試驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理11

試驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理韓京龍?jiān)囼?yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理參考資料1，實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理（第二版）

李云雁胡傳榮編著

化學(xué)工業(yè)出版社

2，實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理

羅傳義時(shí)景榮編著

吉林人民出版社

0.1試驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理的發(fā)展概況20世紀(jì)20年代，英國(guó)生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家及數(shù)學(xué)家費(fèi)歇（R．A．Fisher）提出了方差分析

20世紀(jì)50年代，日本統(tǒng)計(jì)學(xué)家田口玄一將試驗(yàn)設(shè)計(jì)中應(yīng)用最廣的正交設(shè)計(jì)表格化數(shù)學(xué)家華羅庚教授也在國(guó)內(nèi)積極倡導(dǎo)和普及的“優(yōu)選法”我國(guó)數(shù)學(xué)家王元和方開(kāi)泰于1978年首先提出了均勻設(shè)計(jì)

0.2試驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理的意義0.2.1試驗(yàn)設(shè)計(jì)的目的:合理地安排試驗(yàn),力求用較少的試驗(yàn)次數(shù)獲得較好結(jié)果例：某試驗(yàn)研究了3個(gè)影響因素：

A：A1，A2，A3

B：B1，B2，B3

C：C1，C2，C3

全面試驗(yàn)：27次正交試驗(yàn)：9次0.2.2數(shù)據(jù)處理的目的通過(guò)誤差分析，評(píng)判試驗(yàn)數(shù)據(jù)的可靠性；確定影響試驗(yàn)結(jié)果的因素主次，抓住主要矛盾，提高試驗(yàn)效率；確定試驗(yàn)因素與試驗(yàn)結(jié)果之間存在的近似函數(shù)關(guān)系，并能對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行預(yù)測(cè)和優(yōu)化；試驗(yàn)因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響規(guī)律，為控制試驗(yàn)提供思路；確定最優(yōu)試驗(yàn)方案或配方。實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理應(yīng)用對(duì)象畢業(yè)論文設(shè)計(jì)畢業(yè)論文寫(xiě)作科研工作者企業(yè)管理人員工程技術(shù)人員大學(xué)生碩士研究生博士研究生試驗(yàn)設(shè)計(jì)是根據(jù)試驗(yàn)?zāi)康乃ㄔ囼?yàn)?zāi)康膯我蛩卦囼?yàn)設(shè)計(jì)多因素試驗(yàn)設(shè)計(jì)隨機(jī)試驗(yàn)設(shè)計(jì)正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)確定科技論文?科研報(bào)告?畢業(yè)論文試驗(yàn)?zāi)康脑囼?yàn)設(shè)計(jì)取得數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)處理得出結(jié)論完成論文寫(xiě)作全過(guò)程數(shù)據(jù)處理形式數(shù)據(jù)處理方法統(tǒng)計(jì)分析圖像處理音像處理表圖圖像音像數(shù)據(jù)處理用途科研論文學(xué)術(shù)發(fā)表開(kāi)發(fā)新技術(shù)行政部門(mén)提供依據(jù)學(xué)術(shù)研討會(huì)（舉例說(shuō)明）熱量1234567反應(yīng)速度0.50.70.91.11.21.20.9學(xué)術(shù)研討會(huì)（舉例說(shuō)明1）學(xué)術(shù)研討會(huì)（舉例說(shuō)明2）日期6/56/106/156/206/256/307/57/10降雨量20532003010020硝態(tài)氮

280

180

降雨量與硝態(tài)氮流失情況調(diào)查科技論文?科研報(bào)告?畢業(yè)論文寫(xiě)作流程題目目的實(shí)驗(yàn)材料與分析方法結(jié)果與考查結(jié)論第一章誤差理論

誤差:由于受主客觀因素的影響,實(shí)驗(yàn)中測(cè)得的值與真實(shí)值并不完全一致。這種差異在數(shù)值上的表現(xiàn)即為誤差。研究誤差的目的:1.正確處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。得到更接近真實(shí)值的最佳結(jié)果。2.合理選取所得結(jié)果的誤差。減小主觀因素的影響,以免對(duì)生產(chǎn)造成危害。也不能算得過(guò)份大,以免造成人力物力的浪費(fèi)。3.合理選擇實(shí)驗(yàn)儀器、條件和方法,以便降低系統(tǒng)誤差。確保實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確度和精密度。真值與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的位置特征參數(shù)真值:理論上說(shuō),真值是指測(cè)定次數(shù)無(wú)限多時(shí)求得的平均值叫真值。真值1.理論真值:理論設(shè)計(jì)和理論公式表達(dá)值等。2.計(jì)量學(xué)約定真值:國(guó)際會(huì)議或國(guó)際組織上公認(rèn)的量值。3.相對(duì)真值:國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)樣品的標(biāo)準(zhǔn)值或用標(biāo)準(zhǔn)儀器

測(cè)定的值。真值與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的位置特征參數(shù)2.試驗(yàn)數(shù)據(jù)的位置特征參數(shù)

2.1算數(shù)平均值（arithmeticmean）試驗(yàn)數(shù)據(jù)的位置特征參數(shù)是表示試驗(yàn)數(shù)據(jù)的集中性的指標(biāo)

算數(shù)平均值的一個(gè)重要性質(zhì)，就是若測(cè)定值的分布服從正態(tài)分布，則算數(shù)平均值即為一組等精度測(cè)量中的最佳值，或稱(chēng)為最可信賴(lài)值。

等精度試驗(yàn)值適合：

試驗(yàn)值服從正態(tài)分布2.2加權(quán)算數(shù)平均值(weightedmean)

真值與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的位置特征參數(shù)權(quán)可以理解為測(cè)定值Ｘｊ在很大的測(cè)量總數(shù)N中出現(xiàn)的頻率nj/N,如代之以概率Pj來(lái)表示,則加全算數(shù)平均數(shù)可改寫(xiě)為wi——權(quán)重加權(quán)和適合不同試驗(yàn)值的精度或可靠性不一致時(shí)2.3對(duì)數(shù)平均值（logarithmicmean）在化學(xué)反應(yīng),熱量傳遞及質(zhì)量傳遞中,其分布曲線多具有對(duì)數(shù)的特性。在這中情況下表征平均值的量就應(yīng)該用對(duì)數(shù)平均值來(lái)表示。真值與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的位置特征參數(shù)設(shè)兩個(gè)數(shù)：x1＞0，x2

＞0，則說(shuō)明：若數(shù)據(jù)的分布具有對(duì)數(shù)特性，則宜使用對(duì)數(shù)平均值對(duì)數(shù)平均值≤算術(shù)平均值如果1/2≤x1/x2≤2時(shí)，可用算術(shù)平均值代替,誤差不超過(guò)4%2.4幾何平均數(shù)幾何平均值是將n個(gè)測(cè)定值相乘后在開(kāi)n次方所得的值。●當(dāng)一組試驗(yàn)值取對(duì)數(shù)后所得數(shù)據(jù)的分布曲線更加對(duì)稱(chēng)時(shí)，宜采用幾何平均值?！駧缀纹骄怠芩阈g(shù)平均值設(shè)有n個(gè)正試驗(yàn)值：x1，x2，…，xn，則2.5調(diào)和平均值（harmonicmean）●常用在涉及到與一些量的倒數(shù)有關(guān)的場(chǎng)合●調(diào)和平均值≤幾何平均值≤算術(shù)平均值設(shè)有n個(gè)正試驗(yàn)值：x1，x2，…，xn，則：誤差的表示方法1.絕對(duì)誤差（absoluteerror）誤差的絕對(duì)值愈小,則測(cè)定值與真值愈接近,測(cè)定值的準(zhǔn)確度愈高,

反之相反。絕對(duì)誤差是反應(yīng)測(cè)定值偏離真值的大小。（1）定義

絕對(duì)誤差＝試驗(yàn)值－真值或（2）說(shuō)明真值未知，絕對(duì)誤差也未知

可以估計(jì)出絕對(duì)誤差的范圍：絕對(duì)誤差限或絕對(duì)誤差上界或例:用標(biāo)準(zhǔn)儀器測(cè)得某物理量為1.728(g)(可看作是真值A(chǔ)),而一臺(tái)

普通儀器測(cè)得該物理量為1.730(g),則測(cè)量值的絕對(duì)誤差為

Δx=1.730-1.728=0.002(g)若另一次測(cè)量值為1.725(g),其絕對(duì)誤差為

Δx=1.725-1.728=-0.003(g)

我們經(jīng)常用的分析天平等都有本身的儀器所允許的最大誤差范圍。

如分析天平的允許誤差范圍是±0.0001(g),我們把這個(gè)誤差范圍又

稱(chēng)最大絕對(duì)誤差。最大絕對(duì)誤差的量值前面一般都加“±”號(hào),這是與

絕對(duì)誤差的定義是不同的。1.絕對(duì)誤差（absoluteerror）

誤差的表示方法2.相對(duì)誤差（relativeerror）是指絕對(duì)誤差在真值中所占的百分率,既誤差的表示方法誤差較小時(shí),測(cè)定值x與真值A(chǔ)接近,用絕對(duì)誤差與測(cè)定值之比作為相對(duì)誤差。最大相對(duì)誤差:最大絕對(duì)誤差計(jì)算出的相對(duì)誤差。真值未知，常將Δx與試驗(yàn)值或平均值之比作為相對(duì)誤差：或例:用分析天平測(cè)得土壤樣品為4.1854(g),而半微量天平測(cè)得的量為4.18544(g)(可看作是真值A(chǔ)),求相對(duì)誤差和最大相對(duì)誤差?解:相對(duì)誤差:Ex=(Δx/A)*100%Δx=x-A=4.1854-4.18544=-0.00004(g)Ex=(-0.00004/4.18544)*100%=-0.001%當(dāng)x接近于A時(shí),用x代替真值A(chǔ)

Ex=(-0.00004/4.1854)*100%=-0.001%最大相對(duì)誤差:分析天平的最大誤差范圍為±0.0001(g)最大相對(duì)誤差=(±0.0001/4.1854)*100%=±0.0025%2.相對(duì)誤差（relativeerror）

誤差的表示方法2.相對(duì)誤差（relativeerror）

**同一儀器的被測(cè)量的最大絕對(duì)誤差是相同的。但是,被測(cè)量的相對(duì)誤差是不同的。例:測(cè)得一物理量分別為102(g)和5(g),天平的最大絕對(duì)誤差為±1(g),而相對(duì)誤差分別為

E102={(±1)/102}*100%=±1%E5={(±1)/5}*100%=±20%為了獲得更準(zhǔn)確的結(jié)果,在相同條件下需要進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)定。這叫平衡測(cè)定或等精度測(cè)定。誤差的表示方法3.極差（range）

一組測(cè)定值中最高值和最低值之差,叫極差。誤差的表示方法R↓，精密度↑雖然用極差反映隨機(jī)誤差的精度不高，但由于它是計(jì)算方便，在快速檢驗(yàn)中仍然得到廣泛的應(yīng)用４．算術(shù)平均誤差(averagediscrepancy)算術(shù)平均誤差（或稱(chēng)為平均偏差）簡(jiǎn)稱(chēng)為平均誤差。其定義為誤差的表示方法試驗(yàn)值與算術(shù)平均值之間的偏差——●可以反映一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差大小誤差的表示方法５．標(biāo)準(zhǔn)差(standarderror)標(biāo)準(zhǔn)差是標(biāo)準(zhǔn)誤差的簡(jiǎn)稱(chēng)，又稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)偏差。當(dāng)測(cè)定值的次數(shù)無(wú)窮時(shí)，其定義為■

當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n無(wú)窮大時(shí)，總體標(biāo)準(zhǔn)差：■試驗(yàn)次數(shù)為有限次時(shí)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差：●表示試驗(yàn)值的精密度，標(biāo)準(zhǔn)差↓，試驗(yàn)數(shù)據(jù)精密度↑誤差的表示方法標(biāo)準(zhǔn)偏差與所測(cè)定值中的每一個(gè)數(shù)據(jù)有關(guān)，而且對(duì)其中較大誤差或較小誤差敏感性很強(qiáng)。能明顯反映出較大的個(gè)別誤差。實(shí)驗(yàn)愈精確標(biāo)準(zhǔn)誤差愈小。反映相對(duì)于平均值的離散程度。一般統(tǒng)計(jì)分析中經(jīng)常用到標(biāo)準(zhǔn)差Ｓ。５．標(biāo)準(zhǔn)差(standarderror)誤差的來(lái)源及分類(lèi)我們?cè)谧隹茖W(xué)研究的時(shí)候,得到準(zhǔn)確數(shù)據(jù)是非常重要的一個(gè)科研環(huán)節(jié)。實(shí)驗(yàn)工作始終不能做到?jīng)]有誤差,測(cè)定值永遠(yuǎn)是真值的近似值。誤差根據(jù)其性質(zhì)可分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和過(guò)失誤差。1,.隨機(jī)誤差(偶然誤差)

:由于很多無(wú)法估計(jì)的,各種各樣的隨機(jī)原因所引起的誤差。隨機(jī)誤差量值的大小,往往用標(biāo)準(zhǔn)差S來(lái)表示。2,過(guò)失誤差:實(shí)驗(yàn)工作中粗枝大葉,操作不正確所引起的誤差。誤差的來(lái)源及分類(lèi)系統(tǒng)誤差方法誤差(理論誤差`):這是由于測(cè)量方法本身形成的誤差,或者由于測(cè)量所依據(jù)的理論本身不完善等原因而導(dǎo)致的誤差。

例:土壤有效磷的測(cè)定有兩種方法第一種方法為0.5MNaHCO3浸提-鉬銻抗比色法,第二種方法為0.3NNH4F-0.025NHCl浸提-鉬銻抗比色法兩種浸提劑測(cè)得的土壤有效磷指標(biāo)

有效磷指標(biāo)0.3NNH4F-0.025NHCl法0.5MNaHCO3法低0-150-5中16-300-6高>30>10儀器誤差:儀器本身不夠準(zhǔn)確或未經(jīng)校準(zhǔn)所引起的誤差。(儀器的零點(diǎn)不準(zhǔn),精密度不高,磨損等原因引起的誤差)操作誤差:由于操作人員的主觀原因所造成的誤差。

3,系統(tǒng)誤差:由于實(shí)驗(yàn)過(guò)程中某些經(jīng)常發(fā)生的原因造成的。在同一條件下重復(fù)測(cè)定時(shí),它會(huì)重復(fù)出現(xiàn)。誤差的來(lái)源及分類(lèi)（1）定義：以不可預(yù)知的規(guī)律變化著的誤差，絕對(duì)誤差時(shí)正時(shí)負(fù)，時(shí)大時(shí)?。?）產(chǎn)生的原因：偶然因素（3）特點(diǎn)：具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律小誤差比大誤差出現(xiàn)機(jī)會(huì)多正、負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)近似相等當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠多時(shí)，誤差的平均值趨向于零可以通過(guò)增加試驗(yàn)次數(shù)減小隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差不可完全避免的

1隨機(jī)誤差（randomerror）誤差的來(lái)源及分類(lèi)2系統(tǒng)誤差（systematicerror）

（1）定義：一定試驗(yàn)條件下，由某個(gè)或某些因素按照某一確定的規(guī)律起作用而形成的誤差（2）產(chǎn)生的原因：多方面（3）特點(diǎn)：系統(tǒng)誤差大小及其符號(hào)在同一試驗(yàn)中是恒定的它不能通過(guò)多次試驗(yàn)被發(fā)現(xiàn)，也不能通過(guò)取多次試驗(yàn)值的平均值而減小只要對(duì)系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因有了充分的認(rèn)識(shí)，才能對(duì)它進(jìn)行校正，或設(shè)法消除。

3過(guò)失誤差（mistake）（1）定義：

一種顯然與事實(shí)不符的誤差（2）產(chǎn)生的原因：

實(shí)驗(yàn)人員粗心大意造成

（3）特點(diǎn)：可以完全避免沒(méi)有一定的規(guī)律

誤差的來(lái)源及分類(lèi)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的精準(zhǔn)度1.精密度（precision）

:表示在等精度的重復(fù)測(cè)定中,各測(cè)定值與其平均值接近的程度,或者說(shuō)各測(cè)定值相互接近的程度。精密度通常用標(biāo)準(zhǔn)差S和相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差C?V＝S/

(變異系數(shù))來(lái)量度。精密度一般用來(lái)表示隨機(jī)誤差的大小。（1）含義：在一定的試驗(yàn)條件下，多次試驗(yàn)值的彼此符合程度

例：甲：11.45，11.46，11.45，11.44

乙：11.39，11.45，11.48，11.50（2）說(shuō)明：可以通過(guò)增加試驗(yàn)次數(shù)而達(dá)到提高數(shù)據(jù)精密度的目的試驗(yàn)數(shù)據(jù)的精密度是建立在數(shù)據(jù)用途基礎(chǔ)之上的試驗(yàn)過(guò)程足夠精密，則只需少量幾次試驗(yàn)就能滿足要求（3）精密度判斷

①極差（range）②標(biāo)準(zhǔn)差（standarderror）R↓，精密度↑標(biāo)準(zhǔn)差↓，精密度↑實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的精準(zhǔn)度1.精密度（precision）③方差（variance）

標(biāo)準(zhǔn)差的平方：樣本方差（s2

）總體方差（σ2

）（3）精密度判斷

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的精準(zhǔn)度1.精密度（precision）方差↓，精密度↑2正確度（correctness）

（1）含義：大量測(cè)試結(jié)果的（算術(shù)）平均值與真值或參照值之間的一致程度。它反映系統(tǒng)誤差的大小。（2）正確度與精密度的關(guān)系：

精密度不好，但當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)相當(dāng)多時(shí)，有時(shí)也會(huì)得到好的正確度

精密度高并不意味著正確度也高

（a）（b）（c）實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的精準(zhǔn)度表示所得測(cè)定結(jié)果與真值或標(biāo)準(zhǔn)值接近的程度。在多次等精度測(cè)定中,測(cè)定結(jié)果一般用平均值來(lái)表示。這時(shí)準(zhǔn)確度就表示平均值與真值的接近程度。準(zhǔn)確度一般用絕對(duì)誤差或相對(duì)誤差來(lái)表示。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的精準(zhǔn)度3準(zhǔn)確度（accuracy）三者關(guān)系●無(wú)系統(tǒng)誤差的試驗(yàn)

精密度：A＞B＞C正確度：A＝B＝C準(zhǔn)確度：A＞B＞C精密度：A＇＞B＇＞C＇準(zhǔn)確度：A＇＞B＇＞C＇，A＞B，C三者關(guān)系●有系統(tǒng)誤差的試驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的精準(zhǔn)度

準(zhǔn)確度與精密度的關(guān)系準(zhǔn)確度與精密度是不同的。準(zhǔn)確度指測(cè)定值與真值接近的程度。精密度指測(cè)定值與平均值接近的程度。測(cè)定的精密度不好,就不可能有良好的準(zhǔn)確度。精密度好的測(cè)定,即使準(zhǔn)確度不高,但能找到系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因并加以校正,就能得到準(zhǔn)確的結(jié)果。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的精準(zhǔn)度隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)分布1.頻數(shù)分布隨機(jī)誤差是具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律的,服從一定的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律。表頻數(shù)分布表

分組73747474757576767677其他頻數(shù)033122538253301

例:通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得113個(gè)數(shù)據(jù),經(jīng)整理得以下頻數(shù)分布表。2.隨機(jī)誤差的特性若測(cè)定中不存在系統(tǒng)誤差,則測(cè)定的平均值可作為被測(cè)量的真值的估計(jì)值。同樣條件,同樣方法進(jìn)行很多次的測(cè)定時(shí),隨機(jī)誤差有以下特性:

隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)分布(1)對(duì)稱(chēng)性:絕對(duì)值相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)大致相等。(2)單峰性:絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)少,而絕對(duì)值小的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多。(3)有界性:在一定試驗(yàn)條件下的有限測(cè)定中,其誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的界限。(4)抵償性:在同一條件下對(duì)同一個(gè)量進(jìn)行測(cè)定,其誤差的算術(shù)平均值隨著測(cè)定次數(shù)的無(wú)限增加而趨于零,既誤差平均值極限為零。3.1隨機(jī)誤差的正態(tài)分布隨機(jī)誤差的出現(xiàn)是遵循正態(tài)分布規(guī)律的。各個(gè)測(cè)得值出現(xiàn)的概率密度分布可以用正態(tài)分布函數(shù)來(lái)表達(dá)。隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)分布ｘ:表示測(cè)量值μ:總體均值,既無(wú)限次測(cè)定數(shù)據(jù)的平均值σ：正態(tài)分布的總體標(biāo)準(zhǔn)差σ2：正態(tài)分布的方差f(x)σ＝1σ＝2正態(tài)分布密度函數(shù)隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)分布3.2正態(tài)分布曲線的特性

(一)正態(tài)分布曲線是以算數(shù)平均數(shù)μ為原點(diǎn),向左右兩側(cè)作對(duì)稱(chēng)分布,所以它是一個(gè)對(duì)稱(chēng)曲線。（二)從原點(diǎn)μ=0所豎立的縱軸是最大值(y0)。

(三)正態(tài)分布的多數(shù)測(cè)定值集中于算術(shù)平均數(shù)μ附近,離平均數(shù)越遠(yuǎn),其相應(yīng)的次數(shù)越少;且在相等處具有相等次數(shù);在以上其次數(shù)極少。

(四)正態(tài)分布曲線在處有“拐點(diǎn)”曲線兩尾向左右伸展,永不接觸橫軸,所以當(dāng)x→±∞時(shí),分布曲線以x軸為漸進(jìn)線,因之曲線全距從－∞到＋∞

。fN(x)μμ-1σμ+1σ68.26％μ-2σμ+2σμ-3σμ+3σ95.46％3.2正態(tài)分布曲線的特性(五)正態(tài)分布曲線是以參數(shù)μ和σ的不同而表現(xiàn)為一系列曲線,所以它是一個(gè)曲線系統(tǒng)而不僅僅是一個(gè)曲線。μ確定它在x軸上的位置,而σ確定它的變異度,不同μ和σ的正態(tài)總體具有不同的曲線位置和變異度,所以任何一個(gè)特定正態(tài)曲線必須在其μ和σ確定后才能確定。隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)分布0-1-2-312345μ＝0、μ＝1、μ＝2的正態(tài)分布0σ＝1σ＝2σ＝3σ＝1、σ＝2、σ＝3的正態(tài)分布(六)正態(tài)分布曲線與x軸之間的總面積等于1,因此在曲線下x軸的任何定值,例如從x=x1到x=x2之間的面積,等于x落在這個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率。4.隨機(jī)誤差的區(qū)間概率正態(tài)分布曲線和橫軸所夾的面積表示全部數(shù)據(jù)出現(xiàn)概率的總和顯然應(yīng)當(dāng)是100%,既為1。記為隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)分布（4.1）測(cè)定值x出現(xiàn)在區(qū)間[a,b]的概率P(a≦ｘ≦ｂ）就等于直線x=a,x=b與正態(tài)分布曲線,坐標(biāo)橫軸所包圍的面積,即(4.2)ab上式公式中的橫坐標(biāo)x改用u表示,u定義為（4.3）這便是均值為μ,標(biāo)準(zhǔn)差為σ的正態(tài)分布變成了均值為0,標(biāo)準(zhǔn)差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,其分布密度涵數(shù)變?yōu)?4.4)隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)分布

4.隨機(jī)誤差的區(qū)間概率隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)分布在本書(shū)附錄B-1列有正態(tài)分布表,計(jì)算出不同u值的f（u）曲線所包圍的面積的值。表中給出的積分值為（4.5）例:某測(cè)定值的誤差服從正態(tài)分布,以知測(cè)定標(biāo)準(zhǔn)差σ＝2.5,求測(cè)定值的誤差位于區(qū)間(-3,3)的概率。

解:由題意,xa-μ=-3,xb-μ=3。按式進(jìn)行變換隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)分布于是原題化為求u處于區(qū)間(-1.2,1.2)的表準(zhǔn)正態(tài)分布的概率。1.2-1.2σ＝1由附錄B-1查得ka=1.2的概率α,P（u≧1.2）=α=0.1151由于正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性P（u≧1.2）和P（u≦-1.2）的概率是相同的。所以,u處于區(qū)間(-1.2,1.2)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率是:1-2*0.1151=0.7698隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)分布于是原題化為求u處于區(qū)間(-1,1)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率。由附錄B-1查得ka=1的概率α,P（u≧1）=α=0.1587所以,u處于區(qū)間(-1,1)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率是:1-2*0.1587=0.6828同樣,誤差位于區(qū)間(-2σ,2σ),(-3σ,3σ)的概率分別為

P(｜u｜≦2）＝1-2

P（u≧2）＝1－2*0.0228＝0.9544P(｜u｜≦2）＝1-2

P（u≧3）＝1－2*0.00135＝0.9973例:求測(cè)定值的誤差位于區(qū)間(-σ,σ)的概率。解:由題意,｜x-μ｜=σ。

｜u｜＝（｜x-μ｜）/σ＝1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)分布

從以上的結(jié)果可以看出,測(cè)定值的誤差落在區(qū)間(-3σ,3σ)的概率是很大的,接近于1。而落在這個(gè)區(qū)間以外的概率是1-0.9973=0.0027,就是說(shuō)1000次測(cè)定中,出現(xiàn)誤差的絕對(duì)值大于三倍標(biāo)準(zhǔn)差的機(jī)會(huì)不超過(guò)三次。所以,把誤差的絕對(duì)值等于三倍表準(zhǔn)差稱(chēng)為最大誤差。例:假設(shè)x乃一隨機(jī)變數(shù)具有正態(tài)分布,平均數(shù)μ＝30,標(biāo)準(zhǔn)差σ=5,試計(jì)算X小于26,小于40的概率,區(qū)間(26,40)的概率以及大于40概率。解:1.首先計(jì)算小于26的概率。隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)分布-0.8μ＝00.8μ＝0必須先將x轉(zhuǎn)換為u值,把本例的正態(tài)分布轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。由公式(4.3)u=(x-μ）/σ得

u=（x-30)/5=(26-30)/5=-0.8;這樣原題化為求u處于區(qū)間(-∞,-0.8)的概率。因?yàn)檎龖B(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性,

P(u≦-0.8）的概率等于P(u≧0.8）的概率。查附錄B-1正態(tài)分布表0.8可得P(x≦26）=0.2119解:2.小于40的概率,同樣u=(x-30)/5=(40-30)/5=2.0。

P(u≦2.0）=1-P(u≧2.0）查附錄B-1,u=2.0時(shí)P(u≧2.0）=0.0228

P(u≦2.0）=1-P(u≧2.0）=0.9772,所以小于40的概率

P（x≦40)=0.9772。隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)分布μ＝02.03.處于區(qū)間(26,40)的概率P(26<x<40)=P(-0.8<u<2.0)=0.9772-0.2119=0.76544.大于40的概率P(x>40)=1-P(x<40)=1-0.9772=0.0228μ＝02.0-0.8μ＝02.0有效數(shù)字可靠的幾位數(shù)字再加上可疑的一位數(shù)字統(tǒng)稱(chēng)為有效數(shù)字。有效數(shù)字是指一個(gè)近似結(jié)果具有實(shí)際意義的數(shù)字。在圖中三角形所指的長(zhǎng)度為1.28cm,其中1.2cm為至可靠的數(shù)字,0.08cm為估計(jì)值也就是可疑數(shù)字。把長(zhǎng)度寫(xiě)成1.286cm是錯(cuò)誤的。因?yàn)?0.006cm是沒(méi)有什么實(shí)際意義的數(shù)字。0123?cm用臺(tái)稱(chēng)稱(chēng)量某一物體時(shí)重量為12.0(g),該稱(chēng)量的最大絕對(duì)誤差為±0.1(g),因此這個(gè)量的記錄結(jié)果應(yīng)當(dāng)是

12.0(g)或?qū)懗?2.0±0.1,

12.0的最后一位是有誤差的,其真實(shí)重量在11.9~12.1(g)之間。若將這個(gè)測(cè)量結(jié)果寫(xiě)為12.01或11.99等都是沒(méi)有意義。2.50有三位有效數(shù)字2.5有二位有效數(shù)字0.025有二位有效數(shù)字0.0250有三位有效數(shù)字1.00有三位有效數(shù)字54000取三位有效數(shù)字時(shí)寫(xiě)成5.40×104有效數(shù)字

當(dāng)一個(gè)近似值的有效數(shù)字的位數(shù)確定后,其余數(shù)字應(yīng)按照“四舍六入五單雙”的原則。有效數(shù)字大于五,前進(jìn)1。小于五,舍下去。恰好是五要考慮,五后非零前進(jìn)一;若是五后全為零,要看五前是偶奇;五前為偶則舍棄,五前為奇前加一。例:下面數(shù)字取三位有效數(shù)28.748→28.728.381→28.428.750→28.828.650→28.6在多數(shù)情況下,表示誤差的有效數(shù)字最多可取兩位。在計(jì)算平均值時(shí),若為4個(gè)或多于4個(gè)數(shù)取平均數(shù),則平均數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)可增加1位。有效數(shù)字

1、加減運(yùn)算時(shí),其結(jié)果小數(shù)點(diǎn)后的位數(shù),應(yīng)與參與運(yùn)算的近似值小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少的項(xiàng)相同。

2、乘除運(yùn)算時(shí),其結(jié)果的有效數(shù)字應(yīng)與近似值中有效數(shù)字位數(shù)最少者相同。有效數(shù)字

3、乘方、開(kāi)方運(yùn)算中,原近似值有幾位有效數(shù)字,計(jì)算結(jié)果就保留幾位有效數(shù)字。

4、在對(duì)數(shù)計(jì)算中,所得結(jié)果小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)與真數(shù)的有效數(shù)字的位數(shù)應(yīng)相同。

5、在計(jì)算平均值時(shí),若為4個(gè)或多于4個(gè)數(shù)取平均數(shù),則平均數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)可增加1位。

6、常數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)可以認(rèn)為是無(wú)限的,實(shí)際運(yùn)算中需要幾位就取幾位。7、一般在工程計(jì)算中，取2～3位有效數(shù)字。有效數(shù)字間接測(cè)定的誤差估計(jì)對(duì)測(cè)量精密度較高,且容易測(cè)量的量我們可以進(jìn)行直接測(cè)量。而對(duì)于那些不能直接測(cè)量或不太容易測(cè)量的量,就借助于已知的函授關(guān)系來(lái)計(jì)算。這樣,從測(cè)得數(shù)據(jù)到計(jì)算結(jié)果,就存在著誤差傳遞問(wèn)題。

這個(gè)式表示,當(dāng)x1,x2,??????,xm有微小改變量dx1,dx2,???dxm時(shí),函授y的改變量為dy。若把dx1,dx2,???dxm看做各直接測(cè)定量的誤差,其中叫做誤差傳遞系數(shù)?？傉`差的大小取決于每個(gè)測(cè)量誤差的大小,還取決于誤差傳遞系數(shù)。???????????????????????（1）誤差傳遞的基本公式1.誤差傳遞的基本公式如果間接測(cè)定量y是各直接測(cè)定量x1,x2,?????,xm的函授,即且各直接測(cè)定量相互獨(dú)立,則對(duì)上式求全微分得間接測(cè)定的誤差估計(jì)

2.誤差的方和根合成公式當(dāng)各直接測(cè)定量的誤差為純粹的誤差,且標(biāo)準(zhǔn)差為已知是,我們可以推導(dǎo)出誤差的方和根公式。設(shè)為了求間接測(cè)定量的結(jié)果,對(duì)各直接測(cè)定量分別進(jìn)行了N次等精度測(cè)定。由誤差傳遞的基本公式(1)可知,第j次測(cè)量得間接測(cè)定量的誤差為????（2）兩邊平方,得???（3）如果x1,x2,??????,xm是相互獨(dú)立的量,當(dāng)n→∞時(shí),右邊的非平方項(xiàng)的加和為零。于是間接測(cè)定的誤差估計(jì)上式兩邊除N,再結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)差的定義有??????（4）這就是誤差的方和根公式,又稱(chēng)隨機(jī)誤差傳遞公式。函授y求全微分,然后d

改為σ、右邊各項(xiàng)分別平方再加和并開(kāi)平方,這就是求一個(gè)函授的方和根合成公式的全過(guò)程。間接測(cè)定的誤差估計(jì)例1.求對(duì)數(shù)函授y=lnx的隨即誤差傳遞公式。d改為σ所以得

解:例2.求函授y=x/w的隨即誤差傳遞公式。(方和根合成公式)d改為σ得求微分得兩邊平方得解:兩邊取對(duì)數(shù)lny=lnx-lnw,求全微分兩邊平方得間接測(cè)定的誤差估計(jì)當(dāng)直接測(cè)定量的誤差主要是系統(tǒng)誤差,

而其正負(fù)號(hào)又不可能確定,或假定隨即誤差在極端的條件下合成時(shí),可將誤差傳遞基本公式3.

誤差的算數(shù)合成公式中的記號(hào)“d”改為“Δ”,并將右端各項(xiàng)取絕對(duì)值相加,即可得到誤差的算數(shù)合成公式:間接測(cè)量中,有兩個(gè)問(wèn)題是經(jīng)常碰到:第一,已知直接測(cè)定量的測(cè)定值及其誤差,計(jì)算間接測(cè)定量的誤差。第二,預(yù)先給定間接測(cè)定量所允許的誤差,計(jì)算各直接測(cè)定量所允許的誤差。4.誤差估計(jì)的應(yīng)用

1)求間接測(cè)定量的誤差例1.用流體重力稱(chēng)衡法測(cè)固體密度的公式為

已知:m=27.06±0.02（ｇ）m1＝17.03±0.02（ｇ）

ρ0＝0.9997±0.0003（ｇ/ｃｍ3）求:ρ及σρ

解:

間接測(cè)定的誤差估計(jì)兩邊求對(duì)數(shù)lnρ=lnm–

ln(m–m1)+lnρ0求全微分整理得間接測(cè)定的誤差估計(jì)4.誤差估計(jì)的應(yīng)用

所以有代入已知數(shù)據(jù)已知數(shù)據(jù)代入原公式得4.誤差估計(jì)的應(yīng)用例2:間接測(cè)量一圓柱的體積V,測(cè)得直徑和高分別為求間接測(cè)定量體積V及按誤差方和根合成公式計(jì)算的誤差σｖ按算數(shù)合成公式計(jì)算的ΔV。解:

間接測(cè)定的誤差估計(jì)D=0.80±0.01（cm)H=1.02±0.01（ｃｍ）圓柱體體積的計(jì)算公式為取對(duì)數(shù)求全微分所以有484.誤差估計(jì)的應(yīng)用

間接測(cè)定的誤差估計(jì)代入已知數(shù)據(jù)用誤差算術(shù)合成公式計(jì)算,得49間接測(cè)定的誤差估計(jì)例3:實(shí)驗(yàn)測(cè)得鹽溶液中鹽的濃度C=172.4±0.3(kg/m3),容積V=0.825±0.005(m3),試求溶液中鹽的重量W及誤差σw。解:W=C×V=172.4×0.825=142兩邊取對(duì)數(shù)lnW=lnC+lnV求全微分所以50間接測(cè)定的誤差估計(jì)例4:已知間接測(cè)定量由實(shí)驗(yàn)測(cè)得求N的結(jié)果及其誤差σN。解:兩邊取對(duì)數(shù)求全微分所以上面例子中的σV和ΔV都是表示間接測(cè)定量的誤差的。由計(jì)算的結(jié)果可以看出,由于采用誤差合成公式的不同,得到誤差的結(jié)果也不同。當(dāng)直接測(cè)定量?jī)H有一個(gè)時(shí),用誤差的方和根合成和算術(shù)合成公式計(jì)算,所得到的間接測(cè)定量誤差的大小是相同的。當(dāng)直接測(cè)定量是兩個(gè)或兩個(gè)以上時(shí),算術(shù)合成得到的誤差偏大,而方和根合成得到的誤差則小一些。間接測(cè)定的誤差估計(jì)4.誤差估計(jì)的應(yīng)用直接測(cè)定量的誤差主要是系統(tǒng)誤差,其正負(fù)號(hào)不能確定,或在要求不太嚴(yán)格的情況下,可用誤差的算術(shù)合成來(lái)估計(jì)總誤差。若直接測(cè)定量的誤差主要是隨即誤差,特別是在直接測(cè)定量較多時(shí),最好采用誤差方和根合成來(lái)估計(jì)總誤差。4.誤差估計(jì)的應(yīng)用間接測(cè)定的誤差估計(jì)2)直接測(cè)定量所允許的測(cè)定誤差按一定的研究方案進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí),怎樣選取儀器的精密度。就是求直接測(cè)定量所允許的測(cè)定誤差的問(wèn)題。很多時(shí),常用等效法。這一方法假定各個(gè)直接測(cè)定量對(duì)間接測(cè)定量的誤差貢獻(xiàn)均相等,即假定各分誤差項(xiàng)相等。4.誤差估計(jì)的應(yīng)用間接測(cè)定的誤差估計(jì)間接測(cè)定的誤差估計(jì)4.誤差估計(jì)的應(yīng)用

根據(jù)常用等效法,把隨機(jī)誤差傳遞(誤差的方和根)公式

中右邊各分誤差項(xiàng),可以用來(lái)代替,得由各分誤差相等的假設(shè),可以得計(jì)算出各直接測(cè)定量所允許的誤差間接測(cè)定的誤差估計(jì)

4.誤差估計(jì)的應(yīng)用例1:在用圖解積分法作吸收塔計(jì)算時(shí),三角形的面積S要用兩邊及其所夾的角來(lái)計(jì)算。這些量的近似值分別為a=12cm,b=10cm,A=38°若要求間接測(cè)定量三角形的面積準(zhǔn)確到0.5(cm3),試計(jì)算各直接測(cè)定量所允許的誤差。(求σa,σb,σA)Aab解:以題意三角形的面積函授取對(duì)數(shù)求全微分,得4.誤差估計(jì)的應(yīng)用間接測(cè)定的誤差估計(jì)所以有采用等效法,令代入已知數(shù)據(jù)得間接測(cè)定的誤差估計(jì)4.誤差估計(jì)的應(yīng)用結(jié)果表明,當(dāng)邊長(zhǎng)a,b及其夾角A的測(cè)定誤差分別不大于0.094(cm),0.078(cm),和0.35°時(shí),可保證所得面積S的誤差不超過(guò)0.5(cm2)。在實(shí)際測(cè)定中,對(duì)各測(cè)定量的實(shí)際誤差還可以進(jìn)行調(diào)整。對(duì)于技術(shù)上困難大,經(jīng)濟(jì)上耗費(fèi)大的測(cè)定項(xiàng)目,其測(cè)定精度的要求可降低一些。而對(duì)于容易測(cè)定的量,其測(cè)定精度可以適當(dāng)高一些,即要求其誤差小一些。只要滿足間接測(cè)定量的誤差不大于所給定的誤差就可以了。間接測(cè)定的誤差估計(jì)4.誤差估計(jì)的應(yīng)用例2:在用圖解積分作吸收塔計(jì)算時(shí),三角形的面積S要用兩邊及其所夾的角來(lái)計(jì)算。這些量的近似值分別為a=12±0.01（cm）,b=10±0.01（cm）,A=38°若要求間接測(cè)定量三角形的面積準(zhǔn)確到0.5(cm3),試計(jì)算間接測(cè)定量角度A所允許的誤差。(求σA)解:由的隨即誤差傳遞公式知:間接測(cè)定的誤差估計(jì)4.誤差估計(jì)的應(yīng)用所以有要使減小總誤差,必需減小各項(xiàng)分誤差,即提高各項(xiàng)測(cè)定量的精度。單個(gè)項(xiàng)分誤差精度再高也不能減小總誤差。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)整理

1.數(shù)據(jù)處理中常用的幾個(gè)概念

總體:研究對(duì)象的全體,即具有共同性質(zhì)的個(gè)體所組成的集團(tuán)。

個(gè)體:研究對(duì)象的一個(gè)單體稱(chēng)為個(gè)體。在實(shí)際研究工作當(dāng)中對(duì)某一量進(jìn)行測(cè)量時(shí),一般只做有限的幾次測(cè)量。即在總體中抽取部分個(gè)體,用以研究總體的性質(zhì)。抽選的個(gè)體的集合體,在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中稱(chēng)為子樣(或樣本)。每個(gè)字樣所包含的個(gè)體數(shù)目,通常稱(chēng)為容量。字樣中的個(gè)體稱(chēng)為元素。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)整理2.子樣的均值與標(biāo)準(zhǔn)差我們可以用從總體抽取的子樣去研究該總體,利用子樣的信息來(lái)作出關(guān)于總體的推斷。一般來(lái)說(shuō),通過(guò)子樣來(lái)要推斷總體。①首先要有較好的抽樣方法,使抽得的一些個(gè)體,能很好地反映總體的情況。這就要貫徹隨即抽樣的原則,即各次抽取應(yīng)該是彼此獨(dú)立的,總體中的每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)是均等的。同時(shí),子樣的容量也不能太少。②其次,要計(jì)算出子樣的特征數(shù),用它們?nèi)ネ茢嗫傮w的特征數(shù)。常用的特征數(shù)有兩類(lèi),一類(lèi)是表示數(shù)據(jù)集中性的特征數(shù),常用的有算術(shù)平均值。另一類(lèi)是表示數(shù)據(jù)離散性的特征數(shù).常用的有方差。即子樣元素值與子樣平均值之偏差的平方和的平均值。算術(shù)平均值子樣方差實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)整理2.子樣的均值與標(biāo)準(zhǔn)差子樣方差的開(kāi)平方為子樣標(biāo)準(zhǔn)差,為了得到總體方差的無(wú)偏估計(jì)量,必須對(duì)子樣方差作點(diǎn)修改,即n-1來(lái)代替子樣方差中的n,并記為S2,S2稱(chēng)為子樣修正方差。相應(yīng)地有子樣修正標(biāo)準(zhǔn)差。即經(jīng)常把S2和S分別叫做子樣方差和子樣標(biāo)準(zhǔn)差(或簡(jiǎn)稱(chēng)標(biāo)準(zhǔn)差)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)整理3.均值與方差的點(diǎn)估計(jì)在實(shí)際問(wèn)題中,根據(jù)子樣的數(shù)據(jù),計(jì)算出的子樣特征數(shù)與S2,通常用來(lái)作為相應(yīng)總體特征數(shù)的估計(jì)量。對(duì)于服從正態(tài)分布的總體而言,均值為μ,方差為σ2

。當(dāng)子樣是從一正態(tài)分布的總體中隨即抽出的一部分時(shí),可用子樣平均值去估計(jì)該總體的均值μ,而用于子樣方差S2去估計(jì)總體方差σ2,這在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中稱(chēng)為點(diǎn)估計(jì),即,其中“^”為估計(jì)量的符號(hào)。當(dāng)我們用作為總體估計(jì)量μ或用S2作為總體估計(jì)量σ2時(shí),子樣特征數(shù)應(yīng)滿足這樣的要求,即它的數(shù)學(xué)期望(統(tǒng)計(jì)平均)應(yīng)當(dāng)?shù)扔谒烙?jì)的參數(shù)本身,即這個(gè)要求稱(chēng)為無(wú)偏性。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)整理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)整理所謂無(wú)偏估計(jì),當(dāng)然不是說(shuō)用無(wú)偏估計(jì)量來(lái)估計(jì)不產(chǎn)生偏離,只是說(shuō)由于子樣數(shù)據(jù)算出的估計(jì)值離被估計(jì)值很近,由不同子樣得到的估計(jì)值在被估計(jì)值附近波動(dòng),大量估計(jì)值的平均值能夠消除估計(jì)值對(duì)被估計(jì)值的偏離。正是根據(jù)子樣平均值是總體均值的無(wú)偏估計(jì)值這一觀點(diǎn),如測(cè)定值的分布服從正態(tài)分布,則算術(shù)平均值即為一組等精度測(cè)量中的最佳值或最可信賴(lài)值。換句話說(shuō),算術(shù)平均值很接近真值μ(總體均值)。3.均值與方差的點(diǎn)估計(jì)解:由左邊得證明算術(shù)平均值與測(cè)定值偏差的平方和最小。即設(shè)有一不等于算術(shù)平均值的任一數(shù)A,則必有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)整理3.均值與方差的點(diǎn)估計(jì)3.均值與方差的點(diǎn)估計(jì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)整理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)整理3.均值與方差的點(diǎn)估計(jì)移項(xiàng)得3.均值與方差的點(diǎn)估計(jì)因A≠,又n是正整數(shù),則必有即所以已得證算術(shù)平均值與測(cè)定值偏差的平方和最小。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)整理3.均值與方差的點(diǎn)估計(jì)介紹平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差常用下式表示,即這個(gè)公式表明了平均值的標(biāo)準(zhǔn)差與子樣標(biāo)準(zhǔn)差S的關(guān)系。當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)S不變時(shí),n增大,算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差減小,亦即用作為估計(jì)的精度高。在分析測(cè)定時(shí),測(cè)定次數(shù)n(子樣容量)不能太小,否則算術(shù)平均值的誤差將增大。S不變時(shí),n>5以后,子樣均值的標(biāo)準(zhǔn)差隨n的增大而減小得很慢。這就是說(shuō),單靠增加觀測(cè)次數(shù)來(lái)提高實(shí)驗(yàn)的精密度是不夠的。這就意味著,要把更多的精力用來(lái)改進(jìn)測(cè)試技術(shù),往往比重復(fù)老一套的測(cè)試精度不高的測(cè)量更有意義。因此,在實(shí)際測(cè)定某一量時(shí),由于多方面條件的限制,重復(fù)測(cè)定的次數(shù)n很少超過(guò)50次,一般在3~20次左右。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)整理4.平均值與標(biāo)準(zhǔn)差的基本性質(zhì)性質(zhì)1.對(duì)子樣的每一個(gè)值同乘以一常數(shù)a,由此得到的平均值或標(biāo)準(zhǔn)差要相應(yīng)地除以這個(gè)常數(shù)a,才是原子樣的平均值或標(biāo)準(zhǔn)差。對(duì)性質(zhì)1的證明如下:設(shè),證明,證明:因?yàn)樗詫?shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)整理4.平均值與標(biāo)準(zhǔn)差的基本性質(zhì)證明因?yàn)樗詫?shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)整理4.平均值與標(biāo)準(zhǔn)差的基本性質(zhì)性質(zhì)2.對(duì)子樣的每一個(gè)值同加一個(gè)常數(shù)b,由此得到的標(biāo)準(zhǔn)差與原子樣的標(biāo)準(zhǔn)差相同,而得到的平均值要減去這個(gè)常數(shù)b,才是原子樣的平均值。對(duì)性質(zhì)2的證明如下:設(shè)

,證明

,

證明:因?yàn)樗詫?shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)整理4.平均值與標(biāo)準(zhǔn)差的基本性質(zhì)證明S=S`證明:因?yàn)樗詫?shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)整理根據(jù)子樣平均值與標(biāo)準(zhǔn)差的上述性質(zhì),我們對(duì)一些太大,太小或有小數(shù)的測(cè)定值進(jìn)行有關(guān)變換,可使子樣平均值與標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算簡(jiǎn)化。常用的變換公式為:相應(yīng)地有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)整理5.平均值與標(biāo)準(zhǔn)差的算法由于算術(shù)平均值與標(biāo)準(zhǔn)差在數(shù)據(jù)處理中占有特殊的地位,所以在實(shí)際運(yùn)算中碰到計(jì)算算術(shù)平均值與標(biāo)準(zhǔn)差的機(jī)會(huì)特別多。介紹幾種算法1)直接公式法按算術(shù)平均值的原始定義式和標(biāo)準(zhǔn)差的原始定義式計(jì)算的方法。例:分析容渣中二氧化硅的含量,4次測(cè)定值分別為28.5,28.6,28.2,28.3。求測(cè)定結(jié)果的平均值與標(biāo)準(zhǔn)差。解:5.平均值與標(biāo)準(zhǔn)差的算法2）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的導(dǎo)出公式法為了提高計(jì)算精度和簡(jiǎn)化計(jì)算其間,我們可以導(dǎo)出以下公式或者寫(xiě)成實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)整理代入5.平均值與標(biāo)準(zhǔn)差的算法例:分析容渣中而氧化硅的含量,4次測(cè)定值分別為28.5,28.6,28.2,28.3。求測(cè)定結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差。解:利用公式實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)整理5.平均值與標(biāo)準(zhǔn)差的算法3)平均值與標(biāo)準(zhǔn)差的簡(jiǎn)易算法當(dāng)原始數(shù)據(jù)有效數(shù)字位數(shù)很多時(shí),一種簡(jiǎn)便的計(jì)算方法是將原始數(shù)據(jù)按進(jìn)行變換,計(jì)算出變換后數(shù)據(jù)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差,最后按比例和分別將平均值和標(biāo)準(zhǔn)差還原。

選擇b的原則是測(cè)定量的數(shù)據(jù)中出現(xiàn)頻率最多的數(shù)或是接近平均值的一個(gè)任意數(shù)。選擇a的原則是使變換后的數(shù)據(jù)為有效數(shù)字最少的整數(shù)。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)整理例:測(cè)得某污水樣的pH值如下表所示。求這組數(shù)據(jù)的平均值與標(biāo)準(zhǔn)差。5.平均值與標(biāo)準(zhǔn)差的算法3)平均值與標(biāo)準(zhǔn)差的簡(jiǎn)易算法

12.71-52522.760032.793942.782452.760062.8263672.782482.74-2492.7600102.74-24Σ

486序號(hào)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)整理解:b=2.76,a=100,即6.

均值的置信區(qū)間用相同的方法重復(fù)測(cè)定某一量,在消除系統(tǒng)誤差的情況下,測(cè)定值的算術(shù)平均值,可作為這個(gè)量的真值μ的估計(jì)值。測(cè)定次數(shù)愈多,即子樣容量n愈大,平均值與真值就越接近。當(dāng)測(cè)定次數(shù)無(wú)窮時(shí),平均值就是這個(gè)量的真值。當(dāng)然,實(shí)際上測(cè)定無(wú)窮多次是做不到的。我們可以根據(jù)有限次測(cè)定數(shù)據(jù)的平均值去估計(jì)真值μ。但畢竟是

。那么子樣平均值與總體平均值到底相差多少呢？這就需要估計(jì)其誤差。我們令均值μ的估計(jì)量的誤差的絕對(duì)值為我們給出一個(gè)置信概率(或稱(chēng)置信度),求總體均值在這個(gè)置信概率下的所在范圍(區(qū)間),這個(gè)范圍稱(chēng)為置信區(qū)間?？梢杂孟率奖硎睛痰墓烙?jì)量或等價(jià)地寫(xiě)成這個(gè)公式表示估計(jì)量的誤差落在區(qū)間(-ε,ε)中的概率為(1-α)。再進(jìn)一步寫(xiě)成公式表示在置信概率為(1-α)時(shí)的均值μ的置信區(qū)間是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)整理置信區(qū)間表示估計(jì)結(jié)果的精確程度,置信概率則表示結(jié)果的可靠程度。6.

均值的置信區(qū)間為了確定均值μ在某一置信概率下的置信區(qū)間,需要計(jì)算中的ε。這里需要引入一個(gè)新的變量。隨機(jī)變量t有如下的概率密度函授這個(gè)分布叫做具有自由度為f=n-1的t分布。t分布對(duì)于t=0是對(duì)稱(chēng)的,t分布的概率密度取決于子樣的容量n和t的值。利用t

分布可以導(dǎo)出實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)整理6.

均值的置信區(qū)間即式中所以結(jié)合算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算式所以上式可寫(xiě)成將式代入下式得對(duì)應(yīng)置信概率(1-α)的均值μ的置信區(qū)間如下:常把置信區(qū)間表示為利用附錄B-2,可以查到對(duì)應(yīng)已給的置信概率(1-α),自由度f(wàn)=n-1的ta,f的值,從而求得均值μ的置信區(qū)間。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)整理6.

均值的置信區(qū)間求得均值μ的置信區(qū)間的最體做法如下:(1)問(wèn)題的給出:原始數(shù)據(jù),子樣容量n,置信概率(1-a)。(2)由a,f=(n-1)查附錄B-2,得ta,f(3)有原始數(shù)據(jù)計(jì)算平均值和標(biāo)準(zhǔn)差S

(4)計(jì)算ε(5)寫(xiě)出置信區(qū)間,或者寫(xiě)成,并表示置信概率。

例1.在指定條件下,對(duì)某物理量測(cè)定得數(shù)據(jù):11,12,12,8,8,13,13,

14,14,15,試分別求出置信概率為0.90和0.99時(shí)均值的置信區(qū)。解:已知n=10,1-α1＝0.90、1-α2＝0.99,則f=n-1=9,

α1=1-0.90=0.10,α2=1-0.99=0.01查附錄B-2得,實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)整理6.

均值的置信區(qū)間由原始數(shù)據(jù),得當(dāng)置信概率分別為90%和99%時(shí),該物理量的置信區(qū)間分別為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)整理6.

均值的置信區(qū)間例:為檢驗(yàn)?zāi)骋缓恿髦恤~(yú)被汞污染的情況,從一些魚(yú)中隨機(jī)抽取一些魚(yú)樣,測(cè)定魚(yú)組織中的汞含量,得到測(cè)定結(jié)果如下(ppm):2.06,1.93,2.12,2.16,1.89,1.95,試從測(cè)定數(shù)據(jù)估計(jì)這批魚(yú)汞含量在置信概率為0.95的范圍()。解:已知條件1-a=0.95,a=0.05,f=n-1=6-1=5查附錄B-2得由原始數(shù)據(jù)得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)整理所以,這批魚(yú)的汞含量范圍位為我們可以說(shuō)“根據(jù)這次試驗(yàn),有95%的把握說(shuō),這批魚(yú)的汞含量在1.89~2.15ppm之內(nèi)”。79實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)整理7.

異常數(shù)據(jù)的取舍當(dāng)我們著手整理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí),必須先解決一個(gè)重要問(wèn)題,那就是異常數(shù)據(jù)取舍的問(wèn)題。整理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)往往會(huì)遇到這種情況,即在一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)里發(fā)現(xiàn)少數(shù)幾個(gè)偏差特別大的數(shù)據(jù),如果這些數(shù)據(jù)是因?yàn)樽x錯(cuò),記錯(cuò),算錯(cuò),儀器震動(dòng)等等因素影響而造成的壞值可以有充分的理由將其舍棄。但是,如果為了得到精度更高的結(jié)果,而人為地舍掉一些偏差大一點(diǎn),但不是屬于壞值的值,這是錯(cuò)誤的。那么這樣處理這些數(shù)據(jù)呢？一般要用統(tǒng)計(jì)判別法。統(tǒng)計(jì)判別法是建立在測(cè)定值遵從正態(tài)分布與隨機(jī)抽樣理論基礎(chǔ)之上的。統(tǒng)計(jì)判別法要舍棄的壞值的數(shù)目,相對(duì)于子樣的容量是極少數(shù)。如果需舍棄的異常數(shù)據(jù)較多時(shí),那就要對(duì)測(cè)定的正確性提出懷疑。下面介紹幾種統(tǒng)計(jì)判別法的準(zhǔn)則。1)拉依達(dá)準(zhǔn)則拉依達(dá)準(zhǔn)則又可稱(chēng)為3S準(zhǔn)則。根據(jù)拉依達(dá)準(zhǔn)則,在一組等精度獨(dú)立測(cè)定值中,若某個(gè)值xd的偏差的絕對(duì)值大于三倍標(biāo)準(zhǔn)差,即則可以認(rèn)為xd是壞值,需舍棄之。在實(shí)際判斷中,只要可疑數(shù)據(jù)xd是在區(qū)間以外,則舍棄xd。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)整理7.

異常數(shù)據(jù)的取舍1)拉依達(dá)準(zhǔn)則解:

由標(biāo)準(zhǔn)差的公式例:測(cè)量某溶液中某一物理量,整理測(cè)量數(shù)據(jù)如下102,98,99,97,100,140,95,100,98,96,102,101,101,102,102,99試用拉依達(dá)準(zhǔn)則檢驗(yàn)測(cè)定值140是否為壞值?。即140是否在以外。根據(jù)原始數(shù)據(jù)計(jì)算得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)整理7.

異常數(shù)據(jù)的取舍1)拉依達(dá)準(zhǔn)則由于測(cè)定值140在區(qū)間(70.9,133.1)以外,故應(yīng)舍棄之。拉依達(dá)準(zhǔn)則使用方便,當(dāng)測(cè)定次數(shù)較多,即子樣容量較大時(shí),或?qū)z驗(yàn)的精度要求不高時(shí),可以用它。但當(dāng)測(cè)定次數(shù)較少時(shí),如n≦10,一組測(cè)定值中即使有壞值也無(wú)法剔除。當(dāng)精度要求較高時(shí),可用2S準(zhǔn)則。證明n≦10時(shí),用拉依達(dá)準(zhǔn)則是無(wú)法剔除壞值。證明:當(dāng)n≦10時(shí)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)整理7.

異常數(shù)據(jù)的取舍1)拉依達(dá)準(zhǔn)則因?yàn)樗愿鶕?jù)拉依達(dá)準(zhǔn)則,測(cè)定值中,若某個(gè)值xd的偏差的絕對(duì)值大于三倍標(biāo)準(zhǔn)差,即則可以認(rèn)為xd是壞值,需舍棄之。所以n≦10時(shí),用拉依達(dá)準(zhǔn)則是無(wú)法剔除壞值。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)整理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)整理7.

異常數(shù)據(jù)的取舍2)肖維特(Chauvent)準(zhǔn)則在一組等精度測(cè)定數(shù)據(jù)中,若可疑數(shù)據(jù)xd的偏差滿足下面的不等式,即

或等價(jià)地有,當(dāng)xd在區(qū)間以外,則可認(rèn)為xd是壞值,應(yīng)舍棄之。Wn的值取決于子樣容量n。

nWnnWnnWn31.38132.07232.3041.53142.10242.3151.65152.13252.3361.73162.15262.3971.80172.17272.4981.86182.20282.5891.92192.22292.71101.96202.24302.81112.00212.26313.02122.03222.28323.20表1.肖維特系數(shù)表7.

異常數(shù)據(jù)的取舍2)肖維特(Chauvent)準(zhǔn)則實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)整理例:測(cè)得某品位的礦石中鐵含量的數(shù)據(jù)如下1.52,1.46,1.61,1.55,1.49,1.68,1.46,1.83,1.50,1.54試用肖維特準(zhǔn)則判斷1.83是否應(yīng)當(dāng)舍棄。解:查肖維特系數(shù)表n=10時(shí),W10=1.96,由原始數(shù)據(jù)計(jì)算得由于1.83在區(qū)間(1.329,1.799)以外,故測(cè)定值1.83是壞值,應(yīng)當(dāng)舍棄。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)整理7.

異常數(shù)據(jù)的取舍3)格拉布斯(Grubbs)準(zhǔn)則考慮到置信概率(置信度),格拉布斯嚴(yán)格地推導(dǎo)出,當(dāng)或等價(jià)地有,當(dāng)xd落在區(qū)間以外,則可認(rèn)為xd是壞值,應(yīng)當(dāng)舍棄之。取決于子容量n和小概率事件的概率。在用格拉布斯準(zhǔn)則時(shí),通常取。

n0.010.05n0.010.05n0.010.0531.151.15122.552.29212.912.5841.491.46132.612.33222.942.6051.751.67142.662.37232.962.6261.941.82152.702.41242.992.6472.11.94162.742.44253.012.6682.222.03172.782.47263.102.7492.322.11182.822.50273.182.81102.412.18192.852.53283.242.87112.482.24202.882.56293.342.96aaa格拉布斯數(shù)值表實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)整理7.

異常數(shù)據(jù)的取舍3)格拉布斯(Grubbs)準(zhǔn)則對(duì)某一物理量進(jìn)行15次等精度測(cè)定,其結(jié)果如下:0.60,1.56,1.70,1.76,1.78,1.87,1.95,2.06,2.10,2.18,2.20,2.39,2.48,2.63,3.01使用格拉布斯準(zhǔn)則判斷其中有無(wú)壞值，3.01是不是壞值。解:選定α=0.05,查格拉布斯數(shù)值表得:由于測(cè)定值0.60落在區(qū)間(0.692,3.344)以外,故根據(jù)格拉布斯準(zhǔn)則,可將0.60舍棄。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)整理7.

異常數(shù)據(jù)的取舍3)格拉布斯(Grubbs)準(zhǔn)則求x15=3.01是不是壞值。解:剔除0.60以后,則子樣容量變?yōu)閚=15-1=14,查格拉布斯數(shù)值表得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)整理7.

異常數(shù)據(jù)的取舍3)格拉布斯(Grubbs)準(zhǔn)則由于可疑數(shù)據(jù)3.01在區(qū)間(1.171,3.067)以?xún)?nèi),故不能作為壞值剔除。8.

整理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè)定某一熱交換器里水垢中的Fe2O3的含量,在相同條件下測(cè)定6次的數(shù)據(jù)如下:79.58,79.45,79.47,79.50,79.62,79.38,寫(xiě)報(bào)告實(shí)驗(yàn)結(jié)果解:在這組數(shù)據(jù)中沒(méi)有異常數(shù)據(jù),直接對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。計(jì)算得對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)按有效數(shù)字計(jì)算規(guī)則記錄,并對(duì)其中的可疑數(shù)據(jù)進(jìn)行恰當(dāng)?shù)娜∩岷?還需要進(jìn)一步整理。首先要求出子樣的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差,然后用數(shù)值表示對(duì)總體均值的估計(jì)結(jié)果。有兩種表示形式,一種是另一種是另一種置信概率為95%2.1列表法將試驗(yàn)數(shù)據(jù)列成表格，將各變量的數(shù)值依照一定的形式和順序一一對(duì)應(yīng)起來(lái)（1）試驗(yàn)數(shù)據(jù)表①記錄表試驗(yàn)記錄和試驗(yàn)數(shù)據(jù)初步整理的表格表中數(shù)據(jù)可分為三類(lèi)：原始數(shù)據(jù)中間數(shù)據(jù)最終計(jì)算結(jié)果數(shù)據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的表圖表示法原始數(shù)據(jù)番號(hào)試料名アンモニア態(tài)

硝酸態(tài)窒素?zé)o機(jī)態(tài)窒素1吹込１年0～20ｃｍ22.4364.9387.32吹込１年20～40ｃｍ20.3239.4259.73吹込１年40～60ｃｍ19.3129.0148.34無(wú)吹込１年0～20ｃｍ37.8300.2338.15無(wú)吹込１年20～40ｃｍ29.8177.7207.56無(wú)吹込１年40～60ｃｍ25.8110.5136.37吹込2年0～20ｃｍ25.7326.8352.58吹込2年20～40ｃｍ20.2220.1240.39吹込2年40～60ｃｍ20.8165.0185.810無(wú)吹込2年0～20ｃｍ33.0289.0322.111無(wú)吹込2年20～40ｃｍ23.2140.7163.912無(wú)吹込2年40～60ｃｍ22.494.8117.213吹込3年0～20ｃｍ23.9256.7280.614吹込3年20～40ｃｍ23.5238.8262.315吹込3年40～60ｃｍ21.5219.3240.716無(wú)吹込3年0～20ｃｍ33.7247.4281.117無(wú)吹込3年20～40ｃｍ24.6165.1189.718無(wú)吹込3年40～60ｃｍ22.1128.0150.1深度（cm)深層吹入法對(duì)照2025.733.04020.223.26020.822.4中間數(shù)據(jù)最終計(jì)算結(jié)果數(shù)據(jù)SampleNoHorizonParticledensityBulkdensityPorositypHOrganicmatterTotalNAvailabilityP(Mg/m3)(Mg/m3)(%)(g/kg)(g/kg)(mg/kg)M1Ap2.581.4543.88.014.31.187.7B2.571.4643.27.212.91.032.3C2.581.4842.66.317.11.526.6M2Ap7.023.11.284.7B7.513.10.823.6Table2.PhysicochemicalPropertyofSalinesoils.（2）說(shuō)明：三部分：表名、表頭、數(shù)據(jù)資料

必要時(shí)，在表格的下方加上表外附加

表名應(yīng)放在表的上方，主要用于說(shuō)明表的主要內(nèi)容，為了引用的方便，還應(yīng)包含表號(hào)

表頭常放在第一行或第一列，也稱(chēng)為行標(biāo)題或列標(biāo)題，它主要是表示所研究問(wèn)題的類(lèi)別名稱(chēng)和指標(biāo)名稱(chēng)數(shù)據(jù)資料：表格的主要部分，應(yīng)根據(jù)表頭按一定的規(guī)律排列表外附加通常放在表格的下方，主要是一些不便列在表內(nèi)的內(nèi)容，如指標(biāo)注釋、資料來(lái)源、不變的試驗(yàn)數(shù)據(jù)等試驗(yàn)數(shù)據(jù)的表圖表示法SampleNoHorizonParticledensityBulkdensityPorositypHOrganicmatterTotalNAvailabilityP(Mg/m3)(Mg/m3)(%)(g/kg)(g/kg)(mg/kg)M1Ap2.581.4543.88.014.31.187.7B2.571.4643.27.212.91.032.3C2.581.4842.66.317.11.526.6M2Ap7.023.11.284.7B7.513.10.823.6Table2.PhysicochemicalPropertyofSalinesoils.(表名)表頭數(shù)據(jù)資料注：Ap深度為15cm,B深度為8cm，C深度為20cm。表外附加Fig.1.SamplingsitesinNortheasternPartofChina①SampleM3～M5,M8,M10～M12wascollected②SampleM7andM9wascollected③SampleM1andM2wascollected④SampleM6wascollected②結(jié)果表示表表達(dá)試驗(yàn)結(jié)論應(yīng)簡(jiǎn)明扼要試驗(yàn)數(shù)據(jù)的表圖表示法（3）注意：表格設(shè)計(jì)應(yīng)簡(jiǎn)明合理、層次清晰，以便閱讀和使用；數(shù)據(jù)表的表頭要列出變量的名稱(chēng)、符號(hào)和單位；要注意有效數(shù)字位數(shù)；試驗(yàn)數(shù)據(jù)較大或較小時(shí)，要用科學(xué)記數(shù)法來(lái)表示，并記入表頭，注意表頭中的與表中的數(shù)據(jù)應(yīng)服從下式：數(shù)據(jù)的實(shí)際值×10±n＝表中數(shù)據(jù)；數(shù)據(jù)表格記錄要正規(guī)，原始數(shù)據(jù)要書(shū)寫(xiě)得清楚整齊，要記錄各種試驗(yàn)條件，并妥為保管。試驗(yàn)數(shù)據(jù)的表圖表示法2.2.1常用數(shù)據(jù)圖（1）線圖（linegraph/chart）表示因變量隨自變量的變化情況

線圖分類(lèi)：?jiǎn)问骄€圖：表示某一種事物或現(xiàn)象的動(dòng)態(tài)復(fù)式線圖：在同一圖中表示兩種或兩種以上事物或現(xiàn)象的動(dòng)態(tài)，可用于不同事物或現(xiàn)象的比較2.2圖示法試驗(yàn)數(shù)據(jù)的表圖表示法圖1高吸水性樹(shù)脂保水率與時(shí)間和溫度的關(guān)系試驗(yàn)數(shù)據(jù)的表圖表示法圖2某離心泵特性曲線試驗(yàn)數(shù)據(jù)的表圖表示法（2）XY散點(diǎn)圖（scatterdiagram）表示兩個(gè)變量間的相互關(guān)系散點(diǎn)圖可以看出變量關(guān)系的統(tǒng)計(jì)規(guī)律圖3散點(diǎn)圖試驗(yàn)數(shù)據(jù)的表圖表示法（3）條形圖和柱形圖用等寬長(zhǎng)條的長(zhǎng)短或高低來(lái)表示數(shù)據(jù)的大小，以反映各數(shù)據(jù)點(diǎn)的差異兩個(gè)坐標(biāo)軸的性質(zhì)不同數(shù)值軸：表示數(shù)量性因素或變量分類(lèi)軸：表示的是屬性因素或非數(shù)量性變量

圖4不同提取方法提取率比較試驗(yàn)數(shù)據(jù)的表圖表示法分類(lèi)：?jiǎn)问剑褐簧婕耙粋€(gè)事物或現(xiàn)象復(fù)式：涉及到兩個(gè)或兩個(gè)以上的事物或現(xiàn)象

圖5不同提取方法對(duì)兩種原料有效成分提取率效果比較試驗(yàn)數(shù)據(jù)的表圖表示法（4）圓形圖和環(huán)形圖①圓形圖（circlechart）也稱(chēng)為餅圖（piegraph）表示總體中各組成部分所占的比例只適合于包含一個(gè)數(shù)據(jù)系列的情況餅圖的總面積看成100%，每3.6°圓心角所對(duì)應(yīng)的面積為1%，以扇形面積的大小來(lái)分別表示各項(xiàng)的比例圖6全球天然維生素E消費(fèi)比例試驗(yàn)數(shù)據(jù)的表圖表示法②環(huán)形圖（circulardiagram）每一部分的比例用環(huán)中的一段表示

可顯示多個(gè)總體各部分所占的相應(yīng)比例，有利于比較圖7全球合成、天然維生素E消費(fèi)比例比較試驗(yàn)數(shù)據(jù)的表圖表示法（5）三角形圖（ternary）

常用于表示三元混合物各組分含量或濃度之間的關(guān)系

三角形：等腰Rt△、等邊△、不等腰Rt△等頂點(diǎn)：純物質(zhì)邊：二元混合物三角形內(nèi)：三元混合物MABS●xAxSxB＝1－xA－xS●圖8等腰直角三角形坐標(biāo)圖試驗(yàn)數(shù)據(jù)的表圖表示法ABCxCxBxA●xAxAxCxCxBxBMEF圖9等邊三角形坐標(biāo)圖試驗(yàn)數(shù)據(jù)的表圖表示法（6）三維表面圖（3Dsurfacegraph）