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第13章全等三角形13.3等腰三角形2.等腰三角形的判定目
錄CONTENTS011星題基礎(chǔ)練022星題中檔練033星題提升練
等腰三角形的判定1.
【知識(shí)初練】在△
ABC
中，∵∠
A
＝∠
B
，∴
BC
＝
AC
，理由是
?.等角對(duì)等邊234567891011121312.
如圖，在△
ABC
中，∠
B
＝∠
C
，
AB
＝5，則
AC
的長(zhǎng)為
(
D)A.2B.3C.4D.5D234567891011121313.
在△
ABC
中，∠
A
和∠
B
的度數(shù)如下，不能判定△
ABC
是等腰三角形的是(
D)A.
∠
A
＝20°，∠
B
＝80°B.
∠
A
＝36°，∠
B
＝108°C.
∠
A
＝30°，∠
B
＝120°D.
∠
A
＝80°，∠
B
＝60°D234567891011121314.
如圖，
BO
平分∠
ABC
，
CO
平分∠
ACB
，
MN
∥
BC
，
AB
＝15，
AC
＝18，則△
AMN
的周長(zhǎng)為
?.33
234567891011121315.
【教材改編題】已知：如圖，
AB
＝
DC
，
BD
＝
CA
，
BD
與
CA
相交于點(diǎn)
E
，求證：△
AED
是等腰三角形.證明：∵
AB
＝
DC
，
BD
＝
CA
，
AD
＝
DA
，∴△
ABD
≌△
DCA
，∴∠
ADB
＝∠
DAC
，∴
AE
＝
DE
，∴△
AED
是等腰三角形.23456789101112131
等邊三角形的判定6.
【知識(shí)初練】在△
ABC
中，(1)當(dāng)∠
A
＝∠
B
＝∠
C
＝
60°時(shí)，△
ABC
是
三角形；(2)當(dāng)
AB
＝
BC
，∠
A
＝
°時(shí)，△
ABC
是等邊
三角形.等邊60
234567891011121317.
如圖，在一個(gè)池塘兩旁有一條筆直小路(
B
、
C
為小路端
點(diǎn))和一棵小樹(shù)(
A
為小樹(shù)位置).測(cè)得的相關(guān)數(shù)據(jù)為∠
ABC
＝60°，∠
ACB
＝60°，
BC
＝48
m，則
AC
的長(zhǎng)度
為
?.48
m
234567891011121318.
【思維模型】小曹同學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)將幾種三角形的關(guān)系整理如
圖，請(qǐng)幫他在橫線上填一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件.(答案不唯一)∠A＝60°234567891011121319.
如圖，在△
ABC
中，
AB
＝
AC
，∠
BAC
＝120°，
AD
⊥
AB
交
BC
于點(diǎn)
D
，
AE
⊥
AC
交
BC
于點(diǎn)
E
.
求證：△
ADE
是等邊三角形.解：∵
AB
＝
AC
，∠
BAC
＝120°，∴∠
B
＝∠
C
＝30°.∵
AD
⊥
AB
，
AE
⊥
AC
，∴∠
BAD
＝∠
CAE
＝90°，∴∠
ADB
＝∠
AEC
＝60°，∴∠
EAD
＝180°－60°－60°＝60°，∴△
ADE
是等邊三角形.2345678910111213110.
如圖，在△
ABC
中，∠
B
＝∠
C
＝40°，點(diǎn)
D
在線段
BC
上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)
D
不與點(diǎn)
B
、
C
重合)，連結(jié)
AD
，作∠
ADE
＝40°，
DE
交線段
AC
于點(diǎn)
E
.
在點(diǎn)
D
的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)△
ADE
是等腰三角形時(shí)，則∠
BDA
＝
??.110°或80°2345678910111213111.
[莆田月考]如圖所示，在△
ABC
中，
AE
平分∠
BAC
，
BE
⊥
AE
，∠
ABE
＝2∠
C
，求證：
AC
－
AB
＝2
BE
.
23456789101112131∵
BE
⊥
AE
，∴∠
AEB
＝∠
AEF
＝90°，∴∠
ABE
＝180°－∠
AEB
－∠
BAE
＝180°－∠
AEF
－∠
CAE
＝∠
AFE
，∴
AB
＝
AF
，∴
BE
＝
EF
，即
BF
＝2
BE
.
∵∠
ABE
＝2∠
C
，∴∠
AFE
＝2∠
C
.
∵∠
AFE
是△
BCF
的外角，∴∠
AFE
＝∠
C
＋∠
CBF
＝2∠
C
，∴∠
C
＝∠
CBF
，
∴
BF
＝
CF
，∴
AC
－
AB
＝
AC
－
AF
＝
CF
＝
BF
＝2
BE
，
即
AC
－
AB
＝2
BE
.
證明：延長(zhǎng)
BE
交
AC
于點(diǎn)
F
.
∵
AE
平分∠
BAC
，∴∠
BAE
＝∠
CAE
.
2345678910111213112.
【原創(chuàng)題】如圖，在△
ABC
中，
AB
＝
AC
，點(diǎn)
D
在△
ABC
內(nèi)，
BD
＝
BC
，∠
DBC
＝60°，點(diǎn)
E
在△
ABC
外，∠
BCE
＝150°，∠
ABE
＝60°.求證：△
ABE
是
等邊三角形.23456789101112131
23456789101112131
2345678910111213113.
[推理能力]如圖，過(guò)等邊三角形
ABC
的頂點(diǎn)
B
在∠
ABC
內(nèi)部作射線
BP
，∠
ABP
＝α(0°＜α＜60°且α≠30°)，點(diǎn)
A
關(guān)于射線
BP
的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)
D
，直線
CD
交
BP
于點(diǎn)
E
，連結(jié)
BD
，
AE
.
(1)依據(jù)題意，在圖中補(bǔ)全圖形；解：(1)補(bǔ)全圖形如圖所示.2345678910111213113.[推理能力]如圖，過(guò)等邊三角形
ABC
的頂點(diǎn)
B
在∠
ABC
內(nèi)部作射線
BP
，∠
ABP
＝α(0°＜α＜60°且α≠30°)，點(diǎn)
A
關(guān)于射線
BP
的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)
D
，直線
CD
交
BP
于點(diǎn)
E
，連結(jié)
BD
，
AE
.
(2)在α(0°＜α＜60°且α≠30°)的變化過(guò)程中，∠
AEB
的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)用含α的式子表
示∠
AEB
的度數(shù)；若不變，請(qǐng)求出∠
AEB
的度數(shù)；23456789101112131解：(2)∠
AEB
的度數(shù)不會(huì)發(fā)生變化.∵點(diǎn)
A
關(guān)于射線
BP
的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)
D
，
∴∠
ABP
＝∠
DBP
＝α，
BD
＝
BA
，
∠
AEB
＝∠
BEC
.
∵△
ABC
是等邊三角形，∴
AB
＝
BC
，∠
ABC
＝60°，23456789101112131∴
BD
＝
BC
，∠
CBD
＝∠
ABC
－∠
ABD
＝60°－
2α，∴∠
BDC
＝∠
BCD
＝60°＋α.∵∠
BDC
＝∠
BEC
＋∠
DBE
＝∠
BEC
＋α＝60°＋α，∴∠
BEC
＝60°，∴∠
AEB
＝∠
BEC
＝60°.2345678910111213113.[推理能力]如圖，過(guò)等邊三角形
ABC
的頂點(diǎn)
B
在∠
ABC
內(nèi)部作射線
BP
，∠
ABP
＝α(0°＜α＜60°且α≠30°)，點(diǎn)
A
關(guān)于射線
BP
的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)
D
，直線
CD
交
BP
于點(diǎn)
E
，連結(jié)
BD
，
AE
.
(3)用等式表示線段
AE
，
BE
，
CE
之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.23456789101112131解：(3)線段
AE
，
BE
，
CE
之間的數(shù)
量關(guān)系為
BE
＝
CE
＋
AE
.
證明：在
BE
上取一點(diǎn)
M
，使
EM
＝
AE
，連結(jié)
AM
.
∵∠
AEB
＝60°，∴△
AME
是等邊三角形，23456789101112131∴
AE
＝
AM
＝
EM
，∠
EAM
＝60°.∵∠
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