第一章高中數(shù)學實驗的總體構(gòu)想-GeoGebra高中數(shù)學實驗探究與應用教程

概述

作為學生，大家肯定會常常思考：數(shù)學應該怎樣學習效率高？怎樣學習內(nèi)化快？作為教師，我們也長

期為這個問題所困擾：教學中學生遇到了疑難，教師除了一遍又一遍的講解，還有什么辦法可以幫助他們

更快找到答案？對于其中的抽象問題，還有什么途徑幫他們更好去掌握？

解決以上問題的方法，可謂仁者見仁，智者見智，但有一點是相同的，那就是提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，

構(gòu)造學生完善的知識體系是當務之急.而構(gòu)造知識體系最重要的就是要學生真正理解知識、掌握知識，并

能靈活應用知識，為達到這一點，就要求我們教學中力求讓學生不但知其然更知其所以然.所以面對這個

問題我的答案是數(shù)學實驗：通過數(shù)學實驗把知識變成看得見摸得著的東西，親手觸摸它，親身感受它，消

除它的神秘感和抽象感，然后駕馭它.

我在高中數(shù)學這一方“土地”摸爬滾打了26年，仍然對高中數(shù)學學習的一個細節(jié)記憶猶新：上高中的時

候，三角函數(shù)中的“和差化積”與“積化和差''這8個公式我總是記不住，即使上了大學，這種情況仍然沒有改

觀.可奇怪的是，經(jīng)過一輪授課后，這8個公式卻被我輕而易舉地記下來了.肯定不止我一個人有這樣的

體驗，有些學習成績好的學生很愿意給其他同學講解題目，表面看來浪費了自己不少時間，但事實上通過

講解，使自己對知識理解變得更加深刻，記得也更加牢固了.其實都是一個道理：我們親身經(jīng)歷了這些數(shù)

學知識的生成過程，親手觸摸過它的門道，清楚它的每一道“溝坎”.因為親歷，所以掌握牢固；因為觸摸,

所以內(nèi)化得更快.

那么，如何提高數(shù)學學習效率？在數(shù)學教學中如何讓學生體驗知識形成過程？如何提高學生數(shù)學探究

能力和數(shù)學建模能力，給他們創(chuàng)造“觸摸”數(shù)學的機會？我認為，數(shù)學實驗是切實行之有效的方法.何謂數(shù)學

實驗？目前還沒有統(tǒng)一的明確界定，通常指的是“為獲得某種數(shù)學理論，檢驗某個數(shù)學猜想，解決某類數(shù)學

問題，實驗者運用一定的物質(zhì)手段，在數(shù)學思維活動的積極參與下，在典型的實驗環(huán)境中或特定的實驗條

件下所進行的一種數(shù)學實踐探索活動可以預見，數(shù)學實驗的開展將為學生提供觸摸數(shù)學的機會，促使學

生主動融入數(shù)學學習的各個環(huán)節(jié)，有效地培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識和實踐能力，這是對傳統(tǒng)數(shù)學教學手段的有益

補充.

正是基于這樣的認知，筆者才提出基于數(shù)學實驗的教學創(chuàng)新.嘗試通過這本書，為學生的學習提供一

種有效的輔助手段，為教師的教學提供一種全新的教學模式，為讀者的數(shù)學學習提供一個全新的視角，給

廣大數(shù)學愛好者提供一種別樣的數(shù)學研究體驗.

第一章高中數(shù)學實驗的總體構(gòu)想

數(shù)學的學習兒乎貫穿了學生的整個學習生涯，其重要性不言而喻.隨著社會經(jīng)濟的發(fā)展和科學技術的

進步，數(shù)學正在以更快的速度全方位地滲透到社會、科技、生活的方方面面.然而，我們發(fā)現(xiàn)，隨著學習

的深入，越來越多的學生對數(shù)學學習產(chǎn)生了厭倦、甚至害怕的心理，基礎差的學生就會常常覺得越來越力

不從心，從而導致數(shù)學成績“每況愈下”.一方面隨著學習內(nèi)容和知識難度的加深，數(shù)學逐漸從形象走向抽象，

更主要的原因是學生在課堂上被動地接受知識，缺少對數(shù)學知識生成過程的親身體驗，難以構(gòu)建完整的知

識和能力體系.這種情形在高中數(shù)學教學中普遍存在，鑒于此種情況，創(chuàng)設高中數(shù)學實驗室，為學生提供

與數(shù)學親密接觸的機會就顯得十分必要.

第1節(jié)高中數(shù)學實驗的目標與任務

高中數(shù)學實驗的總體目標就是服務學生的數(shù)學學習，降低數(shù)學學習難度，提高數(shù)學學習興趣，激發(fā)數(shù)

學學習熱情.具體來說，應著眼于解決三大問題，完成三大任務.

1.讓學生體驗數(shù)學知識的生成過程

隨著學習的深入，高中數(shù)學較為抽象的知識隨處可見，教師的講解可能較難讓學生對知識有較為透徹

的理解.較典型的如在研究二次函數(shù)的區(qū)間最值時，學生對函數(shù)圖象的變化所引起的區(qū)間最值的改變，通

過直觀想象是較難掌握的，并且此種題型變化較多：可能對二次函數(shù)區(qū)間最值產(chǎn)生影響的，除了二次函數(shù)

圖象對稱軸的位置，還有區(qū)間的位置及圖象的開口方向等.因而，在教學中，給學生一個親身體驗探究最

值變化過程的機會就顯得非常必要.學生通過動手實踐，對知識的生成過程將會有更加深入的認識，這將

有利于降低學生的學習難度，提高他們的學習興趣.又如在立體幾何學習的初始階段，學生普遍缺少空間

想象力，在三視圖的教學過程中，如果能夠給學生一些實物模型，讓他們動手體驗三個視圖的生成過程，

將加深他們對知識的理解.

2.讓學生學會探究

從教學的總體表現(xiàn)來看，高中學生具有一定的解決問題能力，但提出問題，并對問題開展自主探究的

能力較弱.大力提高自主探究能力和水平，不但是科技進步的要求，也是學生個人成長不可或缺的需要.《普

通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》指出：數(shù)學探究活動是圍繞某個具體的數(shù)學問題，開展自主探究、合作

研究并最終解決問題的過程.具體表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學問題，猜測合理的數(shù)學結(jié)論，提出解

決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數(shù)學結(jié)論.數(shù)學探究活動是運用數(shù)學知識解決數(shù)學問

題的一類綜合實踐活動，也是高中階段數(shù)學課程的重要內(nèi)容.

要開展數(shù)學探究，除了要有合適的研究課題，重要的一點就是還要有合適的研究平臺和操作環(huán)境.高

中數(shù)學實驗在這方面將扮演一個不可替代的角色.一些優(yōu)秀的數(shù)學軟件（如幾何畫板、超級畫板、GeoGebra

等）在進行數(shù)學圖形變換的時候，都能保持其幾何性狀不改變（如：用以上軟件做了一個直角三角形，則

無論如何變換，它都將保持直角三角形這個性狀不變），這將十分有利于數(shù)學探究活動的開展.

3.讓學生體驗建模

數(shù)學建模就是從生活、生產(chǎn)、科研中發(fā)現(xiàn)問題，根據(jù)實際問題建立數(shù)學模型；通過對數(shù)學模型求解研

究，得出研究結(jié)論，并根據(jù)結(jié)論去指導解決實際問題的過程.數(shù)學建模研究過程就是開發(fā)學生數(shù)學應用意

識的過程，也是促進理論和實踐相結(jié)合的有效手段.

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》對高中生的數(shù)學建模也提出了明確的要求，要求學生要嘗試著

去體驗數(shù)學建模的完整過程.其中如何從現(xiàn)實生活中提煉出數(shù)學問題，如何建立數(shù)學模型，如何對數(shù)學模

型開展研究，以上問題是數(shù)學建模的重要環(huán)節(jié)，也是數(shù)學實驗室必須達成的功能.

第2節(jié)高中數(shù)學實驗室的建設要求

為使高中數(shù)學實驗室能夠具備以上功能，在建設過程中，就必須對軟硬件的要求做好總體規(guī)劃.規(guī)劃

應遵循夠用、好用的基本原則，既要能夠保證教學工作的順利開展，也必須注意避免浪費.

1.硬件要求

有條件的學校，可以利用專門的場地建設高中數(shù)學實驗室.在這方面，國內(nèi)不少公司和廠家都已經(jīng)有

了較為成熟的方案：如廣州市皓駿教育科技有限公司提出的動態(tài)數(shù)學探究實驗室建設方案，在軟硬件上都

給出了詳細的規(guī)劃.按他們的配置，一間可容納48個學生的數(shù)學實驗室建設費用，約為37萬元.考慮到

目前多數(shù)中小學不一定具備這樣的條件，硬件方面不要做過多的重復建設，可以利用或者改造學?，F(xiàn)有的

設備和場地.數(shù)學模擬實驗，可以考慮利用學?，F(xiàn)成的電腦室或者云教室，其電腦的硬件配置足夠滿足數(shù)

學實驗的教學需要.而像前文所說的三視圖等動手實驗，可以安排在教室或者教研室進行.以上做法雖然

因陋就簡，但同樣能夠達到數(shù)學實驗教學的效果.當然，有條件的學校，還是建議創(chuàng)建一間數(shù)學專用實驗

室.

此外，作為傳統(tǒng)數(shù)學教學不可或缺的數(shù)學教具，在數(shù)學實驗中也有其重要作用.如演示橢圓軌跡生成

過程的橢圓板，雙曲線、拋物線的演示工具，還有立體幾何教學中的幾何體模型，以及一些測量角度和長

度等工具（如測角儀等在做三角建模時都是必不可少的工具）.有些實驗（如橢圓軌跡的生成實驗、立體幾

何的三視圖實驗等），應用計算機進行模擬，雖然可以得到精確的結(jié)果，但教學效果不如用傳統(tǒng)教具教學來

得直觀，學生往往也更樂于接受實實在在、能摸得著的東西，所以傳統(tǒng)的數(shù)學教具也是高中數(shù)學實驗室的

重要組成部分.

2.軟件要求

高中數(shù)學實驗室對軟件的要求不高，主要集中在以下三個方面：

（1）機房環(huán)境作為數(shù)學實驗室的機房，要擁有足夠一個班教學使用的學生計算機和一臺教師計算機，

并通過網(wǎng)絡互聯(lián)互通.教師計算機可以對所有的學生計算機進行有效管理，向?qū)W生機傳遞音頻、視頻信號，

同時也必須支持學生機之間的互聯(lián)互通.上面這些要求，任何一間電腦教室或云教室都是可以實現(xiàn)的.

（2）數(shù)學軟件要開展數(shù)學實驗，數(shù)學軟件的選擇十分重要.目前主流的有幾何畫板、超級畫板和

GeoGebra（以下簡稱GGB）等.這些軟件的功能各具有優(yōu)勢，簡要介紹如下：

幾何畫板是由美國KeyCurriculumPress公司制作并出版的教育軟件，1996年該公司授權(quán)人民教育出版

社在中國發(fā)行該軟件的中文版.正如其名“21世紀動態(tài)幾何“，它能夠動態(tài)地展現(xiàn)出幾何對象的位置關系、

運行變化規(guī)律，能夠滿足高中數(shù)學教學的基本要求，但其功能仍不完善.要實現(xiàn)某些功能，需要較為繁瑣

的制作過程.需要特別強調(diào)的是該軟件受版權(quán)保護，如需使用，必須購買正版軟件.

超級畫板（全名《Z+Z智能教育平臺——超級畫板》）是由我國著名數(shù)學家、計算機科學家、科普作

家、中國科學院院士張景中教授主持開發(fā)，為中國基礎教育量身定做的數(shù)學教育平臺.它是一款知識性和

智能型相結(jié)合的、多功能的教育工具軟件，能很好地滿足高中數(shù)學教學和實驗的各種需要，并且提供了完

善的課件庫.超級畫板自面世以來，以其易學易用的特色和強大功能吸引了許多數(shù)學老師、數(shù)學教育家和

教育技術專家的青睞.需要強調(diào)的是，該軟件也受版權(quán)保護.

GGB是奧地利數(shù)學家MarkusHohenwarter于2002年創(chuàng)建的動態(tài)教學軟件，它通過開源的方式不斷地更

新、完善和推廣，從僅支持英、德兩種語言到支持包括漢語在內(nèi)的69種語言，從僅繪制平面圖形到繪制3D

圖形，從只依賴計算機運行到可以在平板電腦和手機等移動端運行，隨著免費開源，GGB更新速度變得越

來越快，功能也變得越來越強大，而且操作簡單.雖有個別應用仍稍有不便（如幾何畫板和超級畫板都可

以很方便地制作多頁面課件，在課件制作過程中，可以根據(jù)需要隨意添加刪除頁面，但GGB在制作多頁面

課件時，是通過把對象放在不同圖層來實現(xiàn)的，因而制作時要設置每個對象所