江蘇省南京市鼓樓區(qū)2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

2024-2025學(xué)年九年級（上）期中試卷數(shù)學(xué)一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分．在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1．戰(zhàn)國時期的著作《墨經(jīng)》中“……，一中同長也”描述的圖形是（

）A．等邊三角形 B．正方形 C．正六邊形 D．圓2．一元二次方程x2+2x-3=0的根的情況是（

）A．有兩個相等的實數(shù)根B．沒有實數(shù)根C．有兩個不相等的實數(shù)根D．無法確定3．若點P在⊙O內(nèi)，且OP=6，則⊙O的半徑可能為（

）A．4 B．5 C．6 D．74．正多邊形的一部分如圖所示，若∠ACB=20°，則該正多邊形的邊數(shù)為（

）A．8 B．9 C．10 D．125．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．a(chǎn)＞0，c＞0 B．a(chǎn)＞0，c＜0 C．a(chǎn)＜0，c＞0 D．a(chǎn)＜0，c＜06．已知二次函數(shù)y=-x2+2x+3，當(dāng)-2＜x＜2時，y的取值范圍是（

）A．-5＜y＜3 B．-5＜y＜4 C．-5＜y≤4 D．3＜y≤4二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）7．一元二次方程x2=2024x的解是_____．8．已知⊙O的半徑為5cm，圓心O到直線l的距離為4cm，那么直線l與⊙O的位置關(guān)系是．9．某景區(qū)六月份游客接待量為300萬人次，八月份游客接待量為363萬人次．設(shè)游客接待量的月平均增長率是x，根據(jù)題意可列方程為_____．10．已知圓錐的底面圓半徑為2，母線長為6，則該圓錐的側(cè)面積為_____．11．如圖，點A、B、C、D、E在⊙O上，的度數(shù)為40°，則∠B+∠D的度數(shù)是_____．12．若二次函數(shù)的圖象過，，三點，則，，的大小關(guān)系是．（用“＜”連接）．13．如圖，四邊形是的外切四邊形，且，，若四邊形的面積等于，則的半徑等于．14．在中，，，，若以點為圓心，為半徑所作的圓與斜邊AB有兩個公共點，則的取值范圍是．15．如圖，在AB為直徑的半圓中，，，則弦DE，與半圓圍成的陰影部分的面積與半圓面積的比值等于．16．如圖，的半徑為5，，若將沿某條弦所在的直線翻折，翻折后的弧恰好經(jīng)過點P，則這條弦的長度a的范圍是．三、解答題（本大題共11小題，共88分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．解下列一元二次方程．（1）；（2）．18．已知關(guān)于x的一元二次方程（k為常數(shù)）．（1）求證：不論k為何值，該方程總有實數(shù)根；（2）不論k為何值，方程總有一個確定的實數(shù)根為______．19．如圖，，是的半徑，且，弦分別經(jīng)過，的中點D，E．（1）求證：；（2）求證：．20．如圖，在中，，，，點P從點A出發(fā)沿以的速度向點B移動，點P出發(fā)幾秒后，？21．已知，的圖象由的圖象平移得到，為了探究如何平移，小明列出了下表：x…012345……188202818……18m202818……20n424p20…（1）直接寫出m的值和的函數(shù)表達式；（2）將二次函數(shù)的圖象先向左平移3個單位，再向下平移1個單位，求得到的拋物線頂點坐標(biāo)．22．如圖，為的直徑，射線交于C點，的平分線交于D點，過點D作交于E點．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的半徑．23．小韋在解方程時突發(fā)奇想，按照如下步驟進行：①將原方程中一次項系數(shù)除以10，常數(shù)項除以100，得到新方程；②解得新方程的兩個根分別是m和n；③將m和n分別乘以10，得到原方程的兩個根，．（1）直接寫出m和n的值；（2）請你說明其中的道理．24．如圖，要設(shè)計一本書的封面，封面長，寬，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形．如果要使四周的邊襯（圖中陰影部分）所占面積是封面面積的，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，則上、下邊襯的寬度約為多少？（，結(jié)果保留整數(shù)）25．已知二次函數(shù)（h是常數(shù)），且．（1）當(dāng)時，求函數(shù)的最大值；（2）若函數(shù)的最大值為，求h的值．26．類比是探索發(fā)現(xiàn)的重要途徑，是發(fā)現(xiàn)新問題、新結(jié)論的重要方法．學(xué)習(xí)再現(xiàn)：設(shè)一元二次方程的兩個根分別為和，那么，比較系數(shù)得，．類比推廣：（）設(shè)的三個根分別為，，，求的值．問題解決：（）若的三個根分別為，，，則的值是______．拓展提升：（）已知實數(shù)滿足，且，求正數(shù)的最小值．27．尺規(guī)作圖已知線段和，將線段沿某條直線翻折后，A、B兩點恰好落在上，請按照下列要求分別作出翻折后的線段．（①保留作圖痕跡；②寫出必要的文字說明）．（1）如圖1，的長度等于的直徑；（2）如圖2，的長度小于的直徑．參考答案1．D【分析】本題考查了文學(xué)常識，戰(zhàn)國時期墨家所著的《墨經(jīng)》一書中記載：“圜（圓），一中同長也．”據(jù)此解答即可．【詳解】解：戰(zhàn)國時期的著作《墨經(jīng)》中“……，一中同長也”描述的圖形是圓，故選：D．2．C【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)判別式△=b2-4ac來判斷即可，當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，當(dāng)△=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根，當(dāng)△＜0時，方程沒有實數(shù)根．【詳解】解：∵一元二次方程，，，，∴，∴一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選：C．3．D【分析】本題考查了點和圓的位置關(guān)系，根據(jù)點在圓內(nèi)即可判斷求解，掌握點和圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵點在內(nèi)，且，∴的半徑大于，∴的半徑可能為，故選：．4．B【分析】本題考查了正多邊形與圓，圓周角定理．連接，，根據(jù)圓周角定理得到，即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接，，、、、為一個正多邊形的頂點，為正多邊形的中心，點、、、在以點為圓心，為半徑的同一個圓上，，，這個正多邊形的邊數(shù)．故選：B．5．C【分析】根據(jù)拋物線的開口方向以及與軸的交點位置進行判斷即可．【詳解】∵拋物線開口方向向下，∴a＜0.∵拋物線與y軸交點坐標(biāo)為（0，c）點，由圖知，該點在x軸上方，∴c＞0.故選C.【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．6．C【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)．由二次函數(shù)解析式可求得對稱軸及開口方向，再利用二次函數(shù)的增減性可分別求得y的最大值和最小值即可求得答案．【詳解】解：，∵，對稱軸為，∴當(dāng)時，y有最大值，最大值為4，∵，∴當(dāng)時，y有最小值，∴當(dāng)時，y的取值范圍是，故選：C．7．【分析】本題主要考查了解一元二次方程．熟練掌握因式分解法解一元二次方程，是解決問題的關(guān)鍵．移項，提公因式x，化成兩個一元一次方程解答即可．【詳解】∵，∴移項得，，分解因式得，，∴，∴．故答案為：．8．相交【分析】由題意得d<r，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系的判定方法判定即可．【詳解】解：∵⊙O的半徑為5cm，圓心O到直線l的距離為4cm，∴d<r，∴直線l與⊙O的位置關(guān)系是相交．故答案為相交．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系．已知⊙O的半徑為r，如果圓心O到直線l的距離是d，當(dāng)d>r時，直線與圓相離；當(dāng)d=r時，直線與圓相切；當(dāng)d<r時，直線與圓相交．9．【分析】本題考查了與增長率有關(guān)的一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，找到等量關(guān)系并正確列出方程是關(guān)鍵；根據(jù)等量關(guān)系：，列出方程即可．【詳解】解：由題意得：；故答案為：．10．【分析】本題主要考查了圓錐的側(cè)面積計算，根據(jù)（r為底面圓半徑，l為母線長）進行求解即可．【詳解】解：，∴該圓錐的側(cè)面積為，故答案為：．11．160°．【分析】連接AB，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理求出∠ABE，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計算即可．【詳解】解：連接AB，∵的度數(shù)為40°，∴∠ABE＝20°，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠ABC+∠D＝180°，∴∠CBE+∠D＝180°﹣20°＝160°，故答案為160°．【點睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關(guān)鍵．12．【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的對稱性；確定拋物線的對稱軸，利用對稱性把點C變?yōu)殛P(guān)于對稱軸對稱的另一點，利用函數(shù)的增減性即可求解．【詳解】解：二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線，而點C關(guān)于對稱軸對稱的另一點，∵二次項系數(shù)為負，拋物線開口向下，∴當(dāng)時，函數(shù)值隨自變量的增大而增大，∵，∴；故答案為：．13．【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，切線長定理，設(shè)點為四邊形與的切點，連接，由切線長定理可得，，，，由，可得，進而可得，設(shè)，最后根據(jù)面積可得，據(jù)此即可求解，掌握切線的性質(zhì)和切線長定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)點為四邊形與的切點，連接，則，，，，由切線長定理得，，，，，∵，，∴，，∴，∴，∴，即，設(shè)，∵四邊形的面積等于，∴，即，∴，∴，故答案為：．14．【分析】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，勾股定理，先利用勾股定理求出AB，再根據(jù)三角形的面積求出斜邊上的高CD，可知當(dāng)時，所作的圓與斜邊AB相切，進而即可求解，掌握直線和圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，，∴，過點作，則，即，解得，當(dāng)時，所作的圓與斜邊AB相切，∴當(dāng)時，所作的圓與斜邊AB有兩個公共點，故答案為：．15．1【分析】本題主要考查了扇形面積的計算，圓周角定理，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識點，如圖，連接、、，分別用表示出陰影面積和半圓面積，然后計算比值即可得解，熟練掌握其性質(zhì)，正確的作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】如圖，連接、、，∵為直徑，∴，∵，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∴，∵，∴，設(shè)圓的半徑為r，過C點作于點F，∴，，，∴，∴，∴，，∴,故答案為：．16．【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理．由垂徑定理知，當(dāng)弦垂直平分時，弦最短，當(dāng)弦垂直平分時，弦最長，利用垂徑定理和勾股定理計算即可求解．【詳解】解：過點作的直徑，由垂徑定理知，當(dāng)弦垂直平分時，弦最短，當(dāng)弦垂直平分時，弦最長，如圖，連接，∵的半徑為5，，∴，∴，在中，，∴；如圖，連接，∵的半徑為5，，∴，∴，在中，，∴；∴這條弦的長度a的范圍是．故答案為：．17．（1），；（2），．【分析】本題考查解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元二次方程的常用方法．（1）先求得的值，再利用公式法求解即可．（2）方程的左邊可以利用平方差公式分解因式，則方程可以變形成左邊是兩個一次式的乘積，右邊是0的形式，依據(jù)兩個式子的乘積是0，則每個式子中至少有一個是0，即可轉(zhuǎn)化成兩個一元一次方程，從而求解．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∴，即，；（2）解：∵．∴∴，，∴方程的解是：，．18．（1）見解析（2）1【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，因式分解法解一元二次方程；（1）計算出判別式，根據(jù)判別式的符號即可證明；（2）方程左邊可分解因式，因此用因式分解法即可求解，在解中有一個與k無關(guān)的解，即可求解．【詳解】（1）證明：，∴不論k為何值，方程總有實數(shù)根；（2）解：原方程可化為，即或，解得：；∴方程有一個確定的實數(shù)根1．故答案為：1．19．（1）見解析（2）見解析【分析】此題考查了弧與圓心角的關(guān)系以及全等三角形的判定與性質(zhì)．（1）根據(jù)弧與圓心角的關(guān)系，可得，又由點D，E分別是，的中點，可得，繼而可證得，則可得；（2）由得到，推出，再得到，則．【詳解】（1）解：，理由如下，證明：過點作直徑，如圖，，，是的半徑，，，點D，E分別是，的中點，，，在和中，，，；（2）證明：∵，∴，∴，∵是的直徑，∴，∴，∴．20．點P出發(fā)3秒后，【分析】本題是動態(tài)幾何問題，考查了解一元二次方程，勾股定理，掌握勾股定理內(nèi)容是關(guān)鍵；由題意得，在中，由勾股定理求得；再由，得到關(guān)于t的一元二次方程，解方程即可．【詳解】解：由題意得，在中，，，由勾股定理得；∵，即，∴，整理得：，解得：；∵，且，∴；即點P出發(fā)3秒后，．21．（1），（2）【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，仔細觀察表格函數(shù)值的變化，找到平移的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）觀察表格知，的圖象向左平移了2個單位得到的圖象，由此可確定m的值及的函數(shù)解析式；（2）由表格可得的解析式，即可確定二次函數(shù)的圖象先向左平移3個單位，再向下平移1個單位的解析式，從而確定頂點坐標(biāo)．【詳解】（1）解：由表格知，自變量取時函數(shù)的函數(shù)值，等于函數(shù)的自變量取時的函數(shù)值，因此相當(dāng)于把函數(shù)的圖象向左平移2個單位長度，得到函數(shù)的圖象，∴，；（2）解：由表格知，函數(shù)的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移2個單位長度得到函數(shù)的圖象，∴；∴二次函數(shù)的圖象先向左平移3個單位，再向下平移1個單位的解析式為，即．∴的頂點坐標(biāo)為．22．（1）見解析（2）5【分析】（1）連接，若要證明為的切線，只要證明即可；（2）過點作于F，證明四邊形是矩形，利用勾股定理計算即可．【詳解】（1）證明：連接，如圖，∵，∴．∵平分，∴．∴．∴，，∵，∴，∴，∴，∵是的半徑，∴為的切線；（2）解：過點作于F，∴又∴四邊形是矩形，∴設(shè)則在中，，∴，解得，即的半徑為5．【點睛】本題考查了圓的切線的判定、平行線的判定與性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運用，正確作出輔助線構(gòu)造矩形和直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．23．（1），；（2）見解析【分析】本題考查了因式分解法解一元二次方程，根與系數(shù)的關(guān)系．（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．【詳解】（1）解：解方程，因式分解得，解得，，∴，；（2）解：設(shè)方程的兩個根為，，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，設(shè)，，∴，，解得，，∴m和n是方程的兩個根．24．【分析】本題考查了一元二次方程的實際運用，一元二次方程的解法的運用，解答時根據(jù)矩形的面積公式建立方程是關(guān)鍵．由條件知道中間矩形的長寬比是，設(shè)中間的矩形的長為，寬為，根據(jù)封面的面積關(guān)系建立方程求出其解即可．【詳解】封面長，寬，封面的長寬比為，設(shè)中間的矩形的長為，寬為，則有，解得，當(dāng)不合題意舍去，，上下邊襯為，上、下邊襯的寬度約為25．（1）函數(shù)的最大值為0；（2）h的值是4或．【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)；（1）根據(jù)頂點式可直接得出答案；（2）根據(jù)函數(shù)的最大值為分情況討論：若，則當(dāng)時，y最大；若，則當(dāng)時，y最大；若，則最大值為0，與題意不符；根據(jù)最大值為分別求解即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時，二次函數(shù)為，∴當(dāng)時，函數(shù)有最大值為0；（2）解：∵二次函數(shù)（h是常數(shù)），當(dāng)自變量x滿足時，其對應(yīng)函數(shù)y的最大值為，∴若，則當(dāng)時，y最大，即，解得，（舍去）；若，則當(dāng)時，y最大，即，解得，（舍去）；若，則最大值為0，與題意不符；綜上，h的值是4或．26．（）；（）；（）【分析】（）根據(jù)學(xué)習(xí)材料得，據(jù)此即可求解；（）結(jié)合（）的結(jié)果