2020-2024五年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編專題04 冪指對(duì)函數(shù)（真題3個(gè)考點(diǎn)精準(zhǔn)練+模擬練）解析版

2020-2024年五年高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題04冪指對(duì)函數(shù)（真題3個(gè)考點(diǎn)精準(zhǔn)練+精選模擬練）5年考情考題示例考點(diǎn)分析2024年春考1題對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域2022春考5題冪函數(shù)的反函數(shù)2021年秋考5題2021年春考6,13題反函數(shù)指數(shù)函數(shù)、反函數(shù)2020年秋考4題2020年春考12題反函數(shù)反函數(shù)一．有理數(shù)指數(shù)冪及根式（共1小題）1．（2021?上海）若方程組無解，則0．〖祥解〗利用二元一次方程組的解的行列式表示進(jìn)行分析即可得到答案．【解答】解：對(duì)于方程組，有，根據(jù)題意，方程組無解，所以，即，故答案為：0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二元一次方程組的解行列式表示法，這種方法可以使得方程組的解與對(duì)應(yīng)系數(shù)之間的關(guān)系表示的更為清晰，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二元一次方程組的解行列式表示法中對(duì)應(yīng)的公式．二．求對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域（共1小題）2．（2024?上海）的定義域．〖祥解〗結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)真數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：的定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋海军c(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)定義域的求解，屬于基礎(chǔ)題．三．反函數(shù)（共5小題）3．（2021?上海）已知，則（1）．〖祥解〗利用反函數(shù)的定義，得到，求解的值即可．【解答】解：因?yàn)?，令，即，解得，故?）．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反函數(shù)定義的理解和應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握原函數(shù)的定義域即為反函數(shù)的值域，考查了運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．（2020?上海）已知，其反函數(shù)為，若有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為，．〖祥解〗因?yàn)榕c互為反函數(shù)若與有實(shí)數(shù)根與有交點(diǎn)方程，有根．進(jìn)而得出答案．【解答】解：因?yàn)榕c互為反函數(shù)，若與有實(shí)數(shù)根，則與有交點(diǎn)，所以，即，故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)與方程的關(guān)系，屬于中檔題．5．（2020?上海）已知函數(shù)，是的反函數(shù)，則，．〖祥解〗由已知求解，然后把與互換即可求得原函數(shù)的反函數(shù)．【解答】解：由，得，把與互換，可得的反函數(shù)為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的反函數(shù)的求法，注意反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域，是基礎(chǔ)題．6．（2021?上海）下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)存在反函數(shù)的是A． B． C． D．〖祥解〗根據(jù)反函數(shù)的定義以及映射的定義即可判斷選項(xiàng)是否正確．【解答】解：選項(xiàng)：因?yàn)楹瘮?shù)是二次函數(shù)，屬于二對(duì)一的映射，根據(jù)函數(shù)的定義可得函數(shù)不存在反函數(shù)，錯(cuò)誤，選項(xiàng)：因?yàn)楹瘮?shù)是三角函數(shù)，有周期性和對(duì)稱性，屬于多對(duì)一的映射，根據(jù)函數(shù)的定義可得函數(shù)不存在反函數(shù)，錯(cuò)誤，選項(xiàng)：因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)遞增的指數(shù)函數(shù)，屬于一一映射，所以函數(shù)存在反函數(shù)，正確，選項(xiàng)：因?yàn)楹瘮?shù)是常數(shù)函數(shù)，屬于多對(duì)一的映射，所以函數(shù)不存在反函數(shù)，錯(cuò)誤，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反函數(shù)的定義以及映射的定義，考查了學(xué)生對(duì)函數(shù)以及映射概念的理解，屬于基礎(chǔ)題．7．（2022?上海）設(shè)函數(shù)的反函數(shù)為，則3．〖祥解〗直接利用反函數(shù)的定義求出函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步求出函數(shù)的值．【解答】解：函數(shù)的反函數(shù)為，整理得；所以．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：反函數(shù)的定義和性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．一．選擇題（共1小題）1．（2024?寶山區(qū)二模）已知，則A． B． C． D．〖祥解〗根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及函數(shù)單調(diào)性，即可求解．【解答】解：，則，故正確；，故錯(cuò)誤；，故錯(cuò)誤；，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式的性質(zhì)，以及函數(shù)單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．二．填空題（共28小題）2．（2024?崇明區(qū)二模）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（3）9．〖祥解〗設(shè)出冪函數(shù)的解析式，根據(jù)其圖象經(jīng)過點(diǎn)，求函數(shù)的解析式，再計(jì)算（3）的值．【解答】解：設(shè)冪函數(shù)，其圖象經(jīng)過點(diǎn)，，解得，；（3）．故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求冪函數(shù)的解析式以及利用函數(shù)的解析式求函數(shù)值的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．3．（2024?金山區(qū)二模）函數(shù)的定義域是．〖祥解〗根據(jù)函數(shù)的解析式，列出使解析式有意義的不等式，求出解集即可．【解答】解：，則，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋海军c(diǎn)評(píng)】本題考查了求函數(shù)定義域的問題，解題時(shí)應(yīng)求出使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍，是基礎(chǔ)題目．4．（2024?金山區(qū)二模）已知集合，3，5，7，，，則．〖祥解〗求解指數(shù)方程化簡，再由交集運(yùn)算的定義得答案．【解答】解：，3，5，7，，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查交集及其運(yùn)算，考查指數(shù)方程的解法，是基礎(chǔ)題．5．（2023秋?寶山區(qū)期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋枷榻狻搅畋婚_方數(shù)大于等于0，同時(shí)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0；列出不等式組，求出的范圍即為定義域．【解答】解：要使函數(shù)有意義，需即故函數(shù)的定義域?yàn)楣蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)評(píng)】本題考查求函數(shù)的定義域需要開偶次方根的被開方數(shù)大于等于0，對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，屬于基礎(chǔ)題．6．（2023秋?普陀區(qū)校級(jí)期末）已知且，函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．〖祥解〗在函數(shù)的解析式中，令，即時(shí)，不論取且的任意值，都可得（2），即求出函數(shù)恒過的點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：且，令，即時(shí)，不論取且的任意值，（2）恒成立，即函數(shù)恒過定點(diǎn)．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)數(shù)型函數(shù)恒過定點(diǎn)的求法，屬于基礎(chǔ)題．7．（2024?浦東新區(qū)三模）已知，則（用表示）．〖祥解〗利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解．【解答】解：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．8．（2024?奉賢區(qū)三模）若，則．（結(jié)果用，的代數(shù)式表示）〖祥解〗由已知結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解．【解答】解：若，則，則．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．9．（2024?長寧區(qū)二模）若，則1．〖祥解〗由已知結(jié)合指數(shù)與對(duì)數(shù)的轉(zhuǎn)化公式及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解．【解答】解：若，則，，．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了指數(shù)與對(duì)數(shù)的轉(zhuǎn)化及對(duì)數(shù)的換底公式及運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10．（2024?靜安區(qū)二模）函數(shù)的定義域?yàn)椋枷榻狻礁鶕?jù)函數(shù)的解析式，列出使解析式有意義的不等式，求出解集即可．【解答】解：由題意得，，即，解得，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求函數(shù)定義域的問題，解題時(shí)應(yīng)求出使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍，是基礎(chǔ)題目．11．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)模擬）已知集合，，則，．〖祥解〗先求出集合，，結(jié)合交集的定義，即可求解．【解答】解：集合，，則，．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．12．（2023秋?寶山區(qū)期末）設(shè)、為常數(shù)，若，，則函數(shù)的圖像必定不經(jīng)過第二象限．〖祥解〗根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：時(shí)，函數(shù)過一二象限，將函數(shù)的圖像向下平移個(gè)單位，則圖像不過第二象限．故答案為：二．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．13．（2023秋?寶山區(qū)校級(jí)期末）方程的解是6．〖祥解〗根據(jù)已知條件，結(jié)合真數(shù)大于0，即可求解．【解答】解：，則，解得．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．14．（2023秋?虹口區(qū)期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋枷榻狻礁鶕?jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0和根號(hào)下大于等于0以及分母不等于0得到不等式組，解出即可．【解答】解：由題意得，解得，所以定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋海军c(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題．15．（2024?寶山區(qū)校級(jí)四模）已知正實(shí)數(shù)、滿足，，則．〖祥解〗由已知結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，的關(guān)系，然后結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可求解．【解答】解：因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、滿足，解得，或，所以或，當(dāng)時(shí)，，所以，即，，，當(dāng)時(shí)，，即，，，則．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了指數(shù)及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．16．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）函數(shù)的最小值為．〖祥解〗利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡，換元后再由二次函數(shù)求最值．【解答】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，則，原函數(shù)化為，則當(dāng)時(shí)，有最小值為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，訓(xùn)練了利用換元法及二次函數(shù)求最值，是基礎(chǔ)題．17．（2024?嘉定區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)則（3）1．〖祥解〗結(jié)合分段函數(shù)解析式，由內(nèi)向外計(jì)算即可．【解答】解：由題意得，．所以（3），故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)值的求解，屬于基礎(chǔ)題．18．（2024?長寧區(qū)校級(jí)三模）已知，，則（用、表示）．〖祥解〗由已知結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解．【解答】解：因?yàn)?，，即，則．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．19．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)四模）設(shè)，，若直線過曲線的定點(diǎn)，則的最小值為2．〖祥解〗根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可．【解答】解：因?yàn)榍€過定點(diǎn)，所以，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“”，所以的最小值為2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和基本不等式應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．20．（2024?閔行區(qū)三模）方程的解集為．〖祥解〗依題意得到，解得即可．【解答】解：因?yàn)?，則，解得，所以方程的解集為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．21．（2024?寶山區(qū)二模）將化為有理數(shù)指數(shù)冪的形式為．〖祥解〗利用根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化求解．【解答】解：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化，屬于基礎(chǔ)題．22．（2024?青浦區(qū)二模）已知，，若，則滿足條件的的取值范圍是，，．〖祥解〗由題意可得，，然后結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：因?yàn)?，，若，則，即，所以或，解得或．故答案為：，，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)在不等式求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．23．（2024?閔行區(qū)校級(jí)二模）方程的解是．〖祥解〗由已知可得，等價(jià)轉(zhuǎn)化為，由此解得的值．【解答】解：由方程，可得，，解得，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)數(shù)方程的解法，注意對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．24．（2023秋?靜安區(qū)期末）下列冪函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，且圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的是②（請(qǐng)?zhí)钊肴空_的序號(hào)）．①；②；③；④．〖祥解〗由題意，利用函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，得出結(jié)論．【解答】解：由于函數(shù)的定義域?yàn)?，，故它的圖像不可能關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，故排除①；由于函數(shù)是上的增函數(shù)，且是奇函數(shù)，故它的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，故②滿足條件；由于函數(shù)的定義域?yàn)?，且為偶函?shù)，故它的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，故排除③；由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，故排除④．故答案為：②．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題．25．（2023秋?閔行區(qū)校級(jí)期末）函數(shù)的圖象過定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．〖祥解〗利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解．【解答】解：因?yàn)榈膱D象過定點(diǎn)，令，則，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．26．（2023秋?松江區(qū)期末）已知，則的最小值為．〖祥解〗根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算求得，的關(guān)系，利用基本不等式求得正確答案．【解答】解：依題意，，且，，，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則、基本不等式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．27．（2023秋?長寧區(qū)期末）在有聲世界，聲強(qiáng)級(jí)是表示聲強(qiáng)度相對(duì)大小的指標(biāo)．其值（單位：定義為．其中為聲場中某點(diǎn)的聲強(qiáng)度，其單位為，為基準(zhǔn)值．若，則其相應(yīng)的聲強(qiáng)級(jí)為130．〖祥解〗將題中數(shù)據(jù)直接代入公式，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算求解．【解答】解：因?yàn)?，，所以其相?yīng)的聲強(qiáng)級(jí)為．故答案為：130．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．28．（2024?楊浦區(qū)校級(jí)三模）設(shè)，已知函數(shù)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)、，滿足，若將該函數(shù)圖像向右平移個(gè)單位后得到一個(gè)偶函數(shù)的圖像，則．〖祥解〗由已知結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系可求出，然后結(jié)合函數(shù)圖象的平移及