2024-2025學(xué)年上海市徐匯區(qū)南模中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年上海市徐匯區(qū)南模中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖，用斜二測畫法作△ABC的直觀圖得ΔA1B1C1，其中A1B1=B1C1，AA.AB=BC=AC B.AD⊥BC

C.AC>AD>AB>BC D.AC>AD>AB=BC2.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1中，P，Q，R，S分別為棱AB，BC，BB1，CD的中點(diǎn)，連接A1S，B1D，對空間任意兩點(diǎn)M，N，若線段MN與線段A.點(diǎn)P

B.點(diǎn)Q

C.點(diǎn)R

D.點(diǎn)B3.分別以直角三角形的斜邊和兩直角邊所在直線為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積依次為V1、V2、V3，則A.V1=V2+V3 B.4.已知P是正方體ABCD?A1B1C1D1的中心，過點(diǎn)P的直線l與該正方體的表面交于E、F兩點(diǎn)，現(xiàn)有如下命題：①線段EF在正方體6個(gè)表面的投影長度為ti(i=1,2,…,6)，則i=16ti為定值；②直線A.①和②均為真命題 B.①和②均為假命題

C.①為真命題，②為假命題 D.①為假命題，②為真命題二、填空題：本題共12小題，每小題5分，共60分。5.空間兩直線所成角的取值范圍是______．6.如圖所示：在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=B面角的大小為______．

7.已知圓柱Ω的母線長為l，底面半徑為r，O是上底面圓心，A，B是下底面圓周上兩個(gè)不同的點(diǎn)，BC是母線，如圖，若直線OA與BC所成角的大小為π6，則lr=______．

8.以下四個(gè)命題中，所有真命題的序號為______．

①三角形(及其內(nèi)部)繞其一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體叫圓錐；

②正棱柱的側(cè)棱垂直于底面；

③棱錐的各側(cè)棱和底面所成的角相等；

④圓錐的軸截面一定是等腰三角形．9.正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)M為10.已知在圓錐SO中，底面圓O的直徑AB=2，△SAB的面積為22，點(diǎn)M在母線SB上，且SM=13SB，一只螞蟻若從A點(diǎn)出發(fā)，沿圓錐側(cè)面爬行到達(dá)11.如圖，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，BB1=2，12.在平面上，兩條直線的位置關(guān)系有相交、平行、重合三種.已知α，β是兩個(gè)相交平面，空間兩條直線l1，l2在α上的射影是直線S1，S2，l1，l2在β上的射影是直線t1，t2.用S1與S2，t13.已知某商品的形狀為圓臺，上下底面圓的半徑分別為34R和R，高為2R.將兩個(gè)這樣完全相同的商品水平放入形狀為長方體的外包裝盒中(不考慮外包裝的厚度)，則外包裝盒的表面積的最小值為______．14.已知正四面體ABCD中，AB=2，P1，P2，…，Pn在線段AB上，且|AP1|=|P1P2|=…=|Pn?115.在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，M是棱CC1的中點(diǎn)，N是側(cè)面B1BCC1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足直線A1N/?/平面AD1M，當(dāng)直線A1N與平面B116.在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，F(xiàn)，P分別為線段AC1和平面三、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題12分)

已知長方體ABCD?A1B1C1D1中，AD=AB=4，AA1=2，E，F(xiàn)分別是AB，A1D1的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：直線18.(本小題12分)

刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用曲率刻畫空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于2π與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制.例如：正四面體每個(gè)頂點(diǎn)均有3個(gè)面角，每個(gè)面角均為π3，故其各個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為2π?3×π3=π.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，點(diǎn)A的曲率為2π3，N，M分別為AB，CC1的中點(diǎn)，且AB=AC，AA19.(本小題12分)

如圖，一矩形ABCD的一邊AB在x軸上，另兩個(gè)頂點(diǎn)C、D在函數(shù)f(x)=x1+x2，(x>0)的圖像上，設(shè)C、D的縱坐標(biāo)為t．

(1)求此矩形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的幾何體的體積V(t)和表面積S(t)關(guān)于t的表達(dá)式；

(2)求V(t)20.(本小題12分)

對于函數(shù)y=F(x)和數(shù)列{an}、{bn}，若an=F(n)，F(xiàn)(bn)=n，則稱{an}為函數(shù)y=f(x)的“影數(shù)列”，{bn}為函數(shù)y=f(x)的一個(gè)“鏡數(shù)列”.已知f(x)=x2，g(x)=log2x，?(x)=2x+x．

(1)若{an}為y=f(x)的“影數(shù)列”，{bn}為y=g(x)的“鏡數(shù)列”，

(ⅰ)21.(本小題12分)

如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AD=1，CD=2，A1D⊥平面ABCD，AA1與底面ABCD所成角為θ，設(shè)直線A1C與平面AA1D1D、平面ABCD、平面AA1B1B所成角的大小分別為α，β，γ．

(1)若∠ADC=2θ，求平行六面體ABCD?A1B1C1D1的體積V的取值范圍；

(2)若

參考答案1.C

2.B

3.C

4.D

5.[0,π6.π4

7.38.②④

9.arccos10.711.212.S1//S2，并且t1與t2相交(或：t113.38R14.2n15.{16.4317.(I)證明：取BD的中點(diǎn)P，連接PE，PD1，

由條件E，F(xiàn)分別是AB，A1D1的中點(diǎn)可知，PE//D1F，且PE=D1F，

故PEFD1為平行四邊形，所以PD1//EF，

∵EF?平面BB1D1D，且PD1?平面BB1D1D

∴EF/?/平面BB1D1D

(II)解：∵平面BCC1B1/?/平面ADD1A1，

∴直線EF與平面ADD1A18.解：(1)在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC，AB?平面ABC，

則AA1⊥AC，AA1⊥AB，

∴點(diǎn)A的曲率為2π?2×π2?∠BAC=2π3，

∴∠BAC=π3，

∴△ABC為正三角形，

取BB1中點(diǎn)P，連CP，則可得CP//B1M，

∴∠PCN即為異面直線CN和B1M所成角，

設(shè)AB=AC=1，則可得CN=32，CP=2，NP=52，

∴cos∠PCN=CP2+CN2?NP22CP?CN=(2)2+(32)2?(52)22×2×32=64，

即異面直線CN和B1M所成角為arccos64．

(2)取BC的中點(diǎn)F，連接AF，則AF⊥BC，

∵BB1⊥平面ABC，AF?平面ABC，

∴BB1⊥AF，

∵BB1∩BC=B19.解：(1)由y=f(x)=x1+x2=11x+x≤121x?x=12，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號，得t∈(0,12)，

又矩形繞x軸旋轉(zhuǎn)得到的幾何體是圓柱，設(shè)C、D的坐標(biāo)為(x1,t)，(x2,t)，

則圓柱的底面圓半徑為t，高為?=|x1?x2|，

令x1+x2=t，則tx2?x+t=0，得?=|x1?x2|=1?4t20.解：(1)(ⅰ)由題意，an=f(n)=n2，g(bn)=n，log2bn=n，bn=2n；

所以a2+b4=4+16=20．

(ⅱ)當(dāng)n=1時(shí)，a1=1<b1=2；

當(dāng)n=2時(shí)，a2=4=b2；

當(dāng)n=3時(shí)，a3=9>b3=8；

當(dāng)n=4時(shí)，a4=16=b4，

當(dāng)n≥5，n∈N時(shí)，an<bn，數(shù)學(xué)歸納法證明如下

①當(dāng)n=5時(shí)，a5=25<b5=32，命題成立；

②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥5,k∈Z)時(shí)，命題成立，

即k2<2k，則當(dāng)n=k+1時(shí)，

bk+1?ak+1=2k+1?(k+1)2

=2×2k?k2?2k?1>2k2?k2?2k?1

=k2?2k?1=(k?1)2?2(?)．21.解：(1)由題意得DA1=tanθ(0<θ<π2)，四邊形ABCD的面積為2sin2θ

平行六面體ABCD?A1B1C1D1的體積V=2sin2θ?tanθ=4sin2θ，

∴平行六面體ABCD?A1B1C1D1的體積V的取值范圍為(0,4)．

(2)∵θ=45°，∴∠ADC=90°，即CD⊥AD，

又∵A1D⊥平面ABCD，∴CD⊥A1D，

∴CD⊥平面AA1D1D，

∴α=∠CA1D，β=∠A1CD，

由題意得A1D=1，AD=1，CD=2，∴tanα=2，tanβ=12，

∴α=arctan2，β=arctan12，

以DA，DC，DA1為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O?xyz，

則A1(0,0,1)，C(0,2,0)，A(1,0,0)，B(1,2,0)

∴A1C=(0,2,?1)，AA1=(?1,0,1)，AB=(0,2,0)，

設(shè)側(cè)面AA1B1B