2024初中數(shù)學(xué)競賽七年級競賽輔導(dǎo)講義專題19 最值問題含答案

2024初中數(shù)學(xué)競賽七年級競賽輔導(dǎo)講義專題19最值問題

閱讀與思考

在實際生活與生產(chǎn)中，人們總想節(jié)省時間或費用，而取得最好的效果或最高效益，反映在數(shù)學(xué)問題上,

就是求某個量的和、差、積、商的最大值和最小值，這類問題被稱之為最值問題，在現(xiàn)階段，解這類問題

的相關(guān)知識與基本方法有：

1、通過枚舉選取.

2、利用完全平方式性質(zhì).

3、運用不等式（組）逼近求解.

4.借用幾何中的不等量性質(zhì)、定理等.

解答這類問題應(yīng)當(dāng)包括兩個方面，一方面要說明不可能比某個值更大（或更小），另一方面要舉例說

明可以達到這個值，前者需要詳細說明，后者需要構(gòu)造一個合適的例子.

例題與求解

【例1】若c為正整數(shù)，且。+人=c,b+c=d,d+a=b,貝U（〃+c）（c+d）（”）

的最小值是.

（北京市競賽試題）

解題思路：條件中關(guān)于CR勺信息量最多，應(yīng)突出C的作用，把a,b,d及待求式用c的代數(shù)式表示.

【例2】已知實數(shù)a,b滿足/+從=1,則/+"+//的最小值是（）

19

A.一一B.OC.lD.-

88

（全國初中數(shù)學(xué)競賽試題）

解題思路：對/+。匕+/進行變形，利用完全平方公式的性質(zhì)進行解題.

［例3］如果正整數(shù)X1,冗2，芻，兒，犬5滿足X+、2+工3+幾+七=%工2工3尤4工5，求尤5的最大值.

解題思路：不妨設(shè)<x2<<x4<x5由題中條件可知

1

--------4-=1.結(jié)合題意進行分析.

&芻工4七%芻七七%七%/壬3七%12芻匕

【例4】已知x,y,z都為非負數(shù)，滿足x+y-z=l,x+2y+3z=4,記卬=3x+2y-z,求w的

最大值與最小值.

（四川省競賽試題）

解題思路：解題的關(guān)鍵是用含?個字母的代數(shù)式表示M，.

【例5】某工程車從倉庫上水泥電線桿運送到離倉庫恰為1000米的公路邊栽立，要求沿公路的一邊

向前每隔100米栽立電線桿一根，己知工程車每次之多只能運送電線桿4根，要求完成運送18根的

任務(wù)，并返回倉庫，若工程車每行駛1千米耗油m升（在這里耗油量的多少只考慮與行駛的路程有關(guān),

其他因素不計）.每升汽油n元，求完成此項任務(wù)最低的耗油費用.

（湖北省競賽試題）

解題思路：要使耗油費用最低，應(yīng)當(dāng)使運送次數(shù)盡可能少，最少需運送5次，而5次又有不同運送方

法，求出每種運送方法的行駛路程，比較得出最低的耗油費用.

【例6】直角三角形的兩條直角邊長分別為5和12,斜邊長為13,P是三角形內(nèi)或邊界上的一點，P

到三邊的距離分別為4，4，4,求4+4+4的最大值和最小值，并求當(dāng)4+4+4取最大值和

最小值時，P點的位置.

（“創(chuàng)新杯”熬請賽試題）

解題思路：連接P點與三角形各頂點，利用三角形的面積公式來解.

能力訓(xùn)練

A級

1.社a,b,C滿足〃+〃+C2=9,那么代數(shù)式（。-切2+（/?一。）2+（￡:一〃）2的最大值是

（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

2.在滿足1+2），W3,x20,），20的條件下，2x+y能達到的最大值是.

（“希望杯”邀請賽試題）

3.已知銳角三角形ABC的三個內(nèi)角A,B,C滿足A，B：>C.用a表示A-B,B-C,以及90-A中的最小值，則a

的最大值是.

（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

4.已知有理數(shù)a,b,c滿足a>b>c,且a+b+c=0,.那么上的取值范圍是.

a

（數(shù)學(xué)夏令營競賽試題）

5.在式子卜+1|+,+2|+,+3|+,+4|中，代入不同的x值，得到對應(yīng)的值，在這些對應(yīng)的值中，最小的

值是（）.

A.lB.2C.3D.4

6.若a,b,c,d是整數(shù)，b是正整數(shù)，且滿足〃+c=d,d+c=a,h+a=c,那么〃+/?+c+d的最

大值是（）.

A.-lB.-5C.OD.l

（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

7.已知x-y=a,z-y=10,則代數(shù)式/+）,2+z2一孫一yz-xz的最小值是（）.

A.75B.80C.100D.105

（江蘇省競賽試題）

8.已知x,y,z均為非負數(shù)，且滿足x+y+z=30,3x+y-z=50,又設(shè)M=5x+4y+2Z,則M

的最小值與最大值分別為（）.

A.110,120B.120,130C.130,140D.140,150

9.已知非負實數(shù)X,），，z滿足F=記卬=3X+4），+5Z.求卬的最大值和最小值

（“希望杯”邀請賽試題）

(1(XX)+200)x2+(l2(X)+300)x2=54()0米.

故先送2根所行駛路程最短，最短總行程為：

(1()(X)+100)X24-(1100+400)x2+(l500+400)x2

+(1900+400)x2+(2300+400)=19000米

故所用最少油費為19000/77/2+1COO=19〃〃?元

例6如圖所示，在△ABC中，ZC=90°,BC=5,4B=13.點尸

至CA,AB的距離分別為4,出，4，連接附,PB，

PC,由三角形的面積公式知：

1x5^1x12^4x^4x5x12.

即5&+124+134=60.

顯然有5(4+4+4)《54+124+134《13(4+4+4).

故百工（4+出+4）?12.

當(dāng)&=4=0時，有4+&+"3=12,即4+4+〃3取最大值時，2與八重合；當(dāng)4=W=o時,

有4+4++4二"，即4+4+4取最小值時，夕與c重合.

A級

1.27原式++《27

2.6

.…坦一3。+2。+j3(9()j)+2(A-0+伊-C)

3.15提小：a=-----------<----------------------------

66

270-(A+B+C)90一

66

c1c

4.-2<一<—提不：b——ci—c,—ci—c<bi2.ci>—c,—>一2,又把〃=-a—c代入〃>c中,

a2a

cI門八c1

得-a-c<c,—<——.故一2<一<——

a2a2

5.D6.B7.A8.B

v—12—vz—3

9.設(shè)^—=———=k,則x=2Z+l,y=-3k+2,z=4k+3.

234'

2）1+1>0

I?

???x,y,z均為非負實數(shù).???1一3女+220,解得：一一<k<~.

23

4k+3>0

故3=3工+4），+52=3（2攵+1）+4（—3攵+2）+5（4攵+3）=14左+26.

A--x14+26<14Z:+26<-x14+26,即194。<35L

233

所以。的最小值是19,最大值是35L

3

10.20套.1800元.提示：設(shè)生產(chǎn)L型號的童裝套數(shù)為x,則生產(chǎn)M型號的童裝為(5()-力套，所得利潤

S=45x+30（507）=15x+1500.

0.5x+0.9（50-x）<38

由，

x+0.2（50-x）<26

得17.5W20,x=18,19,20.

11.最小表面積的打包方式為2X3.最小表面積為179最mm?,圖略.

B級

1.27當(dāng)方=2,。=25時，。+〃的值最大.

2.102提示：m=n（19n-98）,19n-98>0.

8z?64b

3.1157提示：a=—一,af=——

8525

4.B,D,E93.62百元

5.13800元提示：設(shè)由甲庫調(diào)運x噸糧食到B市，總運費為y元，則

y=5x+6(600-x)+6(800-,v)+9(600+x)

=2x+13800(0<x<6(X))

3bcd

6.C提不：-------------1-------------1-------------1------------<

a+b+c+cla+b+c+da+b+c+da+h+c+d

一abcd

M<----+-----+-----+-----.

a-\-ba+bc+dc+d

故1vMv2.

2人QIQf

7.B提示：設(shè)§200=/，則SABOC=二?故5四邊形ABU)=13+x+—N13+2\x?—=25.

xxVx

8.(1)(q+%++。2僅)2=〃；+生+??+&()022+2m=2012+2m.

(%+。2++〃2002)~-2012

m=-------------------------.

2

當(dāng)4=〃2=…=。2002=1或-1E寸，〃?取最大值2003001.當(dāng)q,a2,,出002中恰有10°1個八個-1

時，〃2取最小值一1001.

(2)因為大于2002的最小完全平方數(shù)為452=2025,且q+/+…+%oo2必為偶數(shù)，所以

4+生+…+4002=46或Y6；即4,%,,見002中恰有1024個1,978個—1或1024個—1,978個

1W,m取得最小值，462-20()2)=57.

2

9.由條件得：ciy=0,=ciy4-4^(+4,??6f2006=ci^4-4^^^+4>以上各式相加，得

4(4+4+…+4期)+4x2(X)5=0200b2>0,故4+生++4200s>-2005.由已知

q,%,,，。200s都是偶數(shù)，因此q+%++出期之一2004.另一方面，當(dāng)

4=%=…=%頌=°，4=%=…=4004=一2時，符合條件，且使上式等號成立，故所求的最小值

是-2004.

10.倉庫地址應(yīng)選在C處，假定倉庫另選一地。，設(shè)A3=c,BC=a,CA=b,AO=x,

BO=y,CO=z（單位：千米），又假定人廠產(chǎn)量為2m,B廠產(chǎn)量為3m,C廠產(chǎn)量為56，1單位：噸）.

倉軍在O處的總運費可表示為2〃ir+3〃zy+5/nz；倉庫在。處的

b

y

Bc

總運費可表示為2〃必+3，〃4

由于x+zN。，y~\~z>a,Bllit2mx+2inz>2mb,3iny-\-3mz>3ma,兩式相力口得2"zx+3〃?y+5〃?z^2〃心+3w,

當(dāng)且僅當(dāng)。與C重合時等號成立，所以公用倉庫選在。處總運費最省.

11.設(shè)巡邏車行到途中6處田了4天，從6到最遠處用），天，則有2[3（x+y）+2x]=14xS,即5x十3），

=35.又由題意知，x>0,>?>（）,且14x5-（54-2）x<14x3,即x>4,從而問題的本質(zhì)即是在約束條件

5x+3y=35,

-A>4,下，求y的最大值，顯然），=5,這樣200x（4+5）=1800千米，即為其他三輛車可行進的最

）〉0

遠距離.

專題20情景應(yīng)用題

閱讀與思考

強調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用，突出對應(yīng)用意識的考查是現(xiàn)今各級考試的顯著特點，隨著社會不斷進步，尤其是改

革開放以來我國社會主義市場經(jīng)濟的蓬勃發(fā)展，許多應(yīng)用題也烙上了時代的印跡.這些應(yīng)用題高度關(guān)注社會

熱點，以豐富的生產(chǎn)、生活實踐活動和多彩的市場經(jīng)濟為背景，具有鮮明的時代特點，常見的問題有儲蓄

利息、商品利潤、股票交易、價格控制、經(jīng)濟預(yù)算、企業(yè)決策、人口環(huán)境等.解決這些問題須注意：

1.理解相關(guān)詞語的意義，熟悉基本關(guān)系式：

①利率=X100%,利息=本金X利率X存期；

本息和=本金+利息=本金X（1+利率X存期）；；

②利潤率=X100%,利潤=利潤率X進貨價；

售出價=進貨價+利潤=進貨價X（1+利潤率）；

③總成本=固定成本+可變成本.

2.在理解題意、理順數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上，用方程（組）、不等式（組）及相關(guān)數(shù)學(xué)知識解決問題.

例題與求解

[例1]某商店將某種超級DVD按進價提高35%,然后打出“九折酬賓，外送50元出租費”的廣告，結(jié)

果每臺超級DVD仍獲利208元，那么每臺超級DVD的進價是元.

（“希望杯”邀請賽試題）

解題思路：設(shè)未知數(shù)，利用售出價、進貨價、利潤之間的關(guān)系建立方程.

【例2】某人將甲、乙兩種股票賣出，其甲種股票賣價1200元，嬴利20%,其乙種股票賣價也是1200元,

但虧損20%,該人此次交易的結(jié)果是（）.

A.不賠不賺B.賺100元C.賠100元D.賺90元

（“祖沖之杯”邃請賽試題）

解題思路：要判斷此人交易的結(jié)果，關(guān)鍵是計算出該人購買甲、乙兩種股票的進價.

【例3】商業(yè)大廈購進某種商品1300ft,銷售價定為購進價的125%,現(xiàn)計劃節(jié)日期間按原定售價讓利10%

售出至多100件商品，而在銷售淡季按原定售價的60%大甩賣，為使全部商品售完后贏利，在節(jié)日和淡季

之外要按原定價銷售出至少多少件商品？

（河北省競賽試題）

解題思路：恰當(dāng)引元，解題的突破口是把“至多”“至少”“贏利”等詞語轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式.

【例4】某大型超市元旦假期舉行促銷活動，假定一次購物不超過100元的不給優(yōu)惠，超過100元而不超

過300元時，按該次購物金額9折優(yōu)惠，超過300元的其中300元仍按9折優(yōu)惠，超過部分按8折優(yōu)惠，

小美兩次購物分別用了94.5元和282.8元.現(xiàn)小麗決定一次購買小美分兩次購買的同樣的物品，那么，小麗

應(yīng)該付款多少元？

（海南省中考試題）

解題思路：先求出小美第二次購物的原價，再分情況討論.

【例5】某開發(fā)商進行商鋪促銷，廣告上寫著如下條款：投資者購買商鋪后，必須由開發(fā)商代為租賃5年,

5年期滿后由開發(fā)商以比原商鋪標價高20%的價格進行回購.投資者可以在以下兩種購鋪方案中作出選擇：

方案一：投資者按商鋪標價一次性付清鋪款，每年可獲得得租金為商鋪標價的10%.

方案二：投資者按商鋪標價的八五折一次性付清鋪款.2年后每年可獲得租金為商鋪標價的10%.但要繳納租

金的10%作為管理費用.

⑴請問：投資者選擇哪種購鋪方案，5年后所獲得的投資收益率更高？為什么？（注：投資收益率=義100%）

⑵對同一標價的商鋪，甲選擇了購鋪方案一、乙選擇了購鋪方案二.那么五年后兩人獲得的收益將相差5萬

元向：甲、乙兩人各投資了多少萬元？

（江蘇省無錫市中考試題）

解題思路：在閱讀理解的基礎(chǔ)上，恰當(dāng)?shù)卦O(shè)未知數(shù)解決問題.

【例6】某商場促銷方案規(guī)定：商場內(nèi)所有商品按標價的80%出售，同時，當(dāng)顧客在商場內(nèi)消費滿一定

金穎后，按下表返還相應(yīng)金額.

消費金額（元）300?400400—500500—600600—700700—800???

返還金額（元）3060100130150???

注：300?400表示消費金額大于300且小于或等于400.其他類同.根據(jù)上述促銷方案，顧客在該商場購物

可以獲得雙重優(yōu)惠.例如，若購買標價為400元的商品，則消費金額為320元.獲得優(yōu)惠額為4O0X（1-80%）

+30=110（元）.

⑴購買一件標價為1000元的商品，顧客獲得的優(yōu)惠額是多少？

⑵如果顧客購買標價不超過800元的商品，要使獲得的優(yōu)惠額不少于226元，那么該商品的標價為多少元？

（2013年江蘇省南京市中考試題）

解題思路：⑴根據(jù)標價商品按80%價格出售，求出消費金額，再根據(jù)金額所在的范圍，求出優(yōu)惠額.

⑵先設(shè)商品的標價為元，根據(jù)購買標價不超過800元的商品，要使獲得的優(yōu)惠不少于226元，來列出不等

式，再分類討論，求出的取值范圍，從而得到答案.

能力訓(xùn)練

A級

1.某商店老板將一件進價為800元的商品先提價50斬再打八折賣出，則賣出這件商品所獲利潤為.

（黑龍江齊齊哈爾市中考題）

2.某商品的標價比成本高，當(dāng)該商品降價出售時，為了不虧損成本，售價的折扣（即降價的百分數(shù)）不得

超過，則可用表示為.

3.某機關(guān)有三個部門，部門有公務(wù)員84人，部門有公務(wù)員56人，部門有公務(wù)員60人，如果每個部門按

比例裁減人員，使這個機關(guān)僅留公務(wù)員150人，那么部門留下的公務(wù)員的人數(shù)是.

（山東省濟南中考試題）

4.某商品降價20%后欲恢復(fù)原價，則提價的百分數(shù)為（）.

A.18%B.20%C.25%D.30%

（湖北省數(shù)學(xué)競賽選拔賽試題）

5.某電腦用戶計劃使用不超過5。0元的資金購買單價分別為60元、7（）元的單片軟件和盒裝磁盤，根據(jù)需

要，軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購方式共有（）.

A.5種B.6種C.7神1）.8種

（湖北省武漢市選拔賽試題）

6.某商店出售某種商品每件可獲利元，利潤率為20%.若這種商品的進價提高25%,而商店將這種商品的

售價提面到每件仍可獲利元.則提價后的利潤率為（）.

A.25%B.20%C.16%D.12.5%

7.某商店經(jīng)銷一種商品，由于進價降低了5%,出售價不變，使得利潤率由提高到，則值為（）.

A.12B.10C.17D.14

8.某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件成本價是400元，銷售價為510元，本季度銷售了件，為進一步擴大市場，

該企業(yè)決定在降低銷售價的同時降低生產(chǎn)成本.經(jīng)過市場調(diào)研，預(yù)測下季度這種產(chǎn)品每件銷售價降低4%,

銷量將提高10%,要使銷售利潤保持不變，該產(chǎn)品每件的成本應(yīng)降低多少元？

（陜西省中考試題）

9.甲、乙兩個倉庫要向A,8兩地運送水泥，已知甲庫可調(diào)出100噸水泥，乙?guī)炜烧{(diào)出80噸水泥，A

地需70噸水泥，8地需110噸水泥。兩庫到兩地的路程和運費如下表（表中運費欄“元/噸?千米”

表示每噸水泥運送1千米所需人民幣）：

路程（千米）運費（元/噸?千米）

甲庫乙?guī)旒讕煲規(guī)?/p>

A地20151212

8地252()108

（1）設(shè)甲庫運往A地水泥K噸，總運費為y,用X的代數(shù)式表示），。

（2）當(dāng)甲、乙兩庫各運往A8兩地多少噸水泥時，總運費最省？最省的總運費是多少？

（內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市中考試題）

B級

1.某商場推出全場打八折的優(yōu)惠活動，持貴賓卡可在八折基礎(chǔ)上繼續(xù)打折，小明媽媽持貴賓卡買了標

價為HXXX）元的商品，共省了2800元，則用貴賓卡又享受了折優(yōu)惠.

（遼寧省沈陽市試題）

2.某種商品的進貨價為每件工元，為了適應(yīng)市場競爭，商品按零售價的九折降價并讓利40元銷售，仍可

獲利10%（相對于進價），則/=.

3.某廠生產(chǎn)一種機械零件，固定成本為2萬元，每件零件成本為3元，售價為5元，應(yīng)納稅為總銷售額的

10%。若要使純利潤超過固定成本，則該零件至少要生產(chǎn)個.

（浙江省寧波市中考試題）

4.某商店購進一批水果共6（）（）千克，測得含水量為98%,存放一段時間后，再測得含水量為97%,此時

這批水果的重量為（）.

A.300千克B.40（）千克C.50（）千克D.570.36千克

當(dāng)年產(chǎn)值■前一年產(chǎn)值

5.定義：一個工廠一年的生產(chǎn)增長率就是:xlOO%

前一年產(chǎn)值

如果該工廠2003年的產(chǎn)值要達到2001年產(chǎn)值的1.44倍?，而且每年的生產(chǎn)增長率都是x,則文等于

（）.

A.5%B.10%C.15%D.20%

6.某種產(chǎn)品由甲種原料。千克，乙種原料〃千克配制而成，其中甲種原料每千克50元，乙種原料每千克40

元，后來調(diào)價，甲種原料價格上漲10%,乙種原料價格下降15%,經(jīng)核算產(chǎn)品成本可保持不變，則。：力的

值是（）.

7.某商場用2500元購進A3兩種新型節(jié)能臺燈共50盞，這兩種臺燈的進價、標價如卜表所示:

類別

A型8型

價格

進價（元/盞）4065

標價（元/盞）60100

（1）這兩種臺燈各購進多少盞？

（2）若A型臺燈按標價的9折出售，8型臺燈按標價的8折出售，那么這批臺燈全部售完后，商場共獲

利多少元？

（云南省昆明市中考試題）

8.某商場經(jīng)銷一種商品，由于進貨時價格比原來降低了6.4%,使得利潤率增加了8個百分點，求經(jīng)銷這種

商品原來的利潤率.

（全國初中數(shù)學(xué)競賽試題）

9.為了響應(yīng)國家節(jié)能減排的號召，鼓勵市民節(jié)約用電，我市從2012年7月1日起，居民用電實行“一戶一

表的階梯電價”，分三個檔次收費，第一檔是用電量不超過180千瓦時實行“基木電價”，第二、三檔實行

“提高電價”。具體收費情況如右折線圖，請根據(jù)圖像問答下列問題：

（1）當(dāng)用電量是18（）千瓦時時，電費是，兀。

⑵第二檔的用電量范圍是.

⑶“基本電價”是元/千瓦時。

（4）小明家8月份的電裁是3285元，這個月他家用電多少千瓦時？

（2013年湖南省衡陽市中考試題）

10.已知甲、乙兩種原料中含有A元素，其含量及每噸原料的購買單價如下表所示:

A元素含量單價（萬元/噸）

甲原料5%2.5

乙原料8%6

已知用甲原料提取每千克A元素要排放廢氣1噸。用乙原料提取每千克4元素要排放廢氣（）.5噸。若某廠

要提取A元素20千克，并要求廢氣排放不超過16噸，問：該廠購買這兩種原料的費用最少是多少萬元？.

（江蘇省無錫市中考試題）

11.某企業(yè)計劃將N萬元資金(其中130<N<150)捐助〃所希望小學(xué)，分配的辦法依次是，給第一所學(xué)

校4萬元及剩余款的,：給第二所學(xué)校8萬元及當(dāng)前剩余款的工；給第三所學(xué)校12萬元及當(dāng)前剩余款的

tnm

-；如此繼續(xù)下去，即給第A所學(xué)校4k萬元及所剩余款的,，至第〃所學(xué)校恰好分完，并且所有學(xué)校得

mm

到的款數(shù)相等，試求總捐款數(shù)N和學(xué)校數(shù)〃(其中攵都是正整數(shù)).

(山西省太原市競賽試題)

專題20情境應(yīng)用題

例11200

例2C

例3426件.提示:設(shè)購進價為a元,按原定價至少售出x件(OV.0OOO),節(jié)日讓利售出y件(O0W1OO),

則axxxl25%+a)，xl25%x(l—10%)+(1000—%—〉)Xaxl25%x60%>1000a,即4x+3y>2000,而乃100,

得Q425.

例4V100x0,9<90<94.5<100,300x0.9=270<282.8.

工設(shè)小美第二次購物的原價為x元，則300)x0.8+300x0.9=282.8,解得x=316.

(1)若小美第一次購物沒有優(yōu)惠，第二次購物原價超過300元，則小麗應(yīng)付(316+94.5—300)x0.8+

300x0.9=358.4元.

(2)若小美第一次購物原價超過100元，第二次購物原價超過30()元，則小麗應(yīng)付(316+105—300)x0.8

+300x0.9=366.8元.

例5⑴設(shè)商鋪標價為x萬元，則按方案一購買，可獲得投資收益(120%—l)A+l?10%x5=20%x+50%x

=0.7■X.

07r

投資收益率為—x1(X)%=70%.

x

按方案二購買，可獲得投資L攵益(120%—0.85)x+xJ0%x(l—IO%)x3=().62x.

X100%p72.9%.

().85工

所以投資者選擇方案二所獲得的投資收益率更高.

⑵設(shè)甲投資了x萬元.由題意得0.7L0.62A=5,解得X=62.5,62.5x0.85=53.125萬元.

例6(1)購買一件標價為1000元的商品，消費金額為1000x80=800元.

顧客獲得的優(yōu)惠額為1000x(1—80%)+150=200+150=350元.

(2)設(shè)該商品的標價為x元.

當(dāng)80%xW500,即爛625時，顧客獲得的優(yōu)惠額不超過625x(1—80%)+60=185V226；

當(dāng)500V80%立600,即625Vx￡752時，(1-80%),v>26,解得應(yīng)630.

所以63OSE75O,

當(dāng)600V80%吐800x80%,即750V爛800時，顧客獲得的優(yōu)惠大于750x(1—80%)+130=280>226,

綜上，顧客標價不超過800元的商品，要使獲得的優(yōu)惠額不小于226元.那么該商品的標價至少為630元.

4級

1.160元2.10°p；3.45人4.C5.C

100+p

6.C提示：設(shè)原進價為。元.提價后的利潤率為X%.則〃,="20%=a(lI25%)a%=16%.

7.D8.10.4元.

9.(l))，=39200—3x.(2)甲走往A庫運水泥70噸時，總運費最省.最省運費為37100元.

B級

1.九2.7003.133334.B5.D6.C

7.(1)4型臺燈購進30盞，B型臺燈購進320盞.(2)這批臺燈全部售完后，商場共獲利？20元.

8.17%提示：設(shè)原進價為工元，銷售價為)，元，則由題意得

()解得=]]

xKX)%+8%='-""Ix]0%,ylx

x93.6%x

9.(1)108(2)高于18()千瓦時且低于450千瓦時的部分(3)0.6(4)由圖可知，8月份用電量超過了

450千瓦時.設(shè)用了比千瓦時的電,依題意得283.5+(364.5—283.5)*540—450)。-450)=328.5,解得x

=500.

10.設(shè)購買甲、乙兩種原料分別為4噸和y噸.則

5%-.r-1000+8%->'-1000=20,5x+8y=2,

’"0.1.

5%-x-100x18%-y-1000x0.5<16,5O.v+40y<16,

設(shè)購買甲、乙兩種原料所需總費用為“，萬元，則卬=20-+6)，=2.5*'檸2：+63，=1+2定12

當(dāng)y=0.1,x=0.24時，wmin=1.2萬元.

N

11.設(shè)每所學(xué)校得款x萬元，工=匕，又???笫〃所學(xué)校得款x=4〃，剩余為零，，N=(4〃)X〃=4〃2,而

n

144

I30VNV150,即130V40〃2<i5D,且〃為整數(shù)，.?.4〃2=144,即N=I44,〃=6,x=—=24.

6

專題21從不同的方向看

閱讀與思考

20世紀初，偉大的法國建筑家列?柯爾伯齊曾說：“我想，到H前為止，我們從沒有生活在這樣的幾

何時期，周圍的一切都是幾何學(xué)

生活中蘊含著豐富的幾何圖形，圓的月亮，平的湖面，直的樹干，造型奇特的建筑，不斷移動、反轉(zhuǎn)、

放大縮小的電視畫面……圖形有的是立體的，有的是平面的，立體圖形與平面圖形之間的聯(lián)系，從以下方

面得以體現(xiàn)：

1.立?體圖形的展開與折疊；

2.從各個角度觀察立體圖形；

3.用平面去截立體圖形.

觀察歸納、操作實驗、展開想象、推理論證是探索圖形世界的基本方法.

例題與求解

【例1】如圖是一個正方體表面展開圖，如果正方體相對的面上標注的值相等，那么x+），=

（四川省中考試題）

解題思路：展開與折疊是兩個步驟相反的過程，從折疊還原成正方體入手.

【例2】如圖，是由一些完全相同的小立方塊搭成的幾何體的三種視圖，那么搭成這個幾何體所用的小

立方塊的個數(shù)是（）

丑丑

主視圖左視圖俯視圖

A.5個B.6個C.7個D.8個

（四川省成都中考試題）

解題思路：根據(jù)三視圖和幾何體的關(guān)系,分別確定該幾何體的列數(shù)和每一列的層數(shù).

［例3］由一些大小相同的小正方體組成的簡單幾何體的主視圖和俯視圖如圖.

（1）請你畫出這個幾何體的一-種左視圖；

（2）若組成這個幾何體的小正方體的塊數(shù)為心求，?的值.

主視圖俯視圖

（貴州省貴陽市課改實臉區(qū)中考試題）

解題思路：本例可以在'‘腦子"中想象完成，也可以用實物擺一擺.從操作實臉入手，從俯視圖可推

斷左視圖只能有兩列，由主視圖分析出俯視圖每一列小正方形的塊數(shù)情況是解本例的關(guān)蛙，而有序思考、

分類討論，則可避免重復(fù)與遺漏.

【例4】如圖是由若干個正方體形狀木塊堆成的，平放于桌面上.其中，上面正方體的下底面四個頂點

恰是卜面相鄰正方體的上底面各邊的中點，如果最卜面的正方體的棱長為1，且這些正方體露在外面的面

積和超過8.那么正方體的個數(shù)至少是多少？按此規(guī)律堆下去，這些正方體露在外面的面積和的最大值是

多少？

（江蘇省常州市中考試題）

解題思路：所有正方體側(cè)面面積和再加上所有正方體上面露出的面積和，就是所求的面積.從簡單入

手，歸納規(guī)律.

【例5】把一個正方體分割成49個小正方體（小正方體大小可以不等），請畫圖表示.

（江城國際數(shù)學(xué)競賽試題）

解題思路：本例是一道圖形分割問題，解答本例需要較強的空間想象能力和推理論證能力，需要把圖

形性質(zhì)與計算恰當(dāng)結(jié)合.

【例6】建立模型18世紀瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡單多面體中頂點數(shù)（V）、面數(shù)（F）、校數(shù)（￡）之

間存在的一個有趣的關(guān)系式，被稱為歐拉公式.請你觀察下列幾種簡單多面體模型，解答下列問題.

（1）根據(jù)上面的多面體模型，完成表格中的空格:

多面體頂點數(shù)（V）面數(shù)（F）棱數(shù)（f）

四面體44

長方體8612

正八面體812

正十二面體201230

你發(fā)現(xiàn)頂點數(shù)（V）、面數(shù)⑺、棱數(shù)（Q之間存在的關(guān)系式是.

（2）一個多面體的面數(shù)比頂點數(shù)大8,且有30條棱，則這個多面體的面數(shù)是.

（3）某個玻璃飾品的外形是簡單多面體，它的外表面是由三角形和八邊形兩種多邊形拼接而成，且有

24個頂點，每個頂點處都有3條棱.設(shè)該多面體外表面三角形的個數(shù)為4個，八邊形的個數(shù)為），個，求x+），

的值.

解題思路：對于（1）,通過觀察、歸納發(fā)現(xiàn)匕F,E之間的關(guān)系，并遷移應(yīng)用于解決（2）,（3）.

模型應(yīng)用

如圖，有一種足球是由數(shù)塊黑白相間的牛皮縫制而成，黑皮為正五邊形，白皮為正六邊形，且邊長都

相等，求正五邊形、正六邊形個數(shù).

（浙江省寧波市中考試題改編）

能力訓(xùn)練

A級

1.如圖是正方體的展開圖，則原正方體相對兩個面上的數(shù)字之和的最小值是

（山東省荷澤市中考試題）

2

主視圖左視圖俯視圖

左視圖左視圖

第3題圖

2.由幾個相同的小正方體搭成的幾何體的視圖如圖所示，則搭成這個幾何體的小正方體的個數(shù)是

（湖北省武漢市中考試題）

3.一個長方體的左視圖、俯視圖及相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，則其主視圖的面積為.

（山東省煙臺市中考試題）

4.如圖，下列幾何體是由棱長為1的小立方體按一定規(guī)律在地面上擺成的，若將露出的表面都涂上

顏色（底面不涂色）,則第〃個幾何體中只有兩個面涂色的小立方體共有一

（山東省青島市中考試題）

5.一個畫家有14個邊長為1m的正方體，他在地面上把它們擺成如圖的形式，然后他把露出的表面

都涂上顏色，那么被涂顏色的總面積為（）

A.19m2B.41m2C.33m2D.3