83簡單幾何體的表面積和體積（第2課時）（教學(xué)設(shè)計）-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)(人教A版2019)

《8.3簡單幾何體的表面積和體積》第2課時圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積教學(xué)設(shè)計本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第二冊》人教A版（2019）第八章《立體幾何初步》的第三節(jié)《簡單幾何體的表面積和體積》。以下是本節(jié)的課時安排：8.3簡單幾何體的表面積和體積課時內(nèi)容第1課時棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積第2課時圓柱、圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征所在位置教材第114頁教材第116頁新教材內(nèi)容分析本節(jié)內(nèi)容是棱柱、棱錐、棱臺的表面積與體積求法，由之前學(xué)過的正方體、長方體的表面積與體積導(dǎo)入，引出本節(jié)要學(xué)的內(nèi)容。本節(jié)內(nèi)容是圓柱、圓錐、圓臺與球的表面積與體積求法，由上一節(jié)的多面體表面積與體積導(dǎo)入，引出本節(jié)要學(xué)的內(nèi)容。核心素養(yǎng)培養(yǎng)借助棱柱、棱錐、棱臺的表面積、體積的計算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)；通過對棱柱、棱錐、棱臺的體積的探究，提升邏輯推理的素養(yǎng).借助圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積、體積的計算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)；通過對圓柱、圓錐、圓臺、球的體積的探究，提升邏輯推理的素養(yǎng).教學(xué)主線圓柱、圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)前面我們明確研究對象：棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征，為本節(jié)學(xué)習(xí)圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積做好知識準(zhǔn)備.1.了解圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積的計算公式,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；2.理解并掌握側(cè)面展開圖與幾何體的表面積之間的關(guān)系，并能利用計算公式求幾何體的表面積與體積，提升數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。1.重點：通過對圓柱、圓錐、圓臺的研究，掌握圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積與體積的求法。2.難點：會求與圓柱、圓錐、圓臺、球有關(guān)的組合體的表面積與體積。（一）新知導(dǎo)入1.創(chuàng)設(shè)情境，生成問題如圖是工廠生產(chǎn)的各種金屬零件，被廣泛應(yīng)用于工業(yè)領(lǐng)域的各個方面.【問題】(1)如果已知制作零件的金屬的密度，如何求出這些零件的質(zhì)量？(2)如圖所示的零件都是旋轉(zhuǎn)體，其側(cè)面都是曲面，如何求其表面積？【提示】(1)先求出金屬零件的體積，再求其質(zhì)量.(2)求其側(cè)面展開圖的面積，再加上底面面積就是其表面積.（二）圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積知識點一圓柱、圓錐、圓臺的表面積旋轉(zhuǎn)體側(cè)面展開圖底面積、側(cè)面積、表面積圓柱底面積：S底＝πr2側(cè)面積：S側(cè)＝2πrl表面積：S＝2πr2＋2πrl圓錐底面積：S底＝πr2側(cè)面積：S側(cè)＝πrl表面積：S＝πr2＋πrl圓臺上底面面積：S上底＝πr′2下底面面積：S下底＝πr2側(cè)面積：S側(cè)＝π(r＋r′)l表面積：S＝πr2＋πr′2＋π(r＋r′)l【做一做1】如圖，圓錐的底面半徑為1，高為eq\r(3)，則圓錐的側(cè)面積為________．答案：2π【做一做2】一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，則這個圓柱的表面積與側(cè)面積的比是()A.eq\f(1＋2π,2π)B.eq\f(1＋2π,4π)C.eq\f(1＋2π,π) D.eq\f(1＋4π,2π)解析：設(shè)底面圓半徑為r，母線長為h，∴h＝2πr，則eq\f(S表,S側(cè))＝eq\f(2πr2＋2πrh,2πrh)＝eq\f(r＋h,h)＝eq\f(r＋2πr,2πr)＝eq\f(1＋2π,2π).答案：A【做一做3】若一個圓臺如圖所示，則其側(cè)面積等于()A.6 B.6πC.3eq\r(5)π D.6eq\r(5)π解析：∵圓臺的母線長為eq\r(（2－1）2＋22)＝eq\r(5)，∴S圓臺側(cè)＝π(1＋2)·eq\r(5)＝3eq\r(5)π.答案：C知識點二圓柱、圓錐、圓臺的體積旋轉(zhuǎn)體體積公式圓柱V＝Sh＝πr2h圓錐V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)πr2eq\r(l2－r2)圓臺V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2)h【做一做1】若圓錐的底面半徑為eq\r(3)，高為1，則圓錐的體積為()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,2) C.π D.2π解析：V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×π×3×1＝π.答案：C【做一做2】.圓臺的體積為7π，上、下底面的半徑分別為1和2，則圓臺的高為()A.3 B.4 C.5 D.6解析：由題意知V＝eq\f(1,3)(π＋2π＋4π)h＝7π，故h＝3.答案：A【探究1】圓柱、圓錐、圓臺的體積公式之間有什么關(guān)系?你能用圓柱、圓錐、圓臺的結(jié)構(gòu)特征來解釋這種關(guān)系嗎?[提示]【探究2】圓柱、圓錐、圓臺的體積公式之間有什么關(guān)系？結(jié)合棱柱、棱錐、棱臺的體積公式，你能將統(tǒng)一成柱體、錐體、臺體的體積公式嗎？柱體、錐體、臺體的體積公式之間又有什么關(guān)系？[提示]知識點三球的表面積與體積球的半徑為R，則球的體積為eq\f(4πR3,3)，表面積為4πR2.【辯一辯】1.兩個球的半徑之比為1∶2，則其體積之比為1∶4.(×)2.球心與其截面圓的圓心的連線垂直于截面.(√)3.球的表面積等于它的大圓面積的2倍.(×)【做一做1】直徑為1的球的體積是()A.1 B.eq\f(π,6) C.eq\f(π,3) D.π解析：R＝eq\f(1,2)，故V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)×π×eq\f(1,8)＝eq\f(π,6).答案：B【做一做2】若一個球的體積為4eq\r(3)π，則它的表面積為()A.3π B.12 C.12π D.36π解析：設(shè)球的半徑為R，依題意有eq\f(4π,3)R3＝4eq\r(3)π，所以R＝eq\r(3)，S＝4πR2＝12π.答案：C（三）典型例題1.圓柱、圓錐、圓臺的表面積例1.圓臺的上、下底面半徑分別為10cm和20cm.它的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角為180°，那么圓臺的表面積是多少？(結(jié)果中保留π)解析：如圖所示，設(shè)圓臺的上底面周長為c，因為扇環(huán)的圓心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10，所以SA＝20，同理可得SB＝40，所以AB＝SB－SA＝20，所以S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下＝π(r1＋r2)·AB＋πreq\o\al(2,1)＋πreq\o\al(2,2)＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2)．故圓臺的表面積為1100πcm2.【類題通法】求旋轉(zhuǎn)體表面積的要點(1)因為軸截面聯(lián)系著母線、底面半徑、高等元素，因此處理好軸截面中邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵；(2)對于圓臺問題，要重視“還臺為錐”的思想方法；(3)在計算圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積或表面積時，應(yīng)根據(jù)已知條件先計算出它們的母線和底面圓半徑的長，而求解這些未知量常常需要列方程.【鞏固練習(xí)1】圓錐的高和底面半徑相等，它的一個內(nèi)接圓柱的高和圓柱底面半徑也相等.求圓柱的表面積和圓錐的表面積之比.解析：如圖所示，設(shè)圓柱和圓錐的底面半徑分別為r，R，則有eq\f(r,R)＝eq\f(R－r,R)，即eq\f(r,R)＝eq\f(1,2)，∴R＝2r，圓錐的母線長l＝eq\r(2)R，∴eq\f(S圓柱表,S圓錐表)＝eq\f(2πr2＋2πr2,πR·\r(2)R＋πR2)＝eq\f(4πr2,（\r(2)＋1）πR2)＝eq\f(4r2,（\r(2)＋1）4r2)＝eq\f(1,\r(2)＋1)＝eq\r(2)－1.2.圓柱、圓錐、圓臺的體積例2.圓錐的過高的中點且與底面平行的截面把圓錐分成兩部分的體積之比是()A．1∶1B．1∶6C．1∶7 D．1∶8解析：如圖，設(shè)圓錐底半徑OB＝R，高PO＝h，∵O′為PO中點，∴PO′＝eq\f(h,2)，∵eq\f(O′A,OB)＝eq\f(PO′,PO)＝eq\f(1,2)，∴O′A＝eq\f(R,2)，∴V圓錐PO′＝eq\f(1,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))eq\s\up20(2)·eq\f(h,2)＝eq\f(1,24)πR2h.V圓臺O′O＝eq\f(π,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))eq\s\up20(2)＋R2＋\f(R,2)·R))·eq\f(h,2)＝eq\f(7,24)πR2h.∴eq\f(V圓錐PO′,V圓臺O′O)＝eq\f(1,7).答案：C【類題通法】求幾何體體積的常用方法【鞏固練習(xí)2】圓臺上、下底面面積分別是π、4π，側(cè)面積是6π，這個圓臺的體積是()A.eq\f(2\r(3),3)πB．2eq\r(3)C.eq\f(7\r(3),6)πD.eq\f(7\r(3),3)π解析：S1＝π，S2＝4π，∴r＝1，R＝2，S側(cè)＝6π＝π(r＋R)l，∴l(xiāng)＝2，∴h＝eq\r(3).∴V＝eq\f(1,3)π(1＋4＋2)×eq\r(3)＝eq\f(7,3)eq\r(3)π.答案：Ｄ3.球的表面積與體積（1）球的截面問題例3.一個球內(nèi)有相距9cm的兩個平行截面，它們的面積分別為49πcm2和400πcm2，求球的表面積．解析：(1)當(dāng)截面在球心的同側(cè)時，如圖①所示為球的軸截面，由截面性質(zhì)知AO1∥BO2，O1，O2為兩截面圓的圓心，且OO1⊥AO1，OO2⊥BO2，設(shè)球的半徑為R，∵πO2B2＝49π，∴O2B＝7cm，同理得：O1A＝20cm.設(shè)OO1＝x，則OO2＝(x＋9)cm，在Rt△O1OA中，R2＝x2＋202，①在Rt△OO2B中，R2＝72＋(x＋9)2，②聯(lián)立①②可得x＝15，R＝25.∴S球＝4πR2＝2500πcm2，故球的表面積為2500πcm2.(2)當(dāng)截面在球心的兩側(cè)時，如圖②所示為球的軸截面，由球的截面性質(zhì)知，O1A∥O2B，O1，O2分別為兩截面圓的圓心，且OO1⊥O1A，OO2⊥O2B.設(shè)球的半徑為R，∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7cm.∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20cm.設(shè)O1O＝xcm，則OO2＝(9－x)cm.在Rt△OO1A中，R2＝x2＋400.在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋49.∴x2＋400＝(9－x)2＋49，解得x＝－15，不合題意，舍去．綜上所述，球的表面積為2500πcm2.【類題通法】球的截面問題的方法歸納：設(shè)球的截面圓上一點A，球心為O，截面圓心為O1，則△AO1O是以O(shè)1為直角頂點的直角三角形，解答球的截面問題時，常用該直角三角形求解，并常用過球心和截面圓心的軸截面進(jìn)行求解.【鞏固練習(xí)3】在半徑為R的球面上有A，B，C三點，且AB＝BC＝CA＝3，球心到△ABC所在截面的距離為球半徑的一半，求球的表面積.解析：依題意知，△ABC是正三角形，△ABC的外接圓半徑r＝eq\f(\r(3),3)×3＝eq\r(3).由R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))eq\s\up12(2)＋(eq\r(3))2，得R＝2.所以球的表面積S＝4πR2＝16π.（2）球的切、接問題例4.（1）在半球內(nèi)有一個內(nèi)接正方體，試求這個半球的體積與正方體的體積之比.解析：作正方體對角面的截面，如圖所示，設(shè)半球的半徑為R，正方體的棱長為a，那么CC′＝a，OC＝eq\f(\r(2)a,2).在Rt△C′CO中，由勾股定理，得CC′2＋OC2＝OC′2，即a2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)a,2)))eq\s\up12(2)＝R2，∴R＝eq\f(\r(6),2)a.從而V半球＝eq\f(2,3)πR3＝eq\f(2,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)a))eq\s\up12(3)＝eq\f(\r(6),2)πa3，V正方體＝a3.因此V半球∶V正方體＝eq\f(\r(6),2)πa3∶a3＝eq\r(6)π∶2.（2）如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則eq\f(V1,V2)的值是________.解析：設(shè)球O的半徑為r，則圓柱的底面半徑為r，高為2r，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(πr2·2r,\f(4,3)πr3)＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)【類題通法】常見的幾何體與球的切、接問題的解決策略：①處理有關(guān)幾何體外接球或內(nèi)切球的相關(guān)問題時，要注意球心的位置與幾何體的關(guān)系，一般情況下，由于球的對稱性，球心總在特殊位置，比如中心、對角線的中點等.②解決此類問題的實質(zhì)就是根據(jù)幾何體的相關(guān)數(shù)據(jù)求球的直徑或半徑，關(guān)鍵是根據(jù)“切點”和“接點”，作出軸截面圖，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來計算.【鞏固練習(xí)4】若棱長為2的正方體的各個頂點均在同一球面上，求此球的體積．解析：正方體的各個頂點在球面上，過球心作正方體的對角面得截面，如圖，所以正方體的外接球直徑等于正方體的體對角線長，即2R＝eq\r(22＋2\r(2)2)，所以R＝eq\r(3)，所以V球＝eq\f(4,3)·π·(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π.4.簡單組合體的表面積與體積【例5】如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，C到AB與AD的距離分別為1和2，若將ABCD繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，求所得旋轉(zhuǎn)體的體積．解析：旋轉(zhuǎn)得到一個圓錐和圓臺的組合體，V圓錐＝eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(8,3)π，V圓臺＝eq\f(1,3)π×1×(22＋12＋2×1)＝eq\f(7,3)π，所以V＝V圓錐＋V圓臺＝5π.【類題通法】組合體體積與表面積的求解策略：(1)首先應(yīng)弄清它的組成，其表面有哪些底面和側(cè)面，各個面應(yīng)怎樣求其面積，然后把這些面的面積相加或相減；求體積時也要先弄清組成，求出各簡單幾何體的體積，然后再相加或相減.(2)在求組合體的表面積、體積時要注意“表面(和外界直接接觸的面)”與“體積(幾何體所占空間的大小)”的定義，以確保不重復(fù)、不遺漏.【鞏固練習(xí)5】如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD內(nèi)過點C作l⊥CB，以l為軸旋轉(zhuǎn)一周．求旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積．解析：如題圖，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，∴CD＝eq\f(BC－AD,cos60°)＝2a，AB＝CDsin60°＝eq\r(3)a，∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a，∴DO＝eq\f(1,2)DD′＝a.由于以l為軸將梯形ABCD旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體為圓柱中挖去一個倒放的與圓柱等高的圓錐．由上述計算知，圓柱母線長eq\r(3)a，底面半徑2a，圓錐的母線長2a，底面半徑a.∴圓柱的側(cè)面積S1＝2π·2a·eq\r(3)a＝4eq\r(3)πa2，圓錐的側(cè)面積S2＝π·a·2a＝2πa2，圓柱的底面積S3＝π(2a)2＝4πa2，圓錐的底面積S4＝πa2，∴組合體上底面積S5＝S3－S4＝3πa2，∴旋轉(zhuǎn)體的表面積S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4eq\r(3)＋9)πa2.又由題意知形成的幾何體的體積為一個圓柱的體積減去一個圓錐的體積．V柱＝Sh＝π·(2a)2·eq\r(3)a＝4eq\r(3)πa3，V錐＝eq\f(1,3)S′h＝eq\f(1,3)·π·a2·eq\r(3)a＝eq\f(\r(3),3)πa3，∴V＝V柱－V錐＝4eq\r(3)πa3－eq\f(\r(3),3)πa3＝eq\f(11\r(3),3)πa3.（四）操作演練素養(yǎng)提升1.在△ABC中，AC＝2，BC＝2，∠ACB＝120°，若△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的表面積是()A．(6＋2eq\r(3))πB．6πC．(9＋2eq\r(3))π D．2eq\r(3)π2、已知圓臺上、下兩底面與側(cè)面都與球相切，它的側(cè)面積為16π，則該圓臺上、下兩個底面圓的周長之和為()A．4πB．6πC．8π D．10π3、用與球心距離為2的平面去截球，所得的截面面積為π，則球的體積為()A.eq\f(20π,3)B.eq\f(20\r(5)π,3)C.20eq\r(5)π D.eq\f(100π,3)4、體積為52的圓臺，一個底面積是另一個底面積的9倍，那么截得這個圓臺的圓錐的體積是()A.54 B.54π C.58 D.58π答案：1.A2.C3.B4.A【設(shè)計意圖】通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題的能力，感悟其中蘊含的數(shù)學(xué)思想，增強學(xué)生的應(yīng)用意識。（五）課堂小結(jié)，反思感悟1.知識總結(jié)：2.學(xué)生反思：（1）通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識？（2）在解決問題時，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？