2020-2024五年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編專題02不等式（真題5個考點精準(zhǔn)練+模擬練）解析版

2020-2024年五年高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題02不等式（真題5個考點精準(zhǔn)練+精選模擬練）5年考情考題示例考點分析2024年秋考3題2024年春考6,13題一元二次不等式及其應(yīng)用基本不等式及其應(yīng)用，不等式的性質(zhì)2023秋考1題2023春考3題絕對值不等式2022秋考14題2022春考3，19題基本不等式及其應(yīng)用分式不等式，基本不等式及其應(yīng)用2021年春考4題分式不等式2020年秋考13題基本不等式及其應(yīng)用一．等式與不等式的性質(zhì)（共1小題）1．（2022?上海）若，則下列不等式恒成立的是A． B． C． D．〖祥解〗根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及特殊值法，即可求解．【解答】解：對于，令，，，，滿足，但，故錯誤，對于，，即，，由不等式的可加性可得，，故正確，對于，令，，，，滿足，但，故錯誤，對于，令，，，，滿足，但，故錯誤．故選：．【點評】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，掌握特殊值法是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．二．不等關(guān)系與不等式（共2小題）2．（2024?上海），，，，下列不等式恒成立的是A． B． C． D．〖祥解〗根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及特殊值法，即可求解．【解答】解：對于，若，則，選項不成立，故錯誤；對于，，，由不等式的可加性可知，，故正確．對于、，若，則選項不成立，故、錯誤．故選：．【點評】本題主要考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．3．（2021?上海）已知兩兩不相等的，，，，，，同時滿足①，，；②；③，以下哪個選項恒成立A． B． C． D．〖祥解〗設(shè)，，，根據(jù)題意，則有，可得，通過求解，可得，可得正確，錯誤；利用作差法可得，而上面已證，因無法知道的正負(fù)，可得該式子的正負(fù)無法恒定，即無法判斷，即可得解．【解答】解：設(shè)，，，，根據(jù)題意，應(yīng)該有，且，則有，則，因為，所以，所以項正確，錯誤．，而上面已證，因為不知道的正負(fù)，所以該式子的正負(fù)無法恒定．故選：．【點評】本題主要考查不等關(guān)系與不等式的應(yīng)用，考查了方程思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．三．基本不等式及其應(yīng)用（共6小題）4．（2020?上海）下列不等式恒成立的是A． B． C． D．〖祥解〗利用恒成立，可直接得到成立，通過舉反例可排除．【解答】解：．顯然當(dāng)，時，不等式不成立，故錯誤；．，，，故正確；．顯然當(dāng)，時，不等式不成立，故錯誤；．顯然當(dāng)，時，不等式不成立，故錯誤．故選：．【點評】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題．5．（2024?上海）已知，的最小值為12．〖祥解〗由已知結(jié)合基本不等式即可求解．【解答】解：由，，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時取最小值12，所以的最小值為12．故答案為：12．【點評】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．6．（2022?上海）若實數(shù)、滿足，下列不等式中恒成立的是A． B． C． D．〖祥解〗利用已知條件以及基本不等式化簡即可判斷求解．【解答】解：因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，又，所以，故正確，錯誤，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故錯誤，故選：．【點評】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了學(xué)生的理解能力，屬于基礎(chǔ)題．7．（2023?上海）已知正實數(shù)、滿足，則的最大值為．〖祥解〗直接利用基本不等式求出結(jié)果．【解答】解：正實數(shù)、滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立．故答案為：．【點評】本題考查的知識要點：基本不等式，主要考查學(xué)生的理解能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯題．8．（2021?上海）已知函數(shù)的最小值為5，則9．〖祥解〗利用基本不等式求最值需要滿足“一正、二定、三相等”，該題只需將函數(shù)解析式變形成，然后利用基本不等式求解即可，注意等號成立的條件．【解答】解：，所以，經(jīng)檢驗，時等號成立．故答案為：9．【點評】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，以及整體的思想，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造積為定值，屬于基礎(chǔ)題．9．（2022?上海）為有效塑造城市景觀、提升城市環(huán)境品質(zhì)，上海市正在努力推進(jìn)新一輪架空線入地工程的建設(shè)．如圖是一處要架空線入地的矩形地塊，，．為保護(hù)處的一棵古樹，有關(guān)部門劃定了以為圓心、為半徑的四分之一圓的地塊為歷史古跡封閉區(qū)．若架空線入線口為邊上的點，出線口為邊上的點，施工要求與封閉區(qū)邊界相切，右側(cè)的四邊形地塊將作為綠地保護(hù)生態(tài)區(qū)．（計算長度精確到，計算面積精確到（1）若，求的長；（2）當(dāng)入線口在上的什么位置時，生態(tài)區(qū)的面積最大？最大面積是多少？〖祥解〗（1）作，然后結(jié)合銳角三角函數(shù)定義表示出，（2）設(shè)，結(jié)合銳角三角函數(shù)定義可表示，，然后表示出面積，結(jié)合同角基本關(guān)系進(jìn)行化簡，再由基本不等式可求．【解答】解：（1）作，垂足為，則；（2）設(shè)，則，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時，最大面積為．【點評】本題主要考查了利用基本不等式在求解最值中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由實際問題抽象出數(shù)學(xué)問題，屬于中檔題．四．其他不等式的解法（共3小題）10．（2022?上海）不等式的解集為．〖祥解〗把分式不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式即可直接求解．【解答】解：由題意得，解得，故不等式的解集．故答案為：．【點評】本題主要考查了分式不等式的求解，屬于基礎(chǔ)題．11．（2021?上海）不等式的解集為．〖祥解〗由已知進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)行可求．【解答】解：，解得，．故答案為：．【點評】本題主要考查了分式不等式的求解，屬于基礎(chǔ)題．12．（2020?上海）不等式的解集為．〖祥解〗將不等式化簡后轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，由一元二次不等式的解法求出不等式的解集．【解答】解：由得，則，即，解得，所以不等式的解集是，故答案為：．【點評】本題考查分式不等式、一元二次不等式的解法，以及轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．五．一元二次不等式及其應(yīng)用（共1小題）13．（2024?上海）已知，則不等式的解集為．〖祥解〗根據(jù)一元二次不等式的解法直接求解即可．【解答】解：可化為，解得，故不等式的解集為：．故答案為：．【點評】本題考查一元二次不等式的解法，屬基礎(chǔ)題．一．選擇題（共11小題）1．（2024?黃浦區(qū)校級模擬）若，，且，則下列不等式中恒成立的是A． B． C． D．〖祥解〗利用基本不等式需注意：各數(shù)必須是正數(shù)．不等式的使用條件是，．【解答】解：對于；（當(dāng)且僅當(dāng)時，取得等號），所以錯誤；對于，，雖然，只能說明，同號，若，都小于0時，所以，錯；，（當(dāng)且僅當(dāng)時，取得等號）．故選：．【點評】本題考查利用基本不等式求函數(shù)的最值時，必須注意滿足的條件：一正、二定、三相等．2．（2024?青浦區(qū)二模）函數(shù)的最小值是A．4 B．5 C． D．〖祥解〗利用基本不等式求最值即可．【解答】解：因為函數(shù)，而，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，此時，因為，所以時，函數(shù)的最小值是．故選：．【點評】本題考查基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）已知，且，則A． B． C． D．〖祥解〗根據(jù)和的關(guān)系，通過移項，化簡，平方依次判斷選項是否正確．【解答】解：由，且知，則，故錯誤；，故錯誤；由得，即，故錯誤；，即，故正確．故選：．【點評】本題主要考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．4．（2024?閔行區(qū)校級三模）已知，那么下列不等式成立的是A． B． C． D．〖祥解〗由已知結(jié)合不等式的性質(zhì)檢驗各選項即可判斷．【解答】解：因為，所以，錯誤；由不等式性質(zhì)可知，，錯誤；由可得，，錯誤；顯然成立，正確．故選：．【點評】本題主要考查了不等式性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．（2024?楊浦區(qū)二模）已知實數(shù)，，，滿足：，則下列不等式一定正確的是A． B． C． D．〖祥解〗可舉出反例，可根據(jù)不等式的基本性質(zhì)檢驗選項．【解答】解：不妨設(shè)，，，，此時，錯誤，，錯誤；因為，，根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，同向可加性得到：，正確；，，，時，，顯然錯誤．故選：．【點評】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．6．（2024?崇明區(qū)二模）若，，則下列不等式成立的是A． B． C． D．〖祥解〗利用不等式的基本性質(zhì)即可判斷出正誤．【解答】解：，，，與大小關(guān)系不確定，，與的大小關(guān)系不確定．則下列不等式成立的是．故選：．【點評】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．7．（2024?浦東新區(qū)二模）已知，則下列結(jié)論不恒成立的是A． B． C． D．〖祥解〗配方即可判斷的正誤；時，不成立；根據(jù)絕對值不等式可判斷的正誤；根據(jù)基本不等式可判斷的正誤．【解答】解：，恒成立；時，，不恒成立；，恒成立；，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，恒成立．故選：．【點評】本題考查了配方求二次函數(shù)最值的方法，基本不等式的應(yīng)用，絕對值不等式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．8．（2024?虹口區(qū)模擬）已知集合，，則A． B． C． D．〖祥解〗先求出集合，，再利用集合的包含關(guān)系判斷．【解答】解：集合，或，，，．故選：．【點評】本題主要考查了集合的基本運算，以及集合間的包含關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．9．（2024?普陀區(qū)校級模擬）已知集合，則A． B． C． D．〖祥解〗先求解出一元一次不等式、分式不等式的解集為，，然后根據(jù)交集運算求解出結(jié)果．【解答】解：因為，所以，所以，因為，所以，所以，所以．故選：．【點評】本題主要考查了分式不等式的解法，考查了集合的基本運算，屬于基礎(chǔ)題．10．（2024?長寧區(qū)校級三模）在測量某物理量的過程中，因儀器和觀察的誤差，使得次測量分別得到，，，共個數(shù)據(jù)．我們規(guī)定所測量物理量的“最佳近似值”應(yīng)該滿足與所有測量數(shù)據(jù)的差的平方和最?。纱艘?guī)定，從這些數(shù)據(jù)得出的“最佳近似值”應(yīng)是A． B． C． D．〖祥解〗，看成關(guān)于的二次函數(shù)，即可求解．【解答】解：根據(jù)題意得：，由于，所以（a）是關(guān)于的二次函數(shù)，因此當(dāng)即時，（a）取得最小值．故選：．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．11．（2024?松江區(qū)二模）已知某個三角形的三邊長為、及，其中．若，是函數(shù)的兩個零點，則的取值范圍是A． B． C． D．〖祥解〗由，為函數(shù)的兩個零點可得，即可得，結(jié)合題意可得．【解答】解：由，為函數(shù)的兩個零點，故有，即恒成立，故，，則，由，，為某三角形的三邊長，且，故，且，則，因為必然成立，所以，即，解得，所以，．故選：．【點評】本題主要考查函數(shù)的零點，屬于中檔題．二．填空題（共29小題）12．（2024?奉賢區(qū)三模）若，則有最大值為．〖祥解〗結(jié)合基本不等式的公式，即可求解．【解答】解：，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故有最大值．故答案為：．【點評】本題主要考查基本不等式及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．13．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）設(shè)集合，則，．〖祥解〗先求出集合，，再結(jié)合交集的定義，即可求解．【解答】解：集合，，故，．故答案為：，．【點評】本題主要考查交集及其運算，屬于基礎(chǔ)題．14．（2024?浦東新區(qū)校級四模）已知集合，，0，，則．〖祥解〗根據(jù)已知條件，結(jié)合交集的定義，即可求解．【解答】解：，，0，，則．故答案為：．【點評】本題主要考查交集及其運算，屬于基礎(chǔ)題．15．（2024?楊浦區(qū)校級三模）關(guān)于的不等式的解集為．〖祥解〗設(shè)出，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求解．【解答】解：設(shè)，則，故在上單調(diào)遞減，（1），故的解集為．故答案為：．【點評】本題主要考查其他不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．16．（2024?閔行區(qū)校級模擬）不等式的解集為．〖祥解〗根據(jù)已知條件，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)，以及單調(diào)性，即可求解．【解答】解：，則，解得，故所求解集為．故答案為：．【點評】本題主要考查對數(shù)不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．17．（2024?黃浦區(qū)校級三模）若，，且，則的最大值是．〖祥解〗由已知結(jié)合基本不等式即可求解．【解答】解：由于，，且，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．故答案為：．【點評】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．18．（2024?閔行區(qū)三模）已知兩個正數(shù)，的幾何平均值為1，則的最小值為2．〖祥解〗由幾何平均值的定義得到，利用基本不等式求解即可．【解答】解：由題意得，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．故答案為：2．【點評】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．19．（2024?普陀區(qū)模擬）若實數(shù)，滿足，則的最小值為2．〖祥解〗根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式的公式，即可求解．【解答】解：實數(shù)，滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最小值為2．故答案為：2．【點評】本題主要考查基本不等式的公式，屬于基礎(chǔ)題．20．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）不等式的解集是．〖祥解〗由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可出原不等式的解集．【解答】解：因為函數(shù)在上為增函數(shù)，由可得．因此，不等式的解集為．故答案為：．【點評】本題主要考查了對數(shù)函數(shù)單調(diào)性在不等式求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．21．（2024?普陀區(qū)校級三模）已知集合，1，2，3，，，則中的元素個數(shù)為3．〖祥解〗求解一元二次不等式解得集合，再求，即可求得其元素個數(shù)．【解答】解：由，得，所以，，1，，故中的元素共有3個．故答案為：3．【點評】本題主要考查交集的定義，屬于基礎(chǔ)題．22．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）若關(guān)于的不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍是．〖祥解〗根據(jù)一元二次不等式解集的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【解答】解：當(dāng)時，不等式為，顯然不符合題意；當(dāng)時，因為關(guān)于的不等式的解集為，所以有，所以實數(shù)的取值范圍是．故答案為：．【點評】本題主要考查一元二次不等式及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．23．（2024?浦東新區(qū)三模）已知全集，集合，則．〖祥解〗先求出集合，然后結(jié)合集合的補集運算即可求解．【解答】解：因為，集合或，則．故答案為：．【點評】本題主要考查了集合的補集運算，屬于基礎(chǔ)題．24．（2024?長寧區(qū)校級三模）已知集合，1，，，則，．〖祥解〗由已知結(jié)合集合交集運算即可求解．【解答】解：因為集合，1，，，則，．故答案為：，．【點評】本題主要考查了集合交集運算，屬于基礎(chǔ)題．25．（2024?黃浦區(qū)校級三模）已知全集，集合，則，．〖祥解〗根據(jù)已知條件，結(jié)合補集的運算，即可求解．【解答】解：全集，．故答案為：，．【點評】本題主要考查補集及其運算，屬于基礎(chǔ)題．26．（2024?閔行區(qū)二模）已知正數(shù)、滿足，則的最大值是．〖祥解〗直接利用均值不等式計算得到答案．【解答】解：正數(shù)、，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立．故答案為：．【點評】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．27．（2024?浦東新區(qū)三模）設(shè)正數(shù)，滿足，則的最小值為．〖祥解〗正數(shù)，滿足，可得，展開，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：正數(shù)，滿足，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，時即：，取等號．因此的最小值為：．故答案為：．【點評】本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．28．（2024?徐匯區(qū)模擬）若正數(shù)、滿足，則的最小值為．〖祥解〗由已知利用乘1法，結(jié)合基本不等式即可求解．【解答】解：因為正數(shù)、滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號．故答案為：．【點評】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．29．（2024?普陀區(qū)校級模擬）已知實數(shù)、滿足，則的最小值為．〖祥解〗由已知結(jié)合基本不等式及指數(shù)的運算性質(zhì)即可求解．【解答】解：因為，則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時取等號，此時最小值為．故答案為：．【點評】本題主要考查了基本不等式在求解最值中的應(yīng)用，還考查了指數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．30．（2024?松江區(qū)校級模擬）設(shè)實數(shù)、滿足，則的最大值是．〖祥解〗易知，利用完全平方和公式，再結(jié)合基本不等式，即可得解．【解答】解：因為，所以，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，所以的最大值是．故答案為：．【點評】本題考查基本不等式的應(yīng)用，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于基礎(chǔ)題．31．（2024?靜安區(qū)二模）在下列關(guān)于實數(shù)、的四個不等式中，恒成立的是②③④．（請?zhí)钊肴空_的序號）①；②；③；④．〖祥解〗根據(jù)基本不等式可判斷①不成立；作差比較法可判斷②④是否成立；根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)可判斷③成立．【解答】解：，時，不成立，①不成立；，，②成立；，③成立；，，④成立．故答案為：②③④．【點評】本題考查了基本不等式的條件，絕對值不等式的性質(zhì)，作差比較法的運用，是基礎(chǔ)題．32．（2024?浦東新區(qū)二模）已知集合，1，，集合，則．〖祥解〗求出集合，利用交集定義能求出．【解答】解：集合，1，，集合，則．故答案為：．【點評】本題考查指數(shù)不等式、交集定義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．33．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）已知集合，全集，則或．〖祥解〗先求出集合，再利用補集運算求解．【解答】解：由可得且，解得，即，又因為全集，所以或．故答案為：或．【點評】本題主要考查了分式不等式的解法，考查了集合的基本運算，屬于基礎(chǔ)題．34．（2024?浦東新區(qū)校級四模）已知正實數(shù)、滿足，則的最大值為．〖祥解〗直接利用基本不等式求出結(jié)果．【解答】解：正實數(shù)、滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立．故答案為：．【點評】本題考查的知識要點：基本不等式，主要考查學(xué)生的理解能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯題．35．（2024?寶山區(qū)校級四模）平面點集，，所構(gòu)成區(qū)域的面積為．〖祥解〗由已知結(jié)合圓的性質(zhì)即可求解．【解答】解：是在圓心為，半徑為3的圓上，而到原點的距離為1，則是在圓上運動，的半徑為1，再加上的半徑即為最大半徑，則最大圓的半徑為4．故面積為．故答案為：．【點評】本題主要考查了圓的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．36．（2024?黃浦區(qū)校級模擬）已知的兩共軛虛根為，，且，則3．〖