2024-2025學(xué)年重慶市西南大學(xué)附中高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（一）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年重慶市西南大學(xué)附中高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（一）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知z(1+i)=2?i，則|z??i|=A.1 B.22 C.2 2.設(shè)m，n為空間中兩條不同直線，α、β為空間中兩個不同平面，下列命題中正確的為(

)A.若α//β，m?α，n?β，則m//n

B.若α⊥β，m⊥α，n//β，則m⊥n

C.若m?α，n與α相交，則m與n異面

D.若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β3.已知平面向量a=(4,2)，b=(m,1)，且(a+bA.?1 B.1 C.?1或?3 D.34.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知A=π3，B=5π12，c=A.3 B.2 C.235.函數(shù)f(x)=ln(x2?mx?6)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，則A.m<?2 B.m≤?5 C.m≤2 D.m>26.如圖所示，四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD為矩形，PA=AD=2AB=2，M為PD的中點(diǎn)，則CD與平面ACM所成角的余弦值為(

)

A.33 B.63 C.7.已知函數(shù)f(x)=23sinωxcosωx+2cos2ωx(ω>0,x∈R)在[0,π]上恰有2A.[1112,1712] B.[8.已知正四棱錐P?ABCD，其中AB=4，PA=42，平面α過點(diǎn)A，且面α⊥PC，則面α截正四棱錐P?ABCD的截面面積為(

)A.1633 B.833二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列說法正確的是(

)A.現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)4，7，9，3，3，5，7，9，9，6，則這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為4

B.某人打靶時連續(xù)射擊三次，則事件“至少兩次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對立事件

C.若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的方差為2，則數(shù)據(jù)3x1+1，3x2+1，…，3x10+1的方差為1810.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若cos2A?cos2A.A=2B B.cosA=c?b2b C.a=2b 11.P為棱長為2的正方體ABCD?A1B1A.當(dāng)P在線段B1D1上運(yùn)動時，三棱錐P?A1BD的體積是定值

B.當(dāng)P在線段BC1上運(yùn)動時，異面直線A1P與AD1所成角的取值范圍是(0,π3]

C.當(dāng)P在面ABCD內(nèi)運(yùn)動時，R為棱A1B1的中點(diǎn)且PR/?/平面B1C三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.一個盒子中裝有4張卡片，卡片上分別寫有數(shù)字1、2、3、4，現(xiàn)從盒子中隨機(jī)抽取卡片，若第一次抽取一張卡片，放回后再抽取1張卡片，則兩次抽取的卡片數(shù)字之和大于6的概率是______．13.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，已知棱AB=1，點(diǎn)14.布羅卡爾點(diǎn)(Brocard’spoint)是三角形幾何中的一個特殊點(diǎn).羅卡爾點(diǎn)的發(fā)現(xiàn)可以追溯到1816年.由德國數(shù)學(xué)家克雷爾(A.L.Crelle)首次發(fā)現(xiàn)，但當(dāng)時并未受到廣泛關(guān)注.直到1875年，法國軍官布羅卡爾重新發(fā)現(xiàn)了這個點(diǎn)，并用自己的名字命名，從而引起了數(shù)學(xué)界的廣泛關(guān)注.它的定義是：若△ABC內(nèi)一點(diǎn)P滿足∠PAB=∠PBC=∠PCA，則稱P為△ABC的布羅卡爾點(diǎn).若設(shè)∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ，則稱θ為布羅卡爾角.已知△ABC中，a=3，A=π6，若P為△ABC的布羅卡爾點(diǎn)，并記△PAB、△PBC、△PAC的外接圓面積分別為S1、S2、S3四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知向量m=(sinA+sinB,c)，n=(sinB?sinC,b?a)，滿足m//n．

(1)求A；

(2)若角A的平分線交邊BC于點(diǎn)D，AD=316.(本小題12分)

如圖，在四棱錐S?ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面SBC，SB=SC，M是BC的中點(diǎn)，AB=2，BC=4．

(1)求證：AM⊥SD．

(2)若AS=13，求四棱錐S?ABCD的體積．17.(本小題12分)

某學(xué)校為了解本校身體素質(zhì)情況，分別從男生中隨機(jī)抽取60人的體育測試成績得到樣本甲，從女生中隨機(jī)抽取n人的體育測試成績得到樣本乙，根據(jù)兩個樣本數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖．

已知乙樣本中數(shù)據(jù)在[80,90)的有40個．

(1)求n和乙樣本直方圖中a的值；

(2)試估計該校女生本次體育測試成績的平均值和男生本次體育測試成績的上四分位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值為代表)；

(3)采用分層抽樣的方法從甲樣本數(shù)據(jù)中分?jǐn)?shù)在[50,80)的學(xué)生中抽取7人，并從這7人中任取2人，求這兩人分?jǐn)?shù)都在[70,80)中的概率．18.(本小題12分)

如圖，正四棱臺ABCD?A1B1C1D1有內(nèi)切球O1，且A1B1=2，AB=4．

(1)設(shè)平面O1BC∩平面O1B1C119.(本小題12分)

代數(shù)基本定理：任何一個n(n∈N?)次復(fù)系數(shù)多項式方程f(x)=0至少有一個復(fù)根.由此可得如下推論：

推論一：任何一元n(n∈N?)次復(fù)系數(shù)多項式f(x)在復(fù)數(shù)集中可以分解為n個一次因式的乘積；

推論二：一元n次多項式方程有n個復(fù)數(shù)根，最多有n個不同的根.即一元一次方程最多有1個實根，一元二次方程最多有2個實根等．

推論三：若一個n次方程有不少于n+1個不同的根，則必有各項的系數(shù)均為0．

已知f(x)=x3+x2.請利用代數(shù)基本定理及其推論解決以下問題：

(1)求2f(x)?5x2+2x=0的復(fù)根；

(2)若?a，b∈R，使得關(guān)于x的方程19a?f(2x)=f(2b?2x)至少有四個不同的實根，求a，b的值；

(3)若f(x)的圖像上有四個不同的點(diǎn)A，參考答案1.B

2.D

3.C

4.A

5.B

6.A

7.D

8.A

9.BC

10.ABD

11.ACD

12.31613.1

14.27π15.解：(1)由題意，m=(sinA+sinB,c)，n=(sinB?sinC,b?a)，

則由m//n，可得(b?a)(sinA+sinB)=c(sinB?sinC)，

由正弦定理，可得(b?a)(b+a)=c(b?c)，

整理得b2+c2?a2=bc，

則cosA=b2+c2?a22bc=bc2bc=12，

又A∈(0,π)，所以A=π3；

(2)由題意，AD為角A的平分線，則∠BAD=∠CAD=π6，16.(1)證明：因為平面ABCD⊥平面SBC，平面ABCD∩平面SBC=BC，

在矩形ABCD中，SB=SC，M是BC的中點(diǎn)，所以SM⊥BC，

又因為SM?平面SBC，所以SM⊥平面ABCD，而AMC平面ABCD，所以SM⊥AM，

在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，M是BC的中點(diǎn)，

所以直角三角形ABM和直角三角形CDM中，

AM2=AB2+BM2=22+22=8，DM2=DC2+CM2=22+22=8，

又因為AD2=42=16，

所以AM2+MD2=AD2，所以DM⊥AM．

又DM∩SM=M，AM不在平面MDS內(nèi)，所以AM⊥平面MDS，17.解：(1)根據(jù)題意可得(0.006+0.016+0.02+0.04+a)×10=1，解得a=0.018；

又乙樣本中數(shù)據(jù)在[80,90)的頻率為0.4，且乙樣本中數(shù)據(jù)在[80,90)的有40個，

∴n=400.4=100；

(2)∵乙樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)估計為55×0.06+65×0.16+75×0.2+85×0.4+95×0.18=79.8，

∴估計該校女生本次體育測試成績的平均值為79.8分；

∵甲樣本數(shù)據(jù)的前幾組的頻率依次為0.05，0.1，0.2，0.45，

∴甲樣本數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)估計為80+0.75?0.05?0.1?0.20.045=80+809≈89，

∴估計該校男生本次體育測試成績的上四分位數(shù)為89分；

(3)∵甲樣本數(shù)據(jù)中前三組的頻率之比為0.05：0.1：0.2=1：2：4，

∴[50,60)中抽1人，[60,70)中抽2人，[70,80)中抽4人，

再從這7人中任取2人，共有C72=21個結(jié)果，18.(1)證明：因為ABCD?A1B1C1D1是正棱臺，故B?1C1//BC，

B1C1?面O1B1C1，BC?面O1B1C1，

故BC/?/面O1B1C1，又BC?面O1BC，面O1BC∩面O1B1C1=l，

故l/?/BC，

又BC?面ABCD，l?面ABCD，

所以l/?/面ABCD；

(2)解：連接A1C1，D1B1，

設(shè)其交點(diǎn)為H，連接AC，BD，設(shè)其交點(diǎn)為O，連接OH，

因為ABCD?A1B1C1D1是正棱臺，故O，O1，H三點(diǎn)共線，且OH，OA，OB兩兩垂直，

故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)OH=2m，m>0，則A(22,0,0)，B(0,22,0)，O1(0,0,m)，

A1(2,0,2m)，B1(0,2,2m)，D(0,?22,0)，

AB=(?22,22,0)，AA1=(?2,0,2m)，DA=(22,22,0)，

AO1=(?22,0,m)，

設(shè)平面BB19.解：(1)由題意，2x3+2x2?5x2+2x=0，即2x3?3x2+2x=0，所