圖形的平移與旋轉(zhuǎn)

第十單元

圖形的變換第39講圖形的平移與旋轉(zhuǎn)內(nèi)容索引備考基礎(chǔ)溫故知新，明確考向重點(diǎn)突破分類講練，以例求法易錯防范辨析錯因，提升考能備考基礎(chǔ)返回

考點(diǎn)梳理

圖形的平移1.定義：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動，在移動的過程中，原圖形

上所有的點(diǎn)都沿同一個(gè)方向移動相等的距離，這樣的圖形運(yùn)動叫做圖形

的平移.2.性質(zhì)：(1)平移后，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行(或在

同一直線上)且相等.(2)平移不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形的位置.特別提醒

畫平移后的圖形的步驟方法：(1)首先作出平移的方向；(2)確定平移的距離；(3)畫出和已知圖形相對應(yīng)的對應(yīng)點(diǎn)，順次連接對應(yīng)點(diǎn)；(4)按原來圖形的連接方式補(bǔ)充為完整圖形.

圖形的旋轉(zhuǎn)1.定義：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形變?yōu)榱硪粋€(gè)圖形，在運(yùn)動的過程中，原圖形

上的所有點(diǎn)都繞一個(gè)固定的點(diǎn)，按同一方向，轉(zhuǎn)動同一個(gè)角度，這樣的

圖形運(yùn)動叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，這個(gè)固定的點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心.2.性質(zhì)：(1)對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.(2)對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.(3)旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.特別提醒

旋轉(zhuǎn)作圖的步驟方法：(1)分析題目要求，找出旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角；(2)分析所作圖形，找出構(gòu)成圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；(3)沿一定的方向，按一定的角度，通過截取線段的方法作出旋轉(zhuǎn)各個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)；(4)連接所作的各個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，并標(biāo)上相應(yīng)的字母；(5)寫出結(jié)論.1.如圖，△ABC經(jīng)過怎樣的平移得到△DEF(

)基礎(chǔ)診斷AA.把△ABC向左平移4個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位B.把△ABC向右平移4個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位C.把△ABC向右平移4個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位D.把△ABC向左平移4個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位2.如圖，將周長為8的△ABC沿BC方向平移1個(gè)單位得到△DEF，則四邊

形ABFD的周長為(

)A.6 B.8

C.10 D.12C解

根據(jù)題意，將周長為8的△ABC沿邊BC向右平移1個(gè)單位得到△DEF，∴AD＝1，BF＝BC＋CF＝BC＋1，DF＝AC，∵AB＋BC＋AC＝8，∴四邊形ABFD的周長＝AD＋AB＋BF＋DF＝1＋AB＋BC＋1＋AC＝10.3.如圖，△ODC是由△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)31°后得到的圖形，若點(diǎn)D

恰好落在AB上，且∠AOC的度數(shù)為100°，則∠DOB的度數(shù)是(

)A.34° B.36° C.38° D.40°C解

由題意得，∠AOD＝∠BOC＝31°，∵∠AOC＝100°，∴∠DOB＝100°－31°－31°＝38°.4.在平面直角坐標(biāo)系中，線段OP的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)分別是O(0,0)，P(4,3)，

將線段OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到OP′位置，則點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(

)A.(3,4) B.(－4,3)

C.(－3,4) D.(4,－3)C解

如圖，OA＝3，PA＝4，∵線段OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到OP′位置，∴OA旋轉(zhuǎn)到x軸負(fù)半軸OA′的位置，∠P′A′O＝∠PAO＝90°，OA′＝OA＝3，P′A′＝PA＝4，∴點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(－3,4).5.如圖，A、B、C三點(diǎn)在正方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)處.若將

△ACB繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AC′B′，則tanB′

的值為____.解

過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D.根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，∠B′＝∠B.返回重點(diǎn)突破返回【例1】

(2017·海南)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，

△ABC位于第二象限，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(－2,3)，先把

△ABC向右平移4個(gè)單位長度得到△A1B1C1，再作與

△A1B1C1關(guān)于x軸對稱的△A2B2C2，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A2

的坐標(biāo)是(

)類型一

圖形的平移點(diǎn)撥

首先利用平移的性質(zhì)得到△A1B1C1，進(jìn)而利用關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的性質(zhì)得到△A2B2C2，即可得出答案.A.(－3,2) B.(2，－3)

C.(1，－2) D.(－1,2)答案解點(diǎn)撥解

如圖所示，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A2的坐標(biāo)是(2，－3).【例1】

(2017·海南)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，

△ABC位于第二象限，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(－2,3)，先把

△ABC向右平移4個(gè)單位長度得到△A1B1C1，再作與

△A1B1C1關(guān)于x軸對稱的△A2B2C2，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A2

的坐標(biāo)是(

)類型一

圖形的平移點(diǎn)撥

首先利用平移的性質(zhì)得到△A1B1C1，進(jìn)而利用關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的性質(zhì)得到△A2B2C2，即可得出答案.BA.(－3,2) B.(2，－3)

C.(1，－2) D.(－1,2)答案解點(diǎn)撥答案解【變式1】

(2017·大連)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)坐

標(biāo)分別為A(－1，－1)，B(1,2)，平移線段AB，得到線段A′B′，已

知A′的坐標(biāo)為(3，－1)，則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(

)

A.(4，2) B.(5，2) C.(6，2) D.(5，3)B解

∵A(－1，－1)平移后得到點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(3，－1)，∴向右平移4個(gè)單位，∴B(1，2)的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為(1＋4，2)，即(5，2).解題要領(lǐng)

圖形平移有兩個(gè)基本條件：①圖形平移的方法就是這個(gè)圖形上的某一點(diǎn)到平移后圖形對應(yīng)點(diǎn)的方向；②圖形平移的距離就是連接一對對應(yīng)點(diǎn)的線段的長度.【例2】

(1)(2017·棗莊)將數(shù)字“6”旋轉(zhuǎn)180°，得到數(shù)字“9”，將數(shù)

字“9”旋轉(zhuǎn)180°，得到數(shù)字“6”，現(xiàn)將數(shù)字“69”旋轉(zhuǎn)180°，得

到的數(shù)字是(

)A.96 B.69 C.66 D.99類型二

圖形的旋轉(zhuǎn)B點(diǎn)撥

直接利用中心對稱圖形的性質(zhì)結(jié)合“69”的特點(diǎn)得出答案.解

現(xiàn)將數(shù)字“69”旋轉(zhuǎn)180°，得到的數(shù)字是69.答案解點(diǎn)撥(2)(2017·寧波)在4×4的方格紙中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上.①在圖1中畫出與△ABC成軸對稱且與△ABC有公共邊的格點(diǎn)三角形(畫出一個(gè)即可)；點(diǎn)撥

根據(jù)軸對稱圖形的概念，分別以邊AC、BC所在的直線為對稱軸作出圖形即可；解點(diǎn)撥解

如圖所示；②將圖2中的△ABC繞著點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，畫出經(jīng)旋轉(zhuǎn)后的三角形.點(diǎn)撥

根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)A、B繞著點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后的對應(yīng)點(diǎn)的位置，再與點(diǎn)C順次連接即可.解點(diǎn)撥解

如圖所示；答案解【變式2】

(2017·福建)如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1.圖中線段AB和點(diǎn)P繞著同一個(gè)點(diǎn)做相同的旋轉(zhuǎn)，分別得到線段A′B′和點(diǎn)P′，則點(diǎn)P′所在的單位正方形區(qū)域是(

)A.1區(qū)

B.2區(qū)

C.3區(qū)

D.4區(qū)解

如圖，連接AA′、BB′，分別作AA′、BB′的中垂線，兩直線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心，由圖可知，線段AB和點(diǎn)P繞著同一個(gè)點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，∴點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后所得對應(yīng)點(diǎn)P′落在4區(qū).答案解【變式2】

(2017·福建)如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1.圖中線段AB和點(diǎn)P繞著同一個(gè)點(diǎn)做相同的旋轉(zhuǎn)，分別得到線段A′B′和點(diǎn)P′，則點(diǎn)P′所在的單位正方形區(qū)域是(

)DA.1區(qū)

B.2區(qū)

C.3區(qū)

D.4區(qū)解題要領(lǐng)

旋轉(zhuǎn)前后圖形上的每一點(diǎn)都繞著旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)了相同的角度，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等.解題時(shí)，要注意是順時(shí)針還是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)多少度，要正確利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，抓住其中的不變量是解決問題的關(guān)鍵.解點(diǎn)撥類型三

網(wǎng)格或直角坐標(biāo)系中的圖形變換【例3】

(2017·金華)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)

分別為A(－2，－2)，B(－4，－1)，C(－4，－4).(1)作出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱的△A1B1C1；點(diǎn)撥

分別作出點(diǎn)A、B、C關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱的對應(yīng)點(diǎn)，順次連接即可；解

如圖所示，△A1B1C1即為所求；(2)作出點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′，若把點(diǎn)A′向右平移a個(gè)單位長度后落在△A1B1C1的內(nèi)部(不包括頂點(diǎn)和邊界)，求a的取值范圍.點(diǎn)撥

由點(diǎn)A′坐標(biāo)為(－2，2)可知要使向右平移后的A′落在△A1B1C1的內(nèi)部，最少平移4個(gè)單位，最多平移6個(gè)單位，據(jù)此可得a的取值范圍.解

∵點(diǎn)A′坐標(biāo)為(－2，2)，∴若要使向右平移后的A′落在△A1B1C1的內(nèi)部，最少平移4個(gè)單位，最多平移6個(gè)單位，即4＜a＜6.解點(diǎn)撥解【變式3】

(2017·寧夏)在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分

別為A(2，3)，B(1，1)，C(5，1).

(1)把△ABC平移后，其中點(diǎn)A移到點(diǎn)A1(4，5)，畫出平移后得到的

△A1B1C1；解

如圖，△A1B1C1即為所求；(2)把△A1B1C1繞點(diǎn)A1按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的△A2B2C2.解

如圖，△A2B2C2即為所求.解解題要領(lǐng)

解題時(shí)，體會圖形變換中的轉(zhuǎn)化思想，會利用其中的全等關(guān)系，通過變換，使圖形中的條件得以重新分布和結(jié)合，實(shí)現(xiàn)變難為易、變未知為已知，從而解決問題.【例4】

(2017·齊齊哈爾)如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，

小正方形網(wǎng)格的邊長為1個(gè)單位長度，△ABC的

三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(－3,4)，B(－5,2)，C(－2,1).(1)畫出△ABC關(guān)于y軸對稱圖形△A1B1C1；類型四

與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的證明、計(jì)算問題點(diǎn)撥

分別作出各點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，再順次連接即可；解點(diǎn)撥解

如圖，△A1B1C1即為所求；(2)畫出將△ABC繞原點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到的△A2B2C2；點(diǎn)撥

根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形△A2B2C2即可；解點(diǎn)撥解

如圖，△A2B2C2即為所求；(3)求(2)中線段OA掃過的圖形面積.點(diǎn)撥

利用扇形的面積公式即可得出結(jié)論.解點(diǎn)撥【變式4】

(2017·鹽城)如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，將△ABC

繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△A′B′C′的位置，則點(diǎn)B運(yùn)動的最短路徑長為_______.答案解解

如圖，作線段AA′、CC′的垂直平分線，相交于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為旋轉(zhuǎn)中心.觀察圖象可知，旋轉(zhuǎn)角為90°(逆時(shí)針旋轉(zhuǎn))時(shí)B運(yùn)動的路徑長最短，【變式4】

(2017·鹽城)如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，將△ABC

繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△A′B′C′的位置，則點(diǎn)B運(yùn)動的最短路徑長為_______.答案解解題要領(lǐng)

旋轉(zhuǎn)變換是幾何證明題中一種很重要的解題技巧，在同一平面內(nèi)，將圖形的某一部分按特定的條件旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，把分散的條件和結(jié)論相對集中，使圖形中的相關(guān)部分發(fā)生新的聯(lián)系，從而使問題化難為易，迎刃而解.返回易錯防范返回試題如圖，有一條河流，兩岸分別有A、B兩地，

假設(shè)河岸為兩條平行線，現(xiàn)要在河上造一座垂直

于河岸的橋MN.問橋造在何處，才能使從A到B的

路徑AM＋MN＋NB最短？易錯警示系列

39利用平行變換確定兩點(diǎn)間的最短距離正確解答分析與反思剖析錯誤答案展示