以幾何直觀視角指導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題的實(shí)踐研究

摘要：培養(yǎng)幾何直觀指的是教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用圖表描述和分析問(wèn)題，化抽象為形象，把握問(wèn)題的本質(zhì)，明晰思維的路徑。在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀，教師可以從以下三個(gè)方面入手：一是設(shè)計(jì)分層點(diǎn)，豐富策略促發(fā)展；二是強(qiáng)化訓(xùn)練點(diǎn)，多元體悟圖意；三是注重巧妙轉(zhuǎn)化，發(fā)展數(shù)學(xué)思想。關(guān)鍵詞：幾何直觀；直觀表征；數(shù)形結(jié)合；解決問(wèn)題幾何直觀是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下通稱“新課標(biāo)”）中提出的一個(gè)核心詞。學(xué)生借助幾何直觀，有助于建立形與數(shù)的聯(lián)系，分析問(wèn)題，探索解決問(wèn)題的思路。幾何直觀并不局限在幾何領(lǐng)域，而是在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都起到了重要的作用。幾何直觀的培養(yǎng)是一個(gè)從具體到抽象，由實(shí)物到表象的漫長(zhǎng)過(guò)程，從直觀角度來(lái)看，可以分為三個(gè)維度：一是實(shí)物直觀，指的是實(shí)物層面的幾何直觀，學(xué)生借助數(shù)與物之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行具體、形象的思考，獲得對(duì)數(shù)的進(jìn)一步理解。二是符號(hào)直觀，指的是在實(shí)物直觀的基礎(chǔ)上再進(jìn)一步抽象形成的直觀。三是圖表直觀，指的是以明確運(yùn)用圖表為載體的幾何直觀。比如，在遇到比較多的點(diǎn)連成線段時(shí)，學(xué)生往往容易遺漏，教師在教學(xué)時(shí)需要引導(dǎo)他們化繁為簡(jiǎn)，找到規(guī)律來(lái)解決此類問(wèn)題?；诖?，筆者開展了以幾何直觀視角指導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題的實(shí)踐研究。一、設(shè)計(jì)分層點(diǎn)，豐富策略促發(fā)展（一）模仿解決，理解歸一，夯實(shí)基礎(chǔ)【案例1】嘗試用畫圖的方式整理數(shù)學(xué)信息并解決問(wèn)題。李紅買3本錯(cuò)題本花了15元，買7本這樣的錯(cuò)題本需要多少錢？考慮到學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)歸一問(wèn)題，教師此時(shí)可以先模仿例題設(shè)計(jì)相關(guān)的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生借助畫圖分析問(wèn)題，理解歸一問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，獲得解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)。（二）延伸比較，求同存異，凸顯本質(zhì)【案例2】先解決問(wèn)題，再比較異同。1.一本書李華4天看了12頁(yè)，照這樣的速度，他10天可以看多少頁(yè)？2.一本書李華4天看了12頁(yè)，照這樣的速度，90頁(yè)他需要看多少天？這一層次的練習(xí)不僅需要解決問(wèn)題，更重要的是引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)異同，認(rèn)識(shí)到：不變的是先求每天看的頁(yè)數(shù)，變的是第1題求10天看的頁(yè)數(shù)，應(yīng)該用乘法解決；第二題求90頁(yè)看了幾天，應(yīng)該用除法解決。這樣，教師可以幫助學(xué)生建立含有歸一數(shù)量關(guān)系問(wèn)題的模型，從而幫助學(xué)生掌握正確的解決問(wèn)題的方法。（三）拓展提升，豐富策略，促進(jìn)發(fā)展【案例3】你能用不同的方法解決下面這些問(wèn)題嗎？請(qǐng)?jiān)囈辉?。如圖1，如果陰影部分表示20，那么長(zhǎng)方形表示多少？如表1，王叔叔每天生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)相同，那么，他8天生產(chǎn)多少零件？以數(shù)形結(jié)合的方式呈現(xiàn)含有歸一數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是有挑戰(zhàn)性的，他們先要讀懂圖意，再根據(jù)圖意分析、理解數(shù)量關(guān)系，最后用不同的方法解決問(wèn)題，體現(xiàn)策略的多樣化。這樣分層化的練習(xí)，使不同層次學(xué)生的思維都得到發(fā)展。二、強(qiáng)化訓(xùn)練點(diǎn)，多元體悟圖意運(yùn)用畫圖策略解題時(shí)，需要教師采用多種方式精心組織學(xué)生訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生置身于具體的學(xué)習(xí)素材中，通過(guò)多種形式體悟圖意，逐步養(yǎng)成“心中有圖、見(jiàn)題想圖”的思維習(xí)慣。（一）結(jié)構(gòu)化圖式1.一題結(jié)構(gòu)多圖教師可以引導(dǎo)學(xué)生把一個(gè)問(wèn)題用多個(gè)圖來(lái)表征，找出相同點(diǎn)，進(jìn)行深入思考，在此過(guò)程中發(fā)現(xiàn)本質(zhì)特征。教學(xué)中常用的示意圖有點(diǎn)子圖、積木圖小立方體圖、小棒圖、方格圖、計(jì)數(shù)器圖、算盤圖、靶子圖、人民幣圖，等等?！景咐?】“千以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”教學(xué)片段請(qǐng)你用不同的圖來(lái)表示235。討論：對(duì)比這幾種方法，說(shuō)一說(shuō)它們之間的聯(lián)系。以上5種圖，雖然種類不一樣，但是表示的數(shù)都是235。教師通過(guò)不同的圖讓學(xué)生體驗(yàn)到235是由2個(gè)百、3個(gè)十和5個(gè)一組成的這一本質(zhì)特征，清晰地了解了計(jì)數(shù)單位一、十、百……的優(yōu)點(diǎn)；幫助學(xué)生將計(jì)數(shù)單位與具體的形狀聯(lián)系起來(lái)，使學(xué)生在頭腦中形成數(shù)的概念，也促進(jìn)了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的提升，為后續(xù)學(xué)習(xí)大數(shù)積累經(jīng)驗(yàn)。2.多題結(jié)構(gòu)一圖教師可以對(duì)數(shù)量關(guān)系相同的問(wèn)題進(jìn)行結(jié)構(gòu)化，引導(dǎo)學(xué)生把同一類問(wèn)題整合到一幅圖中加以思考，理解這類問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，找到解決方法?！景咐?】“倍”教學(xué)片段一本筆記本6元，4本筆記本多少元？一個(gè)小組8人，4個(gè)小組多少人？文具盒25元，書包的價(jià)格是文具盒的4倍。書包的價(jià)格是多少元？4個(gè)9是多少？請(qǐng)用圖表示以上問(wèn)題。學(xué)生畫出各種各樣含有4倍關(guān)系的圖，通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，這四個(gè)問(wèn)題可以用同一幅圖來(lái)表示。“不論數(shù)據(jù)的大小和線段的長(zhǎng)短，只要兩個(gè)量具有4倍關(guān)系”這一本質(zhì)特征，為學(xué)生構(gòu)建了倍數(shù)關(guān)系的直觀模型。（二）分層化圖式學(xué)生解決問(wèn)題是一個(gè)主動(dòng)的、復(fù)雜的認(rèn)識(shí)過(guò)程，也是從具體到抽象的過(guò)程。為此，在畫圖過(guò)程中，教師要發(fā)揮主導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生把信息分層圖示化，厘清數(shù)量關(guān)系，促進(jìn)問(wèn)題解決，生成高階思維?！景咐?】“乘法的初步認(rèn)識(shí)”教學(xué)片段用圖表示3×5，學(xué)生作品如下。方法1：○○○○○○○○○○○○○○○5個(gè)3方法2：○○○○○○○○○○○○○○○3個(gè)5方法3：○○○○○○○○○○

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橫著看表示3個(gè)5○○○○○

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豎著看表示5個(gè)3方法4：

<E：＼2023田田＼1-23＼遼寧教育·教研版202401＼LJ24-1-8.psd>[3][3][5][b][a]這4個(gè)方法都能表示3×5，但方法3能把乘法的兩種意義在同一幅圖中表達(dá)出來(lái)；方法4借助長(zhǎng)方形圖表示，將數(shù)與形完美結(jié)合，為后續(xù)學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形面積做好了鋪墊，思維層次更高。（三）系統(tǒng)化圖式在問(wèn)題解決中，針對(duì)例題，教師可以設(shè)計(jì)一些開放題，讓學(xué)生通過(guò)歸類、整理，用系統(tǒng)化的圖示表征出來(lái)，以便于使知識(shí)變得系統(tǒng)化?！景咐?】“集合”教學(xué)片段三年級(jí)（1）班如果有4人喜歡跳遠(yuǎn)，6人喜歡跑步，那么喜歡跳遠(yuǎn)和跑步的同學(xué)一共可能有多少人？先畫圖，再列式計(jì)算。學(xué)生通過(guò)畫圖整理發(fā)現(xiàn)有5種可能。[○○○○][○○○○○○]4+6=10（人）[○○○][○○○○○][○]4+6-1=9（人）[○○][○○○○][○○]4+6-2=8（人）[○][○○○][○○○]4+6-3=7（人）[○○][○○○○]4+6-4=6（人）在畫集合圖的過(guò)程中，學(xué)生進(jìn)一步理解了中間重疊部分是兩部分共有的，其他部分是獨(dú)有的。此題通過(guò)逆向思維，讓學(xué)生根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，推測(cè)出各種可能，在一道題中解決了并集、交集等多種情況，理解了包含、不包含之間的關(guān)系，幫助學(xué)生對(duì)集合的認(rèn)識(shí)提高了一個(gè)層次，提升了學(xué)生的系統(tǒng)化思維。三、注重巧妙轉(zhuǎn)化，發(fā)展數(shù)學(xué)思想幾何直觀有助于將抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象直觀化、可視化，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀領(lǐng)悟能力。在教學(xué)中，教師需要注重?cái)?shù)與形的巧妙轉(zhuǎn)化，尋找構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思想。（一）圖象與概念對(duì)應(yīng)，發(fā)展推理思想推理是數(shù)學(xué)的一種基本思想，也是數(shù)學(xué)直觀的精髓。幾何直觀的教學(xué)，不僅只是用圖表直觀表征數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是尋找圖象與概念之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)嘗試分析、想象、推理、驗(yàn)證，進(jìn)而洞察數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)特征，獲得數(shù)學(xué)結(jié)論?！景咐?】“商不變的性質(zhì)”教學(xué)片段1.以情境激發(fā)興趣創(chuàng)設(shè)情境：老師把4個(gè)草莓平均分給2個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友分幾個(gè)？老師把40個(gè)草莓平均分給20個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友分幾個(gè)？老師把400個(gè)草莓平均分給200個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友分幾個(gè)？教師先請(qǐng)學(xué)生列式計(jì)算，再觀察發(fā)現(xiàn)了什么。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)，商不變。2.在坐標(biāo)圖上找算式文具店有一種彩帶的銷售情況如下頁(yè)圖2所示。圖上的每個(gè)點(diǎn)表示什么意思？請(qǐng)你找到商不變的算式寫下來(lái)，至少寫三個(gè)。比較三組算式，發(fā)現(xiàn)商不變的規(guī)律。連接圖中的點(diǎn)，你發(fā)現(xiàn)了什么？在教學(xué)中，教師在分草莓之后，先引導(dǎo)學(xué)生初步認(rèn)識(shí)商不變的性質(zhì)。接著，教師借助直觀圖，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)商不變的性質(zhì)。然后，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察坐標(biāo)圖中的點(diǎn)，尋找商不變的算式，從而構(gòu)建了商與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。最后，學(xué)生將表示商的點(diǎn)連接起來(lái)，發(fā)現(xiàn)了商不變性質(zhì)的圖象。學(xué)生在建立圖象與概念的對(duì)應(yīng)關(guān)系時(shí)，經(jīng)歷了觀察、比較與推理，發(fā)展了推理的基本數(shù)學(xué)思想。（二）巧妙運(yùn)用，深化模型思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生遇到學(xué)習(xí)困難時(shí)，教師需要引導(dǎo)學(xué)生往前探一探，轉(zhuǎn)化成以前學(xué)過(guò)的知識(shí)，讓他們由淺入深，在自主探究、合作交流中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，初步形成模型觀念，提高解決問(wèn)題的能力。【案例9】“乘法分配律”教學(xué)片段“乘法分配律”一直是教學(xué)中的難點(diǎn)，筆者在執(zhí)教時(shí)，引領(lǐng)學(xué)生往前探一探，回憶以前學(xué)過(guò)的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的計(jì)算方法，引導(dǎo)學(xué)生用小棒擺一擺，說(shuō)一說(shuō)。學(xué)生根據(jù)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的計(jì)算方法，小棒的擺放情況如圖3。學(xué)生感悟到擺小棒的方法，即“分配”的過(guò)程。1.找一找，之前遇到的乘法分配律教師引導(dǎo)學(xué)生先回顧一年級(jí)學(xué)習(xí)的減法口算，二年級(jí)學(xué)習(xí)的乘法口訣，三年級(jí)學(xué)習(xí)的乘法口算，四年級(jí)學(xué)習(xí)的行程問(wèn)題，觀察并發(fā)現(xiàn)乘法分配律。2.算一算，你發(fā)現(xiàn)了什么C級(jí)題：學(xué)?；▔淖筮厰[了3行月季花，每行有6盆，右邊擺了3行菊花，每行有4盆，一共擺放了多少盆花？先畫圖再計(jì)算?！稹稹稹稹稹稹稹稹稹稹稹稹稹稹稹稹稹稹稹稹稹稹稹稹稹稹稹稹稹養(yǎng)級(jí)題：一塊長(zhǎng)方形菜地，長(zhǎng)25米，寬8米，現(xiàn)在新開墾后菜地的寬延長(zhǎng)2米，長(zhǎng)不變，開墾后的新菜地面積有多大？[8m][2m][25m]A級(jí)題：李大爺家有一塊菜地，這塊菜地的面積有多少平方米？[9m][19m][21m][9m]在教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生借助小棒圖、點(diǎn)子圖、珠子圖、長(zhǎng)方形周長(zhǎng)與面積