3.1.4空間向量運算的坐標表示

點的坐標與有向線段的坐標坐標規(guī)律引入知識要點本課小結空間向量的正交分解及其坐標表示1類比平面向量的基本定理,在空間中應有一個什么結論?NOCM2AO然后證唯一性DCB證明思路：先證存在E注：空間任意三個不共面向量都可以構成空間的一個基底.如：3推論：設點O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的有序實數組x、y、z使OABCP例1課本94頁例44空間向量的正交分解及其坐標表示5單位正交基底：

如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且大小都為1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用來表示.下面我們類似平面直角坐標系,建立空間直角坐標系6

在空間選定一點O和一個單位正交基底以點O為原點，分別以的正方向建立三條數軸：x軸、y軸、z軸，這樣就建立了一個空間直角坐標系O—xyz.x

軸、y

軸、z軸，都叫做叫做坐標軸,點O叫做原點，向量都叫做坐標向量.通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面.xyzOkij

對空間任一向量,由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組,使空間直角坐標系7坐標化規(guī)律在空間直角坐標系O–x

y

z

中，對空間任一點A,對應一個向量,于是存在唯一的有序實數組x,y,z,使(如圖).

顯然,向量的坐標，就是點A在此空間直角坐標系中的坐標(x,y,z).xyzOA(x,y,z)ijk

也就是說,以O為起點的有向線段(向量)的坐標可以和點的坐標建立起一一對應的關系,從而互相轉化.

我們說,點A的坐標為(x,y,z),記作A(x,y,z)，其中x叫做點A的橫坐標,y叫做點A的縱坐標,z叫做點A的豎坐標.8練習

.空間四邊形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c點M在OA上,且OM=2MA,N為BC的中點,則MN=().OABCMN(A)a

－b+c

122312(B)－

a+b+c

122312(C)a+b

－

c

122312(D)a+b

－c

122323B9補充練習:已知空間四邊形OABC，對角線OB、AC，M和N分別是OA、BC的中點，點G在MN上，且使MG=2GN，試用基底

表示向量COABMNG解：在△OMG中，10空間向量運算的坐標規(guī)律:,則設空間向量運算坐標表示11練習1:已知

求解:12結論：若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)

=(x2-x1,

y2-y1,

z2-z1)注：空間一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標.

如果知道有向線段的起點和終點的坐標,那么有向線段表示的向量坐標怎樣求?1314繼續(xù)解：設正方體的棱長為1，如圖建立空間直角坐標系，則

例5如圖,在正方體中，，求與所成的角的余弦值.

1516小結：1、空間向量的坐標運算；2、利用向量的坐標運算判斷空間幾何關系的關鍵：首先要選定單位正交基，進而確定各向量的坐標，再利用向量的坐標運算確定幾何關系。1718191答案2答案A1D1C1B1ACBDFE20證明:設正方體的棱長為1,建立如圖的空間直角坐標系xyzA1D1C1B1ACBDFE21221.