不滿意條件的，即2名代表全是男生，有Ceq\o\al(2,7)種選法，所以符合條件的選法有Ceq\o\al(2,10)－Ceq\o\al(2,7)＝24(種)，故選D.2．B分三種狀況：①都選甲題，必需2人答對(duì)，2人答錯(cuò)：Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,2)＝6；②都選乙題，必需2人答對(duì)，2人答錯(cuò)：Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,2)＝6；③甲乙兩題都選，必需2人選甲題且1人答對(duì)，1人答錯(cuò)，另2人選乙題，1人答對(duì)，1人答錯(cuò)：Ceq\o\al(2,4)×2×2＝24，故共有6＋6＋24＝36(種)．3．210從10個(gè)人中選4人作為甲組，剩下的6人為乙組，共有Ceq\o\al(4,10)＝210種分組方法．4．34Ceq\o\al(3,7)－Ceq\o\al(3,3)＝34(種)．授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第15頁探究一無限制條件的組合問題[例1]某人確定投資于8種股票和4種債券，經(jīng)紀(jì)人向他舉薦了12種股票和7種債券．問：此人有多少種不同的投資方式？[解析]需分兩步：第一步，依據(jù)經(jīng)紀(jì)人的舉薦在12種股票中選8種，共有Ceq\o\al(8,12)種選法；其次步，依據(jù)經(jīng)紀(jì)人的舉薦在7種債券中選4種，共有Ceq\o\al(4,7)種選法．依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，此人有Ceq\o\al(8,12)·Ceq\o\al(4,7)＝17325種不同的投資方式．解簡(jiǎn)潔的組合應(yīng)用題時(shí)，要先推斷它是不是組合問題，取出元素只是組成一組，與依次無關(guān)則是組合問題；取出元素排成一列，與依次有關(guān)則是排列問題．只有當(dāng)該問題能構(gòu)成組合模型時(shí)，才能運(yùn)用組合數(shù)公式求出其種數(shù)．在解題時(shí)還應(yīng)留意兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，在分類和分步時(shí)，留意有無重復(fù)或遺漏．1．兩個(gè)a，三個(gè)b，四個(gè)c共九個(gè)字母排成一排，共有多少種排法？解析：第一步：從9個(gè)位子取2個(gè)排a，有Ceq\o\al(2,9)種取法．其次步：從余下7個(gè)位子取3個(gè)排b，有Ceq\o\al(3,7)種取法．第三步：余下4個(gè)位子排c，有Ceq\o\al(4,4)種取法．共有Ceq\o\al(2,9)Ceq\o\al(3,7)Ceq\o\al(4,4)＝1260種排法．探究二與幾何圖形有關(guān)的組合問題[例2]已知平面M內(nèi)有4個(gè)點(diǎn)，平面N內(nèi)有5個(gè)點(diǎn)，問這九個(gè)點(diǎn)最多能確定(1)多少個(gè)平面？(2)多少個(gè)四面體？[解析](1)可分三類：第一類：平面M中取一點(diǎn)，N中取兩點(diǎn)最多可確定Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,5)個(gè)；其次類：平面M中取兩點(diǎn)，N中取一點(diǎn)最多可確定Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5)個(gè)；第三類：平面M和平面N共2個(gè)．故最多可確定Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5)＋2＝72(個(gè))．(2)(干脆分類法)分三類：第一類：平面M內(nèi)取一個(gè)點(diǎn)，N內(nèi)取三個(gè)點(diǎn)，最多可確定：Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,5)個(gè)；其次類：平面M內(nèi)取兩個(gè)點(diǎn)，N內(nèi)取兩個(gè)點(diǎn)，最多可確定Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,5)個(gè)；第三類：平面M內(nèi)取三個(gè)點(diǎn)，N內(nèi)取一個(gè)點(diǎn)，最多可確定Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,5)個(gè)．故共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,5)＝120(個(gè))．幾何中的計(jì)數(shù)問題一般為組合問題，要留意分清“對(duì)應(yīng)關(guān)系”，解題時(shí)可借助圖形幫助思索，并擅長利用幾何性質(zhì)于解題之中，但要留意共點(diǎn)、共線、共面等特別狀況，避開多算．2．四面體的頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)共有10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有多少種？解析：如圖，從10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)有Ceq\o\al(4,10)種不同的取法，其中4個(gè)點(diǎn)共面的情形可分三類：第一類：4個(gè)點(diǎn)在四面體的同一個(gè)面內(nèi)，有4Ceq\o\al(4,6)種；其次類：4個(gè)點(diǎn)位于相對(duì)的棱上，即一條棱上三點(diǎn)與對(duì)棱的中點(diǎn)共面，有6種；第三類：從6條棱的中點(diǎn)中取4個(gè)點(diǎn)時(shí)有3種共面．綜上所述可知，不同的取法共有：Ceq\o\al(4,10)－(4Ceq\o\al(4,6)＋6＋3)＝141(種)．探究三有限制條件的組合問題[例3]“抗震救災(zāi)，眾志成城”，在我國舟曲泥石流的救災(zāi)中，某醫(yī)院從10名醫(yī)療專家中抽調(diào)6名奔赴某災(zāi)區(qū)救災(zāi)，其中這10名醫(yī)療專家中有4名是外科專家．問：(1)抽調(diào)的6名專家中恰有2名是外科專家的抽調(diào)方法有多少種？(2)至少有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？(3)至多有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？[解析](1)分步：首先從4名外科專家中任選2名，有Ceq\o\al(2,4)種選法，再從除外科專家的6人中選取4人，有Ceq\o\al(4,6)種選法，所以共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)＝90種抽調(diào)方法．(2)“至少”的含義是不低于，有兩種解答方法，解法一(干脆法)按選取的外科專家的人數(shù)分類：①選2名外科專家，共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)種選法；②選3名外科專家，共有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(3,6)種選法；③選4名外科專家，共有Ceq\o\al(4,4)·Ceq\o\al(2,6)種選法．依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(4,4)·Ceq\o\al(2,6)＝185種抽調(diào)方法．解法二(間接法)不考慮是否有外科專家，共有Ceq\o\al(6,10)種選法，考慮選取1名外科專家參與，有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(5,6)種選法；沒有外科專家參與，有Ceq\o\al(6,6)種選法．所以共有Ceq\o\al(6,10)－Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(5,6)－Ceq\o\al(6,6)＝185種抽調(diào)方法．(3)“至多有2名”包括“沒有”“有1名”“有2名”三種狀況，分類解答．①?zèng)]有外科專家參與，有Ceq\o\al(6,6)種選法；②有1名外科專家參與，有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(5,6)種選法；③有2名外科專家參與，有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)種選法．所以共有Ceq\o\al(6,6)＋Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(5,6)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)＝115種抽調(diào)方法．有限制條件組合問題的求解策略(1)解決有約束條件的組合問題與解決有約束條件的排列問題的方法一樣，都是遵循“誰特別誰優(yōu)先”的原則，在此前提下，采納分類或分步法或用間接法．(2)要正確理解題中的關(guān)鍵詞，如“至少”“至多”“含”“不含”等的準(zhǔn)確含義，正確分類，合理分步．(3)要謹(jǐn)防重復(fù)或遺漏，當(dāng)干脆法中分類較困難時(shí)，可考慮用間接法處理，即“正難則反”的策略．3．在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件次品．從這100件產(chǎn)品中隨意抽出3件．(1)共有多少種不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種？(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種？解析：(1)所求的不同抽法的種數(shù)，就是從100件產(chǎn)品中取出3件的組合數(shù)，所以共有Ceq\o\al(3,100)＝eq\f(100×99×98,1×2×3)＝161700種抽法．(2)從2件次品中抽出1件次品的抽法有Ceq\o\al(1,2)種，從98件合格品中抽出2件合格品的抽法有Ceq\o\al(2,98)種，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(2,98)＝9506(種)．(3)解法一從100件產(chǎn)品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品兩種狀況．在第(2)小題中已求得其中1件是次品的抽法有Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(2,98)種，因此依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(2,98)＋Ceq\o\al(2,2)×Ceq\o\al(1,98)＝9604(種)．解法二抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是次品的抽法的種數(shù)，也就是從100件中抽出3件的抽法種數(shù)減去3件中都是合格品的抽法的種數(shù)，即Ceq\o\al(3,100)－Ceq\o\al(3,98)＝161700－152096＝9604(種)．分類探討思想的應(yīng)用[典例]從－3，－2，－1,0,1,2,3,4八個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)不重復(fù)的數(shù)字分別作為a、b、c的值構(gòu)成二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c.試問：(1)共可組成多少個(gè)不同的二次函數(shù)？(2)在這些二次函數(shù)圖像中，以y軸為對(duì)稱軸的有多少條？經(jīng)過原點(diǎn)且頂點(diǎn)在第一或第三象限的有多少條？[解析]解法一因?yàn)閥＝ax2＋bx＋c是二次函數(shù)，所以a≠0.因此，可從－3，－2，－1,1,2,3,4中選取一個(gè)排在a的位置上，有Ceq\o\al(1,7)種選法．b，c的取值沒有特別要求，所以從剩余的6個(gè)非零元素加上0共7個(gè)元素中選取兩個(gè)有Ceq\o\al(2,7)種選法，再把它們排在b，c的位置上有Aeq\o\al(2,2)種排法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有Ceq\o\al(1,7)·Ceq\o\al(2,7)·Aeq\o\al(2,2)＝7×eq\f(7×6,2)×2＝294個(gè)不同的二次函數(shù)．解法二利用解除法，從全部狀況中去掉“0”排在a位置的狀況．Ceq\o\al(3,8)·Aeq\o\al(3,3)－Ceq\o\al(2,7)·Aeq\o\al(2,2)＝eq\f(8×7×6,3×2×1)×3×2×1－eq\f(7×6,2)×2＝294個(gè)不同的二次函數(shù)．(2)當(dāng)對(duì)稱軸為y軸時(shí)，b＝0，這樣的拋物線有Aeq\o\al(2,7)＝42(條)．當(dāng)拋物線過原點(diǎn)時(shí)，c＝0，拋物線的頂點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，－\f(b2,4a))).①當(dāng)頂點(diǎn)在第一象限時(shí)，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)＞0，,－\f(b2,4a)＞0，))故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0，,b＞0，))這樣的拋物線有Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(1,4)＝12(條)；②當(dāng)頂點(diǎn)在第三象限時(shí)，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)＜0，,－\f(b2,4a)＜0，))故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,b＞0，))這樣的拋物線有Aeq\o\al(2,4)＝12(條)．故經(jīng)過原點(diǎn)且頂點(diǎn)在第一或第三象限的共有24條．[感悟提高]1.二次函數(shù)要求a≠0，要優(yōu)先考慮a的取值；也可以用解除法，結(jié)合頂點(diǎn)對(duì)a、b、c的符號(hào)進(jìn)行分類探討是解決本例第(2)問的關(guān)鍵．2．實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，文字表述代數(shù)化是解決實(shí)際背景問題的常見方法．假如一個(gè)三位正整數(shù)形如“a1a2a3”，滿意a1＜a2，且a3＜a2，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(120,363,374等)，那么全部的凸數(shù)個(gè)數(shù)為()A．240 B．204C．729 D．920解析：由題意知：a1≠0，a2≥2.下面只需對(duì)