第31講直線與直線垂直（教師版）

第31課直線與直線垂直目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀1.借助長(zhǎng)方體，了解空間中直線與直線垂直的關(guān)系.2.理解并掌握異面直線所成的角，會(huì)求任意兩條直線所成的角．1、本節(jié)內(nèi)容包含異面直線所成的角的定義，以及直線與直線垂直教材以正方體為載體，讓學(xué)生直觀認(rèn)識(shí)空間直線的位置關(guān)系和異面直線所成的角的定義通過(guò)平移來(lái)研究異面直線所成的角是研究空間圖形的一種基本思路，即把空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題2.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，為學(xué)生后面學(xué)習(xí)空間直線、平面的垂直關(guān)系打下基礎(chǔ)，同時(shí)更好地提升學(xué)生直觀想象和邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01回顧兩直線的位置關(guān)系1．異面直線(1)定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線．(2)畫法：2．兩條直線的位置關(guān)系3．兩個(gè)定理(1)基本事實(shí)4①文字語(yǔ)言：平行于同一條直線的兩條直線平行．②符號(hào)語(yǔ)言：直線a，b，c，a∥b，c∥b?a∥c.③作用：證明空間兩條直線平行．(2)等角定理①內(nèi)容：如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．②作用：證明兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．4．平面內(nèi)兩直線的夾角(1)定義：平面內(nèi)兩條直線相交形成4個(gè)角，其中不大于90°的角稱為這兩條直線所成的角(或夾角)；規(guī)定兩直線平行時(shí)夾角為0°，垂直時(shí)夾角為90°.(2)范圍：兩條直線夾角α的取值范圍是0°≤α≤90°.【即學(xué)即練1】若空間三條直線a，b，c滿足a⊥b，b∥c，則直線a與c()A．一定平行 B．一定垂直C．一定是異面直線 D．一定相交答案B解析∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.知識(shí)點(diǎn)02異面直線所成的角1．定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．2．空間兩條直線所成角α的取值范圍：0°≤α≤90°.【即學(xué)即練2】如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是DD1，AB，CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1E與GF所成的角是()A．90°B．60°C．45°D．30°答案A解析如圖，連接B1G，∵A1E∥B1G，∴∠FGB1為異面直線A1E與GF所成的角或其補(bǔ)角．連接FB1，在△FB1G中，B1F＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))2＋AA\o\al(2,1))＝eq\r(5)，B1G＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AA1))2＋AD2)＝eq\r(2)，F(xiàn)G＝eq\r(CF2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AA1))2)＝eq\r(3)，B1F2＝B1G2＋FG2.∴∠FGB1＝90°，即異面直線A1E與GF所成的角為90°.知識(shí)點(diǎn)03直線與直線垂直如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直．直線a與直線b互相垂直，記作a⊥b.【即學(xué)即練2】如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F(xiàn)分別是BD1和AD的中點(diǎn)．求證：CD1⊥EF.證明如圖，取CD1的中點(diǎn)G，連接EG，DG.∵E是BD1的中點(diǎn)，∴EG∥BC，EG＝eq\f(1,2)BC，∵F是AD的中點(diǎn)，且AD∥BC，AD＝BC，∴DF∥BC，DF＝eq\f(1,2)BC，∴EG∥DF，EG＝DF，∴四邊形EFDG是平行四邊形，∴EF∥DG，∴∠DGD1(或其補(bǔ)角)是異面直線CD1與EF所成的角．又∵A1A＝AB，∴四邊形ABB1A1，四邊形CDD1C1都是正方形，又G為CD1的中點(diǎn)，∴DG⊥CD1，∴∠D1GD＝90°，∴異面直線CD1與EF所成的角為90°，∴CD1⊥EF.能力拓展能力拓展考法01異面直線所成的角【典例1】如圖，在正方體ABCD－EFGH中，O為側(cè)面ADHE的中心，求：(1)BE與CG所成的角；(2)FO與BD所成的角．解(1)∵CG∥FB，∴∠EBF是異面直線BE與CG所成的角．在Rt△EFB中，EF＝FB，∴∠EBF＝45°，∴BE與CG所成的角為45°.(2)如圖，連接FH，∵FB∥AE，F(xiàn)B＝AE，AE∥HD，AE＝HD，∴FB＝HD，F(xiàn)B∥HD，∴四邊形FBDH是平行四邊形，∴BD∥FH，∴∠HFO或其補(bǔ)角是FO與BD所成的角，連接HA，AF，則△AFH是等邊三角形，又O是AH的中點(diǎn)，∴∠HFO＝30°，∴FO與BD所成的角為30°.反思感悟求兩異面直線所成角的三個(gè)步驟(1)作：根據(jù)所成角的定義，用平移法作出異面直線所成的角．(2)證：證明作出的角就是要求的角．(3)計(jì)算：求角的值，常利用解三角形得出．可用“一作二證三計(jì)算”來(lái)概括．同時(shí)注意異面直線所成角的范圍是0°<θ≤90°.【變式訓(xùn)練】在空間四邊形ABCD中，AB＝CD，且AB與CD所成的角為30°，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，求EF與AB所成角的大?。馊鐖D所示，取AC的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，則EG∥AB且EG＝eq\f(1,2)AB，GF∥CD且GF＝eq\f(1,2)CD.由AB＝CD知EG＝FG，從而可知∠GEF為EF與AB所成的角，∠EGF或其補(bǔ)角為AB與CD所成的角．∵AB與CD所成的角為30°，∴∠EGF＝30°或150°，由EG＝FG知△EFG為等腰三角形，當(dāng)∠EGF＝30°時(shí)，∠GEF＝75°；當(dāng)∠EGF＝150°時(shí)，∠GEF＝15°，故EF與AB所成角的大小為15°或75°.考法02直線與直線垂直【典例2】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，CD1與DC1相交于點(diǎn)O，求證：AO⊥A1B.證明∵ABCD－A1B1C1D1是正方體，∴A1D1平行BC，∴四邊形A1D1CB是平行四邊形，∴A1B∥D1C，∴直線AO與A1B所成角即為直線AO與D1C所成角，如圖，連接AC，AD1，易證AC＝AD1，又O為CD1的中點(diǎn)，∴AO⊥D1C，∴AO⊥A1B.反思感悟要證明兩異面直線垂直，應(yīng)先構(gòu)造兩異面直線所成的角．若能證明這個(gè)角是直角，即得到兩直線垂直．【變式訓(xùn)練】如圖，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E為棱AC的中點(diǎn)，AB＝BB′＝2.求證：BE⊥AC′.證明如圖，取CC′的中點(diǎn)F，連接EF，BF，∵E為AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為CC′的中點(diǎn)，∴EF∥AC′，∴BE和EF所成角為∠BEF，即為異面直線BE與AC′所成角，且EF＝eq\f(1,2)AC′.在正三棱柱ABC－A′B′C′中，AC′＝2eq\r(2)，∴EF＝eq\r(2).在等邊三角形ABC中，BE＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，在Rt△BCF中，BF＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5).在△BEF中BE2＋EF2＝BF2，∴BE⊥EF，即BE⊥AC′.反思感悟平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過(guò)平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來(lái)解決，具體步驟如下：①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；③計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練一、單選題1．一條直線與兩條平行線中的一條為異面直線，則它與另一條()A．相交 B．異面 C．相交或異面 D．平行【答案】C【詳解】如下圖所示,三條直線平行,與異面,而與異面,與相交,故選C.2．在正方體中，異面直線與所成角的大小為A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，則或其補(bǔ)角為所求的異面直線所成的角，利用為等邊三角形可以其大?。驹斀狻咳鐖D，連接，因?yàn)?，所以異面直線與所成的角為或其補(bǔ)角.因?yàn)闉榈冗吶切?，所?故選C.【點(diǎn)睛】空間中的角的計(jì)算，可以建立空間直角坐標(biāo)系把角的計(jì)算歸結(jié)為向量的夾角的計(jì)算，也可以構(gòu)建空間角，把角的計(jì)算歸結(jié)平面圖形中的角的計(jì)算.3．在三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)，G分別是AB，AC，BD的中點(diǎn)，若AD與BC所成的角為60°，則∠FEG為（

）A．30° B．60°C．120° D．60°或120°【答案】D【分析】根據(jù)異面直線的定義找到AD與BC所成的角與∠FEG的關(guān)系，從而得到∠FEG的大小.【詳解】如圖：因?yàn)镋，F(xiàn)，G分別是AB，AC，BD的中點(diǎn)，所以,由于AD與BC是異面直線，根據(jù)異面直線所成角的定義可知，∠FEG為異面直線AD與BC所成角或其補(bǔ)角，因?yàn)锳D與BC所成的角為60°，所以∠FEG為60°或120°.故選：D.【點(diǎn)睛】平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過(guò)平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來(lái)解決，具體步驟如下：①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；③計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角．4．已知直線，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】對(duì)進(jìn)行分類討論，代入求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，直線的斜率，直線的斜率不存在，此時(shí)兩條直線不垂直；當(dāng)時(shí)，直線的斜率，直線的斜率，因?yàn)?，所以，所以，解得?故選：D.5．在正方體中，與垂直的直線是（

）A．AB B．CD C． D．【答案】C【分析】證明平面,從而得到，可得答案.【詳解】連結(jié),則為直線與所成角,在直角三角形中，為銳角，所以與不垂直，選項(xiàng)D不正確.為直線與所成角,在直角三角形中，為銳角，所以與不垂直由，所以與不垂直，故選項(xiàng)A,B不正確.在正方體中,平面，且平面,所以由,所以平面’平面,所以故選:C.6．如圖，已知三棱柱的各條棱長(zhǎng)都相等，且底面，是側(cè)棱的中點(diǎn)，則異面直線和所成的角為()A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意設(shè)棱長(zhǎng)為a，補(bǔ)正三棱柱ABCA2B2C2，構(gòu)造直角三角形A2BM，解直角三角形求出BM，利用勾股定理求出A2M，從而求解．【詳解】設(shè)棱長(zhǎng)為a，補(bǔ)正三棱柱ABCA2B2C2（如圖）．平移AB1至A2B，連接A2M，∠MBA2即為AB1與BM所成的角，在△A2BM中，

．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了異面直線及其所成的角和勾股定理的應(yīng)用，計(jì)算比較復(fù)雜，要仔細(xì)的做．二、多選題7．如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點(diǎn)，則下列敘述錯(cuò)誤的是（

）A．CC1與B1E是異面直線 B．C1C與AE共面C．AE與B1C1是異面直線 D．AE與B1C1所成的角為60°【答案】ABD【分析】根據(jù)異面直線的定義及異面直線的夾角問題可一一判斷.【詳解】由于CC1與B1E都在平面C1B1BC內(nèi)，故C1C與B1E共面，A錯(cuò)誤；由于C1C在平面C1B1BC內(nèi)，而AE與平面C1B1BC相交于E點(diǎn)，點(diǎn)E不在C1C上，故C1C與AE是異面直線，B錯(cuò)誤；同理AE與B1C1是異面直線，C正確；AE與B1C1所成的角就是AE與BC所成的角，而E為BC中點(diǎn)，△ABC為正三角形，所以AE⊥BC，即AE與B1C1所成為90°，D錯(cuò)誤.故選：ABD.三、填空題8．如果異面直線、所成角為，那么的取值范圍是_____________．(用弧度表示)【答案】.【分析】用異面直線所成角的定義判斷.【詳解】過(guò)空間任意一點(diǎn)引兩條直線分別平行于兩條異面直線，它們所成的銳角(或直角)就是異面直線所成的角，故兩異面直線所成角的范圍是.故答案為：.9．在正方體ABCDA1B1C1D1中，異面直線A1B與AD1所成角的大小為______【答案】【分析】先通過(guò)平行尋找線線角，再根據(jù)解三角形得結(jié)果【詳解】因?yàn)锳1B//D1C,所以∠AD1C為異面直線A1B與AD1所成角的平面角,因?yàn)椤鰽D1C為正三角形，所以∠AD1C，即異面直線A1B與AD1所成角的大小為【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.10．已知空間四邊形，連接和，且，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則異面直線和所成的角的余弦值是______．【答案】【分析】取中點(diǎn)，連接，，則異面直線和所成角為或其補(bǔ)角，在中使用余弦定理求解即可.【詳解】如圖，取中點(diǎn)，連接，，∵，分別為，中點(diǎn)，∴，且，∴異面直線和所成角為或其補(bǔ)角，在等邊和等邊中，，∴在中，由余弦定理，有，∴異面直線和所成的角的余弦值為.故答案為：.11．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線.其中正確的結(jié)論為________（填序號(hào)）.【答案】③④【分析】本題直接判斷直線AM與CC1是異面直線，直線與MB1是異面直線，直線AM與DD1是異面直線，用反證法證明直線AM與BN不平行，即可得到答案.【詳解】根據(jù)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的連線與平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線成異面直線，因?yàn)槠矫?，平面，平面，直線不過(guò)點(diǎn)，所以直線AM與CC1是異面直線，同理直線與MB1是異面直線，直線AM與DD1是異面直線，故①錯(cuò)誤，③④正確；若AM與BN是平行直線，取中點(diǎn)，連，則，所以四邊形是平行四邊形，則有，，這與相交矛盾，所以不平行，故②錯(cuò)誤.故答案為：③④.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線，是基礎(chǔ)題.四、解答題12．在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn)，求異面直線DB1與EF所成角的大?。敬鸢浮?0°【分析】先平移后再解三角形即可.【詳解】如圖所示，連接A1C1，B1D1，并設(shè)它們相交于點(diǎn)O，取DD1的中點(diǎn)G，連接OG，A1G，C1G，則OG∥B1D，EF∥A1C1，∴∠GOA1為異面直線DB1與EF所成的角(或其補(bǔ)角)．∵GA1＝GC1，O為A1C1的中點(diǎn)，∴GO⊥A1C1．∴異面直線DB1與EF所成的角為90°．13．如圖，在空間四邊形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，若EF＝，求異面直線AD，BC所成角的大小.【答案】60°【分析】設(shè)G為AC的中點(diǎn),由已知中，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn),若EF＝,根據(jù)三角形中位線定理,我們易求出為異面直線AD、BC所成的角(或其補(bǔ)角)，解三角形EGF即可得到答案．【詳解】如圖，取AC的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G.因?yàn)镋，F(xiàn)，G分別是AB，CD，AC的中點(diǎn)，所以GF∥AD，且GF＝AD，EG∥BC，且EG＝BC，則∠EGF或其補(bǔ)角就是異面直線AD，BC所成的角.因?yàn)锳D＝BC＝2，所以EG＝GF＝1.單獨(dú)看△GEF的平面圖，可得在等腰△GEF中，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥EF于點(diǎn)H，在Rt△GHE中，EG＝1，EH＝EF＝，則sin∠EGH＝，所以∠EGH＝60°，則∠EGF＝2∠EGH＝120°.所以異面直線AD，BC所成的角為∠EGF的補(bǔ)角，即異面直線AD，BC所成的角為60°.14．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求異面直線AC1與B1D1所成的角的大?。敬鸢浮?0°.【分析】利用平行線找到異面直線AC1與B1D1所成的角為∠EOB1,又B1OE為直角三角形，所以異面直線AC1與B1D1所成的角為90°.【詳解】解：如圖，連接A1C1交B1D1于點(diǎn)O，則O為A1C1的中點(diǎn)，取A1A的中點(diǎn)E，連接EO，則，∴∠EOB1為異面直線AC1與B1D1所成的角(或其補(bǔ)角)．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2a.在B1OE中，B1O＝B1D1＝a，B1E＝，EO＝AC1＝a，∵EO2＋B1O2＝B1E2，∴B1OE為直角三角形，且∠EOB1＝90°.∴AC1與B1D1所成的角為90°.【點(diǎn)睛】15．如圖，三棱柱，側(cè)面底面，側(cè)棱，，，點(diǎn)、分別是棱、的中點(diǎn)，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，且滿足，.（1）求證：平面；（2）求證：；【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【分析】設(shè)，（1）由三棱柱中，四邊形為平行四邊形，再根據(jù)線面平行的判定定理得證；（2）由三角形的邊角關(guān)系得，再由面面垂直的性質(zhì)定理求證；（3）由（2）中結(jié)論結(jié)合已知可證平面，再根據(jù)線面角的定義判斷即為與平面所成的角，再利用正余弦定理知識(shí)求解即可.【詳解】（1）證明：設(shè)，連接，，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，則，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，且，所以，，則四邊形為平行四邊形，故，因?yàn)槠矫?，平面，故平面；?）證明：因?yàn)?，，，所以，即，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面底面，所以平面，又平面，故；題組B能力提升練一、單選題1．如圖，正方體中，①與平行；②與垂直；③與垂直．以上三個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是（

）A．①② B．②③ C．③ D．①②③【答案】C【分析】根據(jù)線面平行、線面垂直的判定與性質(zhì)，即可得到正確答案．【詳解】解：對(duì)于①，在正方體中，由圖可知與異面，故①不正確．對(duì)于②，因?yàn)椋淮怪?，所以與不垂直，故②不正確．對(duì)于③，在正方體中，平面，又∵平面，∴與垂直.故③正確．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查線線平行、線線垂直，考查學(xué)生的空間想象能力和對(duì)線面平行、線面垂直的判定與性質(zhì)的理解與掌握，屬基礎(chǔ)題．2．在正方體中，與垂直的直線是（

）A．AB B．CD C． D．【答案】C【分析】證明平面,從而得到，可得答案.【詳解】連結(jié),則為直線與所成角,在直角三角形中，為銳角，所以與不垂直，選項(xiàng)D不正確.為直線與所成角,在直角三角形中，為銳角，所以與不垂直由，所以與不垂直，故選項(xiàng)A,B不正確.在正方體中,平面，且平面,所以由,所以平面’平面,所以故選:C.3．如圖所示，在正方形中，點(diǎn)，分別為邊，的中點(diǎn)，將沿所在直線進(jìn)行翻折，將沿所在直線進(jìn)行翻折，在翻折的過(guò)程中，①點(diǎn)與點(diǎn)在某一位置可能重合；②點(diǎn)與點(diǎn)的最大距離為；③直線與直線可能垂直；

④直線與直線可能垂直.以上說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】將沿所在直線進(jìn)行翻折，將沿所在直線進(jìn)行翻折，在翻折的過(guò)程中，A,C的運(yùn)動(dòng)軌跡分別是圓；AB,AF是以BF為旋轉(zhuǎn)軸的圓錐型側(cè)面；CE,CD是以DE為旋轉(zhuǎn)軸的圓錐型側(cè)面.【詳解】由題意，在翻折的過(guò)程中，A,C的運(yùn)動(dòng)軌跡分別是兩個(gè)平行的圓，所以不能重合，故①不正確；點(diǎn)與點(diǎn)的最大距離為正方形的對(duì)角線,故②正確；由于△ABF和△CDE全等，把△CDE平移使得DC和AB重合，如圖，△ABF繞BF旋轉(zhuǎn)形成兩個(gè)公用底面的圓錐，AB,CD是稍大的圓錐的母線，由于∠ABF小于45°，所以AB,CD的最大夾角為銳角，所以不可能垂直，故③不正確；同理可知，由于∠AFB大于45°，所以AF,BE的最大夾角為鈍角，所以可能垂直，故④正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間位置關(guān)系的判斷，側(cè)重考查直觀想象的核心素養(yǎng).4．正方體，、分別是正方形和的中心，則和所成的角是A． B． C． D．【答案】B【詳解】連接AB1∵E、F分別是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，∴EF∥AB1∵AB∥CD∴∠B1AB為EF和CD所成的角，為45°本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過(guò)平移直線，把異面問題化歸為共面問題來(lái)解決，具體步驟如下：①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；③計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角．5．如圖所示，在正三角形中，分別為各邊的中點(diǎn)，分別為的中點(diǎn).將沿折成三棱錐以后，與所成角的度數(shù)為A． B． C． D．【答案】B【詳解】將△ABC沿DE，EF，DF折成三棱錐以后，I、J分別為BE、DE的中點(diǎn)，則IJ∥側(cè)棱AD，故GH與IJ所成角與側(cè)棱AD與GH所成的角相等；AD為折成三棱錐的側(cè)棱，因?yàn)椤螦HG=60°，故GH與IJ所成角的度數(shù)為60°，故選:B．點(diǎn)睛:本題主要考查異面直線所成的角問題,難度一般．求異面直線所成角的步驟:1平移,將兩條異面直線平移成相交直線．2定角,根據(jù)異面直線所成角的定義找出所成角．3求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函數(shù)求角．4結(jié)論．6．已知正四面體中，為的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值為A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)正四面體A﹣BCD的棱長(zhǎng)為2，取BD的中點(diǎn)N，連結(jié)MN，CN則MN∥AD，∠CMN或其補(bǔ)角是CM與AD所成的角，由此能求出直線CM與AD所成角的余弦值．【詳解】如圖，設(shè)正四面體A﹣BCD的棱長(zhǎng)為2，取BD的中點(diǎn)N，連結(jié)MN，CN，∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴MN∥AD，∴∠CMN或其補(bǔ)角是CM與AD所成的角，設(shè)MN的中點(diǎn)為E，則CE⊥MN，在△CME中，ME，CM＝CN，∴直線CM與AD所成角的余弦值為cos∠CME.故選C．【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．二、多選題7．如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點(diǎn)，則下列敘述錯(cuò)誤的是（

）A．CC1與B1E是異面直線 B．C1C與AE共面C．AE與B1C1是異面直線 D．AE與B1C1所成的角為60°【答案】ABD【分析】根據(jù)異面直線的定義及異面直線的夾角問題可一一判斷.【詳解】由于CC1與B1E都在平面C1B1BC內(nèi)，故C1C與B1E共面，A錯(cuò)誤；由于C1C在平面C1B1BC內(nèi)，而AE與平面C1B1BC相交于E點(diǎn)，點(diǎn)E不在C1C上，故C1C與AE是異面直線，B錯(cuò)誤；同理AE與B1C1是異面直線，C正確；AE與B1C1所成的角就是AE與BC所成的角，而E為BC中點(diǎn)，△ABC為正三角形，所以AE⊥BC，即AE與B1C1所成為90°，D錯(cuò)誤.故選：ABD.8．如圖，兩個(gè)正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，設(shè)M，N分別是AC和AE的中點(diǎn)，那么下列結(jié)論正確的是（

）A． B．平面C． D．異面.【答案】ABC【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量垂直，則其點(diǎn)乘積為零，可得答案；對(duì)于選項(xiàng)B、C、D，根據(jù)中位線的性質(zhì)，可得答案.【詳解】由點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以、、所在直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形ABCD和ADEF的邊長(zhǎng)為，如下圖：對(duì)于A選項(xiàng)，，，，，則直線、的方向向量分別為，，因?yàn)?，所以，即，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，連接，如下圖：因?yàn)辄c(diǎn)分別為的中點(diǎn)，所以在中，，因?yàn)槠矫妫移矫?，所以平面，故B正確；由選項(xiàng)B可知，故C正確；故D錯(cuò)誤；故選：ABC.三、填空題9．如果異面直線、所成角為，那么的取值范圍是_____________．(用弧度表示)【答案】.【分析】用異面直線所成角的定義判斷.【詳解】過(guò)空間任意一點(diǎn)引兩條直線分別平行于兩條異面直線，它們所成的銳角(或直角)就是異面直線所成的角，故兩異面直線所成角的范圍是.故答案為：.10．正四棱錐的所有棱長(zhǎng)均相等，是的中點(diǎn)，那么異面直線與所成的角的余弦值等于_________．【答案】【詳解】試題分析：連接交于，異面直線與所成的角即為與所成的角，設(shè)棱長(zhǎng)為，則，，，,所以,．考點(diǎn)：異面直線所成角的余弦值．11．如圖是一個(gè)正方體的表面展開圖，A、B、D均為棱的中點(diǎn)，C為頂點(diǎn)，在該正方體中，異面直線AB和CD所成角的余弦值為______．【答案】【分析】首先將其還原成正方體，再用平移法找出異面直線所成角（或補(bǔ)角）進(jìn)行求解即可.【詳解】將正方體的表面展開圖還原成正方體，如圖：連接、，因?yàn)锳、B均為棱的中點(diǎn)，所以所以是異面直線AB和CD所成角（或補(bǔ)角），設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，在中，，,故答案為：.12．已知四面體的棱都相等，G為的重心，則異面直線AG與CD所成角的余弦值為__________.【答案】【解析】直線交于取的中點(diǎn)，連接，，可得∠AEF為異面直線與所成的角，再由三角函數(shù)解得.【詳解】解：設(shè)四面體的棱長(zhǎng)為，直線交于取的中點(diǎn)，連接，.由題意知為的中點(diǎn)，所以，所以∠AEF為異面直線與所成的角.由題意知，，則在中，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角，關(guān)鍵是找出線線角，屬于中檔題.四、解答題13．在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn)，求異面直線DB1與EF所成角的大?。敬鸢浮?0°【分析】先平移后再解三角形即可.【詳解】如圖所示，連接A1C1，B1D1，并設(shè)它們相交于點(diǎn)O，取DD1的中點(diǎn)G，連接OG，A1G，C1G，則OG∥B1D，EF∥A1C1，∴∠GOA1為異面直線DB1與EF所成的角(或其補(bǔ)角)．∵GA1＝GC1，O為A1C1的中點(diǎn)，∴GO⊥A1C1．∴異面直線DB1與EF所成的角為90°．題組C培優(yōu)拔尖練1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求異面直線AC1與B