2017年河南省高考數(shù)學(xué)試卷理科全國新課標(biāo)

第1頁（共1頁）201７年河南省高考數(shù)學(xué)試卷(理科）(全國新課標(biāo)Ⅰ）一、選擇題:本大題共1２小題,每小題５分,共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．１．（5分)已知集合A={ｘ｜ｘ<１}，Ｂ={ｘ|3x＜1},則（）Ａ.Ａ∩Ｂ={x|x<0}Ｂ.Ａ∪B=RC.Ａ∪B={ｘ|x＞１｝Ｄ．A∩B＝?2.（5分）如圖，正方形ＡBCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱．在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是（）Ａ.B．C.D．3.(５分）設(shè)有下面四個命題p1：若復(fù)數(shù)z滿足∈R，則z∈R;p2：若復(fù)數(shù)z滿足z2∈R,則z∈Ｒ；p3:若復(fù)數(shù)z1，z２滿足z１z2∈R,則z１=;p4:若復(fù)數(shù)ｚ∈Ｒ，則∈R．其中的真命題為()Ａ.p1，p3B.ｐ1，p4Ｃ.ｐ２,p３D.p２，ｐ44．(5分）記Sn為等差數(shù)列｛aｎ}的前n項和．若a４+ａ５＝2４,Ｓ６＝４８,則{an}的公差為()A．１Ｂ．2Ｃ.4D．85．（５分）函數(shù)f(x)在（﹣∞,+∞)單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若f(1）=﹣1,則滿足﹣１≤f（x﹣2）≤１的x的取值范圍是(）A.［﹣2,2]B.［﹣1,１］C.[０,4]D.[1，3］6.（5分）(1+)（１+x）6展開式中x2的系數(shù)為(）A.１5B．20C.30D．357．(５分)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2,俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為()A.1０B.1２C.14D.168.（5分)如圖程序框圖是為了求出滿足３ｎ﹣2n>1０00的最小偶數(shù)n，那么在和兩個空白框中，可以分別填入(）A.A＞１００0和ｎ=n+1B．A＞100０和n=n+2C．A≤10０0和n＝n+1D．A≤1000和n=n+2９.(5分)已知曲線C１:y＝cosx，Ｃ2：ｙ＝ｓin（2x+)，則下面結(jié)論正確的是()Ａ.把C1上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度,得到曲線C2B.把Ｃ1上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線Ｃ2C．把Ｃ1上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移個單位長度,得到曲線C2Ｄ.把C1上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C２10.(５分)已知Ｆ為拋物線Ｃ：y2=４x的焦點，過Ｆ作兩條互相垂直的直線l１，l2,直線ｌ1與C交于Ａ、B兩點,直線ｌ2與C交于D、E兩點，則|AＢ|+|DE|的最小值為（）Ａ．16B．1４C．1２Ｄ．1011．(5分)設(shè)x、y、z為正數(shù)，且2x＝3y=5ｚ，則(）A.2x<３y＜5zB.5z<２x<3yＣ.3y＜5z＜2xD．3y<2x<5ｚ12．(5分）幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召,開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動．這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1，1,２，１，2，4,1，2,4，8，1,2,4,８,１6,…，其中第一項是２０，接下來的兩項是２0，2１，再接下來的三項是20，21，22,依此類推．求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N＞1０0且該數(shù)列的前Ｎ項和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是（）A．４40B．３３0C.２20D．11０二、填空題:本題共4小題,每小題５分，共20分.13．（5分)已知向量,的夾角為６0°,｜|=2，||=1，則｜+2|=．14.（5分)設(shè)ｘ,y滿足約束條件，則ｚ=３x﹣2y的最小值為．１5.(5分）已知雙曲線C:﹣=１（a>0,b＞0）的右頂點為Ａ,以A為圓心，ｂ為半徑作圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、Ｎ兩點．若∠ＭＡN＝60°，則C的離心率為.16．（5分）如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5ｃｍ,該紙片上的等邊三角形ABＣ的中心為O．D、E、F為圓O上的點，△ＤBC,△ECA,△FAB分別是以BＣ，CＡ,ＡB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA,AＢ為折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D、Ｅ、F重合,得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積(單位：cm３)的最大值為．三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．17．（１２分）△ＡＢC的內(nèi)角A,Ｂ，C的對邊分別為ａ，b,ｃ，已知△ABC的面積為.（１）求sinＢｓinC；（２)若6coｓＢｃosC=1,a=３,求△AＢC的周長.1８．（12分)如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,ＡB∥CD，且∠BAＰ=∠CDP=9０°.(1)證明：平面PAB⊥平面PAＤ;（2）若ＰA=PD＝AB=DＣ,∠ＡPD＝90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．1９．（12分）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件,并測量其尺寸(單位：cm）.根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗,可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N（μ，σ2）．（１)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(μ﹣3σ,μ+3σ）之外的零件數(shù),求P（Ｘ≥1)及X的數(shù)學(xué)期望；（2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．（ⅰ)試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性;(ⅱ)下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：9.9510.129．969.96１0．019.9２9.9８10．0410.269．9110．13１0.０29.22１0.041０.059．９5經(jīng)計算得==9.97，s=＝≈0.212,其中xｉ為抽取的第i個零件的尺寸,i=1,2,…,16.用樣本平均數(shù)作為μ的估計值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計值,利用估計值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除（﹣3+3)之外的數(shù)據(jù),用剩下的數(shù)據(jù)估計μ和σ（精確到0．01).附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布Ｎ(μ,σ2)，則Ｐ（μ﹣3σ<Ｚ＜μ+3σ）＝０.9974,0.９9７4１6≈0.９592，≈0.０9．20.（12分)已知橢圓C：+＝1（a＞b>0)，四點P1(１,1），P２(0,1），P3(﹣１，）,P４（1，）中恰有三點在橢圓Ｃ上.（１)求Ｃ的方程；（２)設(shè)直線ｌ不經(jīng)過P2點且與Ｃ相交于Ａ,B兩點．若直線P2A與直線P２B的斜率的和為﹣1,證明:l過定點.21．(12分)已知函數(shù)ｆ(ｘ)=aｅ２x+(a﹣2)ｅx﹣ｘ.(１）討論f（x）的單調(diào)性;（２)若f（ｘ）有兩個零點,求a的取值范圍.［選修４-4，坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為，(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)）.(１)若a＝﹣１，求Ｃ與l的交點坐標(biāo);(２）若Ｃ上的點到ｌ距離的最大值為，求ａ．[選修４-5：不等式選講］２3．已知函數(shù)f(ｘ)=﹣ｘ2+aｘ+4,g(x）=|x＋1|+｜x﹣1|.(１）當(dāng)a＝1時，求不等式f(ｘ）≥ｇ(ｘ)的解集；(２）若不等式ｆ(x)≥g（x）的解集包含[﹣1,1］,求ａ的取值范圍．2017年河南省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）(全國新課標(biāo)Ⅰ)參考答案與試題解析一、選擇題:本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的．1.(５分）已知集合A=｛x｜x<１}，B={x｜3x＜1},則（）A.Ａ∩Ｂ={x|x<0}B．A∪B＝RC．Ａ∪B={x|x＞1｝D．A∩B＝?【分析】先分別求出集合A和B，再求出A∩B和A∪B,由此能求出結(jié)果．【解答】解：∵集合A＝{x｜x<１}，Ｂ=｛x|３x<1｝={ｘ|ｘ<0｝,∴A∩B={x｜x＜0},故A正確,Ｄ錯誤；A∪B={x|x<1｝，故B和C都錯誤．故選:A.【點評】本題考查交集和并集求法及應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題,注意交集、并集定義的合理運用．2.(5分)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機取一點,則此點取自黑色部分的概率是()A．Ｂ.C．Ｄ.【分析】根據(jù)圖象的對稱性求出黑色圖形的面積，結(jié)合幾何概型的概率公式進(jìn)行求解即可．【解答】解:根據(jù)圖象的對稱性知,黑色部分為圓面積的一半,設(shè)圓的半徑為1，則正方形的邊長為２,則黑色部分的面積S＝，則對應(yīng)概率P==，故選:B【點評】本題主要考查幾何概型的概率計算，根據(jù)對稱性求出黑色陰影部分的面積是解決本題的關(guān)鍵．３.(５分）設(shè)有下面四個命題p1：若復(fù)數(shù)z滿足∈R，則ｚ∈R；p2：若復(fù)數(shù)z滿足z２∈Ｒ,則z∈R;p3:若復(fù)數(shù)z１,z2滿足ｚ1z２∈R,則z1=；p4:若復(fù)數(shù)z∈R，則∈R．其中的真命題為（）A.p1，ｐ3Ｂ.ｐ1,p４Ｃ．p２，ｐ3D．p２,p4【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的分類，有復(fù)數(shù)性質(zhì),逐一分析給定四個命題的真假，可得答案．【解答】解:若復(fù)數(shù)z滿足∈R,則z∈R,故命題p1為真命題；p2：復(fù)數(shù)ｚ=i滿足z2=﹣1∈R，則z?R,故命題p2為假命題；p3:若復(fù)數(shù)z１=i,z2＝2i滿足z1z２∈R，但ｚ1≠,故命題p3為假命題；ｐ4：若復(fù)數(shù)ｚ∈R，則=ｚ∈R，故命題p4為真命題.故選：Ｂ．【點評】本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體,考查了復(fù)數(shù)的運算,復(fù)數(shù)的分類，復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)，難度不大,屬于基礎(chǔ)題.4.(５分）記Ｓｎ為等差數(shù)列{an}的前n項和．若a4+a5=24，S６=48,則｛an}的公差為()A．1B.2C．４Ｄ．8【分析】利用等差數(shù)列通項公式及前n項和公式列出方程組,求出首項和公差，由此能求出{an｝的公差.【解答】解：∵Sn為等差數(shù)列{an}的前ｎ項和,a4+a５=２４，S6＝48，∴，解得a1=﹣2,d=4，∴{an}的公差為4．故選：C.【點評】本題考查等差數(shù)列的面公式的求法及應(yīng)用，是基礎(chǔ)題,解題時要認(rèn)真審題,注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．５．（５分)函數(shù)f（x）在(﹣∞,+∞）單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若f（1)=﹣1，則滿足﹣1≤f(x﹣2)≤1的x的取值范圍是（)A．［﹣2,2]B．[﹣1，1]C.[0,４］D．[1，3］【分析】由已知中函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性,可將不等式﹣１≤f(x﹣2)≤1化為﹣1≤x﹣2≤１,解得答案.【解答】解：∵函數(shù)f(ｘ)為奇函數(shù).若f（1)＝﹣1,則f(﹣１）=1,又∵函數(shù)ｆ（x)在(﹣∞,+∞）單調(diào)遞減，﹣１≤ｆ（ｘ﹣2）≤1,∴ｆ（１)≤f（x﹣2）≤ｆ（﹣1）,∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈［1,3],故選:Ｄ【點評】本題考查的知識點是抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性,難度中檔．6．(5分）(1+）（1+x)6展開式中x2的系數(shù)為(）A．15B．2０C．30D.３5【分析】直接利用二項式定理的通項公式求解即可．【解答】解：（1+）(1＋x）6展開式中:若（1+）=(1+ｘ﹣２）提供常數(shù)項1,則（1+x）６提供含有x2的項,可得展開式中x2的系數(shù):若（1+）提供ｘ﹣２項,則(1+x）６提供含有x4的項,可得展開式中ｘ2的系數(shù)：由(1+x)6通項公式可得．可知r=2時，可得展開式中ｘ2的系數(shù)為.可知r=4時,可得展開式中ｘ2的系數(shù)為.(１＋)(1+x）6展開式中x2的系數(shù)為：１５+15=３０.故選C.【點評】本題主要考查二項式定理的知識點，通項公式的靈活運用.屬于基礎(chǔ)題.7．(5分)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2,俯視圖為等腰直角三角形,該多面體的各個面中有若干個是梯形,這些梯形的面積之和為（）A．10B.12Ｃ．１４D.１6【分析】由三視圖可得直觀圖，由圖形可知該立體圖中只有兩個相同的梯形的面,根據(jù)梯形的面積公式計算即可【解答】解：由三視圖可畫出直觀圖，該立體圖中只有兩個相同的梯形的面,S梯形=×2×(2+4)＝6，∴這些梯形的面積之和為6×２=1２，故選：B【點評】本題考查了體積計算公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.8.(５分)如圖程序框圖是為了求出滿足３n﹣2n＞1000的最小偶數(shù)n,那么在和兩個空白框中，可以分別填入()A．A＞100０和n=n+1Ｂ.Ａ>10０0和n=ｎ＋2C．A≤1０00和n=ｎ+1Ｄ．A≤1０00和ｎ=ｎ+2【分析】通過要求Ａ＞10００時輸出且框圖中在“否”時輸出確定“”內(nèi)不能輸入“A>1０0０”,進(jìn)而通過偶數(shù)的特征確定ｎ=ｎ+２.【解答】解：因為要求Ａ>１0０0時輸出,且框圖中在“否”時輸出，所以“”內(nèi)不能輸入“Ａ＞1000”,又要求ｎ為偶數(shù),且n的初始值為０,所以“”中n依次加2可保證其為偶數(shù),所以D選項滿足要求,故選:D.【點評】本題考查程序框圖,屬于基礎(chǔ)題,意在讓大部分考生得分.9.(5分)已知曲線C1:y=ｃｏsｘ，Ｃ2：ｙ＝ｓｉｎ(2x+），則下面結(jié)論正確的是（)A．把C1上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度,得到曲線C2B．把C1上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2C．把Ｃ1上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C２D．把C1上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移個單位長度,得到曲線C2【分析】利用三角函數(shù)的伸縮變換以及平移變換轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解:把C1上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=cos2x圖象，再把得到的曲線向左平移個單位長度,得到函數(shù)y=cos２(ｘ＋）=cｏs(2ｘ+）=ｓiｎ（2x+）的圖象,即曲線C2，故選:Ｄ．【點評】本題考查三角函數(shù)的圖象變換，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,考查計算能力．10．(５分）已知F為拋物線C：y2＝４x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l１，ｌ2,直線l１與C交于Ａ、B兩點,直線ｌ2與C交于Ｄ、E兩點,則｜ＡＢ｜+｜DＥ|的最小值為（）A.16B.14C．1２D.１０【分析】方法一:根據(jù)題意可判斷當(dāng)A與D,B,E關(guān)于x軸對稱，即直線DＥ的斜率為1,|ＡB｜+|ＤE|最小，根據(jù)弦長公式計算即可.方法二:設(shè)直線ｌ１的傾斜角為θ,則l2的傾斜角為+θ，利用焦點弦的弦長公式分別表示出｜ＡB|,|DＥ｜,整理求得答案【解答】解:如圖，l1⊥l2，直線l1與C交于Ａ、B兩點,直線ｌ２與C交于D、Ｅ兩點，要使｜AB|＋|DE|最小，則A與D，B,E關(guān)于ｘ軸對稱，即直線DE的斜率為1,又直線l２過點（1,０)，則直線ｌ2的方程為ｙ=x﹣1，聯(lián)立方程組,則y2﹣４y﹣4＝０，∴y1+y2=4，y1y2=﹣4,∴｜DＥ｜=?|y1﹣y2｜＝×=８,∴|ＡB|+|ＤE|的最小值為2|DE|＝16,方法二:設(shè)直線ｌ１的傾斜角為θ，則l2的傾斜角為+θ，根據(jù)焦點弦長公式可得|ＡB｜＝=｜ＤＥ｜＝＝=∴|AB|+|ＤＥ|＝+＝=,∵0<ｓin22θ≤1，∴當(dāng)θ=45°時，｜AB|+|DE|的最小，最小為１6,故選:A【點評】本題考查了拋物線的簡單性質(zhì)以及直線和拋物線的位置關(guān)系，弦長公式，對于過焦點的弦，能熟練掌握相關(guān)的結(jié)論，解決問題事半功倍屬于中檔題．1１．(５分)設(shè)x、y、z為正數(shù),且2x=３ｙ=5z,則()Ａ.2x<3y＜5zB.５z＜2x<3yC．3ｙ<5z<２xD．3y＜２x<5z【分析】x、ｙ、z為正數(shù)，令2ｘ＝３y=５z=k＞1.lgk>0．可得ｘ=,y＝,z=．可得３y=，２x=,5z=．根據(jù)==，>=.即可得出大小關(guān)系．另解:ｘ、y、ｚ為正數(shù),令2ｘ=３ｙ＝5z=ｋ＞1．ｌgk>0．可得x＝,y=,z=．＝=＞1,可得2x＞３y,同理可得5z>2x．【解答】解:x、y、z為正數(shù)，令2x=３y=5z=ｋ>1．lｇk＞0.則x=，y=,z＝.∴3y=，2x=,5z＝.∵==，>＝．∴＞ｌg＞＞0.∴３y<2x＜５z.另解:x、y、z為正數(shù),令2x=3y=5ｚ=k>1.lｇk＞0.則x＝,y=，z=．∴==>1,可得2ｘ＞3ｙ,==>1.可得5ｚ>2x.綜上可得：5z>2x＞3y．解法三：對k取特殊值，也可以比較出大小關(guān)系.故選:Ｄ.【點評】本題考查了對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、換底公式、不等式的性質(zhì),考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題．12.(5分）幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召,開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1,1，2,1,2,4,１,2,4，8,1,2,4,8,1６，…,其中第一項是２0，接下來的兩項是20，21,再接下來的三項是2０,２1，22,依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)Ｎ:N>100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是()A．440Ｂ.3３０C．２20D.11０【分析】方法一：由數(shù)列的性質(zhì),求得數(shù)列{bn｝的通項公式及前n項和,可知當(dāng)Ｎ為時（ｎ∈N+),數(shù)列{an}的前N項和為數(shù)列｛bn}的前n項和，即為2n+1﹣n﹣2,容易得到N＞１00時,n≥14,分別判斷,即可求得該款軟件的激活碼；方法二:由題意求得數(shù)列的每一項,及前n項和Sn=２n+１﹣２﹣n，及項數(shù),由題意可知:2n+1為2的整數(shù)冪.只需將﹣２﹣n消去即可，分別即可求得N的值.【解答】解:設(shè)該數(shù)列為{an}，設(shè)ｂn=+…+=2n+１﹣１,(n∈N+),則=ai,由題意可設(shè)數(shù)列{ａn｝的前Ｎ項和為ＳN,數(shù)列{bn｝的前n項和為Tn,則Tn=２1﹣1＋22﹣1+…+２ｎ+1﹣1＝２n＋１﹣n﹣2,可知當(dāng)N為時(n∈Ｎ+)，數(shù)列{an}的前Ｎ項和為數(shù)列{ｂn｝的前ｎ項和,即為2n＋１﹣n﹣2，容易得到N＞１0０時，n≥14,Ａ項,由＝435，4４0＝4３5+5,可知S440=Ｔ29+ｂ5＝23０﹣29﹣2+２５﹣1＝23０，故A項符合題意.B項,仿上可知=３２５,可知Ｓ３３0＝Ｔ２５+b5＝2２6﹣25﹣2+25﹣1＝２26+４，顯然不為２的整數(shù)冪，故B項不符合題意．C項,仿上可知=2１０,可知S２20=T20+ｂ10=2２1﹣20﹣2+２10﹣1=221+２10﹣23，顯然不為2的整數(shù)冪,故Ｃ項不符合題意．D項，仿上可知＝105,可知Ｓ1１０＝T１4＋b５=2１5﹣14﹣2＋25﹣1=２1５+１５,顯然不為2的整數(shù)冪,故D項不符合題意.故選A.方法二：由題意可知：，，,…,根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式，求得每項和分別為：21﹣1,22﹣1，２3﹣１,…,２n﹣1，每項含有的項數(shù)為：1，2，３,…,n，總共的項數(shù)為N=1+2＋3+…＋ｎ＝，所有項數(shù)的和為Ｓn:2１﹣1+22﹣1+2３﹣1＋…+2ｎ﹣1＝(21+22＋23+…+2n)﹣ｎ=﹣n=2n+１﹣2﹣n,由題意可知：２n＋1為２的整數(shù)冪.只需將﹣２﹣n消去即可，則①1＋2+(﹣2﹣n）=0,解得:ｎ＝1，總共有+2=3，不滿足N>100,②1+2+4＋(﹣2﹣n）＝0，解得：n=5,總共有＋3=18,不滿足N>１０0,③1+2＋4+８+(﹣2﹣n)=0,解得：ｎ＝13，總共有+4=95,不滿足N＞10０,④1＋2+4+８+１6+（﹣2﹣n)=０，解得：n=２９，總共有＋5=4４0,滿足Ｎ＞１0０，∴該款軟件的激活碼４4０．故選A.【點評】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和，考查計算能力，屬于難題．二、填空題:本題共4小題，每小題5分,共２0分.１3．（5分）已知向量，的夾角為60°,|｜＝2，||=１，則|+2|=2．【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積求出模長即可．【解答】解：【解法一】向量,的夾角為60°,且｜｜=2，||＝1，∴=+4?+4＝22+４×２×1×ｃos60°+4×12＝12，∴|+２|=２.【解法二】根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示；結(jié)合圖形=＋＝+2;在△OＡC中,由余弦定理得||=＝２，即|+２｜=２.故答案為：2．【點評】本題考查了平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用問題,解題時應(yīng)利用數(shù)量積求出模長，是基礎(chǔ)題．１4.(5分）設(shè)x,ｙ滿足約束條件,則ｚ=３x﹣2y的最小值為﹣5．【分析】由約束條件作出可行域，由圖得到最優(yōu)解,求出最優(yōu)解的坐標(biāo),數(shù)形結(jié)合得答案.【解答】解：由x，ｙ滿足約束條件作出可行域如圖，由圖可知，目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解為A，聯(lián)立，解得Ａ(﹣1,１).∴ｚ=3x﹣2y的最小值為﹣３×１﹣２×1＝﹣５．故答案為：﹣５．【點評】本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.1５.(5分)已知雙曲線Ｃ：﹣=1(ａ>0，b＞0)的右頂點為A,以A為圓心,b為半徑作圓A，圓A與雙曲線Ｃ的一條漸近線交于M、N兩點.若∠MAN=60°,則C的離心率為.【分析】利用已知條件,轉(zhuǎn)化求解Ａ到漸近線的距離,推出a,c的關(guān)系,然后求解雙曲線的離心率即可.【解答】解：雙曲線C：﹣=1（a＞0,b>0）的右頂點為A（ａ,0）,以Ａ為圓心，b為半徑做圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、Ｎ兩點.若∠MAN=6０°,可得A到漸近線bx+ａy=0的距離為：bcos３0°=，可得：=,即,可得離心率為：ｅ＝．故答案為:.【點評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,點到直線的距離公式以及圓的方程的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．16.(5分)如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5ｃm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D、E、F為圓O上的點，△DＢＣ,△ECＡ，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后,分別以BC，CA,AB為折痕折起△DBC，△ECＡ,△FＡＢ,使得Ｄ、E、F重合，得到三棱錐．當(dāng)△ＡＢC的邊長變化時,所得三棱錐體積（單位:cm３）的最大值為4cm３.【分析】由題，連接ＯD，交BC于點Ｇ，由題意得OD⊥ＢC,ＯＧ＝BC，設(shè)OＧ=ｘ，則BC=2x,ＤG＝5﹣x，三棱錐的高ｈ=，求出S△ＡBＣ=3,V==，令f(x)=25x4﹣10x5，x∈（0，)，f′(x)=1０0x3﹣50x4,f（x)≤f(２)=８0,由此能求出體積最大值.【解答】解:由題意，連接OD，交ＢＣ于點G，由題意得OＤ⊥BC，ＯG=ＢC，即ＯG的長度與BC的長度成正比，設(shè)OG＝x,則BC=2x，DG=5﹣ｘ,三棱錐的高ｈ＝==,＝3,則Ｖ=＝=，令f(x)＝2５x4﹣10ｘ５，ｘ∈（０，）,f′(x）=10０x3﹣5０x４,令f′(x)≥0,即ｘ４﹣2x3≤0，解得x≤2，則ｆ(x)≤f（２）＝80，∴Ｖ≤=4cm3,∴體積最大值為４cm3．故答案為:4cm３．【點評】本題考查三棱錐的體積的最大值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系、函數(shù)性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想,是中檔題.三、解答題:共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～2１題為必考題,每個試題考生都必須作答．第2２、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.１７．(12分）△ＡBC的內(nèi)角Ａ，Ｂ，C的對邊分別為a,ｂ,c,已知△ＡBＣ的面積為.(1)求sinＢｓinC;(2)若6ｃosBcosＣ=1，a=3，求△AＢC的周長.【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式和正弦定理可得答案,（2)根據(jù)兩角余弦公式可得cｏsＡ=,即可求出Ａ＝,再根據(jù)正弦定理可得bｃ=８，根據(jù)余弦定理即可求出ｂ+c,問題得以解決．【解答】解:(１)由三角形的面積公式可得S△AＢC=acｓinB=,∴3cｓinBsinＡ=２a,由正弦定理可得３siｎCsinBsiｎA(yù)＝２sｉｎA(yù)，∵sinA≠０,∴siｎＢｓinＣ=;(２）∵6cｏsBcoｓC＝1，∴ｃｏsBcosC＝,∴cosＢcｏsC﹣siｎＢsinC=﹣=﹣,∴ｃoｓ（Ｂ+C）=﹣,∴cosA=，∵0＜A＜π，∴Ａ＝，∵===2R==2,∴ｓinＢsiｎC=?===,∴bｃ=８,∵ａ2=b2+c2﹣２bccoｓA，∴b2＋c２﹣bc=9,∴（ｂ+ｃ）2=9+3ｃb=9+24=３３，∴b+c=∴周長ａ+ｂ+c=3＋.【點評】本題考查了三角形的面積公式和兩角和的余弦公式和誘導(dǎo)公式和正弦定理余弦定理,考查了學(xué)生的運算能力，屬于中檔題.18．（12分）如圖,在四棱錐P﹣ABＣＤ中,AＢ∥CD，且∠BAＰ=∠CDP＝90°.(1）證明：平面PAB⊥平面PＡD;(２）若PA=PD=AB＝DＣ,∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【分析】（1）由已知可得PＡ⊥AB,PD⊥ＣD,再由AB∥ＣD，得AB⊥PD，利用線面垂直的判定可得AＢ⊥平面PＡD，進(jìn)一步得到平面PAB⊥平面PAD;（2)由已知可得四邊形ABCＤ為平行四邊形,由（1）知AB⊥平面ＰAD，得到AB⊥ＡD,則四邊形ＡBCD為矩形,設(shè)PA＝AＢ=2a,則AD=.取AD中點O,BＣ中點E，連接PＯ、OE，以O(shè)為坐標(biāo)原點,分別以O(shè)A、OE、ＯP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PBＣ的一個法向量，再證明PD⊥平面PAＢ,得為平面PＡB的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角Ａ﹣PB﹣C的余弦值．【解答】（1)證明：∵∠BAＰ=∠CDＰ=90°，∴PA⊥ＡB，PD⊥CD,∵AB∥CD,∴AB⊥PD，又∵PA∩PD＝P,且PA?平面PAD，ＰD?平面PAD，∴AＢ⊥平面PAD,又ＡB?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PＡD;（2)解:∵ＡB∥CD,AB=ＣD,∴四邊形ＡBCD為平行四邊形，由(1）知AB⊥平面PAD,∴AB⊥AＤ,則四邊形AＢCD為矩形，在△AＰD中，由PA=PD,∠ＡPＤ=9０°,可得△PＡD為等腰直角三角形,設(shè)PＡ=AB＝２a，則AＤ＝．取ＡD中點Ｏ,BC中點Ｅ,連接PO、OＥ，以Ｏ為坐標(biāo)原點,分別以O(shè)Ａ、ＯE、ＯP所在直線為ｘ、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則:D（）,B(）,Ｐ（０,0，）,C()．，,．設(shè)平面PＢC的一個法向量為，由,得,取y=１，得．∵ＡB⊥平面ＰAD,AD?平面PAD,∴ＡB⊥PD，又ＰＤ⊥PA，PA∩AＢ＝Ａ，∴PD⊥平面PAB,則為平面PAB的一個法向量，．∴cos＜＞==.由圖可知,二面角Ａ﹣PＢ﹣C為鈍角，∴二面角A﹣ＰB﹣Ｃ的余弦值為.【點評】本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力,訓(xùn)練了利用空間向量求二面角的平面角,是中檔題.1９．（12分）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：cm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ，σ2）.（１)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的１6個零件中其尺寸在(μ﹣3σ,μ+３σ)之外的零件數(shù)，求P(Ｘ≥1)及X的數(shù)學(xué)期望;(２）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(μ﹣３σ，μ+3σ）之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．（?。┰囌f明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性;（ⅱ）下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的１６個零件的尺寸：9.９510.12９.969.9６1０．０1９.９29.９810.０41０.269．91１0.１310．０29.2210．0410.0５９．9５經(jīng)計算得＝＝9.９７,s==≈０.212，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸,ｉ=1,2,…,1６．用樣本平均數(shù)作為μ的估計值,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計值，利用估計值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除（﹣3+3)之外的數(shù)據(jù),用剩下的數(shù)據(jù)估計μ和σ(精確到0.01).附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布Ｎ(μ,σ2），則P（μ﹣3σ＜Ｚ<μ+3σ)=0.99７4,0．９974１6≈0.9５92，≈0.０９．【分析】（１)通過P(X=0）可求出P（X≥１）＝１﹣Ｐ（X＝０)=0．０40８,利用二項分布的期望公式計算可得結(jié)論;(2)（ⅰ)由(1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ)之外為小概率事件可知該監(jiān)控生產(chǎn)過程方法合理；(ⅱ)通過樣本平均數(shù)、樣本標(biāo)準(zhǔn)差s估計、可知（﹣3+3)＝(9.３34，1０.606),進(jìn)而需剔除(﹣3+3）之外的數(shù)據(jù)9.2２,利用公式計算即得結(jié)論.【解答】解:(1)由題可知尺寸落在(μ﹣3σ，μ+3σ)之內(nèi)的概率為0．9９７4,則落在(μ﹣3σ，μ+3σ)之外的概率為1﹣0.９９74＝0.0026，因為P（Ｘ＝0)＝×（1﹣0.９974）0×０.99741６≈0.95９2，所以P(Ｘ≥1）＝1﹣Ｐ（X=0)＝0.040８,又因為Ｘ～B(1６,０．０0２６),所以E(X）=１6×0.002６＝０.0４16;(2)（?。┤绻a(chǎn)狀態(tài)正常，一個零件尺寸在（﹣3＋３）之外的概率只有0.0026,一天內(nèi)抽取的16個零件中,出現(xiàn)尺寸在（﹣３+3)之外的零件的概率只有0.0４0８,發(fā)生的概率很小．因此一旦發(fā)生這種狀況,就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的．(ⅱ）由=9.97，s≈０.212,得μ的估計值為=９.97，σ的估計值為=0.21２，由樣本數(shù)據(jù)可以看出一個零件的尺寸在（﹣３+3)之外,因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．剔除（﹣3+3）之外的數(shù)據(jù)９．２２,剩下的數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(16×9.97﹣9.22)=10.0２，因此μ的估計值為１0．02.２＝16×０.21２2+1６×9.972≈1591.13４,剔除(﹣３+3）之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下的數(shù)據(jù)的樣本方差為(1５91.134﹣9．２22﹣１５×10.022)≈０.008，因此σ的估計值為≈0.09.【點評】本題考查正態(tài)分布,考查二項分布,考查方差、標(biāo)準(zhǔn)差，考查概率的計算,考查運算求解能力，注意解題方法的積累,屬于中檔題．２0．（12分)已知橢圓C：+=1（a＞b＞0），四點Ｐ1（1，1),P２(0，1),P3(﹣1，），P4（1，)中恰有三點在橢圓Ｃ上.(１)求C的方程；(2)設(shè)直線l不經(jīng)過Ｐ2點且與Ｃ相交于A，B兩點．若直線Ｐ2A與直線P２Ｂ的斜率的和為﹣１,證明：l過定點．【分析】(1）根據(jù)橢圓的對稱性,得到Ｐ2（0,1）,P３(﹣1，)，P4(1，)三點在橢圓C上.把P2（0,1），P3(﹣１,)代入橢圓Ｃ,求出a2=４，b2=1,由此能求出橢圓C的方程.(２）當(dāng)斜率不存在時，不滿足;當(dāng)斜率存在時,設(shè)l：ｙ=ｋｘ+t，（t≠１)，聯(lián)立，得（1+４k2）x２+８ｋtx+４ｔ２﹣4=0,由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、直線方程,結(jié)合已知條件能證明直線l過定點（2，﹣1）．【解答】解:（1）根據(jù)橢圓的對稱性，P3(﹣1,),P4（1，）兩點必在橢圓C上,又Ｐ4的橫坐標(biāo)為1,∴橢圓必不過P1(1,1）,∴P2（0，1）,P３（﹣1，），P4(１，)三點在橢圓C上．把P２(０,1）,Ｐ３（﹣1,)代入橢圓C，得:，解得a2＝4，ｂ2=1,∴橢圓Ｃ的方程為=１．證明:(２）①當(dāng)斜率不存在時,設(shè)l:x=m，A(ｍ，yＡ)，Ｂ（m,﹣yA）,∵直線P２Ａ與直線P2B的斜率的和為﹣1,∴===﹣1,解得m=２,此時l過橢圓右頂點，不存在兩個交點，故不滿足.②當(dāng)斜率存在時,設(shè)l：y＝kx+t,(t≠1）,Ａ（x１，y1）,B(x２，ｙ2），聯(lián)立,整理,得（1+4k２)ｘ2＋8ktｘ＋4t2﹣４＝０，，x１x2＝，則=====﹣1，又t≠1,∴t＝﹣2ｋ﹣1,此時△=﹣64k,存在k,使得△＞０成立，∴直線l的方程為y=kｘ﹣2k﹣1,當(dāng)x=２時,y=﹣1,∴l(xiāng)過定點（２,﹣１).【點評】本題考查橢圓方程的求法,考查橢圓、直線方程、根的判別式、韋達(dá)定理、直線方程位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力,考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想,是中檔題.2１．(１２分）已知函數(shù)f（x)=ａe２ｘ+（a﹣2）eｘ﹣x．(1）討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(ｘ）有兩個零點，求a的取值范圍.【分析】（1)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系,分類討論，即可求得f（x)單調(diào)性;（２）由（1）可知：當(dāng)a>0時才有兩個零點，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得f(x）最小值，由f(x）min＜0,g(a)=alnａ+a﹣1,ａ>0,求導(dǎo)，由g(a)mｉｎ=ｇ（ｅ﹣２)=ｅ﹣2ｌne﹣2+ｅ﹣2﹣1=﹣﹣1，ｇ(1)=0，即可求得ａ的取值范圍.（1)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分類討論,即可求得f(ｘ）單調(diào)性；（2)分類討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)零點的判斷，分別求得函數(shù)的零點,即可求得a的取值范圍．【解答】解:(1）由ｆ(x）＝aｅ2ｘ+（a﹣2)ｅx﹣ｘ，求導(dǎo)ｆ′(x）=２ae２ｘ＋(ａ﹣2)ex﹣１,當(dāng)a=０時,f′(x）=﹣２eｘ﹣1＜0,∴當(dāng)x∈R，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)ａ>０時，ｆ′（x)=(2ex+1)（aex﹣1）=2a（ex+）（ｅx﹣),令f′(ｘ)＝０,解得：x=ln，當(dāng)f′(x)＞0，解得：x＞ｌn，當(dāng)f′(x)<0，解得:x＜ｌn，∴ｘ∈（﹣∞,ln)時，ｆ（ｘ）單調(diào)遞減,x∈（ln，＋∞）單調(diào)遞增；當(dāng)a＜0時，f′(x）=2a（ex+）（ｅx﹣）<０，恒成立,∴當(dāng)x∈R,f(x)單調(diào)遞減，綜上可知:當(dāng)ａ≤0時,f(x）在R單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)a＞0時,f(ｘ）在(﹣∞,lｎ）是減函數(shù)，在(lｎ，+∞)是增函數(shù)；（2)①若a≤0時，由（１)可知:f(x)最多有一個零點,當(dāng)a＞０時,ｆ(x)=aｅ2x+（a﹣２）ｅｘ﹣ｘ，當(dāng)ｘ→﹣∞時,e2x→０,ｅx→0,∴當(dāng)ｘ→﹣∞時，f(x)→+∞,當(dāng)x→∞,e2x→+∞,且遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于ex和x，∴當(dāng)ｘ→∞,f（x)→+∞，∴函數(shù)有兩個零點，f(x）的最小值小于０即可,由ｆ(ｘ）在（﹣∞,ln）是減函數(shù)，在（lｎ，+∞）是增函數(shù),∴f(x）min=f(ln)=a×（）+(a﹣2)×﹣ｌn＜０，∴1﹣﹣lｎ＜0,即ln+﹣1＞0,設(shè)t=,則g（t)=ｌnｔ+t﹣1，(t>０）,求導(dǎo)g′（ｔ)=+1,由ｇ（１)=0,∴ｔ＝＞１,解得:0＜ａ<１，∴ａ的取值范圍(０，1)．方法二：（1）由f(ｘ）＝aｅ2ｘ+(a﹣2)ex﹣x，求導(dǎo)f′（x)=２ae２ｘ+（a﹣2）ex﹣1，當(dāng)a=0時，ｆ′（x）=﹣２ex﹣1＜０,∴當(dāng)ｘ∈R,f(ｘ）單調(diào)遞減，當(dāng)ａ＞0時,ｆ′（x)＝（２ex+1）(ａｅx﹣1）=2a（ex+）（ex﹣）,令ｆ′（ｘ）=0，解得：x=﹣lna，當(dāng)ｆ′(x)>0,解得：x＞﹣lna，當(dāng)f′（ｘ）<0,解得:x＜﹣lnａ，∴ｘ∈(﹣∞，﹣lna）時,f（x）單調(diào)遞減,x∈(﹣lnａ，+∞)單調(diào)遞增；當(dāng)a<0時，f′（x)＝２a(ex＋）(eｘ﹣)<0,恒成立，∴當(dāng)ｘ∈Ｒ，ｆ（x）單調(diào)遞減，綜上可知：當(dāng)a≤0時,f(ｘ）在R單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)a＞0時,f（x）在(﹣∞,﹣ｌnａ)是減函數(shù),在(﹣lna，+∞）是增函數(shù)；(2)①若ａ≤0時,由（1）可知：f(x)最多有一個零點，②當(dāng)a>0時，由(1)可知:當(dāng)ｘ＝﹣lｎa時,f(x）取得最小值,f（x)ｍiｎ=f（﹣ｌｎa)＝１﹣﹣ｌ