專題06空間點直線平面之間的位置關(guān)系

專題06空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系專題06空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系知識點一平面的基本性質(zhì)知識點一平面的基本性質(zhì)(1)公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi))．(2)公理2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面(即可以確定一個平面)．(3)公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線．推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面．推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．知識點二知識點二空間兩直線的位置關(guān)系直線與直線的位置關(guān)系的分類：共面直線平行、相交；異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補．知識點三知識點三異面直線所成的角1．異面直線所成的角定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的銳角或直角叫作異面直線a，b所成的角(或夾角)．異面直線a，b所成的角為直角，稱a，b互相垂直，記作.范圍：.2.異面直線的判定方法：判定定理：平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線；反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面．考點01平面的基本性質(zhì)【典例1】【多選題】（2022春·安徽蕪湖·高一?？计谥校┤鐖D，平面∩平面，直線，過A，B，C三點確定的平面為γ，則平面γ，β的交線必過（

）A．點A B．點BC．點C D．點D【答案】CD【分析】根據(jù)平面的基本性質(zhì)判斷.【詳解】因為，所以點A在與的交線上，點B在與的交線上，點C在與的交線上，點D在與的交線上，故選：CD【典例2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列各圖是正方體或正四面體，P、Q、R、S分別是所在棱的中點，這四個點共面的圖是______．【答案】①②③【分析】由正方體、正四面體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合點線、線線位置關(guān)系判斷四點是否共面.【詳解】圖①：，，故，即四點共面，滿足；圖②：，若為中點，則，故，即共面，而，，故，即共面，且三點不共線，故共面，滿足；圖③：由題設(shè)，，故，則共面，滿足；圖④：若為中點，則，故，即共面，而面，面，則面，又，且三點不共線，故面即為面，故面，即不共面，不滿足；故答案為：①②③【典例3】（2023·高一課時練習(xí)）在正方體中．(1)與是否在同一平面內(nèi)？請說明理由；(2)點B、、D是否在同一平面內(nèi)？請說明理由；(3)畫出平面與平面的交線；畫出平面與平面的交線．【答案】(1)是，理由見解析(2)是，理由見解析(3)答案見解析【分析】（1）由兩平行直線可確定一平面，可得答案；（2）由不共線三點可確定一平面，可得答案；（3）如圖，找到兩平面的公共點，公共點連線為平面交線.【詳解】（1）是，平行直線確定一平面；（2）是，不在同一直線上三點確定一平面（3）如圖，設(shè)，又平面，平面，平面，平面，則平面，平面，故平面與平面的交線為；如圖，設(shè).因平面，平面，平面，平面，則平面，平面.故平面與平面的交線為.【總結(jié)提升】1.證明點共線問題的常用方法公理法：先找出兩個平面，然后證明這些點都是這兩個平面的公共點，再根據(jù)公理3證明這些點都在交線上同一法：選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其余點也在該直線上.2.證明線共點問題的方法證明若干線共點的基本思路是先找出兩條直線的交點，再證明其他直線都經(jīng)過該點．而證明直線過該點的方法是證明點是以該直線為交線的兩個平面的公共點．3.證明點、直線共面問題的常用方法納入平面法：先確定一個平面，再證明有關(guān)點、線在此平面內(nèi)輔助平面法：先證明有關(guān)的點、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α，β重合.考點02空間兩直線位置關(guān)系的判定【典例4】（2021·全國·高一課時練習(xí)）若a，b為兩條異面直線，，為兩個平面，，，，則下列結(jié)論中正確的是()A．l至少與a，b中一條相交B．l至多與a，b中一條相交C．l至少與a，b中一條平行D．l必與a，b中一條相交，與另一條平行【答案】A【分析】此種類型的題可以通過舉反例判斷正誤.【詳解】因為a，b為兩條異面直線且，，，所以a與l共面，b與l共面.若l與a、b都不相交，則a∥l，b∥l，a∥b，與a、b異面矛盾，故A對；當(dāng)a、b為如圖所示的位置時，可知l與a、b都相交，故B、C、D錯.故選：A.【典例5】（2023·高一單元測試）若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．異面C．相交 D．平行、相交或異面【答案】D【分析】借助長方體中的棱長所在直線直接來判斷關(guān)系.【詳解】如圖，在長方體中，所在直線為a，AB所在直線為b，已知a和b是異面直線，b和c是異面直線，則c可以是長方體中的，，.故a和c可以平行、相交或異面．故選：D【典例6】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，（1）直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是________；（2）直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是________；（3）直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是________；（4）直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是________．【答案】

平行；

異面；

相交；

異面【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)即可證明A1B∥D1C；根據(jù)異面直線的定義，即可證明直線A1B與直線B1C、直線AB與直線B1C互為異面直線；由直線D1D與直線D1C相交于點D1，可知直線D1D與直線D1C相交.【詳解】（1）在長方體ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四邊形A1BCD1為平行四邊形，∴A1B∥D1C.，所以直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是平行；（2）直線A1B與直線B1C不同在任何一個平面內(nèi)．所以直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是異面；（3）直線D1D與直線D1C相交于點D1，所以直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是相交；（4）直線AB與直線B1C不同在任何一個平面內(nèi)．所以直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是異面.故答案為：平行；異面；相交；異面.【規(guī)律方法】判斷空間兩直線位置關(guān)系的思路方法(1)判斷空間兩直線的位置關(guān)系一般可借助正方體模型，以正方體為主線直觀感知并準(zhǔn)確判斷．(2)異面直線的判定方法①反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定兩條直線異面．②定理法：平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點B的直線是異面直線．考點03等角定理及其應(yīng)用【典例7】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖在四面體中，，，，，分別是，，，，的中點，則下列說法中不正確的是（

）A．，，，四點共面 B．C． D．四邊形為梯形【答案】D【分析】利用中位線定理和等角定理即可解決.【詳解】由圖可知，在中，,,分別是,的中點，所以且，同理在中，且，所以所以四邊形為平行四邊形，所以，，，四點共面，所以A正確;在中,由中位線定理得同理在中，由中位線定理得,所以由等角定理知，，所以B正確;在中，由中位線定理得所以,所以由等角定理可知，，,,所以，所以C正確;由上述分析得四邊形為平行四邊形，所以D錯誤;故選:D.【典例8】（2022·全國·高一專題練習(xí)）如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中．（1）直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是________．（2）∠A1BA與∠D1CD的大小關(guān)系是________．【答案】

A1B∥D1C

∠A1BA＝∠D1CD【分析】（1）由A1D1∥BC且A1D1=BC即可得A1B∥D1C；（2）由A1B∥D1C及AB∥DC，即可得∠A1BA＝∠D1CD.【詳解】（1）在長方體ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC且A1D1=BC，∴四邊形A1BCD1為平行四邊形，∴A1B∥D1C.（2）由（1）及AB∥DC，根據(jù)等角定理可得∠A1BA＝∠D1CD.故答案為：A1B∥D1C；∠A1BA＝∠D1CD.【典例9】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，已知棱長為的正方體中，．(1)四邊形是何圖形？如何證明？(2)與有何關(guān)系？【答案】(1)四邊形是等腰梯形，證明見解析(2)相等【分析】（1）連接、、、、，證明出且，，可得出結(jié)論；（2）利用等角定理可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：四邊形是等腰梯形，證明如下：連接、、、、，因為，則，且，在正方體中，且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，且，所以，且，又因為，同理可得，則，所以，四邊形為等腰梯形.（2）解：因為，，且與的方向相同，因此，.【特別提醒】空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補．考點04異面直線的夾角【典例10】（2023·高一單元測試）在如圖所示的正方體中，異面直線與所成角的大小為（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【分析】根據(jù)異面直線所成角的定義及正方體的特征求解【詳解】連接，，如圖，因為正方體中，所以就是與所成的角，在中，.∴.故選：C【典例11】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，已知正三棱柱的棱長都相等，為棱的中點，則與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取的中點，連接、、，設(shè)正三棱柱的棱長為，證明出，所以，與所成的角即為與所成的角，或其補角即為所求，推導(dǎo)出，即可計算出的正弦值，即為所求.【詳解】取的中點，連接、、，設(shè)正三棱柱的棱長為，如下圖所示：因為且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，且，又因為、分別為、的中點，則且，所以，四邊形為平行四邊形，則且，又因為且，所以，且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，所以與所成的角即為與所成的角，或其補角即為所求．在中，，，．因為，所以為直角三角形，且，所以．故選：B．【典例12】（2023·高一課時練習(xí)）體積為的正三棱柱中，與所成角大小等于，則與所成角余弦值為______.【答案】【分析】根據(jù)異面直線所成角的定義，作圖，得到與所成角為，根據(jù)勾股定理和余弦定理，計算可得答案.【詳解】如圖，分別取，，，的中點，，，，連接，，，，，因為體積為的正三棱柱中，與所成角大小等于，所以，在三角形中，，且根據(jù)正三棱柱的性質(zhì)，可得該三棱柱各條棱相等，可設(shè)該三棱柱棱長為，則有，解得，又因為在三棱柱中，面，進而得到，所以，，在正三棱柱中，因為為和的中點，且側(cè)棱，所以，必有面面，則，所以，為直角三角形，由，，得，在中，根據(jù)余弦定理，可得，，又因為異面直線所成的角的范圍是，設(shè)與所成角為，而，所以，，所以，與所成角的余弦值為.故答案為：【典例13】（2023·高一課時練習(xí)）空間四邊形中，且與所成的角為，、分別是、的中點，求與所成的角的大?。敬鸢浮炕颉痉治觥咳〉闹悬c，連接，，利用平行線得到即為與所成的角（或補角），為與所成的角（或補角），然后通過角之間的關(guān)系求解即可．【詳解】解：取的中點，連接，，如圖所示，因為是的中點，是的中點，是的中點，所以且，且，因為，所以，則即為與所成的角（或補角），為與所成的角（或補角），因為與所成的角為，所以或，因為，所以為等腰三角形，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故與所成角的大小為或．【規(guī)律方法】1.求異面直線所成的角常采用“平移線段法”，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；補形平移．計算異面直線所成的角通常放在三角形中進行．平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面問題化歸為共面問題來解決，具體步驟如下：①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；②認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；③計算：求該角的值，常利用解三角形；④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補角作為兩條異面直線所成的角．2.提醒：求異面直線所成的角要特別注意異面直線之間所成角的范圍．1．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知正方體（如圖所示），則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)異面直線的定義，垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，判斷選項.【詳解】A.，與相交，所以與異面，故A錯誤；B.與平面相交，且，所以與異面，故B錯誤；C.四邊形是矩形，不是菱形，所以對角線與不垂直，故C錯誤；D.連結(jié)，，，，所以平面，所以，故D正確.故選：D2.（2021·全國·高考真題（理））在正方體中，P為的中點，則直線與所成的角為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接，因為∥，所以或其補角為直線與所成的角，因為平面，所以，又，，所以平面，所以，設(shè)正方體棱長為2，則，，所以.3.（2005·湖北·高考真題）已知是直線，是平面，給出下列命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若與異面，且，則與相交；⑤若與異面，則至多有一條直線與都垂直．其中真命題的個數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由線線、線面平行與垂直的相關(guān)定理依次判斷各個選項即可.【詳解】對于①，若，，則可能平行、相交或異面，①錯誤；對于②，若兩條平行線中的一條垂直于一條直線，則另一條也與該直線垂直，②正確；對于③，若，，則可能平行或異面，③錯誤；對于④，若與異面，且，則與可能相交或平行，④錯誤；對于⑤，若與異面，有無數(shù)條直線與都垂直，⑤錯誤.故選：A.一、單選題1．（2021春·陜西榆林·高一陜西省神木中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方體中，分別是線段的中點，則直線與直線的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．垂直 C．平行 D．異面【答案】D【分析】由題意，作圖，根據(jù)正方體的性質(zhì)，以及異面直線的定義，可得答案.【詳解】由題意，作圖如下：顯然直線平面，且，則與異面.故選：D.2．（2023·高一課前預(yù)習(xí)）給出下列命題：①如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等；②如果兩條相交直線和另兩條直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等；③如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補．其中正確的命題有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【分析】對于①，如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等或互補，據(jù)此判斷；對于②，根據(jù)等角定理判斷；對于③，空間兩條直線的垂直包括異面垂直，此時兩個角有可能不相等且不互補，據(jù)此判斷.【詳解】對于①，這兩個角也可能互補，故①錯誤；根據(jù)等角定理，②顯然正確；對于③，如圖所示，BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的兩條邊分別垂直于∠APB的兩條邊，但這兩個角不一定相等，也不一定互補，故③錯誤．所以正確的命題有1個．故選：B3．（2023·高一課時練習(xí)）把互相平行的兩條直線稱為“一對”，則正方體的十二條棱中，互相平行直線有（

）A．對 B．對 C．對 D．對【答案】C【分析】列舉出滿足條件的平行直線對，可得出結(jié)論.【詳解】在正方體中，，則與、與、與、與、與、與平行，共對，同理，在、、、中，平行的棱有對，在、、、中，平行的棱有對，因此，在正方體的十二條棱中，互相平行直線有對，故選：C.4.（全國高考真題）正六棱柱的底面邊長為1，側(cè)棱長為，則這個棱柱側(cè)面對角線與所成的角是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，則，即為與所成的角，在中求解即可．【詳解】連接，則，故為與所成的角．在中，，，，在和中，得，是等邊三角形，．故選：B．二、多選題5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列四個命題中正確的是（

）A．若兩條直線互相平行，則這兩條直線確定一個平面B．若兩條直線相交，則這兩條直線確定一個平面C．若四點不共面，則這四點中任意三點都不共線D．若兩條直線沒有公共點，則這兩條直線是異面直線【答案】ABC【分析】由公理2及推論判斷A、B、C選項，由直線的位置關(guān)系判斷D選項.【詳解】公理2的推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面，選項A正確；公理2的推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面，選項B正確；空間四點不共面，則其中任何三點不共線，否則由公理2的推論1：直線與直線外一點確定一個平面，這空間四點共面，所以選項C正確；若兩條直線沒有公共點，可以互相平行，不一定是異面直線，選項D錯誤.故選：ABC6．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知正方體中，M為的中點，則下列直線中與直線BM是異面直線的有（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】觀察圖形可得到，，與與直線BM是異面直線.【詳解】顯然，，BD錯誤；與與直線BM既不平行，也不相交，是異面直線，AC正確.故選：AC三、填空題7．（2023·高一課前預(yù)習(xí)）若點,則平面與平面α的位置關(guān)系是________．【答案】相交【分析】根據(jù)題意，由空間中點線面的位置關(guān)系判斷即可得到結(jié)果.【詳解】∵點，即平面與平面有公共點，且不重合，∴平面與平面的位置關(guān)系是相交．故答案為:相交8．（2023·全國·高一專題練習(xí)）給出以下四個命題：①不共面的四點中，其中任意三點不共線；②若點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，則點A，B，C，D，E共面；③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面．其中正確的有________．(填序號)【答案】①【分析】根據(jù)點共線、共面以及線共面等知識對選項進行分析，從而確定正確選項.【詳解】對于①，反證法：如果四個點中，有個點共線，第個點不在這條直線上，根據(jù)基本事實的推論可知，這四個點共面，這與已知矛盾，故①正確；對于②，如下圖，共面，共面，但不共面，故②錯誤；對于③，如下圖，共面，共面，但異面，故③錯誤；對于④，如下圖，四條線段首尾相接，但不共面，故④錯誤.故答案為：①.9．（2023·高一課時練習(xí)）直三棱柱中，，，則與所成角大小為______．【答案】【分析】作出與所成角，并判斷出角的大小.【詳解】設(shè)，設(shè)是的中點，連接，則