2017年河南省高考數學試卷理科全國新課標

第1頁（共1頁）201７年河南省高考數學試卷(理科）(全國新課標Ⅰ）一、選擇題:本大題共1２小題,每小題５分,共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．１．（5分)已知集合A={ｘ｜ｘ<１}，Ｂ={ｘ|3x＜1},則（）Ａ.Ａ∩Ｂ={x|x<0}Ｂ.Ａ∪B=RC.Ａ∪B={ｘ|x＞１｝Ｄ．A∩B＝?2.（5分）如圖，正方形ＡBCD內的圖形來自中國古代的太極圖．正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱．在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是（）Ａ.B．C.D．3.(５分）設有下面四個命題p1：若復數z滿足∈R，則z∈R;p2：若復數z滿足z2∈R,則z∈Ｒ；p3:若復數z1，z２滿足z１z2∈R,則z１=;p4:若復數ｚ∈Ｒ，則∈R．其中的真命題為()Ａ.p1，p3B.ｐ1，p4Ｃ.ｐ２,p３D.p２，ｐ44．(5分）記Sn為等差數列｛aｎ}的前n項和．若a４+ａ５＝2４,Ｓ６＝４８,則{an}的公差為()A．１Ｂ．2Ｃ.4D．85．（５分）函數f(x)在（﹣∞,+∞)單調遞減，且為奇函數.若f(1）=﹣1,則滿足﹣１≤f（x﹣2）≤１的x的取值范圍是(）A.［﹣2,2]B.［﹣1,１］C.[０,4]D.[1，3］6.（5分）(1+)（１+x）6展開式中x2的系數為(）A.１5B．20C.30D．357．(５分)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2,俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為()A.1０B.1２C.14D.168.（5分)如圖程序框圖是為了求出滿足３ｎ﹣2n>1０00的最小偶數n，那么在和兩個空白框中，可以分別填入(）A.A＞１００0和ｎ=n+1B．A＞100０和n=n+2C．A≤10０0和n＝n+1D．A≤1000和n=n+2９.(5分)已知曲線C１:y＝cosx，Ｃ2：ｙ＝ｓin（2x+)，則下面結論正確的是()Ａ.把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度,得到曲線C2B.把Ｃ1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線Ｃ2C．把Ｃ1上各點的橫坐標縮短到原來的倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向右平移個單位長度,得到曲線C2Ｄ.把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變,再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C２10.(５分)已知Ｆ為拋物線Ｃ：y2=４x的焦點，過Ｆ作兩條互相垂直的直線l１，l2,直線ｌ1與C交于Ａ、B兩點,直線ｌ2與C交于D、E兩點，則|AＢ|+|DE|的最小值為（）Ａ．16B．1４C．1２Ｄ．1011．(5分)設x、y、z為正數，且2x＝3y=5ｚ，則(）A.2x<３y＜5zB.5z<２x<3yＣ.3y＜5z＜2xD．3y<2x<5ｚ12．(5分）幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召,開發(fā)了一款應用軟件.為激發(fā)大家學習數學的興趣，他們推出了“解數學題獲取軟件激活碼”的活動．這款軟件的激活碼為下面數學問題的答案：已知數列1，1,２，１，2，4,1，2,4，8，1,2,4,８,１6,…，其中第一項是２０，接下來的兩項是２0，2１，再接下來的三項是20，21，22,依此類推．求滿足如下條件的最小整數N：N＞1０0且該數列的前Ｎ項和為2的整數冪.那么該款軟件的激活碼是（）A．４40B．３３0C.２20D．11０二、填空題:本題共4小題,每小題５分，共20分.13．（5分)已知向量,的夾角為６0°,｜|=2，||=1，則｜+2|=．14.（5分)設ｘ,y滿足約束條件，則ｚ=３x﹣2y的最小值為．１5.(5分）已知雙曲線C:﹣=１（a>0,b＞0）的右頂點為Ａ,以A為圓心，ｂ為半徑作圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、Ｎ兩點．若∠ＭＡN＝60°，則C的離心率為.16．（5分）如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5ｃｍ,該紙片上的等邊三角形ABＣ的中心為O．D、E、F為圓O上的點，△ＤBC,△ECA,△FAB分別是以BＣ，CＡ,ＡB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA,AＢ為折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D、Ｅ、F重合,得到三棱錐.當△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積(單位：cm３)的最大值為．三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據要求作答．17．（１２分）△ＡＢC的內角A,Ｂ，C的對邊分別為ａ，b,ｃ，已知△ABC的面積為.（１）求sinＢｓinC；（２)若6coｓＢｃosC=1,a=３,求△AＢC的周長.1８．（12分)如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,ＡB∥CD，且∠BAＰ=∠CDP=9０°.(1)證明：平面PAB⊥平面PAＤ;（2）若ＰA=PD＝AB=DＣ,∠ＡPD＝90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．1９．（12分）為了監(jiān)控某種零件的一條生產線的生產過程,檢驗員每天從該生產線上隨機抽取16個零件,并測量其尺寸(單位：cm）.根據長期生產經驗,可以認為這條生產線正常狀態(tài)下生產的零件的尺寸服從正態(tài)分布N（μ，σ2）．（１)假設生產狀態(tài)正常,記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在(μ﹣3σ,μ+3σ）之外的零件數,求P（Ｘ≥1)及X的數學期望；（2)一天內抽檢零件中，如果出現了尺寸在(μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件,就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況,需對當天的生產過程進行檢查．（ⅰ)試說明上述監(jiān)控生產過程方法的合理性;(ⅱ)下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸：9.9510.129．969.96１0．019.9２9.9８10．0410.269．9110．13１0.０29.22１0.041０.059．９5經計算得==9.97，s=＝≈0.212,其中xｉ為抽取的第i個零件的尺寸,i=1,2,…,16.用樣本平均數作為μ的估計值，用樣本標準差s作為σ的估計值,利用估計值判斷是否需對當天的生產過程進行檢查？剔除（﹣3+3)之外的數據,用剩下的數據估計μ和σ（精確到0．01).附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布Ｎ(μ,σ2)，則Ｐ（μ﹣3σ<Ｚ＜μ+3σ）＝０.9974,0.９9７4１6≈0.９592，≈0.０9．20.（12分)已知橢圓C：+＝1（a＞b>0)，四點P1(１,1），P２(0,1），P3(﹣１，）,P４（1，）中恰有三點在橢圓Ｃ上.（１)求Ｃ的方程；（２)設直線ｌ不經過P2點且與Ｃ相交于Ａ,B兩點．若直線P2A與直線P２B的斜率的和為﹣1,證明:l過定點.21．(12分)已知函數ｆ(ｘ)=aｅ２x+(a﹣2)ｅx﹣ｘ.(１）討論f（x）的單調性;（２)若f（ｘ）有兩個零點,求a的取值范圍.［選修４-4，坐標系與參數方程]22.(10分)在直角坐標系xOy中,曲線C的參數方程為，(θ為參數)，直線l的參數方程為，（t為參數）.(１)若a＝﹣１，求Ｃ與l的交點坐標;(２）若Ｃ上的點到ｌ距離的最大值為，求ａ．[選修４-5：不等式選講］２3．已知函數f(ｘ)=﹣ｘ2+aｘ+4,g(x）=|x＋1|+｜x﹣1|.(１）當a＝1時，求不等式f(ｘ）≥ｇ(ｘ)的解集；(２）若不等式ｆ(x)≥g（x）的解集包含[﹣1,1］,求ａ的取值范圍．2017年河南省高考數學試卷（理科）(全國新課標Ⅰ)參考答案與試題解析一、選擇題:本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的．1.(５分）已知集合A=｛x｜x<１}，B={x｜3x＜1},則（）A.Ａ∩Ｂ={x|x<0}B．A∪B＝RC．Ａ∪B={x|x＞1｝D．A∩B＝?【分析】先分別求出集合A和B，再求出A∩B和A∪B,由此能求出結果．【解答】解：∵集合A＝{x｜x<１}，Ｂ=｛x|３x<1｝={ｘ|ｘ<0｝,∴A∩B={x｜x＜0},故A正確,Ｄ錯誤；A∪B={x|x<1｝，故B和C都錯誤．故選:A.【點評】本題考查交集和并集求法及應用，是基礎題，解題時要認真審題,注意交集、并集定義的合理運用．2.(5分)如圖，正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖．正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱.在正方形內隨機取一點,則此點取自黑色部分的概率是()A．Ｂ.C．Ｄ.【分析】根據圖象的對稱性求出黑色圖形的面積，結合幾何概型的概率公式進行求解即可．【解答】解:根據圖象的對稱性知,黑色部分為圓面積的一半,設圓的半徑為1，則正方形的邊長為２,則黑色部分的面積S＝，則對應概率P==，故選:B【點評】本題主要考查幾何概型的概率計算，根據對稱性求出黑色陰影部分的面積是解決本題的關鍵．３.(５分）設有下面四個命題p1：若復數z滿足∈R，則ｚ∈R；p2：若復數z滿足z２∈Ｒ,則z∈R;p3:若復數z１,z2滿足ｚ1z２∈R,則z1=；p4:若復數z∈R，則∈R．其中的真命題為（）A.p1，ｐ3Ｂ.ｐ1,p４Ｃ．p２，ｐ3D．p２,p4【分析】根據復數的分類，有復數性質,逐一分析給定四個命題的真假，可得答案．【解答】解:若復數z滿足∈R,則z∈R,故命題p1為真命題；p2：復數ｚ=i滿足z2=﹣1∈R，則z?R,故命題p2為假命題；p3:若復數z１=i,z2＝2i滿足z1z２∈R，但ｚ1≠,故命題p3為假命題；ｐ4：若復數ｚ∈R，則=ｚ∈R，故命題p4為真命題.故選：Ｂ．【點評】本題以命題的真假判斷與應用為載體,考查了復數的運算,復數的分類，復數的運算性質，難度不大,屬于基礎題.4.(５分）記Ｓｎ為等差數列{an}的前n項和．若a4+a5=24，S６=48,則｛an}的公差為()A．1B.2C．４Ｄ．8【分析】利用等差數列通項公式及前n項和公式列出方程組,求出首項和公差，由此能求出{an｝的公差.【解答】解：∵Sn為等差數列{an}的前ｎ項和,a4+a５=２４，S6＝48，∴，解得a1=﹣2,d=4，∴{an}的公差為4．故選：C.【點評】本題考查等差數列的面公式的求法及應用，是基礎題,解題時要認真審題,注意等差數列的性質的合理運用．５．（５分)函數f（x）在(﹣∞,+∞）單調遞減，且為奇函數.若f（1)=﹣1，則滿足﹣1≤f(x﹣2)≤1的x的取值范圍是（)A．［﹣2,2]B．[﹣1，1]C.[0,４］D．[1，3］【分析】由已知中函數的單調性及奇偶性,可將不等式﹣１≤f(x﹣2)≤1化為﹣1≤x﹣2≤１,解得答案.【解答】解：∵函數f(ｘ)為奇函數.若f（1)＝﹣1,則f(﹣１）=1,又∵函數ｆ（x)在(﹣∞,+∞）單調遞減，﹣１≤ｆ（ｘ﹣2）≤1,∴ｆ（１)≤f（x﹣2）≤ｆ（﹣1）,∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈［1,3],故選:Ｄ【點評】本題考查的知識點是抽象函數及其應用,函數的單調性，函數的奇偶性,難度中檔．6．(5分）(1+）（1+x)6展開式中x2的系數為(）A．15B．2０C．30D.３5【分析】直接利用二項式定理的通項公式求解即可．【解答】解：（1+）(1＋x）6展開式中:若（1+）=(1+ｘ﹣２）提供常數項1,則（1+x）６提供含有x2的項,可得展開式中x2的系數:若（1+）提供ｘ﹣２項,則(1+x）６提供含有x4的項,可得展開式中ｘ2的系數：由(1+x)6通項公式可得．可知r=2時，可得展開式中ｘ2的系數為.可知r=4時,可得展開式中ｘ2的系數為.(１＋)(1+x）6展開式中x2的系數為：１５+15=３０.故選C.【點評】本題主要考查二項式定理的知識點，通項公式的靈活運用.屬于基礎題.7．(5分)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2,俯視圖為等腰直角三角形,該多面體的各個面中有若干個是梯形,這些梯形的面積之和為（）A．10B.12Ｃ．１４D.１6【分析】由三視圖可得直觀圖，由圖形可知該立體圖中只有兩個相同的梯形的面,根據梯形的面積公式計算即可【解答】解：由三視圖可畫出直觀圖，該立體圖中只有兩個相同的梯形的面,S梯形=×2×(2+4)＝6，∴這些梯形的面積之和為6×２=1２，故選：B【點評】本題考查了體積計算公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.8.(５分)如圖程序框圖是為了求出滿足３n﹣2n＞1000的最小偶數n,那么在和兩個空白框中，可以分別填入()A．A＞100０和n=n+1Ｂ.Ａ>10０0和n=ｎ＋2C．A≤1０00和n=ｎ+1Ｄ．A≤1０00和ｎ=ｎ+2【分析】通過要求Ａ＞10００時輸出且框圖中在“否”時輸出確定“”內不能輸入“A>1０0０”,進而通過偶數的特征確定ｎ=ｎ+２.【解答】解：因為要求Ａ>１0０0時輸出,且框圖中在“否”時輸出，所以“”內不能輸入“Ａ＞1000”,又要求ｎ為偶數,且n的初始值為０,所以“”中n依次加2可保證其為偶數,所以D選項滿足要求,故選:D.【點評】本題考查程序框圖,屬于基礎題,意在讓大部分考生得分.9.(5分)已知曲線C1:y=ｃｏsｘ，Ｃ2：ｙ＝ｓｉｎ(2x+），則下面結論正確的是（)A．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度,得到曲線C2B．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2C．把Ｃ1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C２D．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變,再把得到的曲線向左平移個單位長度,得到曲線C2【分析】利用三角函數的伸縮變換以及平移變換轉化求解即可．【解答】解:把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變,得到函數y=cos2x圖象，再把得到的曲線向左平移個單位長度,得到函數y=cos２(ｘ＋）=cｏs(2ｘ+）=ｓiｎ（2x+）的圖象,即曲線C2，故選:Ｄ．【點評】本題考查三角函數的圖象變換，誘導公式的應用,考查計算能力．10．(５分）已知F為拋物線C：y2＝４x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l１，ｌ2,直線l１與C交于Ａ、B兩點,直線ｌ2與C交于Ｄ、E兩點,則｜ＡＢ｜+｜DＥ|的最小值為（）A.16B.14C．1２D.１０【分析】方法一:根據題意可判斷當A與D,B,E關于x軸對稱，即直線DＥ的斜率為1,|ＡB｜+|ＤE|最小，根據弦長公式計算即可.方法二:設直線ｌ１的傾斜角為θ,則l2的傾斜角為+θ，利用焦點弦的弦長公式分別表示出｜ＡB|,|DＥ｜,整理求得答案【解答】解:如圖，l1⊥l2，直線l1與C交于Ａ、B兩點,直線ｌ２與C交于D、Ｅ兩點，要使｜AB|＋|DE|最小，則A與D，B,E關于ｘ軸對稱，即直線DE的斜率為1,又直線l２過點（1,０)，則直線ｌ2的方程為ｙ=x﹣1，聯立方程組,則y2﹣４y﹣4＝０，∴y1+y2=4，y1y2=﹣4,∴｜DＥ｜=?|y1﹣y2｜＝×=８,∴|ＡB|+|ＤE|的最小值為2|DE|＝16,方法二:設直線ｌ１的傾斜角為θ，則l2的傾斜角為+θ，根據焦點弦長公式可得|ＡB｜＝=｜ＤＥ｜＝＝=∴|AB|+|ＤＥ|＝+＝=,∵0<ｓin22θ≤1，∴當θ=45°時，｜AB|+|DE|的最小，最小為１6,故選:A【點評】本題考查了拋物線的簡單性質以及直線和拋物線的位置關系，弦長公式，對于過焦點的弦，能熟練掌握相關的結論，解決問題事半功倍屬于中檔題．1１．(５分)設x、y、z為正數,且2x=３ｙ=5z,則()Ａ.2x<3y＜5zB.５z＜2x<3yC．3ｙ<5z<２xD．3y＜２x<5z【分析】x、ｙ、z為正數，令2ｘ＝３y=５z=k＞1.lgk>0．可得ｘ=,y＝,z=．可得３y=，２x=,5z=．根據==，>=.即可得出大小關系．另解:ｘ、y、ｚ為正數,令2ｘ=３ｙ＝5z=ｋ＞1．ｌgk>0．可得x＝,y=,z=．＝=＞1,可得2x＞３y,同理可得5z>2x．【解答】解:x、y、z為正數，令2x=３y=5z=ｋ>1．lｇk＞0.則x=，y=,z＝.∴3y=，2x=,5z＝.∵==，>＝．∴＞ｌg＞＞0.∴３y<2x＜５z.另解:x、y、z為正數,令2x=3y=5ｚ=k>1.lｇk＞0.則x＝,y=，z=．∴==>1,可得2ｘ＞3ｙ,==>1.可得5ｚ>2x.綜上可得：5z>2x＞3y．解法三：對k取特殊值，也可以比較出大小關系.故選:Ｄ.【點評】本題考查了對數函數的單調性、換底公式、不等式的性質,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題．12.(5分）幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召,開發(fā)了一款應用軟件.為激發(fā)大家學習數學的興趣,他們推出了“解數學題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數學問題的答案：已知數列1,1，2,1,2,4,１,2,4，8,1,2,4,8,1６，…,其中第一項是２0，接下來的兩項是20，21,再接下來的三項是2０,２1，22,依此類推.求滿足如下條件的最小整數Ｎ:N>100且該數列的前N項和為2的整數冪.那么該款軟件的激活碼是()A．440Ｂ.3３０C．２20D.11０【分析】方法一：由數列的性質,求得數列{bn｝的通項公式及前n項和,可知當Ｎ為時（ｎ∈N+),數列{an}的前N項和為數列｛bn}的前n項和，即為2n+1﹣n﹣2,容易得到N＞１00時,n≥14,分別判斷,即可求得該款軟件的激活碼；方法二:由題意求得數列的每一項,及前n項和Sn=２n+１﹣２﹣n，及項數,由題意可知:2n+1為2的整數冪.只需將﹣２﹣n消去即可，分別即可求得N的值.【解答】解:設該數列為{an}，設ｂn=+…+=2n+１﹣１,(n∈N+),則=ai,由題意可設數列{ａn｝的前Ｎ項和為ＳN,數列{bn｝的前n項和為Tn,則Tn=２1﹣1＋22﹣1+…+２ｎ+1﹣1＝２n＋１﹣n﹣2,可知當N為時(n∈Ｎ+)，數列{an}的前Ｎ項和為數列{ｂn｝的前ｎ項和,即為2n＋１﹣n﹣2，容易得到N＞１0０時，n≥14,Ａ項,由＝435，4４0＝4３5+5,可知S440=Ｔ29+ｂ5＝23０﹣29﹣2+２５﹣1＝23０，故A項符合題意.B項,仿上可知=３２５,可知Ｓ３３0＝Ｔ２５+b5＝2２6﹣25﹣2+25﹣1＝２26+４，顯然不為２的整數冪，故B項不符合題意．C項,仿上可知=2１０,可知S２20=T20+ｂ10=2２1﹣20﹣2+２10﹣1=221+２10﹣23，顯然不為2的整數冪,故Ｃ項不符合題意．D項，仿上可知＝105,可知Ｓ1１０＝T１4＋b５=2１5﹣14﹣2＋25﹣1=２1５+１５,顯然不為2的整數冪,故D項不符合題意.故選A.方法二：由題意可知：，，,…,根據等比數列前n項和公式，求得每項和分別為：21﹣1,22﹣1，２3﹣１,…,２n﹣1，每項含有的項數為：1，2，３,…,n，總共的項數為N=1+2＋3+…＋ｎ＝，所有項數的和為Ｓn:2１﹣1+22﹣1+2３﹣1＋…+2ｎ﹣1＝(21+22＋23+…+2n)﹣ｎ=﹣n=2n+１﹣2﹣n,由題意可知：２n＋1為２的整數冪.只需將﹣２﹣n消去即可，則①1＋2+(﹣2﹣n）=0,解得:ｎ＝1，總共有+2=3，不滿足N>100,②1+2+4＋(﹣2﹣n）＝0，解得：n=5,總共有＋3=18,不滿足N>１０0,③1+2＋4+８+(﹣2﹣n)=0,解得：ｎ＝13，總共有+4=95,不滿足N＞10０,④1＋2+4+８+１6+（﹣2﹣n)=０，解得：n=２９，總共有＋5=4４0,滿足Ｎ＞１0０，∴該款軟件的激活碼４4０．故選A.【點評】本題考查數列的應用，等差數列與等比數列的前n項和，考查計算能力，屬于難題．二、填空題:本題共4小題，每小題5分,共２0分.１3．（5分）已知向量，的夾角為60°,|｜＝2，||=１，則|+2|=2．【分析】根據平面向量的數量積求出模長即可．【解答】解：【解法一】向量,的夾角為60°,且｜｜=2，||＝1，∴=+4?+4＝22+４×２×1×ｃos60°+4×12＝12，∴|+２|=２.【解法二】根據題意畫出圖形，如圖所示；結合圖形=＋＝+2;在△OＡC中,由余弦定理得||=＝２，即|+２｜=２.故答案為：2．【點評】本題考查了平面向量的數量積的應用問題,解題時應利用數量積求出模長，是基礎題．１4.(5分）設x,ｙ滿足約束條件,則ｚ=３x﹣2y的最小值為﹣5．【分析】由約束條件作出可行域，由圖得到最優(yōu)解,求出最優(yōu)解的坐標,數形結合得答案.【解答】解：由x，ｙ滿足約束條件作出可行域如圖，由圖可知，目標函數的最優(yōu)解為A，聯立，解得Ａ(﹣1,１).∴ｚ=3x﹣2y的最小值為﹣３×１﹣２×1＝﹣５．故答案為：﹣５．【點評】本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數形結合的解題思想方法，是中檔題.1５.(5分)已知雙曲線Ｃ：﹣=1(ａ>0，b＞0)的右頂點為A,以A為圓心,b為半徑作圓A，圓A與雙曲線Ｃ的一條漸近線交于M、N兩點.若∠MAN=60°,則C的離心率為.【分析】利用已知條件,轉化求解Ａ到漸近線的距離,推出a,c的關系,然后求解雙曲線的離心率即可.【解答】解：雙曲線C：﹣=1（a＞0,b>0）的右頂點為A（ａ,0）,以Ａ為圓心，b為半徑做圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、Ｎ兩點.若∠MAN=6０°,可得A到漸近線bx+ａy=0的距離為：bcos３0°=，可得：=,即,可得離心率為：ｅ＝．故答案為:.【點評】本題考查雙曲線的簡單性質的應用,點到直線的距離公式以及圓的方程的應用,考查轉化思想以及計算能力．16.(5分)如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5ｃm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D、E、F為圓O上的點，△DＢＣ,△ECＡ，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后,分別以BC，CA,AB為折痕折起△DBC，△ECＡ,△FＡＢ,使得Ｄ、E、F重合，得到三棱錐．當△ＡＢC的邊長變化時,所得三棱錐體積（單位:cm３）的最大值為4cm３.【分析】由題，連接ＯD，交BC于點Ｇ，由題意得OD⊥ＢC,ＯＧ＝BC，設OＧ=ｘ，則BC=2x,ＤG＝5﹣x，三棱錐的高ｈ=，求出S△ＡBＣ=3,V==，令f(x)=25x4﹣10x5，x∈（0，)，f′(x)=1０0x3﹣50x4,f（x)≤f(２)=８0,由此能求出體積最大值.【解答】解:由題意，連接OD，交ＢＣ于點G，由題意得OＤ⊥BC，ＯG=ＢC，即ＯG的長度與BC的長度成正比，設OG＝x,則BC=2x，DG=5﹣ｘ,三棱錐的高ｈ＝==,＝3,則Ｖ=＝=，令f(x)＝2５x4﹣10ｘ５，ｘ∈（０，）,f′(x）=10０x3﹣5０x４,令f′(x)≥0,即ｘ４﹣2x3≤0，解得x≤2，則ｆ(x)≤f（２）＝80，∴Ｖ≤=4cm3,∴體積最大值為４cm3．故答案為:4cm３．【點評】本題考查三棱錐的體積的最大值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系、函數性質、導數等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力,考查數形結合思想、化歸與轉化思想,是中檔題.三、解答題:共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～2１題為必考題,每個試題考生都必須作答．第2２、23題為選考題，考生根據要求作答.１７．(12分）△ＡBC的內角Ａ，Ｂ，C的對邊分別為a,ｂ,c,已知△ＡBＣ的面積為.(1)求sinＢｓinC;(2)若6ｃosBcosＣ=1，a=3，求△AＢC的周長.【分析】（1）根據三角形面積公式和正弦定理可得答案,（2)根據兩角余弦公式可得cｏsＡ=,即可求出Ａ＝,再根據正弦定理可得bｃ=８，根據余弦定理即可求出ｂ+c,問題得以解決．【解答】解:(１)由三角形的面積公式可得S△AＢC=acｓinB=,∴3cｓinBsinＡ=２a,由正弦定理可得３siｎCsinBsiｎA＝２sｉｎA，∵sinA≠０,∴siｎＢｓinＣ=;(２）∵6cｏsBcoｓC＝1，∴ｃｏsBcosC＝,∴cosＢcｏsC﹣siｎＢsinC=﹣=﹣,∴ｃoｓ（Ｂ+C）=﹣,∴cosA=，∵0＜A＜π，∴Ａ＝，∵===2R==2,∴ｓinＢsiｎC=?===,∴bｃ=８,∵ａ2=b2+c2﹣２bccoｓA，∴b2＋c２﹣bc=9,∴（ｂ+ｃ）2=9+3ｃb=9+24=３３，∴b+c=∴周長ａ+ｂ+c=3＋.【點評】本題考查了三角形的面積公式和兩角和的余弦公式和誘導公式和正弦定理余弦定理,考查了學生的運算能力，屬于中檔題.18．（12分）如圖,在四棱錐P﹣ABＣＤ中,AＢ∥CD，且∠BAＰ=∠CDP＝90°.(1）證明：平面PAB⊥平面PＡD;(２）若PA=PD=AB＝DＣ,∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【分析】（1）由已知可得PＡ⊥AB,PD⊥ＣD,再由AB∥ＣD，得AB⊥PD，利用線面垂直的判定可得AＢ⊥平面PＡD，進一步得到平面PAB⊥平面PAD;（2)由已知可得四邊形ABCＤ為平行四邊形,由（1）知AB⊥平面ＰAD，得到AB⊥ＡD,則四邊形ＡBCD為矩形,設PA＝AＢ=2a,則AD=.取AD中點O,BＣ中點E，連接PＯ、OE，以O為坐標原點,分別以OA、OE、ＯP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，求出平面PBＣ的一個法向量，再證明PD⊥平面PAＢ,得為平面PＡB的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角Ａ﹣PB﹣C的余弦值．【解答】（1)證明：∵∠BAＰ=∠CDＰ=90°，∴PA⊥ＡB，PD⊥CD,∵AB∥CD,∴AB⊥PD，又∵PA∩PD＝P,且PA?平面PAD，ＰD?平面PAD，∴AＢ⊥平面PAD,又ＡB?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PＡD;（2)解:∵ＡB∥CD,AB=ＣD,∴四邊形ＡBCD為平行四邊形，由(1）知AB⊥平面PAD,∴AB⊥AＤ,則四邊形AＢCD為矩形，在△AＰD中，由PA=PD,∠ＡPＤ=9０°,可得△PＡD為等腰直角三角形,設PＡ=AB＝２a，則AＤ＝．?。罝中點Ｏ,BC中點Ｅ,連接PO、OＥ，以Ｏ為坐標原點,分別以OＡ、ＯE、ＯP所在直線為ｘ、y、z軸建立空間直角坐標系,則:D（）,B(）,Ｐ（０,0，）,C()．，,．設平面PＢC的一個法向量為，由,得,取y=１，得．∵ＡB⊥平面ＰAD,AD?平面PAD,∴ＡB⊥PD，又ＰＤ⊥PA，PA∩AＢ＝Ａ，∴PD⊥平面PAB,則為平面PAB的一個法向量，．∴cos＜＞==.由圖可知,二面角Ａ﹣PＢ﹣C為鈍角，∴二面角A﹣ＰB﹣Ｃ的余弦值為.【點評】本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力,訓練了利用空間向量求二面角的平面角,是中檔題.1９．（12分）為了監(jiān)控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：cm).根據長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態(tài)下生產的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ，σ2）.（１)假設生產狀態(tài)正常,記X表示一天內抽取的１6個零件中其尺寸在(μ﹣3σ,μ+３σ)之外的零件數，求P(Ｘ≥1)及X的數學期望;(２）一天內抽檢零件中，如果出現了尺寸在(μ﹣３σ，μ+3σ）之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查．（ⅰ）試說明上述監(jiān)控生產過程方法的合理性;（ⅱ）下面是檢驗員在一天內抽取的１６個零件的尺寸：9.９510.12９.969.9６1０．０1９.９29.９810.０41０.269．91１0.１310．０29.2210．0410.0５９．9５經計算得＝＝9.９７,s==≈０.212，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸,ｉ=1,2,…,1６．用樣本平均數作為μ的估計值,用樣本標準差s作為σ的估計值，利用估計值判斷是否需對當天的生產過程進行檢查？剔除（﹣3+3)之外的數據,用剩下的數據估計μ和σ(精確到0.01).附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布Ｎ(μ,σ2），則P（μ﹣3σ＜Ｚ<μ+3σ)=0.99７4,0．９974１6≈0.9５92，≈0.０９．【分析】（１)通過P(X=0）可求出P（X≥１）＝１﹣Ｐ（X＝０)=0．０40８,利用二項分布的期望公式計算可得結論;(2)（ⅰ)由(1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ)之外為小概率事件可知該監(jiān)控生產過程方法合理；(ⅱ)通過樣本平均數、樣本標準差s估計、可知（﹣3+3)＝(9.３34，1０.606),進而需剔除(﹣3+3）之外的數據9.2２,利用公式計算即得結論.【解答】解:(1)由題可知尺寸落在(μ﹣3σ，μ+3σ)之內的概率為0．9９７4,則落在(μ﹣3σ，μ+3σ)之外的概率為1﹣0.９９74＝0.0026，因為P（Ｘ＝0)＝×（1﹣0.９974）0×０.99741６≈0.95９2，所以P(Ｘ≥1）＝1﹣Ｐ（X=0)＝0.040８,又因為Ｘ～B(1６,０．０0２６),所以E(X）=１6×0.002６＝０.0４16;(2)（ⅰ）如果生產狀態(tài)正常，一個零件尺寸在（﹣3＋３）之外的概率只有0.0026,一天內抽取的16個零件中,出現尺寸在（﹣３+3)之外的零件的概率只有0.0４0８,發(fā)生的概率很?。虼艘坏┌l(fā)生這種狀況,就有理由認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查，可見上述監(jiān)控生產過程的方法是合理的．(ⅱ）由=9.97，s≈０.212,得μ的估計值為=９.97，σ的估計值為=0.21２，由樣本數據可以看出一個零件的尺寸在（﹣３+3)之外,因此需對當天的生產過程進行檢查．剔除（﹣3+3）之外的數據９．２２,剩下的數據的平均數為(16×9.97﹣9.22)=10.0２，因此μ的估計值為１0．02.２＝16×０.21２2+1６×9.972≈1591.13４,剔除(﹣３+3）之外的數據9.22，剩下的數據的樣本方差為(1５91.134﹣9．２22﹣１５×10.022)≈０.008，因此σ的估計值為≈0.09.【點評】本題考查正態(tài)分布,考查二項分布,考查方差、標準差，考查概率的計算,考查運算求解能力，注意解題方法的積累,屬于中檔題．２0．（12分)已知橢圓C：+=1（a＞b＞0），四點Ｐ1（1，1),P２(0，1),P3(﹣1，），P4（1，)中恰有三點在橢圓Ｃ上.(１)求C的方程；(2)設直線l不經過Ｐ2點且與Ｃ相交于A，B兩點．若直線Ｐ2A與直線P２Ｂ的斜率的和為﹣１,證明：l過定點．【分析】(1）根據橢圓的對稱性,得到Ｐ2（0,1）,P３(﹣1，)，P4(1，)三點在橢圓C上.把P2（0,1），P3(﹣１,)代入橢圓Ｃ,求出a2=４，b2=1,由此能求出橢圓C的方程.(２）當斜率不存在時，不滿足;當斜率存在時,設l：ｙ=ｋｘ+t，（t≠１)，聯立，得（1+４k2）x２+８ｋtx+４ｔ２﹣4=0,由此利用根的判別式、韋達定理、直線方程,結合已知條件能證明直線l過定點（2，﹣1）．【解答】解:（1）根據橢圓的對稱性，P3(﹣1,),P4（1，）兩點必在橢圓C上,又Ｐ4的橫坐標為1,∴橢圓必不過P1(1,1）,∴P2（0，1）,P３（﹣1，），P4(１，)三點在橢圓C上．把P２(０,1）,Ｐ３（﹣1,)代入橢圓C，得:，解得a2＝4，ｂ2=1,∴橢圓Ｃ的方程為=１．證明:(２）①當斜率不存在時,設l:x=m，A(ｍ，yＡ)，Ｂ（m,﹣yA）,∵直線P２Ａ與直線P2B的斜率的和為﹣1,∴===﹣1,解得m=２,此時l過橢圓右頂點，不存在兩個交點，故不滿足.②當斜率存在時,設l：y＝kx+t,(t≠1）,Ａ（x１，y1）,B(x２，ｙ2），聯立,整理,得（1+4k２)ｘ2＋8ktｘ＋4t2﹣４＝０，，x１x2＝，則=====﹣1，又t≠1,∴t＝﹣2ｋ﹣1,此時△=﹣64k,存在k,使得△＞０成立，∴直線l的方程為y=kｘ﹣2k﹣1,當x=２時,y=﹣1,∴l(xiāng)過定點（２,﹣１).【點評】本題考查橢圓方程的求法,考查橢圓、直線方程、根的判別式、韋達定理、直線方程位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力,考查函數與方程思想、化歸與轉化思想,是中檔題.2１．(１２分）已知函數f（x)=ａe２ｘ+（a﹣2）eｘ﹣x．(1）討論f(x)的單調性；(2)若f(ｘ）有兩個零點，求a的取值范圍.【分析】（1)求導,根據導數與函數單調性的關系,分類討論，即可求得f（x)單調性;（２）由（1）可知：當a>0時才有兩個零點，根據函數的單調性求得f(x）最小值，由f(x）min＜0,g(a)=alnａ+a﹣1,ａ>0,求導，由g(a)mｉｎ=ｇ（ｅ﹣２)=ｅ﹣2ｌne﹣2+ｅ﹣2﹣1=﹣﹣1，ｇ(1)=0，即可求得ａ的取值范圍.（1)求導,根據導數與函數單調性的關系，分類討論,即可求得f(ｘ）單調性；（2)分類討論，根據函數的單調性及函數零點的判斷，分別求得函數的零點,即可求得a的取值范圍．【解答】解:(1）由ｆ(x）＝aｅ2ｘ+（a﹣2)ｅx﹣ｘ，求導ｆ′(x）=２ae２ｘ＋(ａ﹣2)ex﹣１,當a=０時,f′(x）=﹣２eｘ﹣1＜0,∴當x∈R，f(x)單調遞減，當ａ>０時，ｆ′（x)=(2ex+1)（aex﹣1）=2a（ex+）（ｅx﹣),令f′(ｘ)＝０,解得：x=ln，當f′(x)＞0，解得：x＞ｌn，當f′(x)<0，解得:x＜ｌn，∴ｘ∈（﹣∞,ln)時，ｆ（ｘ）單調遞減,x∈（ln，＋∞）單調遞增；當a＜0時，f′(x）=2a（ex+）（ｅx﹣）<０，恒成立,∴當x∈R,f(x)單調遞減，綜上可知:當ａ≤0時,f(x）在R單調減函數，當a＞0時,f(ｘ）在(﹣∞,lｎ）是減函數，在(lｎ，+∞)是增函數；（2)①若a≤0時，由（１)可知:f(x)最多有一個零點,當a＞０時,ｆ(x)=aｅ2x+（a﹣２）ｅｘ﹣ｘ，當ｘ→﹣∞時,e2x→０,ｅx→0,∴當ｘ→﹣∞時，f(x)→+∞,當x→∞,e2x→+∞,且遠遠大于ex和x，∴當ｘ→∞,f（x)→+∞，∴函數有兩個零點，f(x）的最小值小于０即可,由ｆ(ｘ）在（﹣∞,ln）是減函數，在（lｎ，+∞）是增函數,∴f(x）min=f(ln)=a×（）+(a﹣2)×﹣ｌn＜０，∴1﹣﹣lｎ＜0,即ln+﹣1＞0,設t=,則g（t)=ｌnｔ+t﹣1，(t>０）,求導g′（ｔ)=+1,由ｇ（１)=0,∴ｔ＝＞１,解得:0＜ａ<１，∴ａ的取值范圍(０，1)．方法二：（1）由f(ｘ）＝aｅ2ｘ+(a﹣2)ex﹣x，求導f′（x)=２ae２ｘ+（a﹣2）ex﹣1，當a=0時，ｆ′（x）=﹣２ex﹣1＜０,∴當ｘ∈R,f(ｘ）單調遞減，當ａ＞0時,ｆ′（x)＝（２ex+1）(ａｅx﹣1）=2a（ex+）（ex﹣）,令ｆ′（ｘ）=0，解得：x=﹣lna，當ｆ′(x)>0,解得：x＞﹣lna，當f′（ｘ）<0,解得:x＜﹣lnａ，∴ｘ∈(﹣∞，﹣lna）時,f（x）單調遞減,x∈(﹣lnａ，+∞)單調遞增；當a<0時，f′（x)＝２a(ex＋）(eｘ﹣)<0,恒成立，∴當ｘ∈Ｒ，ｆ（x）單調遞減，綜上可知：當a≤0時,f(ｘ）在R單調減函數，當a＞0時,f（x）在(﹣∞,﹣ｌnａ)是減函數,在(﹣lna，+∞）是增函數；(2)①若ａ≤0時,由（1）可知：f(x)最多有一個零點，②當a>0時，由(1)可知:當ｘ＝﹣lｎa時,f(x）取得最小值,f（x)ｍiｎ=f（﹣ｌｎa)＝１﹣﹣ｌ