專題12立體幾何初步專題訓練

專題12立體幾何初步專題訓練一：單項選擇題（共8小題，每題3分，共24分）1．水平放置的平面四邊形ABCD的斜二測直觀圖為一個上底為1，下底為2，高為10的梯形，則四邊形ABCD的實際面積為（

）A．15 B． C．30 D．【答案】D【分析】由已知，先計算出該圖形斜二測直觀圖的面積，然后再根據(jù)原圖形面積S與直觀圖面積S′之間的關(guān)系S′＝S換算關(guān)系，可直接求解出四邊形ABCD的實際面積.【解析】由題意得，梯形的面積為，由斜二測畫法得，四邊形ABCD的實際面積為.故選：D.2．在直角三角形ABC中，已知，，，以AC為旋轉(zhuǎn)軸將旋轉(zhuǎn)一周，AB、BC邊形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是一個圓錐，則經(jīng)過該圓錐任意兩條母線的截面三角形的面積的最大值為(

)A． B．4 C． D．8【答案】D【分析】設(shè)兩條母線為AB、AD，則截面面積為，由AB=AD為定值可知當sin∠BAD最大時，截面面積最大，結(jié)合圖形求出∠BAD的范圍即可求解．【解析】如圖，圓錐任意兩條母線為AB和AD，則截面為等腰三角形ABD，∴截面面積為：，由圖可知，當截面為圓錐軸截面時，∠BAD最大，最大為120°，∴∠BAD∈(0°，120°]，∴sin∠BAD最大值為1，∵AB=AD=為定值，故當sin∠BAD最大時截面面積最大，故截面面積最大為．故選：D．3．如圖，正四棱錐，M，N為棱PA，PC的中點，平面BMN與棱PD交于點Q，則下列說法正確的是（

）A．四邊形MBNQ是菱形B．四邊形MBNQ對角線MN中點也是四棱錐高線的中點C．D．【答案】B【分析】如圖連接，、，設(shè)，連接，設(shè)，即可得到，從而判斷B正確，延長交于點，連接、，即可判斷為上靠近的三等分點，從而得到A、C錯誤，因為側(cè)棱與底面邊長關(guān)系無法確定，從而無法判斷；【解析】解：如圖連接，、，設(shè)，連接，設(shè)，因為M，N為棱PA，PC的中點，所以，則為的中點，根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)可知即為四棱錐的高，故B正確；延長交于點，連接、，則，因為、、三點共線，所以，即，所以為上靠近的三等分點，顯然，但是，故四邊形不是菱形，且與不相似，故A、C錯誤；因為正四棱錐的側(cè)棱與底面邊長關(guān)系無法得知，故無法確定，故D錯誤；故選：B4．設(shè)，，是空間的三條直線，給出以下五個命題，其中正確的命題的個數(shù)是（

）①若，，則；②若、是異面直線，、是異面直線，則、也是異面直線；③若和相交，和相交，則和也相交；④若和共面，和共面，則和也共面；⑤若，，則；A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】由線線的位置關(guān)系定義可否定命題①②③④；由平行公理可以得到命題⑤為真命題．【解析】①垂直于同一直線的兩條直線相交、平行、異面皆有可能，故命題不正確；②與同一直線異面的兩直線可能是相交、平行、異面皆有可能，故命題不正確；③與同一直線相交的兩直線可能是相交、平行、異面皆有可能，故命題不正確；④若，則和共面；若與相交，則和共面.此時，可以是異面關(guān)系也可以是共面關(guān)系，故命題不正確；⑤若，，則，是正確命題；綜上，僅有⑤正確．故選：B．5．已知正方體棱長為2，M，N，P分別是棱、、的中點，則平面截正方體所得的多邊形的周長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平面基本性質(zhì)作出正方體中的截面圖，再由正方體的特征判斷截面的性質(zhì)，即可求周長.【解析】過直線與射線分別交于，作射線交于，連接交于，如下圖示：所以六邊形即為面截正方體所得的多邊形，又M，N，P分別是棱、、的中點，易知：均為中點，所以截面為正六邊形，故周長為.故選：C6．如圖，在直三棱柱中，，，P為的中點，則直線與所成的角余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取中點，連接，，推導出是直線與所成的角，利用余弦定理求出即可．【解析】解：取中點，連接，，直三棱柱中，，，為的中點，，，四邊形是平行四邊形，，是直線與所成的角（或所成角的補角），令，則，且，，，，，直線與所成的角的余弦值為．故選：B．7．已知圓臺上、下兩底面與側(cè)面都與球相切，它的側(cè)面積為16π，則該圓臺上、下兩個底面圓的周長之和為（

）A．4π B．6π C．8π D．10π【答案】C【分析】畫出圓臺、球的軸截面，根據(jù)內(nèi)切球可求母線長與上下底面的半徑的關(guān)系，從而可求兩個底面的周長之和.【解析】設(shè)圓臺的上、下底面的圓心分別為，圓臺、球的軸截面如圖所示，其中內(nèi)切圓與等腰梯形的腰相切于，則，故，因為圓臺的側(cè)面積為16π，故，故即，所以圓臺上、下兩個底面圓的周長之和為，故選：C8．已知圓錐軸截面是等腰直角三角形，一個正方體有四個頂點在圓錐的底面上，另外的四個頂點在圓錐的側(cè)面上（如圖），則圓錐與正方體的表面積之比為（

）A． B． C． D．以上答案都不對【答案】B【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，正方體的邊長為，求出，再求出圓錐和正方體的表面積化簡即得解.【解析】解：設(shè)圓錐的底面半徑為，正方體的邊長為，由軸截面得，因為，所以，所以圓錐的表面積，正方體的表面積所以.故選：B二：多項選擇題（共4小題，每小題3分，共12分）9．數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意獨特的幾何體，“等腰四面體”就是其中之一，所謂等腰四面體，就是指三組對棱分別相等的四面體.關(guān)于“等腰四面體”，以下結(jié)論正確的是（

）A．長方體中含有兩個相同的等腰四面體B．“等腰四面體”各面的面積相等，且為全等的銳角三角形C．“等腰四面體”可由銳角三角形沿著它的三條中位線折疊得到D．三組對棱長度分別為，，的“等腰四面體”的外接球直徑為【答案】ABC【分析】作出長方體，根據(jù)等腰四面體的定義得出圖形，根據(jù)長方體的性質(zhì)判斷各選項．【解析】如圖，長方體有兩個相同的等腰四面體：和，A正確；如等腰四面體中，每個面可能看作是從長方體截一個角得出的，如圖，設(shè)的長分別為，不妨設(shè)，則，，，最大，其所對角的余弦值為，最大角為銳角，三角形為銳角三角形，同理其它三個面都是銳角三角形，各個面的三條邊分別相等，為全等三角形，面積相等，B正確；把一個等腰四面體沿一個頂點出發(fā)的三條棱剪開攤平，則得一個銳角三角形，還有三條棱是這個三角形的三條中位線，如等腰四面體，沿剪開攤平，共線，同理可得共線，共線，為銳角三角形（與等腰四面體的面相似），且是這個三角形的中位線，因此C正確；如上等腰四面體中三條棱長分別是長方體的三條面對角線長，由長方體性質(zhì)知長方體對角線是其外接球直徑，因此直徑長為，D錯。故選：ABC．10．如圖，在長方體中，，BC＝2，M、N分別為棱，的中點，則下列說法正確的是（

）A．A，D，，四點共面 B．AM與BN是異面直線C．平面平面ABCD D．平面ADM【答案】ABCD【分析】由得共面，即可判斷A選項；取中點，由，平面即可判斷B選項；由平面ABCD，平面ABCD即可判斷C選項；由即可判斷D選項.【解析】由，知共面，即A，D，，四點共面，A正確；取中點，連接，易得，則四邊形為平行四邊形，，又平面，故AM與BN是異面直線，B正確；取中點，連接，易得，則四邊形為平行四邊形，，又平面ABCD，平面ABCD，則平面ABCD，又，同理可得平面ABCD，又平面，，則平面平面ABCD，C正確；由，又平面，平面，則平面，D正確.故選：ABCD.11．在等腰梯形ABCD中，，，，以CD所在的直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個幾何體，則（

）．A．等腰梯形ABCD的高為1 B．該幾何體為圓柱C．該幾何體的表面積為 D．該幾何體的體積為【答案】AC【分析】根據(jù)該幾何體的結(jié)構(gòu)特征為一個圓柱挖去上下兩個圓錐逐項求解判斷.【解析】因為在等腰梯形ABCD中，，，，所以等腰梯形ABCD的高為1，該幾何體的結(jié)構(gòu)特征為一個圓柱挖去上下兩個圓錐，A正確，B錯誤．該幾何體的表面積，體積，C正確，D錯誤．故選：AC12．正方體的棱長為4，動點，在棱上，，動點在棱上，則三棱錐的體積（

）A．與點的位置有關(guān) B．與點，的位置有關(guān)C．與點，，的位置均無關(guān) D．三棱錐的體積恒為【答案】CD【分析】由等體積法結(jié)合體積公式判斷即可.【解析】解：，的面積為定值，點到所在平面的距離為定值4，故三棱錐的體積與點，，位置均無關(guān)，是定值．故選：CD．三：填空題（共4小題，每小題3分，共12分）13．水平桌面上放置了三個半徑為6的球，這三個球兩兩相切，在三個球共同的下方再放置一個小球，小球與原來的三個球以及桌面都相切，則小球的半徑為__________．【答案】2【分析】先判斷出三個球的球心與桌面的三個切點構(gòu)成了正三棱柱，作出小球球心在上下底面的投影，通過相切求出及，再通過勾股定理解出半徑即可.【解析】設(shè)三個半徑為6的球球心分別為，與桌面的三個切點分別為，則三棱柱是一個底面邊長為12，高為6的正三棱柱，小球球心在平面上的投影必為的中心，在平面上的投影必為的中心，連接并延長交于，則為中點，設(shè)小球半徑為，在中，由小球與原來的三個球以及桌面都相切可得，，則，，則，即，解得.故答案為：2.14．已知圓錐的母線與底面半徑之比為3，若一只螞蟻從該圓錐底部上的一點A繞圓錐側(cè)面爬行一周再回到A點的最短距離為9，則該圓錐的軸截面面積為_________.【答案】【分析】將圓錐側(cè)面沿過A的母線展開，設(shè)所得扇形的圓弧一端為A，另外一端為B，則弦AB=9，根據(jù)圓錐的母線與底面半徑之比為3可求展開扇形的圓心角，從而可求出母線和圓錐底面半徑，根據(jù)幾何關(guān)系即可求出圓錐軸截面的面積．【解析】圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，如圖所示，設(shè)母線長為l，即OA=OB=l，圓錐底面半徑為r，即的長度為2πr，設(shè)側(cè)面展開圖的圓心角∠AOB=θ，則，由已知得，聯(lián)立解得，從該圓錐底部上的一點A繞圓錐側(cè)面爬行一周再回到A點的最短距離為AB，則，則在等腰△OAB中，易得，則，圓錐軸截面為以母線l為腰，2r為底邊的等腰三角形，其底邊上高為，∴軸截面面積為﹒故答案為：．15．如圖，在三棱錐中，，且，E，F(xiàn)分別是棱，的中點，則和所成的角等于______________．【答案】【分析】先由異面直線夾角的定義確定和所成的角，再通過解三角形求夾角的大小.【解析】取的中點，連接，因為E，F(xiàn)分別是棱，的中點，所以，,，,又，且，所以，,因為，所以為異面直線和的夾角，在中，，所以，故和所成的角等于，故答案為：.16．已知正四棱臺的上、下底面的頂點都在一個半徑為2的球面上，上、下底面正方形的外接圓半徑分別為1和2，則此正四棱臺的體積為______．（參考公式：，其中，是棱臺上、下底面的面積，h是棱臺的高）【答案】【分析】先根據(jù)已知判斷外接球的球心位置，然后可得正四棱臺的高，然后可得.【解析】由題可知，下底面的外接圓圓心即為外接球的球心如圖，記正四棱臺上底面的外接圓圓心為，下底面外接圓圓心為O由題知，，易知，所以記上、下底面面積分別為，則所以正四棱臺的體積故答案為：四：解答題（共6小題，52分）17.（8分）如圖所示，正方體的棱長為1，過頂點B、D、截下一個三棱錐．(1)求剩余部分的體積V；(2)求異面直線與所成角的余弦值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）求出正方體的體積和截下的三棱錐的體積即可計算作答.（2）根據(jù)給定條件，確定異面直線與所成的角，再在直角三角形中計算作答.【解析】(1)依題意，正方體的體積：，截去的三棱錐體積為：，所以剩余部分的體積是.(2)連，如圖，，或其補角為異面直線與所成角，在中，，，，則，所以異面直線與所成角的余弦值．18.（8分）如圖所示棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是長方形，底面周長為8，PD＝3，且PD是四棱錐的高．設(shè)AB＝x．(1)當x＝3時，求三棱錐A﹣PBC的體積；(2)四棱錐外接球的表面積的最小值．【答案】(1)；(2)17π.【分析】（1）應用棱錐的體積公式，求A﹣PBC的體積．（2）將四棱錐補成長方體，根據(jù)它們的外接球相同，由長方體外接球的特征求出球體半徑，利用二次函數(shù)的性質(zhì)及球的表面積公式求表面積的最小值．【解析】(1)當x＝3時，AB＝3，BC＝1，則△ABC的面積為S△ABC，∴三棱錐A﹣PBC的體積為：VA﹣PBC＝VP﹣ABC．(2)將四棱錐P﹣ABCD補成長方體ABCD﹣A1B1C1P，如下圖，則四棱錐P﹣ABCD外接球和長方體ABCD﹣A1B1C1P的外接球相同，設(shè)AB＝x，則BC＝4﹣x，則四棱錐P﹣ABCD外接球半徑：R，當x＝2時，R取得最小值為，此時外接球的表面積的最小值Smin＝4π×()2＝17π．19.（8分）已知在四棱錐中，，，，為的中點，若正視圖方向與向量的方向相同時，四棱錐的正視圖為三角形．(1)證明：平面；(2)若三角形為直角三角形，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）由已知可得出平面，利用線面垂直的定義可得出，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得出，再利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）推導出平面，分析可知，結(jié)合錐體的體積公式可求得結(jié)果.【解析】(1)證明：因為正視圖方向與向量的方向相同時，四棱錐的正視圖為三角形，則平面，平面，，因為，為的中點，所以，，，平面.(2)解：因為且三角形為直角三角形，則，又因為，，平面，因為，，，所以，，因為為的中點，則.20.（8分）如圖，已知在長方體中，，，點是的中點．(1)求證：平面；(2)求異面直線與所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】(1)如圖，根據(jù)中位線的性質(zhì)可得，由線面平行的判定定理即可證明；(2)由(1)可知為異面直線與所成角的平面角，利用勾股定理分別求出的值，結(jié)合余弦定理計算即可.【解析】(1)連接AC，交BD于點O，則O為AC的中點，又因為E為的中點，連接，則，∵平面EBD，平面EBD，平面EBD；(2)由(1)知，，所以為異面直線與所成角的平面角，在中，，，由余弦定理，得，故異面直線與所成角的余弦值為.21.（10分）如圖，圓柱的軸截面ABCD為正方形，，EF是圓柱上異于AD，BC的母線，P，Q分別為線段BF，ED上的點．(1)若P，Q分別為BF，ED的中點，證明：平面CDF；(2)若，求圖中所示多面體FDQPC的體積V的最大值．【答案】(1)證明見解析；(2)最大值．【分析】（1）連接，根據(jù)圓柱的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形，即可得到為的中點，從而得到，即可得證；（2）設(shè)，，即可得到，，再根據(jù)比例關(guān)系，表示出，，表示出三棱錐與三棱錐的高，根據(jù)錐體的體積公式得到，令，則，再令，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出最大值；【解析】(1)證明：如圖連接，根據(jù)圓柱的性質(zhì)可得且，所以四邊形為平行四邊形，因為為的中點，所以為的中點，又為的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，(2)解：中，設(shè)，，則，，所以