專題02平面向量與復(fù)數(shù)

專題02平面向量與復(fù)數(shù)一、單選題1．（2023·遼寧·校聯(lián)考三模）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】先計(jì)算出，再利用求出答案.【詳解】根據(jù)題意，得，所以，故.故選：．2．（2023·寧夏銀川·六盤山高級(jí)中學(xué)?？既＃┮阎?，且，其中a，b為實(shí)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先算出,再代入計(jì)算,實(shí)部與虛部都為零解方程組即可【詳解】由,結(jié)合復(fù)數(shù)相等的充要條件為實(shí)部、虛部對(duì)應(yīng)相等，得,即故選:3．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考三模）已知，為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由可得，利用復(fù)數(shù)的乘法可化簡(jiǎn)得出復(fù)數(shù).【詳解】因?yàn)?，則.故選：C.4．（2023·廣西玉林·統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量為(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，與實(shí)軸正向的夾角為120°，且復(fù)數(shù)z的模為2，則復(fù)數(shù)z為（

）A．1＋i B．2C． D．－1＋i【答案】D【分析】由復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)向量與x軸正向夾角，及復(fù)數(shù)的模，應(yīng)用復(fù)數(shù)的三角表示寫出對(duì)應(yīng)坐標(biāo)，進(jìn)而寫出復(fù)數(shù)z代數(shù)形式.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x,y)，則，，∴復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，∴．故選：D.5．（2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考三模）如圖，在中，D是BC邊上一點(diǎn).Р是線段AD的中點(diǎn)，且.則（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)和可得，結(jié)合B、D、C三點(diǎn)共線可得，即可求解.【詳解】因?yàn)槭蔷€段AD的中點(diǎn)，且，所以，得，又B、D、C三點(diǎn)共線，所以，得.故選：A.6．（2023·天津·三模）設(shè)、，若（為虛數(shù)單位）是一元二次方程的一個(gè)虛根，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】分析可知實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)虛根分別為、，利用韋達(dá)定理可求得、的值，即可得解.【詳解】因?yàn)槭菍?shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)虛根，則該方程的另一個(gè)虛根為，由韋達(dá)定理可得，所以.故選：C.7．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考三模）設(shè)復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】?jī)蛇呁艘缘墓曹棌?fù)數(shù)，然后化簡(jiǎn)運(yùn)算求得，進(jìn)而得解.【詳解】,∴，∴，故選：A8．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)定義即可求得結(jié)果.【詳解】由得：，，.故選：B.9．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．2 B． C．3 D．5【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：B10．（2023·貴州黔東南·凱里一中校考三模）在△ABC中，已知，M為線段AB的中點(diǎn)，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可得求得，而，，然后計(jì)算化簡(jiǎn)可求得結(jié)果.【詳解】如圖，∵，，∵，，∴，故選：B．11．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？既＃┰O(shè)復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)的除法，代入計(jì)算即可.【詳解】由題意，，故.故選：B.12．（2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考三模）設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．2 B．1 C． D．2【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則及復(fù)數(shù)的模公式即可求解.【詳解】由，得，所以.故選：A.13．（2023·河北衡水·河北衡水中學(xué)?？既＃┰谥?，，，，則直線通過的（

）A．垂心 B．外心 C．重心 D．內(nèi)心【答案】D【分析】根據(jù)向量的加法的幾何意義，結(jié)合菱形的對(duì)角線為相應(yīng)角的平分線，得到在的角平分線上，從而作出判定.【詳解】因?yàn)?∴，設(shè),則，又，∴在的角平分線上，由于三角形中,

故三角形的邊上的中線，高線，中垂線都不與的角平分線重合，故經(jīng)過三角形的內(nèi)心，而不經(jīng)過外心，重心，垂心，故選D.14．（2023·河北衡水·河北衡水中學(xué)?？既＃┰O(shè)復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】注意到，計(jì)算得代數(shù)形式，可得答案.【詳解】，，則其在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，即在第四象限.故選：D15．（2023·河北唐山·統(tǒng)考三模）正方形邊長(zhǎng)為，為中點(diǎn)，點(diǎn)在上，，則（

）A． B． C．5 D．10【答案】C【分析】設(shè)，以為基向量表示出，然后由求出的值可得答案.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，，因?yàn)檎叫芜呴L(zhǎng)為，，所以，解得，所以，故選：C16．（2023·河北唐山·統(tǒng)考三模）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得答案.【詳解】復(fù)數(shù)，則.故選：B.17．（2023·重慶·統(tǒng)考三模）在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】化簡(jiǎn)可得，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出答案.【詳解】因?yàn)椋?，在?fù)平面上，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為.故選：C.18．（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考三模）若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部為（

）A．3 B． C．3 D．【答案】C【分析】先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再利用共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的概念求解.【詳解】因?yàn)?，所以，則的虛部是，故選：C．19．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)，i為虛數(shù)單位，則z的共軛復(fù)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算公式求復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，再求其共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】，所以z的共軛復(fù)數(shù)為，故選：B.20．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考三模）如圖所示，邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中，若（），（），則關(guān)于的說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，取到最大值 B．當(dāng)或1時(shí)，取到最小值C．，使得 D．，為定值【答案】D【分析】先由條件利用表示向量，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求，由此判斷各選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，因?yàn)闉檫呴L(zhǎng)為的等邊三角形，所以，所以，所以，為定值，D正確；A，B，C錯(cuò)誤.故選：D.21．（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知是單位向量，向量滿足與成角，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)，由已知與的夾角為可得，由正弦定理得，從而可求的取值范圍.【詳解】設(shè)，如圖所示：則由，又與的夾角為，.又由，由正弦定理，得，，，，故選：C二、多選題22．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)，下列命題正確的是（

）A． B．若，則C． D．若，則為實(shí)數(shù)【答案】AC【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式、共軛復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的乘方，結(jié)合舉反例，可得答案.【詳解】對(duì)于A，設(shè)，則，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，，，，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，，，當(dāng)或時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：AC.23．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則（

）A．B．是直角三角形C．在方向上的投影向量的坐標(biāo)為D．與垂直的單位向量的坐標(biāo)為或【答案】ABD【分析】根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示求出可判斷A；求出向量、以及的模，根據(jù)勾股定理逆定理可判斷B；根據(jù)投影向量的定義求出在方向上的投影向量可判斷C；根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示求出與垂直的單位向量，判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以，A正確因?yàn)?，所以，所以，即為直角三角形，B正確；設(shè)與同向的單位向量為，，所以在方向上的投影向量為，C錯(cuò)誤；因?yàn)椋O(shè)與垂直的單位向量為，則，解得或，故與垂直的單位向量的坐標(biāo)為或，D正確，故選：ABD．三、填空題24．（2023·上海浦東新·統(tǒng)考三模）空間向量的單位向量的坐標(biāo)是__________．【答案】【分析】單位向量只需根據(jù)即可求出.【詳解】，，.故答案為：25．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）已知向量，，且，則__________．【答案】16【分析】由向量的坐標(biāo)運(yùn)算得，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，解?故答案為：16．26．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考三模）在平行四邊形中，若，則___________.【答案】4【分析】根據(jù)四邊形ABCD為平行四邊形可得，然后由數(shù)量積的坐標(biāo)表示可解.【詳解】因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以又所以所以故答案為：427．（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考三模）已知平面向量，若，則__________.【答案】【分析】求出，由垂直關(guān)系列出方程，求出答案.【詳解】，因?yàn)?，所以，解?故答案為：28．（2023·遼寧·校聯(lián)考三模）已知向量，，且，則______.【答案】【分析】由向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算，得到，再利用模的坐標(biāo)公式求.【詳解】已知向量，，，∵，∴，解得，∴，.故答案為：29．（2023·