第六章計數(shù)原理章節(jié)綜合檢測（全國卷題型提高卷）

第六章計數(shù)原理章節(jié)綜合檢測（全國卷版提高卷）一、單選題（本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．（2022·山東·萊州市第一中學(xué)高二開學(xué)考試）已知，則等于（

）A．6 B．13 C．6或13 D．12【答案】A由題意得，化簡可得，解得或6，因為，所以且，故.故選：A2．（2022·湖南師大附中高二期末）如圖，用4種不同的顏色對A，B，C，D四個區(qū)域涂色，要求相鄰的兩個區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的涂色方法有（

）A．24種 B．48種 C．72種 D．96種【答案】B按涂色順序進(jìn)行分四步：涂A部分時，有4種涂法；涂B部分時，有3種涂法；涂C部分時，有2種涂法；涂D部分時，有2種涂法.由分步乘法計數(shù)原理，得不同的涂色方法共有種.故選：B.3．（2022·陜西·武功縣普集高級中學(xué)一模（理））的展開式中，x的系數(shù)為（

）A．10 B． C．20 D．【答案】A的展開式的通式為：令得，x的系數(shù)為.故選：A.4．（2021·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高二期末）習(xí)近平總書記在“十九大”報告中指出：堅定文化自信，推動中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化創(chuàng)造性轉(zhuǎn)化，“楊輝三角”揭示了二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列規(guī)律，最早在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)歐洲數(shù)學(xué)家帕斯卡在年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，比楊輝要晚近四百年．“楊輝三角”是中國數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就，激發(fā)起一批又一批數(shù)學(xué)愛好者的探究欲望，如圖，在由二項式系數(shù)所構(gòu)成的“楊輝三角”中，第行中從左至右第與第個數(shù)的比值為（

）A． B． C． D．1【答案】A由題意可知，第行的數(shù)就是二項式的展開式中各項的二項式系數(shù)，因此，第行中從左至右第與第個數(shù)的比值為.故選：A.5．（2020·河南·三門峽市外國語高級中學(xué)高二期中）如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點，結(jié)點之間的連線表示它們有網(wǎng)相聯(lián)．連線標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時間內(nèi)可以通過的最大信息量，現(xiàn)從結(jié)點向結(jié)點傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時傳遞，則單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量為（

）A．26 B．24 C．20 D．19【答案】D解：依題意，首先找出到的路線，①單位時間內(nèi)從結(jié)點經(jīng)過上面一個中間節(jié)點向結(jié)點傳遞的最大信息量，從結(jié)點向中間的結(jié)點傳出12個信息量，在該結(jié)點處分流為6個和5個，此時信息量為11；再傳到結(jié)點最大傳遞分別是4個和3個，此時信息量為個．②單位時間內(nèi)從結(jié)點經(jīng)過下面一個中間結(jié)點向結(jié)點傳遞的最大信息量是12個信息量，在中間結(jié)點分流為6個和8個，但此時總信息量為12（因為總共只有12個信息量）；再往下到結(jié)點最大傳遞7個但此時前一結(jié)點最多只有6個，另一條路線到最大只能傳輸6個結(jié)點，所以此時信息量為個．③綜合以上結(jié)果，單位時間內(nèi)從結(jié)點向結(jié)點傳遞的最大信息量是個．故選：．6．（2019·河南鄭州·高二期中（理））某校迎新晚會上有個節(jié)目，考慮整體效果，對節(jié)目演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前三位，且節(jié)目丙、丁必須排在一起．則該校迎新晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有A．種 B．種 C．種 D．種【答案】A先考慮將丙、丁排在一起的排法種數(shù)，將丙、丁捆綁在一起，與其他四人形成五個元素，排法種數(shù)為，利用對稱性思想，節(jié)目甲放在前三位或后三位的排法種數(shù)是一樣的，因此，該校迎新晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有種，故選A.7．（2021·江蘇蘇州·高二期中）一個旅游景區(qū)的游覽線路如圖所示，某人從P點處進(jìn)，Q點處出，沿圖中線路游覽A?B?C三個景點及沿途風(fēng)景，則不重復(fù)（除交匯點O外）的不同游覽線路有（

）A．6種 B．8種 C．12種 D．48種【答案】D游覽每一個景點所走環(huán)形路線都有2個出入口，1、3個景點選一個先游覽有種選法，2種進(jìn)出方式，故有種；2、2個景點選第二個游覽有種選法，有2種進(jìn)出方式，故有種；3、最后一個景點有2種進(jìn)出方式；∴綜上，一共有種.故選：D8．（2021·河北·保定市第三中學(xué)高二期中）設(shè)，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A令得，令得，.故選：A.9．（2021·浙江·無高二期中）設(shè)，則（

）A．0 B． C． D．【答案】A解：由題意得，，左邊的系數(shù)為，右邊的系數(shù)為，所以，左邊的系數(shù)為，右邊的系數(shù)為，所以，所以，故選：A10．（2019·山東·高二期中）楊輝是中國南宋時期的杰出數(shù)學(xué)家、教育家，楊輝三角是楊輝的一項重要研究成果，它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān)，其中蘊(yùn)藏了許多優(yōu)美的規(guī)律.設(shè)，若的展開式中，存在某連續(xù)三項，其二項式系數(shù)依次成等差數(shù)列.則稱具有性質(zhì).如的展開式中，二、三、四項的二項式系數(shù)為，，，依次成等差數(shù)列，所以具有性質(zhì).若存在，使具有性質(zhì)，則的最大值為A．22 B．23 C．24 D．25【答案】B由題意得：，整理可得：即：為完全平方數(shù)又且的最大值為：本題正確選項：11．（2020·湖北·黃梅國際育才高級中學(xué)高二期中）幾只猴子在一棵枯樹上玩耍，假設(shè)它們均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的過程中依次撞擊到樹枝A，B，C；（2）乙在下落的過程中依次撞擊到樹枝D，E，F(xiàn)；（3）丙在下落的過程中依次撞擊到樹枝G，A，C；（4）丁在下落的過程中依次撞擊到樹枝B，D，H；（5）戊在下落的過程中依次撞擊到樹枝I，C，E,則這九棵樹枝從高到低不同的順序共有（

）A．23 B．24 C．32 D．33【答案】D不妨設(shè)代表樹枝的高度，五根樹枝從上至下共九個位置，根據(jù)甲依次撞擊到樹枝；乙依次撞擊到樹枝；丙依次撞擊到樹枝；丁依次撞擊到樹枝；戊依次撞擊到樹枝可得，在前四個位置，，，且一定排在后四個位置，（1）若排在前四個位置中的一個位置，前四個位置有4種排法，若第五個位置排C,則第六個位置一定排D，后三個位置共有3種排法，若第五個位置排D，則后四個位置共有4種排法，所以I排在前四個位置中的一個位置時，共有種排法；（2）若不排在前四個位置中的一個位置，則按順序排在前四個位置，由于，所以后五個位置的排法就是H的不同排法，共5種排法，即若不排在前四個位置中的一個位置共有5種排法，由分類計數(shù)原理可得，這9根樹枝從高到低不同的次序有種.故選：D.12．（2011·四川成都·高二期中（理））記為一個位正整數(shù)，其中都是正整數(shù)，．若對任意的正整數(shù)，至少存在另一個正整數(shù)，使得，則稱這個數(shù)為“位重復(fù)數(shù)”．根據(jù)上述定義，“四位重復(fù)數(shù)”的個數(shù)為A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B由題意，對于“位重復(fù)數(shù)”，任意數(shù)位上的數(shù)字都必然至少有另外一個數(shù)位上也是相同的數(shù)字.所以“四位重復(fù)數(shù)”包含兩種情況.(1)四個數(shù)位上的數(shù)字相同，有共個.(2)兩個數(shù)位上的數(shù)字相同，另兩個數(shù)位上同為另外一個數(shù)字.若千位、百位相同(不能為)，十位、個位相同，故有個.同理，若千位、十位相同(不能為)，百位、個位相同，也有個.若千位、個位相同(不能為)，百位、十位相同，也有個.綜上，“四位重復(fù)數(shù)”的個數(shù)為.故選B.二?填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13．（2021·山東濱州·高二期中）若，則______．【答案】x6＝[1+(1+x)]6＝a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+……+a6(x+1)6，∴a3＝(1)3＝20，故答案為：20．14．（2020·湖北·武漢市鋼城第四中學(xué)高二期中）如圖，機(jī)器人亮亮沿著單位網(wǎng)格，從地移動到地，每次只移動一個單位長度，則亮亮從移動到最近的走法共有____種．【答案】分三步來考查：①從到，則亮亮要移動兩步，一步是向右移動一個單位，一步是向上移動一個單位，此時有種走法；②從到，則亮亮要移動六步，其中三步是向右移動一個單位，三步是向上移動一個單位，此時有種走法；③從到，由①可知有種走法.由分步乘法計數(shù)原理可知，共有種不同的走法.故答案為：.15．（2021·安徽·合肥市第十一中學(xué)高二期中（理））的展開式中含項的系數(shù)為______（用數(shù)字作答）.【答案】20=只有第一項和第三項的展開式中含有,系數(shù)分別是,,故答案為：20.16．（2019·浙江·余姚中學(xué)高二期中）計算，可以采用以下方法：構(gòu)造等式：，兩邊對x求導(dǎo)，得，在上式中令，得．類比上述計算方法，計算____________．【答案】由題意得，構(gòu)造等式：，兩邊同乘，得，再兩邊對求導(dǎo)，得到，在上式中，令，得.三、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．）17．（2021·福建省廈門集美中學(xué)高二期中）書架的第層放有本不同的計算機(jī)書，第層放有本不同的文藝書，第層放本不同的體育書.（1）從書架的第、、層各取本書，有多少種不同的取法？（2）從書架上任取兩本不同學(xué)科的書，有多少種不同的取法？【答案】（1）24；（2）26.（1）從書架的第、、層各取本書，可以分成個步驟完成：第步從第層取本計算機(jī)書，有種方法，第步從第層取本文藝書，有種方法，第步從第層取本體育書，有種方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是；（2）第類方法是本不同的計算機(jī)書和本不同的文藝書中各選取本，有種方法，第類方法是本不同的計算機(jī)書和本不同的體育書各選取本，有種方法，第類方法是本不同的計算機(jī)書和本不同的體育書各選取本，有種方法，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是.18．（2021·江蘇·蘇州市相城區(qū)陸慕高級中學(xué)高二期中）已知展開式的二項式系數(shù)和為512，且（1）求的值；（2）求被6整除的余數(shù).【答案】（1）2（2）5（1）因為展開式的二項式系數(shù)和為，所以，故.令，可得，令，可得，即，.（2）顯然，展開式除了最后2項外，其余各項都能被6整除,故展開式被6整出的余數(shù)，即被6整除的余數(shù)為5.19．（2021·江蘇揚(yáng)州·高二期中）生命在于運(yùn)動。某市開展“學(xué)生體質(zhì)健康提升工程”系列活動，舉行一年一度的春季中學(xué)生運(yùn)動會。某校決定從6名運(yùn)動員(含甲、乙運(yùn)動員)中選4人參加4×100米接力賽，在下列條件下，各有多少種不同的排法？（1）甲、乙兩人都不入選；（2）甲、乙兩人必須入選，且跑中間兩棒；（3）甲不跑第一棒乙不跑第四棒.【答案】（1）24；（2）24；（3）252.解：(1)甲、乙兩人都不入選，則剩下的4人參加，對這4個排列進(jìn)行全排列，則共有（2）根據(jù)題意，分兩步進(jìn)行：首選，甲、乙兩人必須入選且跑中間兩棒，則甲、乙兩人的排法有種，其次，在在剩下的4人選2人，跑第一棒和第四棒，有種，所以分步計算原理可得甲、乙兩人必須入選，且跑中間兩棒共有種（3）根據(jù)題意分兩種情況：一種是若甲跑第四棒，此時只需在剩下的5人中任選3人，安排在第一、二、三棒即可，有種安排方法，另一種是若甲不跑第四棒，此時第四棒由除甲、乙外的另外4人中選1人跑，有種，第一棒從除甲之外的4人中選1人跑，有有種，在剩下的4人中任選2人，安排在第二、三棒，有，則共有，所以分類計數(shù)原理可得甲不跑第一棒乙不跑第四棒共有種20．（2020·江蘇·無錫市大橋?qū)嶒瀸W(xué)校高二期中）已知圓的方程，從0，3，4，5，6，7，8，9，10這九個數(shù)中選出3個不同的數(shù)，分別作圓心的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和圓的半徑．問：（1）可以作多少個不同的圓？（2）經(jīng)過原點的圓有多少個？（3）圓心在直線上的圓有多少個？【答案】(1)448；(2)4；(3)38.(1)可分兩步完成：第一步，先選r，因r>0，則r有種選法，第二步再選a，b，在剩余8個數(shù)中任取2個，有種選法，所以由分步計數(shù)原理可得有個不同的圓.(2)圓經(jīng)過原點，a、b、r滿足，滿足該條件的a，b，r共有3，4，5與6，8，10兩組，考慮a、b的順序，有種情況，所以符合題意的圓有.(3)圓心在直線x+y?10=0上，即滿足a+b=10，則滿足條件的a、b有三組：0，10；3，7；4，6.當(dāng)a、b取10、0時，r有7種情況，當(dāng)a、b取3、7；4、6時，r不可取0，有6種情況，考慮a、b的順序，有種情況，所以滿足題意的圓共有個.21．（2021·江蘇淮安·高二期中）已知的展開式中，（1）求；（2）展開式中系數(shù)最大的項為第幾項？（3）求（注：，）【答案】（1）；（2）第7項；（3）.解：（1）因為，得，可得由；令，（2），得，得