高等數(shù)學(xué)工專講義

高等數(shù)學(xué)工專講義接下來我們就開始學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)了，也許在學(xué)習(xí)的過程中我們會感到枯燥無味，但是我相信只要我們努力，我們一定能達(dá)到成功的彼岸。常量與變量變量的定義

我們在觀察某一現(xiàn)象的過程時，常常會遇到各種不同的量，其中有的量在過程中不起變化，我們把其稱之為常量；有的量在過程中是變化的，也就是可以取不同的數(shù)值，我們則把其稱之為變量。

注：在過程中還有一種量，它雖然是變化的，但是它的變化相對于所研究的對象是極其微小的，我們則把它看作常量。變量的表示

如果變量的變化是連續(xù)的，則常用區(qū)間來表示其變化范圍。

在數(shù)軸上來說，區(qū)間是指介于某兩點(diǎn)之間的線段上點(diǎn)的全體。區(qū)間的名稱區(qū)間的滿足的不等式區(qū)間的記號區(qū)間在數(shù)軸上的表示閉區(qū)間a≤x≤b[a，b]開區(qū)間a＜x＜b（a，b）半開區(qū)間a＜x≤b或a≤x＜b（a，b]或[a，b）

以上我們所述的都是有限區(qū)間，除此之外，還有無限區(qū)間：

[a，+∞)：表示不小于a的實(shí)數(shù)的全體，也可記為：a≤x＜+∞；

(-∞，b)：表示小于b的實(shí)數(shù)的全體，也可記為：-∞＜x＜b；

(-∞，+∞)：表示全體實(shí)數(shù)，也可記為：-∞＜x＜+∞

注：其中-∞和+∞，分別讀作"負(fù)無窮大"和"正無窮大",它們不是數(shù),僅僅是記號。鄰域

設(shè)α與δ是兩個實(shí)數(shù)，且δ＞0.滿足不等式│x-α│＜δ的實(shí)數(shù)x的全體稱為點(diǎn)α的δ鄰域，點(diǎn)α稱為此鄰域的中心，δ稱為此鄰域的半徑。函數(shù)函數(shù)的定義

如果當(dāng)變量x在其變化范圍內(nèi)任意取定一個數(shù)值時，量y按照一定的法則總有確定的數(shù)值與它對應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)。變量x的變化范圍叫做這個函數(shù)的定義域。通常x叫做自變量，y叫做因變量。

注：為了表明y是x的函數(shù)，我們用記號y=f(x)、y=F(x)等等來表示.這里的字母"f"、"F"表示y與x之間的對應(yīng)法則即函數(shù)關(guān)系,它們是可以任意采用不同的字母來表示的.

注：如果自變量在定義域內(nèi)任取一個確定的值時，函數(shù)只有一個確定的值和它對應(yīng)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫做多值函數(shù)。這里我們只討論單值函數(shù)。函數(shù)的表示

a)：解析法：用數(shù)學(xué)式子表示自變量和因變量之間的對應(yīng)關(guān)系的方法即是解析法。例：直角坐標(biāo)系中，半徑為r、圓心在原點(diǎn)的圓的方程是：x2+y2=r2

b)：表格法：將一系列的自變量值與對應(yīng)的函數(shù)值列成表來表示函數(shù)關(guān)系的方法即是表格法。例：在實(shí)際應(yīng)用中，我們經(jīng)常會用到的平方表，三角函數(shù)表等都是用表格法表示的函數(shù)。

c)：圖示法：用坐標(biāo)平面上曲線來表示函數(shù)的方法即是圖示法。一般用橫坐標(biāo)表示自變量，縱坐標(biāo)表示因變量。例：直角坐標(biāo)系中，半徑為r、圓心在原點(diǎn)的圓用圖示法表示為：函數(shù)的簡單性態(tài)函數(shù)的有界性

如果對屬于某一區(qū)間I的所有x值總有│f(x)│≤M成立，其中M是一個與x無關(guān)的常數(shù)，那么我們就稱f(x)在區(qū)間I有界，否則便稱無界。

注意：一個函數(shù)，如果在其整個定義域內(nèi)有界，則稱為有界函數(shù)

例題：函數(shù)cosx在(-∞,+∞)內(nèi)是有界的.函數(shù)的單調(diào)性

如果函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)隨著x增大而增大，即：對于(a,b)內(nèi)任意兩點(diǎn)x1及x2，當(dāng)x1＜x2時，有，則稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)增加的。

如果函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)隨著x增大而減小，即：對于(a,b)內(nèi)任意兩點(diǎn)x1及x2，當(dāng)x1＜x2時，有，則稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)減小的。

例題：函數(shù)=x2在區(qū)間(-∞,0)上是單調(diào)減小的，在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)增加的。函數(shù)的奇偶性

如果函數(shù)對于定義域內(nèi)的任意x都滿足=，則叫做偶函數(shù)；

如果函數(shù)對于定義域內(nèi)的任意x都滿足=-，則叫做奇函數(shù)。

注意：偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱。函數(shù)的周期性

對于函數(shù)，若存在一個不為零的數(shù)l，使得關(guān)系式

對于定義域內(nèi)任何x值都成立，則叫做周期函數(shù)，l是的周期。

注：我們說的周期函數(shù)的周期是指最小正周期。例題：函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)；函數(shù)tanx是以為周期的周期函數(shù)。反函數(shù)反函數(shù)的定義

設(shè)有函數(shù)，若變量y在函數(shù)的值域內(nèi)任取一值y0時，變量x在函數(shù)的定義域內(nèi)必有一值x0與之對應(yīng)，即，那末變量x是變量y的函數(shù).

這個函數(shù)用來表示，稱為函數(shù)的反函數(shù).

注：由此定義可知，函數(shù)也是函數(shù)的反函數(shù)。反函數(shù)的存在定理

若在(a，b)上嚴(yán)格增(減)，其值域?yàn)镽，則它的反函數(shù)必然在R上確定，且嚴(yán)格增(減).

注：嚴(yán)格增(減)即是單調(diào)增(減)

例題：y=x2，其定義域?yàn)?-∞,+∞)，值域?yàn)閇0,+∞).對于y取定的非負(fù)值,可求得x=±.若我們不加條件，由y的值就不能唯一確定x的值，也就是在區(qū)間(-∞,+∞)上，函數(shù)不是嚴(yán)格增(減)，故其沒有反函數(shù)。如果我們加上條件，要求x≥0，則對y≥0、x=就是y=x2在要求x≥0時的反函數(shù)。即是：函數(shù)在此要求下嚴(yán)格增(減).反函數(shù)的性質(zhì)

在同一坐標(biāo)平面內(nèi)，與的圖形是關(guān)于直線y=x對稱的。

例題：函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，則它們的圖形在同一直角坐標(biāo)系中是關(guān)于直線y=x對稱的。如右圖所示：

復(fù)合函數(shù)的定義

若y是u的函數(shù)：，而u又是x的函數(shù)：，且的函數(shù)值的全部或部分在的定義域內(nèi)，那末，y通過u的聯(lián)系也是x的函數(shù)，我們稱后一個函數(shù)是由函數(shù)及復(fù)合而成的函數(shù)，簡稱復(fù)合函數(shù)，記作，其中u叫做中間變量。

注：并不是任意兩個函數(shù)就能復(fù)合；復(fù)合函數(shù)還可以由更多函數(shù)構(gòu)成。

例題：函數(shù)與函數(shù)是不能復(fù)合成一個函數(shù)的。因?yàn)閷τ诘亩x域(-∞,+∞)中的任何x值所對應(yīng)的u值（都大于或等于2），使都沒有定義。初等函數(shù)基本初等函數(shù)

我們最常用的有五種基本初等函數(shù)，分別是：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)。下面我們用表格來把它們總結(jié)一下：函數(shù)名稱函數(shù)的記號函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)指數(shù)函數(shù)

a):不論x為何值,y總為正數(shù);

b):當(dāng)x=0時,y=1.對數(shù)函數(shù)

a):其圖形總位于y軸右側(cè),并過(1,0)點(diǎn)

b):當(dāng)a＞1時,在區(qū)間(0,1)的值為負(fù)；在區(qū)間(-,+∞)的值為正；在定義域內(nèi)單調(diào)增.冪函數(shù)a為任意實(shí)數(shù)這里只畫出部分函數(shù)圖形的一部分。

令a=m/n

a):當(dāng)m為偶數(shù)n為奇數(shù)時,y是偶函數(shù);

b):當(dāng)m,n都是奇數(shù)時,y是奇函數(shù);

c):當(dāng)m奇n偶時,y在(-∞,0)無意義.三角函數(shù)(正弦函數(shù))

這里只寫出了正弦函數(shù)

a):正弦函數(shù)是以2π為周期的周期函數(shù)

b):正弦函數(shù)是奇函數(shù)且反三角函數(shù)(反正弦函數(shù))這里只寫出了反正弦函數(shù)

a):由于此函數(shù)為多值函數(shù),因此我們此函數(shù)值限制在[-π/2,π/2]上,并稱其為反正弦函數(shù)的主值.初等函數(shù)

由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有限次的有理運(yùn)算及有限次的函數(shù)復(fù)合所產(chǎn)生并且能用一個解析式表出的函數(shù)稱為初等函數(shù).

例題：是初等函數(shù)。

我們再來學(xué)習(xí)一下工程技術(shù)中常用的函數(shù)——雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)

在應(yīng)用中我們經(jīng)常遇到的雙曲函數(shù)是：(用表格來描述)函數(shù)的名稱函數(shù)的表達(dá)式函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)雙曲正弦a)：其定義域?yàn)?(-∞,+∞)；b)：是奇函數(shù)；c)：在定義域內(nèi)是單調(diào)增雙曲余弦a)：其定義域?yàn)?(-∞,+∞)；b)：是偶函數(shù)；c)：其圖像過點(diǎn)(0,1)；雙曲正切a)：其定義域?yàn)?(-∞,+∞)；b)：是奇函數(shù)；c)：其圖形夾在水平直線y=1及y=-1之間；在定域內(nèi)單調(diào)增；

我們再來看一下雙曲函數(shù)與三角函數(shù)的區(qū)別：雙曲函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)的性質(zhì)shx與thx是奇函數(shù)，chx是偶函數(shù)sinx與tanx是奇函數(shù)，cosx是偶函數(shù)它們都不是周期函數(shù)都是周期函數(shù)

雙曲函數(shù)也有和差公式：反雙曲函數(shù)

雙曲函數(shù)的反函數(shù)稱為反雙曲函數(shù).

a)：反雙曲正弦函數(shù)

其定義域?yàn)椋?-∞,+∞)；

b)：反雙曲余弦函數(shù)

其定義域?yàn)椋篬1,+∞)；

c)：反雙曲正切函數(shù)

其定義域?yàn)椋?-1,+1)；數(shù)列的極限

我們先來回憶一下初等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)的數(shù)列的概念。數(shù)列

若按照一定的法則，有第一個數(shù)a1，第二個數(shù)a2，…，依次排列下去，使得任何一個正整數(shù)n對應(yīng)著一個確定的數(shù)an，那末，我們稱這列有次序的數(shù)a1，a2，…，an，…為數(shù)列.

數(shù)列中的每一個數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng)。第n項(xiàng)an叫做數(shù)列的一般項(xiàng)或通項(xiàng).

注：我們也可以把數(shù)列an看作自變量為正整數(shù)n的函數(shù)，即：，它的定義域是全體正整數(shù)極限

極限的概念是求實(shí)際問題的精確解答而產(chǎn)生的。

例：我們可通過作圓的內(nèi)接正多邊形，近似求出圓的面積。

設(shè)有一圓，首先作圓內(nèi)接正六邊形，把它的面積記為A1；

再作圓的內(nèi)接正十二邊形，其面積記為A2；

再作圓的內(nèi)接正二十四邊形，其面積記為A3；

依次循下去(一般把內(nèi)接正6×2n-1邊形的面積記為An)可得一系列內(nèi)接正多邊形的面積：A1，A2，A3，…，An，…，它們就構(gòu)成一列有序數(shù)列。

我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時，An也無限接近某一確定的數(shù)值(圓的面積)，這個確定的數(shù)值在數(shù)學(xué)上被稱為數(shù)列A1，A2，A3，…，An，…當(dāng)n→∞(讀作n趨近于無窮大)的極限

注：上面這個例子就是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽(公元三世紀(jì))的割圓術(shù)。數(shù)列的極限

一般地，對于數(shù)列來說，若存在任意給定的正數(shù)(不論其多么小)，總存在正整數(shù)N，使得對于n＞N時的一切不等式都成立，那末就稱常數(shù)a是數(shù)列的極限，或者稱數(shù)列收斂于a.

記作：或

注：此定義中的正數(shù)只有任意給定，不等式才能表達(dá)出與a無限接近的意思。

且定義中的正整數(shù)N與任意給定的正數(shù)是有關(guān)的，它是隨著的給定而選定的。

注：在此我們可能不易理解這個概念，下面我們再給出它的一個幾何解釋，以使我們能理解它。

數(shù)列極限為a的一個幾何解釋：

將常數(shù)a及數(shù)列在數(shù)軸上用它們的對應(yīng)點(diǎn)表示出來，再在數(shù)軸上作點(diǎn)a的鄰域即開區(qū)間(a-ε，a+ε)，如下圖所示：

因不等式與不等式等價，故當(dāng)n＞N時，所有的點(diǎn)都落在開區(qū)

間(a-，a+)內(nèi)，而只有有限個(至多只有N個)在此區(qū)間以外。

注：至于如何求數(shù)列的極限，我們在以后會學(xué)習(xí)到，這里我們不作討論。數(shù)列的有界性

對于數(shù)列，若存在著正數(shù)M，使得一切都滿足不等式││≤M，則稱數(shù)列是有界的，若正數(shù)M不存在，則可說數(shù)列是無界的。

定理：若數(shù)列收斂，那末數(shù)列一定有界。

注：有界的數(shù)列不一定收斂，即：數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件。

例：數(shù)列

1，-1，1，-1，…，(-1)n+1，…

是有界的，但它是發(fā)散的。函數(shù)的極限

前面我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限，已經(jīng)知道數(shù)列可看作一類特殊的函數(shù)，即自變量取1→∞內(nèi)的正整數(shù)，若自變量不再限于正整數(shù)的順序，而是連續(xù)變化的，就成了函數(shù)。下面我們來學(xué)習(xí)函數(shù)的極限.

函數(shù)的極值有兩種情況：a)：自變量無限增大；b)：自變量無限接近某一定點(diǎn)x0，如果在這時，函數(shù)值無限接近于某一常數(shù)A，就叫做函數(shù)存在極值。

我們已知道函數(shù)的極值的情況，那么函數(shù)的極限如何呢?

下面我們結(jié)合著數(shù)列的極限來學(xué)習(xí)一下函數(shù)極限的概念!函數(shù)的極限(分兩種情況)

a):自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限

定義：

設(shè)函數(shù)，若對于任意給定的正數(shù)ε(不論其多么小)，總存在著正數(shù)X，使得對于適合不等式的一切x，所對應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式

那末常數(shù)A就叫做函數(shù)當(dāng)x→∞時的極限，記作：

下面我們用表格把函數(shù)的極限與數(shù)列的極限對比一下：數(shù)列的極限的定義函數(shù)的極限的定義存在數(shù)列與常數(shù)A

任給一正數(shù)ε＞0總可找到一正整數(shù)N對于n＞N的所有都滿足＜ε則稱數(shù)列當(dāng)x→∞時收斂于A記：存在函數(shù)與常數(shù)A任給一正數(shù)ε＞0總可找到一正數(shù)X對于適合的一切x都滿足函數(shù)當(dāng)x→∞時的極限為A記：

從上表我們發(fā)現(xiàn)了什么？？試思考之b):自變量趨向有限值時函數(shù)的極限

我們先來看一個例子.

例：函數(shù)，當(dāng)x→1時函數(shù)值的變化趨勢如何？

函數(shù)在x=1處無定義.我們知道對實(shí)數(shù)來講，在數(shù)軸上任何一個有限的范圍內(nèi)，都有無窮多個點(diǎn)，為此我們把x→1時函數(shù)值的變化趨勢用表列出,如下圖:

從中我們可以看出x→1時，→2.而且只要x與1有多接近，就與2有多接近.

或說：只要與2只差一個微量ε，就一定可以找到一個δ，當(dāng)＜δ時滿足＜δ

定義：

設(shè)函數(shù)在某點(diǎn)x0的某個去心鄰域內(nèi)有定義，且存在數(shù)A，如果對任意給定的(不論其多么小)，總存在正數(shù)δ，當(dāng)0＜＜δ時，＜

則稱函數(shù)當(dāng)x→x0時存在極限，且極限為A，記：

注：在定義中為什么是在去心鄰域內(nèi)呢？

這是因?yàn)槲覀冎挥懻搙→x0的過程，與x=x0出的情況無關(guān)。

此定義的核心問題是：對給出的，是否存在正數(shù)δ，使其在去心鄰域內(nèi)的x均滿足不等式。

有些時候，我們要用此極限的定義來證明函數(shù)的極限為A，其證明方法是怎樣的呢？

a):先任?。?；

b):寫出不等式＜；

c):解不等式能否得出去心鄰域0＜＜δ，若能；

d):則對于任給的＞0，總能找出δ，當(dāng)0＜＜δ時，＜成立，因此

下面我們來學(xué)習(xí)函數(shù)極限的運(yùn)算法則和函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則

前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列極限的運(yùn)算規(guī)則，我們知道數(shù)列可作為一類特殊的函數(shù)，故函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則與數(shù)列極限的運(yùn)算規(guī)則相似。

函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則

若已知x→x0(或x→∞)時，.

則：

推論：

在求函數(shù)的極限時，利用上述規(guī)則就可把一個復(fù)雜的函數(shù)化為若干個簡單的函數(shù)來求極限。

例題：求

解答：

例題：求

此題如果像上題那樣求解，則會發(fā)現(xiàn)此函數(shù)的極限不存在.我們通過觀察可以發(fā)現(xiàn)此分式的分子

和分母都沒有極限，像這種情況怎么辦呢？下面我們把它解出來。

解答：

注：通過此例題我們可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)分式的分子和分母都沒有極限時就不能運(yùn)用商的極限的運(yùn)算規(guī)則了，應(yīng)先把分式的分子分母轉(zhuǎn)化為存在極限的情形，然后運(yùn)用規(guī)則求之。函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則

學(xué)習(xí)函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則之前，我們先來學(xué)習(xí)一下左、右的概念。

我們先來看一個例子：

例：符號函數(shù)為

對于這個分段函數(shù),x從左趨于0和從右趨于0時函數(shù)極限是不相同的.

為此我們定義了左、右極限的概念。

定義：如果x僅從左側(cè)(x＜x0)趨近x0時，函數(shù)與常量A無限接近，則稱A為函數(shù)當(dāng)時的左極限.記：

如果x僅從右側(cè)(x＞x0)趨近x0時，函數(shù)與常量A無限接近，則稱A為函數(shù)當(dāng)時的右極限.記：注：只有當(dāng)x→x0時，函數(shù)的左、右極限存在且相等，方稱在x→x0時有極限函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則

準(zhǔn)則一：對于點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)的一切x，x0點(diǎn)本身可以除外(或絕對值大于某一正數(shù)的一切x)有≤≤，且那末存在，且等于A。

注：此準(zhǔn)則也就是夾逼準(zhǔn)則.

準(zhǔn)則二：單調(diào)有界的函數(shù)必有極限.

注：有極限的函數(shù)不一定單調(diào)有界兩個重要的極限

一：

注：其中e為無理數(shù)，它的值為：e=2.7045...

二：

注：在此我們對這兩個重要極限不加以證明.

注：我們要牢記這兩個重要極限，在今后的解題中會經(jīng)常用到它們.

例題：求

解答：令，則x=-2t，因?yàn)閤→∞，故t→∞，

則

注：解此類型的題時，一定要注意代換后的變量的趨向情況，象x→∞時，若用t代換1/x，則t→0.無窮大量和無窮小量無窮大量

我們先來看一個例子：

已知函數(shù)，當(dāng)x→0時，可知，我們把這種情況稱為趨向無窮大。

為此我們可定義如下：

設(shè)有函數(shù)y=，在x=x0的去心鄰域內(nèi)有定義，對于任意給定的正數(shù)N(一個任意大的數(shù))，總可找到正數(shù)δ，當(dāng)時，成立，則稱函數(shù)當(dāng)時為無窮大量。記為：（表示為無窮大量，實(shí)際它是沒有極限的）

同樣我們可以給出當(dāng)x→∞時，無限趨大的定義：

設(shè)有函數(shù)y=，當(dāng)x充分大時有定義，對于任意給定的正數(shù)N(一個任意大的數(shù))，總可以找到正數(shù)M，當(dāng)時，成立，則稱函數(shù)當(dāng)x→∞時是無窮大量，記為：無窮小量

以零為極限的變量稱為無窮小量。

定義：設(shè)有函數(shù)，對于任意給定的正數(shù)ε(不論它多么小)，總存在正數(shù)δ(或正數(shù)M)，使得對于適合不等式(或)的一切x，所對應(yīng)的函數(shù)值滿足不等式，則稱函數(shù)當(dāng)(或x→∞)時為無窮小量.

記作：(或)注意：無窮大量與無窮小量都是一個變化不定的量，不是常量，只有0可作為無窮小量的唯一常量。無窮大量與無窮小量的區(qū)別是：前者無界，后者有界，前者發(fā)散，后者收斂于0.無窮大量與無窮小量是互為倒數(shù)關(guān)系的.關(guān)于無窮小量的兩個定理

定理一：如果函數(shù)在(或x→∞)時有極限A，則差是當(dāng)(或x→∞)時的無窮小量，反之亦成立。

定理二：無窮小量的有利運(yùn)算定理

a)：有限個無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量；

b)：有限個無窮小量的積仍是無窮小量；

c)：常數(shù)與無窮小量的積也是無窮小量.無窮小量的比較

通過前面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道，兩個無窮小量的和、差及乘積仍舊是無窮小.那么兩個無窮小量的商會是怎樣的呢？

好！接下來我們就來解決這個問題，這就是我們要學(xué)的兩個無窮小量的比較。

定義：設(shè)α，β都是時的無窮小量，且β在x0的去心領(lǐng)域內(nèi)不為零，

a)：如果，則稱α是β的高階無窮小或β是α的低階無窮小；

b)：如果，則稱α和β是同階無窮?。?/p>

c)：如果，則稱α和β是等價無窮小，記作：α∽β(α與β等價)

例：因?yàn)?，所以?dāng)x→0時，x與3x是同階無窮小；

因?yàn)?，所以?dāng)x→0時，x2是3x的高階無窮小；

因?yàn)椋援?dāng)x→0時，sinx與x是等價無窮小。等價無窮小的性質(zhì)

設(shè)，且存在，則.

注：這個性質(zhì)表明：求兩個無窮小之比的極限時，分子及分母都可用等價無窮小來代替，因此我們可以利用這個性質(zhì)來簡化求極限問題。

例題：1.求

解答：當(dāng)x→0時，sinax∽ax，tanbx∽bx，故：

例題：2.求

解答：

注：

注：從這個例題中我們可以發(fā)現(xiàn)，作無窮小變換時，要代換式中的某一項(xiàng)，不能只代換某個因子。函數(shù)的一重要性質(zhì)——連續(xù)性

在自然界中有許多現(xiàn)象，如氣溫的變化，植物的生長等都是連續(xù)地變化著的.這種現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映，就是函數(shù)的連續(xù)性

在定義函數(shù)的連續(xù)性之前我們先來學(xué)習(xí)一個概念——增量

設(shè)變量x從它的一個初值x1變到終值x2，終值與初值的差x2-x1就叫做變量x的增量，記為：△x，即：△x=x2-x1。增量△x可正可負(fù).

我們再來看一個例子：函數(shù)在點(diǎn)x0的鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在領(lǐng)域內(nèi)從x0變到x0+△x時，函數(shù)y相應(yīng)地從變到，其對應(yīng)的增量為：

這個關(guān)系式的幾何解釋如下圖：

現(xiàn)在我們可對連續(xù)性的概念這樣描述：如果當(dāng)△x趨向于零時，函數(shù)y對應(yīng)的增量△y也趨向于零，即：那末就稱函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)。函數(shù)連續(xù)性的定義：

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x0的某個鄰域內(nèi)有定義，如果有稱函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)，且稱x0為函數(shù)的的連續(xù)點(diǎn).

下面我們結(jié)合著函數(shù)左、右極限的概念再來學(xué)習(xí)一下函數(shù)左、右連續(xù)的概念：

設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b]內(nèi)有定義，如果左極限存在且等于，

即：=，那末我們就稱函數(shù)在點(diǎn)b左連續(xù).

設(shè)函數(shù)在區(qū)間[a,b)內(nèi)有定義，如果右極限存在且等于，

即：=，那末我們就稱函數(shù)在點(diǎn)a右連續(xù).

一個函數(shù)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每點(diǎn)連續(xù),則為在(a,b)連續(xù)，若又在a點(diǎn)右連續(xù)，b點(diǎn)左連續(xù)，則在閉區(qū)間[a，b]連續(xù)，如果在整個定義域內(nèi)連續(xù)，則稱為連續(xù)函數(shù)。注：一個函數(shù)若在定義域內(nèi)某一點(diǎn)左、右都連續(xù)，則稱函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)，否則在此點(diǎn)不連續(xù).注：連續(xù)函數(shù)圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線。

通過上面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道函數(shù)的連續(xù)性了，同時我們可以想到若函數(shù)在某一點(diǎn)要是不連續(xù)會出現(xiàn)什么情形呢？接著我們就來學(xué)習(xí)這個問題：函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn)定義：我們把不滿足函數(shù)連續(xù)性的點(diǎn)稱之為間斷點(diǎn).

它包括三種情形：a)：在x0無定義；b)：在x→x0時無極限；c)：在x→x0時有極限但不等于；

下面我們通過例題來學(xué)習(xí)一下間斷點(diǎn)的類型：

例1：正切函數(shù)在處沒有定義，所以點(diǎn)是函數(shù)的間斷點(diǎn)，因，我們就稱為函數(shù)的無窮間斷點(diǎn)；

例2：函數(shù)在點(diǎn)x=0處沒有定義；故當(dāng)x→0時，函數(shù)值在-1與+1之間變動無限多次，我們就稱點(diǎn)x=0叫做函數(shù)的振蕩間斷點(diǎn)；

例3：函數(shù)當(dāng)x→0時，左極限，右極限，從這我們可以看出函數(shù)左、右極限雖然都存在，但不相等，故函數(shù)在點(diǎn)x=0是不存在極限。

我們還可以發(fā)現(xiàn)在點(diǎn)x=0時，函數(shù)值產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象，為此我們把這種間斷點(diǎn)稱為跳躍間斷點(diǎn)；

我們把上述三種間斷點(diǎn)用幾何圖形表示出來如下:間斷點(diǎn)的分類

我們通常把間斷點(diǎn)分成兩類：如果x0是函數(shù)的間斷點(diǎn)，且其左、右極限都存在，我們把x0稱為函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)；不是第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)，稱為第二類間斷點(diǎn).可去間斷點(diǎn)

若x0是函數(shù)的間斷點(diǎn)，但極限存在，那末x0是函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)。此時函數(shù)不連續(xù)原因是：不存在或者是存在但≠。我們令，則可使函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)，故這種間斷點(diǎn)x0稱為可去間斷點(diǎn)。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

函數(shù)的和、積、商的連續(xù)性

我們通過函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義和極限的四則運(yùn)算法則，可得出以下結(jié)論：

a)：有限個在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的和是一個在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)；

b)：有限個在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的乘積是一個在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)；

c)：兩個在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的商是一個在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)(分母在該點(diǎn)不為零)；反函數(shù)的連續(xù)性

若函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)增(或單調(diào)減)且連續(xù)，那末它的反函數(shù)也在對應(yīng)的區(qū)間上單調(diào)增(單調(diào)減)且連續(xù)。

例：函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)增且連續(xù)，故它的反函數(shù)在閉區(qū)間[-1,1]上也是單調(diào)增且連續(xù)的。復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性

設(shè)函數(shù)當(dāng)x→x0時的極限存在且等于a，即：.而函數(shù)在點(diǎn)u=a連續(xù)，那末復(fù)合函數(shù)當(dāng)x→x0時的極限也存在且等于.即：

例題：求

解答：

注：函數(shù)可看作與復(fù)合而成，且函數(shù)在點(diǎn)u=e連續(xù)，因此可得出上述結(jié)論。

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x=x0連續(xù)，且，而函數(shù)在點(diǎn)u=u0連續(xù)，那末復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)x=x0也是連續(xù)的初等函數(shù)的連續(xù)性

通過前面我們所學(xué)的概念和性質(zhì)，我們可得出以下結(jié)論：

基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的；一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)也都是連續(xù)的.

下面我們再來學(xué)習(xí)一下——閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)則是在其連續(xù)區(qū)間的左端點(diǎn)右連續(xù)，右端點(diǎn)左連續(xù).對于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有幾條重要的性質(zhì)，下面我們來學(xué)習(xí)一下：最大值最小值定理

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值。(在此不作證明)

例：函數(shù)y=sinx在閉區(qū)間[0，2π]上連續(xù)，則在點(diǎn)x=π/2處，它的函數(shù)值為1，且大于閉區(qū)間[0，2π]上其它各點(diǎn)出的函數(shù)值；則在點(diǎn)x=3π/2處，它的函數(shù)值為-1，且小于閉區(qū)間[0，2π]上其它各點(diǎn)出的函數(shù)值介值定理

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定取得介于區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值間的任何值。即：μ在α、β之間，則在[a，b]間一定有一個ξ，使

推論：在閉區(qū)間連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值最小值之間的任何值。導(dǎo)數(shù)的概念

在學(xué)習(xí)到數(shù)的概念之前，我們先來討論一下物理學(xué)中變速直線運(yùn)動的瞬時速度的問題。

例：設(shè)一質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動時，其位置x是時間t的函數(shù)求質(zhì)點(diǎn)在t0的瞬時速度？

我們知道時間從t0有增量△t時，質(zhì)點(diǎn)的位置有增量，

這就是質(zhì)點(diǎn)在時間段△t的位移。因此，在此段時間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均速度為：

.

若質(zhì)點(diǎn)是勻速運(yùn)動的則這就是在t0的瞬時速度，若質(zhì)點(diǎn)是非勻速直線運(yùn)動，則這還不是質(zhì)點(diǎn)在t0時的瞬時速度。

我們認(rèn)為當(dāng)時間段△t無限地接近于0時，此平均速度會無限地接近于質(zhì)點(diǎn)t0時的瞬時速度，

即：質(zhì)點(diǎn)在t0時的瞬時速度=

為此就產(chǎn)生了導(dǎo)數(shù)的定義，如下：導(dǎo)數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處有增量△x(x+△x也在該鄰域內(nèi))時，相應(yīng)地

函數(shù)有增量

，

若△y與△x之比當(dāng)△x→0時極限存在，則稱這個極限值為在x0處的導(dǎo)數(shù)。記為：還可記為：，

函數(shù)在點(diǎn)x0處存在導(dǎo)數(shù)簡稱函數(shù)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，否則不可導(dǎo)。

若函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，就稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。這時函數(shù)對于區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一個確定的x值，都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)，這就構(gòu)成一個新的函數(shù)，我們就稱這個函數(shù)為原來函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。

注：導(dǎo)數(shù)也就是差商的極限左、右導(dǎo)數(shù)

前面我們有了左、右極限的概念，導(dǎo)數(shù)是差商的極限，因此我們可以給出左、右導(dǎo)數(shù)的概念。

若極限存在，我們就稱它為函數(shù)在x=x0處的左導(dǎo)數(shù)。

若極限存在，我們就稱它為函數(shù)在x=x0處的右導(dǎo)數(shù)。

注：函數(shù)在x0處的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等是函數(shù)在x0處的可導(dǎo)的充分必要條件函數(shù)的和、差求導(dǎo)法則函數(shù)的和差求導(dǎo)法則

法則：兩個可導(dǎo)函數(shù)的和(差)的導(dǎo)數(shù)等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(差).

用公式可寫為：。其中u、v為可導(dǎo)函數(shù)。

例題：已知，求

解答：

例題：已知，求

解答：函數(shù)的積商求導(dǎo)法則常數(shù)與函數(shù)的積的求導(dǎo)法則

法則：在求一個常數(shù)與一個可導(dǎo)函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)時，常數(shù)因子可以提到求導(dǎo)記號外面去。用公式可寫成：

例題：已知，求

解答：函數(shù)的積的求導(dǎo)法則

法則：兩個可導(dǎo)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)等于第一個因子的導(dǎo)數(shù)乘第二個因子，加上第一個因子乘第二個因子的導(dǎo)數(shù)。用公式可寫成：

例題：已知，求

解答：

注：若是三個函數(shù)相乘，則先把其中的兩個看成一項(xiàng)。函數(shù)的商的求導(dǎo)法則

法則：兩個可導(dǎo)函數(shù)之商的導(dǎo)數(shù)等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母導(dǎo)數(shù)乘積減去分母導(dǎo)數(shù)與分子導(dǎo)數(shù)的乘積，在除以分母導(dǎo)數(shù)的平方。用公式可寫成：

例題：已知，求

解答：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

在學(xué)習(xí)此法則之前我們先來看一個例子!

例題：求=?

解答：由于，故

這個解答正確嗎?

這個解答是錯誤的，正確的解答應(yīng)該如下：

我們發(fā)生錯誤的原因是是對自變量x求導(dǎo)，而不是對2x求導(dǎo)。

下面我們給出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則

規(guī)則：兩個可導(dǎo)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘上中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)。用公式表示為：，其中u為中間變量

例題：已知，求

解答：設(shè),則可分解為,因此

注：在以后解題中，我們可以中間步驟省去。

例題：已知，求

解答：反函數(shù)求導(dǎo)法則

根據(jù)反函數(shù)的定義，函數(shù)為單調(diào)連續(xù)函數(shù)，則它的反函數(shù),它也是單調(diào)連續(xù)的.

為此我們可給出反函數(shù)的求導(dǎo)法則，如下(我們以定理的形式給出)：

定理：若是單調(diào)連續(xù)的，且，則它的反函數(shù)在點(diǎn)x可導(dǎo)，且有：

注：通過此定理我們可以發(fā)現(xiàn)：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。

注：這里的反函數(shù)是以y為自變量的，我們沒有對它作記號變換。

即：是對y求導(dǎo)，是對x求導(dǎo)

例題：求的導(dǎo)數(shù).

解答：此函數(shù)的反函數(shù)為，故則：

例題：求的導(dǎo)數(shù).

解答：此函數(shù)的反函數(shù)為，故則：

高階導(dǎo)數(shù)

我們知道，在物理學(xué)上變速直線運(yùn)動的速度v(t)是位置函數(shù)s(t)對時間t的導(dǎo)數(shù)，即：，而加速度a又是速度v對時間t的變化率，即速度v對時間t的導(dǎo)數(shù)：，或。這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做s對t的二階導(dǎo)數(shù)。下面我們給出它的數(shù)學(xué)定義：定義：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是x的函數(shù).我們把的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，記作或，即：或.

相應(yīng)地，把的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù).

類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做四階導(dǎo)數(shù)，…，一般地(n-1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù).

分別記作：…，或…，

二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù)。

由此可見，求高階導(dǎo)數(shù)就是多次接連地求導(dǎo)，所以，在求高階導(dǎo)數(shù)時可運(yùn)用前面所學(xué)的求導(dǎo)方法。

例題：已知，求

解答：因?yàn)?a，故=0

例題：求對數(shù)函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。

解答：

一般地，可得隱函數(shù)及其求導(dǎo)法則

我們知道用解析法表示函數(shù)，可以有不同的形式.

若函數(shù)y可以用含自變量x的算式表示，像y=sinx，y=1+3x等，這樣的函數(shù)叫顯函數(shù).前面我們所遇到的函數(shù)

大多都是顯函數(shù).

一般地，如果方程F(x,y)=0中，令x在某一區(qū)間內(nèi)任取一值時，相應(yīng)地總有滿足此方程的y值存在，則我們就

說方程F(x,y)=0在該區(qū)間上確定了x的隱函數(shù)y.

把一個隱函數(shù)化成顯函數(shù)的形式，叫做隱函數(shù)的顯化。

注：有些隱函數(shù)并不是很容易化為顯函數(shù)的，那么在求其導(dǎo)數(shù)時該如何呢？

下面讓我們來解決這個問題！隱函數(shù)的求導(dǎo)

若已知F(x,y)=0，求時，一般按下列步驟進(jìn)行求解：

a)：若方程F(x,y)=0，能化為的形式，則用前面我們所學(xué)的方法進(jìn)行求導(dǎo)；

b)：若方程F(x,y)=0，不能化為的形式，則是方程兩邊對x進(jìn)行求導(dǎo)，并把y看成x的函數(shù)，用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行。

例題：已知，求

解答：此方程不易顯化，故運(yùn)用隱函數(shù)求導(dǎo)法.

兩邊對x進(jìn)行求導(dǎo)，

故=

注：我們對隱函數(shù)兩邊對x進(jìn)行求導(dǎo)時，一定要把變量y看成x的函數(shù)，然后對其利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)。

例題：求隱函數(shù)，在x=0處的導(dǎo)數(shù)

解答：兩邊對x求導(dǎo)

故

當(dāng)x=0時，y=0.故

有些函數(shù)在求導(dǎo)數(shù)時，若對其直接求導(dǎo)有時很不方便，像對某些冪函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)時，有沒有一種比較直觀的方法呢？

下面我們再來學(xué)習(xí)一種求導(dǎo)的方法：對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)的法則

根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)的方法，對某一函數(shù)先取函數(shù)的自然對數(shù)，然后在求導(dǎo)。

注：此方法特別適用于冪函數(shù)的求導(dǎo)問題。

例題：已知x＞0，求

此題若對其直接求導(dǎo)比較麻煩，我們可以先對其兩邊取自然對數(shù)，然后再把它看成隱函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，就比較簡便些。如下

解答：先兩邊取對數(shù)：

把其看成隱函數(shù)，再兩邊求導(dǎo)

因?yàn)?，所?/p>

例題：已知，求

此題可用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)，但是比較麻煩，下面我們利用對數(shù)求導(dǎo)法進(jìn)行求導(dǎo)

解答：先兩邊取對數(shù)

再兩邊求導(dǎo)

因?yàn)?，所以函?shù)的微分

學(xué)習(xí)