9三角形中的邊角面積向量等關(guān)系-2022年高考“32”選擇填空題精準(zhǔn)靶心方案18講

“3+2”選擇、填空題精準(zhǔn)靶心方案18講第9講三角形中的邊角關(guān)系，面積、最值，與向量的聯(lián)系20O(甲)D(丁)C(丙)B(乙)1．假設(shè)甲、乙、丙三鎮(zhèn)兩兩之間的距離皆為20O(甲)D(丁)C(丙)B(乙)A．24.5公里B．25公里C．25.5公里D．26公里解：△ACD中，∠CAD=120，∠CDA=45，AC=20．由正弦定理，知，所以，選A．2．如圖，四邊形ABCD中，若∠BAC=，∠ABD=∠ACD=90，AB=a，BD=b，則CD為（）．A．a(chǎn)sin+bcosB．a(chǎn)sin－bcosC．a(chǎn)cos－bsinD．a(chǎn)cos+bsinBACD解：作矩形CDEF，使B在EF上，F(xiàn)BACD∵∠BAC=且∠ABD=90，∴∠ABF=∠EDB=－90．CD=BF+BE=ABcos（－90）+BDsin（－90）=acos（90－）+b[－sin（90－）]=asin－bcos．選B．3．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，bcosC+（a+c）（bsinC－1）=0，QUOTEa+c=3bcosC+(a+c)(bsinC-1)=0則（）A．B=60B．B=45C．△ABC面積最大值為QUOTE3316D．△ABC周長最大值為QUOTE332分析：bcosC+（a+c）（bsinC－1）=0，QUOTEbcosC+(a+c)(bsinC-1)=0可得化簡，得，QUOTEsinC.[2sin(B-p6)-1]易得B=60△ABC的面積=≤，QUOTES?ABC=12acsinB=34(a+c△ABC的周長=a+b+c=QUOTEL?ABC=a+b+c=3+b，由余弦定理易得b2=因?yàn)閍+c≥，QUOTE=2ac易得ac≤QUOTE≤34，所以b≥，所以周長最小為，排除D．綜上選AC．4．在△ABC中，三邊長a，b，c，滿足a+c=3b，則的值為（）A．B．C．D．解：∵a+c=3b，∴sinA+sinC=3sinB=3sin（A+C），∴2sincos=，∴，∴∴，故選C．PBA5．如圖，A，B是半徑為2的圓周上的定點(diǎn)，P為圓周上的動(dòng)點(diǎn)，∠APB是銳角，大小為PBAA．4+4cos B．4+4sinC．2+2cos D．2+2sin解：設(shè)圓心為O，根據(jù)∠APB=，可知AB所對圓心角∠AOB=2，故扇形AOB的面積為．由題意，要使陰影部分面積最大，則只需P到AB的距離最大即可，此時(shí)PO與AB垂直，故陰影部分面積最大值S=4－S△OAB+S△PAB．而S△OAB=，S△PAB=，故陰影部分面積最大值S=4+4sin，選B．特征解法：連接圓心和A、B．6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知P（，0），A、B是圓C：上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足PA=PB，則△PAB面積的最大值是．7．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P1（cos，sin），P2（cos，－sin），P3（cos（+），sin（+）），A（1，0），則（）A．B． C．D．分析：由已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別求得對應(yīng)向量的坐標(biāo)，然后逐一驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)得答案．選AC．說明：本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及兩角和的三角函數(shù)，考查運(yùn)算求解能力．7．已知f（x）=3sinx+2，對于任意的x2∈[0，]，都存在x1∈[0，]，使得f（x1）+2f（x2+）=3成立，則下列選項(xiàng)中，可能的值是（）A．B．C．D．解：注意仔細(xì)審題，關(guān)注關(guān)鍵詞“任意的”、“都存在”．由題設(shè)f（x1）+2f（x2+）=3，變形得f（x1）=3－2f（x2+）．又由題設(shè)“f（x）=3sinx+2，對于任意的x2∈[0，]，都存在x1∈[0，]，使得f（x1）+2f（x2+）=3成立”，設(shè)f（x1）=3sinx1+2對任意的x1∈[0，]的值域?yàn)锳；f（x2）=3－2f（x2+）=－1－6sin（x2+），x2∈[0，]的值域?yàn)锽，則AB．又因?yàn)閒（x1）∈[2，5]；當(dāng)=時(shí)，x2+∈[，]，f（x2）=3－2f（x2+）=－1－6sin（x2+）∈[，5]，而符合題意；故選D．PMNO2PMNO28．某城市要在廣場中央的圓形地面設(shè)計(jì)一塊浮雕，彰顯城市積極向上的活力．某公式設(shè)計(jì)方案如圖，等腰△PMN的頂點(diǎn)P在半徑為20m的大圓O上，點(diǎn)M，N在半徑為10m的小圓O上，圓心O與點(diǎn)P都在弦MN的同側(cè)．設(shè)弦MN與對應(yīng)劣弧所圍成的弓形面積為S1，△OPM與△OPN的面積之和為S2，∠MON=2，當(dāng)S2－S1的值最大時(shí)，該設(shè)計(jì)方案最美，則此時(shí)cos=BQ2PMNOA．B．Q2PMNO解：關(guān)注到等腰△PMN和扇形OMN，延長PO交MN于Q，則OQ垂直并平分MN．S2－S1=S△PMN－S△OMN－S1=S△PMN－（S△OMN+S1）=S△PMN－S扇形OMN===10sin（20+10cos）－100=200sin+50sin2－100．設(shè)f（）=200sin+50sin2－100，則f′（）=200cos2+200cos－200，令f′（）=0，可解得．易知當(dāng)0＜cos＜時(shí)，f′（）＞0；當(dāng)＜cos＜1時(shí)，f′（）＜0；當(dāng)時(shí)，f′（）=0；說明這時(shí)存在（），使得S2－S1取得最大值，選B．ABDEFC1239．如圖，正△ABC的邊長為1，且∠1=∠2=∠ABDEFC123解：在△ABE中，∠ABE=60－15=45，∠AEB=180－15－45=120，利用正弦定理，得，而，即，．又因?yàn)椤鰽BE與△CAD全等，所以AD=BE．故正△DEF的邊長為DE=AE－AD=AE－BE=．10．某人在O點(diǎn)測量到遠(yuǎn)處有一物作等速直線運(yùn)動(dòng)．開始時(shí)該物位置在P點(diǎn)，一分鐘后，其位置在Q點(diǎn)，且∠POQ=90．再過一分鐘后，該物位置在R點(diǎn)，且∠QOR=30，則tan2∠OPQ=．OPQR解：因物體作等速直線運(yùn)動(dòng)，故RQ=QP．令RQ=QP=a，∠OPQOPQR則OQ=asin，∠QRO=60－．在△OQR中，由正弦定理，得，即，即，得tan=，故tan2=．11．設(shè)△ABC為一等腰直角三角形，∠BAC=90．若P、Q為斜邊BC的三等分點(diǎn)，則tan∠PAQ=．BACQP解：設(shè)AB=AC=1，BACQP因?yàn)锳Q2=12+－2×1×cos45=，所以AQ=；同理AP=．因此cos∠PAQ=．又因∠PAQ為銳角，所以tan∠PAQ=．另法：建立直角坐標(biāo)系：A（0，0），B（0，1），C（1，0）．因?yàn)镻，Q為BC的三等分點(diǎn)，所以P（，），Q（，），因此cos∠PAQ===，又因∠PAQ為銳角，所以tan∠PAQ=．12．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若b=6，a=2c，，則△ABC的面積為．解：注意到含60角的情形，如草圖．于是過A作AD⊥BC于D，則D一定在BC上．ABDC6c60ABDC6c60在Rt△ACD中，得，將a=2c代入，得，因此△ABC的面積等于．13．已知＞0，存在實(shí)數(shù)，使得對任意n∈N*，，則的最小值是．分析：在單位圓中分析可得＞，由∈N*，即，k∈N*，即可求得的最小值．解：在單位圓中分析，由題意可得n+的終邊要落在圖中陰影部分區(qū)域（其中∠AOx=∠Box=），所以＞∠AOB=．因?yàn)閷θ我鈔∈N*都成立，所以∈N*，即，k∈N*，同時(shí)＞，所以的最小值為．14．在△ABC中，若sinA=2sinC，且三條邊a，b，c成等比數(shù)列，則cosA的值為．解：由正弦定理，知，又b2=ac，于是a:b:c=2::1，從而由余弦定理，得．另法：由b2=acsin2B=sinAsicC，結(jié)合sinA=2sinC，得，而，上兩式平方相加，得．15．設(shè)O為△ABC的外心，若，則sin∠BAC的值為．COBA解：O為△ABCCOBA條件所反映出來的關(guān)系隱蔽，先變變形為，結(jié)合所畫圖形，有，因此．CDOBA不妨設(shè)圓CDOBA由平面幾何知識知道，，，所以∠BAC=90+∠OBC=，從而．另法：取AC的中點(diǎn)D，連接OD，則OD⊥AC．由得，知OD⊥BO，且B，A在直線OD同側(cè)．不妨設(shè)圓O的半徑為2，則線段，．在△BOC中，由余弦定理得；在△ABC中，由正弦定理得．說明：本題可以繼續(xù)求出角B、C的某些三角函數(shù)值．16．設(shè)O為△ABC的外心，且，則tanA=．解：設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，則．由已知可得，所以16R2=25R2+36R2+60R2cos∠BOC，DCOBAxDCOBAxEy注意到∠BOC=2∠A，0＜A＜90，因此．17．已知函數(shù)f（x）=cosx與g（x）=－x2+1，它們的部分圖形如圖所示，則下列選項(xiàng)正確的是：①A（1，0）②BA=③BE=④tan∠DAE=1⑤曲線f（x）=cosx與線段AD所圍的區(qū)域面積大于解：因?yàn)椋琯（1）=0，＞1，所以A（，0），B（1，0），BA=．又E（0，1），所以BE=．注意到∠DBE=45＞∠DAE，所以tan∠DAE＜tan∠DBE=1．△ACE的面積=．曲線f（x）=cosx與線段AD所圍的區(qū)域面積大于△ADE的面積．因此本題正確選項(xiàng)為②③⑤．DBACbac18．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosADBACbac解：根據(jù)題意，構(gòu)造（畫出）一個(gè)三角形ABC，如圖．聯(lián)想到直角三角形中的邊角關(guān)系，故作BD⊥AC于D，則CD=acosC，AD=ccosA，于是AC=AD+DC=ccosA+acosC，從而已知條件變?yōu)?bcosB=b，∴cosB=．結(jié)合0＜B＜π，得B=．說明：試題的題干和結(jié)論十分簡潔、優(yōu)美．解決三角形中的邊角關(guān)系問題的思維方向有：（1）用正弦定理化邊為角；（2）用余弦定理把角的三角函數(shù)化為邊；（3）邊角互化．結(jié)合有關(guān)三角公式、三角形內(nèi)角和定理與角的范圍，不難解決問題．若以數(shù)想形、數(shù)形結(jié)合，則問題又獲得上述巧妙新穎的解決．txABDC19．已知△ABC中，AB=2，txABDC△ABC有最大面積．解：畫出示意圖，過C作CD⊥AB于D，設(shè)BC=x，BD=t，則AC=x．由三角形三邊間的關(guān)系，得，解得．由勾股定理，得CD2=AC2－AD2=BC2－BD2，即3x2－（2－t）2=x2－t2，∴．因此CD2=x2－t2=．所以，△ABC的面積S△ABC=≤，當(dāng)x2=4，即BC=2時(shí)，S△ABC取得最大值．20．在△ABC中，∠B=60，AB=2，M是BC的中點(diǎn)，AM=，則AC=；cos∠MAC=．解：在△ABM中，AM2=BA2+BM2－2BA·BMcos60，代值，并整理得BM2－2BM－8=0，解得正數(shù)BM=4．∵點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，∴MC=4，BC=8．在△ABC中，利用余弦定理可得AC=．在△AMC中，利用余弦定理可得cos∠MAC=．21．如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點(diǎn)O．若，則的值是．22．在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=，AD=5，∠A=30，點(diǎn)E在線段CB的延長線上，且AE=BE，則=．－123．如圖，在四邊形ABCD中，∠B=60，AB=3，BC=6，且，，則實(shí)數(shù)的值為，若M，N是線