同步優(yōu)化設(shè)計(jì)2024年高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何3.1空間向量基本定理課后篇鞏固提升含解析北師大版選擇性必修第一冊(cè)

第三章空間向量與立體幾何§3空間向量基本定理及空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示3.1空間向量基本定理課后篇鞏固提升合格考達(dá)標(biāo)練1.在四面體O-ABC中,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一點(diǎn),且OG=3GG1,若OG=xOA+yOB+zOC,則(x,y,z)為()A.14,1C.13,1答案A解析如圖所示,連接AG1并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E,則E為BC的中點(diǎn),AE=12(AB+AC)=12(OB因?yàn)镺G=3GG1=3(OG1則OG=34O所以(x,y,z)為142.已知O,A,B,C為空間不共面的四點(diǎn),且向量a=OA+OB+OC,向量b=OA+OB-OC,A.OA B.OBC.OC D.OA答案C解析∵a=OA+OB+OC,∴OC=12(a-b),∴OC與向量a,∴OC,a,b不能構(gòu)成空間的一組基.3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,設(shè)AB=a,AD=b,AA1=c,A1C1與B1D1的交點(diǎn)為E,則BE=答案-12a+12b解析如圖,BE==AA1+12(AD-AB)4.若a=e1+e2,b=e2+e3,c=e1+e3,d=e1+2e2+3e3,若e1,e2,e3不共面,當(dāng)d=αa+βb+γc時(shí),α+β+γ=.

答案3解析由已知d=(α+γ)e1+(α+β)e2+(γ+β)e3,所以α+γ=1,α+β=2,5.如圖所示,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,MA=-13AC,ND=13A1D,設(shè)AB=a,AD=b,AA1解連接AN,則MN=由已知可得四邊形ABCD是平行四邊形,從而可得AC=AB+AD=MA=-13AC=-13(a又A1D=AD-故AN=AD+DN=AD-ND=所以MN=MA+AN=-13(a+b)+b-13(b-c)=13(-等級(jí)考提升練6.{a,b,c}為空間向量的一組基,則下列各選項(xiàng)中,能構(gòu)成空間向量的一組基的是()A.{a,a+b,a-b}B.{b,a+b,a-b}C.{c,a+b,a-b}D.{a+b,a-b,a+2b}答案C解析對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)?a+b)+(a-b)=2a,所以a,a+b,a-b共面,不能構(gòu)成基,解除A;對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)?a+b)-(a-b)=2b,所以b,a+b,a-b共面,不能構(gòu)成基,解除B;對(duì)于選項(xiàng)D,a+2b=32(a+b)-12(a-b),所以a+b,a-b,a+2b共面,不能構(gòu)成基,對(duì)于選項(xiàng)C,若c,a+b,a-b共面,則c=λ(a+b)+μ(a-b)=(λ+μ)a+(λ-μ)b,則a,b,c共面,與{a,b,c}為空間向量的一組基相沖突,故c,a+b,a-b不共面,可以構(gòu)成空間向量的一組基,故選C.7.如圖,在三棱錐O-ABC中,點(diǎn)D是棱AC的中點(diǎn),若OA=a,OB=b,OC=c,則BD等于()A.12a-b+12B.a+b-cC.a-b+c D.-12a+b-1答案A解析由題意可知BD=BO+OD=12OA+所以BD=12a-b+故選A.8.(多選題)已知{a,b,c}是空間的一組基,下列向量中,可以與2a-b,a+b構(gòu)成空間的一組基的向量是()A.2a B.-bC.c D.a+c答案CD9.(多選題)若{a,b,c}是空間的一組基,則下列選項(xiàng)中能構(gòu)成空間的一組基的是()A.{a,2b,3c} B.{a+b,b+c,c+a}C.{a+2b,2b+3c,3a-9c} D.{a+b+c,b,c}答案ABD解析由于a,b,c不共面,依據(jù)空間向量基本定理可推斷A,B,D中三個(gè)向量也不共面,可以構(gòu)成空間的一組基.對(duì)于C,有3(2b+3c)+(3a-9c)=3(a+2b),故這三個(gè)向量是共面的,不能構(gòu)成空間的一組基.10.(多選題)給出下列命題,其中正確命題有()A.空間隨意三個(gè)不共面的向量都可以作為一組基B.已知向量a∥b,則a,b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一組基C.A,B,M,N是空間四點(diǎn),若BA,BM,BN不能構(gòu)成空間的一組基,那么點(diǎn)A,B,D.已知向量{a,b,c}是空間的一組基,若m=a+c,則{a,b,m}也是空間的一組基答案ABCD解析選項(xiàng)A中,依據(jù)空間向量的基的概念,可得隨意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一組基,所以A正確;選項(xiàng)B中,依據(jù)空間的基的概念,可得B正確;選項(xiàng)C中,由BA,BM,BN不能構(gòu)成空間的一組基,又由BA,BM,BN過相同點(diǎn)B,可得A,B,M,N四點(diǎn)共面,選項(xiàng)D中,由{a,b,c}是空間的一組基,則基向量a,b與向量m=a+c肯定不共面,所以可以構(gòu)成空間的另一組基,所以D正確.故選ABCD.11.已知S是△ABC所在平面外一點(diǎn),D是SC的中點(diǎn),若BD=xSA+ySB+zSC,則x+y+z=.

答案-1解析如圖,依據(jù)條件BD=12(BC+BS又BD=xSA+ySB+zSC,∴由空間向量基本定理得x+y+z=0-1+12=-112.平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,向量AB,AD,AA1兩兩的夾角均為60°,且|AB|=1,|AD|=2,|AA1|=3,答案5解析由題可得AC∴AC12=AB2+AD2+AA12+2AB·AD+2AB·AA1+2AD·AA1=12+22+32+2cos60°13.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F,G,H分別是CC1,BC,CD和A1C1的中點(diǎn).證明:(1)AB1∥GE,AB1⊥EH;(2)A1G⊥平面EFD.證明(1)設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,AB=i,AD=j,AA1=則{i,j,k}構(gòu)成空間的一組基.AB1=AB+GE=GC+CE=12i+12k=EH=EC1+C1H=12k+-12(i∵AB1·EH=(i+k)·-12i-12j+12k=-12|i(2)A1G=A1A+ADDF=DC+CF=i-12j,DE=∴A=-12|j|2+12|i|2=0,∴A1G⊥A=-12|k|2+12|i|2∴A1G⊥DE.又DE∩DF=D,∴A1G⊥平面EFD.新情境創(chuàng)新練14.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,D1B1的中點(diǎn),求證:EF⊥平面B1AC.證明設(shè)AB=a,