2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量3.1數(shù)乘向量課時(shí)作業(yè)含解析北師大版必修4

PAGE其次章平面對(duì)量[課時(shí)作業(yè)][A組基礎(chǔ)鞏固]1．若3x－2(x－a)＝0，則向量x等于()A．2a B．－C.eq\f(2,5)a D．－eq\f(2,5)a解析：由題意知，3x－2x＋2a＝0，故x＝－2a.答案：B2．點(diǎn)C在線段AB上，且eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\f(3,5)eq\o(AB,\s\up8(→))，則eq\o(AC,\s\up8(→))＝()A.eq\f(3,2)eq\o(BC,\s\up8(→)) B.eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up8(→))C．－eq\f(3,2)eq\o(BC,\s\up8(→)) D．－eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up8(→))解析：依題意，可得AC＝eq\f(3,2)eq\o(BC,\s\up8(→))，又eq\o(AC,\s\up8(→))和eq\o(BC,\s\up8(→))方向相反，所以eq\o(AC,\s\up8(→))＝－eq\f(3,2)eq\o(BC,\s\up8(→)).答案：C3．已知eq\o(AB,\s\up8(→))＝－2a＋2b，eq\o(BC,\s\up8(→))＝3a－3b，eq\o(CD,\s\up8(→))＝a－b，則直線AD與BC()A．平行 B．相交C．重合 D．平行或重合解析：因?yàn)閑q\o(AB,\s\up8(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up8(→))，所以eq\o(AB,\s\up8(→))∥eq\o(BC,\s\up8(→))，又eq\o(AB,\s\up8(→))和eq\o(BC,\s\up8(→))有公共的端點(diǎn)B，所以A，B，C三點(diǎn)共線．因?yàn)閑q\o(BC,\s\up8(→))＝3eq\o(CD,\s\up8(→))，又eq\o(BC,\s\up8(→))與eq\o(CD,\s\up8(→))有公共的端點(diǎn)C，所以B，C，D三點(diǎn)共線．所以A，B，C，D四點(diǎn)共線，所以直線AD與BC重合．故選C項(xiàng)．答案：C4．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b，且eq\o(BD,\s\up8(→))＝2eq\o(DC,\s\up8(→))，則eq\o(AD,\s\up8(→))等于()A.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b B.eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)bC.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b D.eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b解析：在△ABC中，eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up8(→))＝a＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→)))＝a＋eq\f(2,3)(b－a)＝eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b.答案：A5．設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則eq\o(EB,\s\up8(→))＋eq\o(FC,\s\up8(→))＝()A.eq\o(AD,\s\up8(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))C.eq\o(BC,\s\up8(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up8(→))解析：eq\o(EB,\s\up8(→))＋eq\o(FC,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(CB,\s\up8(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→)))＝eq\o(AD,\s\up8(→)).答案：A6．若|a|＝3，b與a方向相反，且|b|＝5，則a＝______b.解析：∵b與a方向相反，且|a|＝3，|b|＝5.∴a＝－eq\f(3,5)b.答案：－eq\f(3,5)7．化簡(jiǎn)：eq\f(1,2)(4a＋b)－3(b－a)＝________.解析：eq\f(1,2)(4a＋b)－3(b－a)＝2a＋eq\f(1,2)b－3b＋3a＝5a－eq\f(5,2)b.答案：5a－eq\f(5,2)b8．若|a|＝3，b與a反向，|b|＝2，則a＝________b.解析：eq\f(|a|,|b|)＝eq\f(3,2)，b與a反向，∴a＝－eq\f(3,2)b.答案：－eq\f(3,2)9.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在BD上，且BN＝eq\f(1,3)BD，求證：M，N，C三點(diǎn)共線．證明：設(shè)eq\o(BA,\s\up8(→))＝a，eq\o(BC,\s\up8(→))＝b，則由向量減法的三角形法則可知：eq\o(CM,\s\up8(→))＝eq\o(BM,\s\up8(→))－eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up8(→))－eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)a－b.又∵N在BD上且BD＝3BN，∴eq\o(BN,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→)))＝eq\f(1,3)(a＋b)，∴eq\o(CN,\s\up8(→))＝eq\o(BN,\s\up8(→))－eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)－b＝eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a－b))，∴eq\o(CN,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CM,\s\up8(→))，又∵eq\o(CN,\s\up8(→))與eq\o(CM,\s\up8(→))公共點(diǎn)為C.∴C，M，N三點(diǎn)共線．10.如圖，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(NC,\s\up8(→))，P是BN上的一點(diǎn)，若eq\o(AP,\s\up8(→))＝meq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up8(→))，求實(shí)數(shù)m的值．解析：eq\o(AP,\s\up8(→))＝eq\o(AN,\s\up8(→))＋eq\o(NP,\s\up8(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(NP,\s\up8(→))＝meq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up8(→))，∴eq\o(NP,\s\up8(→))＝meq\o(AB,\s\up8(→))－eq\f(3,44)eq\o(AC,\s\up8(→)).又eq\o(NB,\s\up8(→))＝eq\o(NC,\s\up8(→))＋eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up8(→))＋(eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→)))＝eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up8(→))，設(shè)eq\o(NP,\s\up8(→))＝λeq\o(NB,\s\up8(→))(0≤λ≤1)，則λeq\o(AB,\s\up8(→))－eq\f(1,4)λeq\o(AC,\s\up8(→))＝meq\o(AB,\s\up8(→))－eq\f(3,44)eq\o(AC,\s\up8(→))，∴m＝λ＝eq\f(3,11).[B組實(shí)力提升]1．設(shè)D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊BC，CA，AB上的點(diǎn)，且eq\o(DC,\s\up8(→))＝2eq\o(BD,\s\up8(→))，eq\o(CE,\s\up8(→))＝2eq\o(EA,\s\up8(→))，eq\o(AF,\s\up8(→))＝2eq\o(FB,\s\up8(→))，則eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(BE,\s\up8(→))＋eq\o(CF,\s\up8(→))與eq\o(BC,\s\up8(→))()A．反向平行B．同向平行C．肯定不平行D．不能推斷兩個(gè)向量的關(guān)系解析：eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(BE,\s\up8(→))＋eq\o(CF,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BD,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CE,\s\up8(→))＋eq\o(BF,\s\up8(→))－eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→)))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up8(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up8(→))，故選A.答案：A2．已知向量a，b不共線，且eq\o(AB,\s\up8(→))＝λa＋b，eq\o(AC,\s\up8(→))＝a＋μb，則點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)共線應(yīng)滿(mǎn)意()A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1C．λμ＝－1 D．λμ＝1解析：∵A、B、C三點(diǎn)共線，∴eq\o(AB,\s\up8(→))＝meq\o(AC,\s\up8(→))，∴λa＋b＝m(a＋μb)，∴(λ－m)a＋(1－mμ)b＝0，∵a，b不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－m＝0,1－mμ＝0))，解得λμ＝1.答案：D3．若eq\o(AB,\s\up8(→))＝5e，eq\o(CD,\s\up8(→))＝－7e，且|eq\o(AD,\s\up8(→))|＝|eq\o(BC,\s\up8(→))|，則四邊形ABCD是________形．解析：∵eq\o(AB,\s\up8(→))＝5e，eq\o(CD,\s\up8(→))＝－7e，∴AB∥CD且AB≠CD，又∵|eq\o(AD,\s\up8(→))|＝|eq\o(BC,\s\up8(→))|，∴四邊形ABCD是等腰梯形．答案：等腰梯4．已知點(diǎn)P，Q是△ABC所在平面上的兩個(gè)定點(diǎn)，且滿(mǎn)意eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→))＝0,2eq\o(QA,\s\up8(→))＋eq\o(QB,\s\up8(→))＋eq\o(QC,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))，若|eq\o(PQ,\s\up8(→))|＝λ|eq\o(BC,\s\up8(→))|，則實(shí)數(shù)λ＝________.解析：由eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→))＝0，知eq\o(PA,\s\up8(→))＝－eq\o(PC,\s\up8(→))＝eq\o(CP,\s\up8(→))，所以點(diǎn)P是邊AC的中點(diǎn)．又2eq\o(QA,\s\up8(→))＋eq\o(QB,\s\up8(→))＋eq\o(QC,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))，所以2eq\o(QA,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))－eq\o(QB,\s\up8(→))－eq\o(QC,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CQ,\s\up8(→))＋eq\o(BQ,\s\up8(→))＝2eq\o(BQ,\s\up8(→))，從而有eq\o(QA,\s\up8(→))＝eq\o(BQ,\s\up8(→))，故點(diǎn)Q是邊AB的中點(diǎn)，所以PQ是△ABC的中位線，所以|eq\o(PQ,\s\up8(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up8(→))|，故λ＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)5．已知向量a，b不共線．(1)實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)意等式3xa＋(10－y)b＝(4y＋7)a＋2xb，求出x，y的值；(2)把滿(mǎn)意3x－2y＝a，－4x＋3y＝