專題01 一元二次方程（5大基礎(chǔ)題+4大提升題）（解析版）-2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中真題分類匯編

專題01一元二次方程一元二次方程的定義1．（2023秋?貴陽期中）下列方程中，是一元二次方程的是（）A． B．x+xy+1＝0 C．3x+2＝0 D．x2+2x＝1【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐個(gè)判斷即可．【解答】解：A．方程是分式方程，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；B．方程是二元二次方程，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；C．方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；D．方程是一元二次方程，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．2．（2023秋?南明區(qū)期中）下列方程是一元二次方程的是（）A．x2﹣2x+y＝0 B．x3﹣2x+1＝0 C．x2﹣2x+1＝0 D．＝1【分析】利用一元二次方程的定義判斷即可．【解答】解：x2﹣2x+y＝0含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程，故選項(xiàng)A不符合題意；x3﹣2x+1＝0，未知數(shù)的最高次數(shù)是3，不是一元二次方程，故選項(xiàng)B不符合題意；x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，故選項(xiàng)C符合題意；＝1是分式方程，故選項(xiàng)D不符合題意．故選：C．3．（2023秋?云巖區(qū)校級(jí)期中）若（m+2）x|m|+mx﹣1＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則（）A．m＝±2 B．m＝2 C．m＝﹣2 D．m≠±2【分析】利用一元二次方程的定義判斷即可．【解答】解：∵（m+2）x|m|+mx﹣1＝0是關(guān)于x的一元二次方程，∴|m|＝2，且m+2≠0，解得：m＝2，故選：B．4．（2023秋?紅花崗區(qū)期中）已知x＝1是關(guān)于x的一元二次方程（m﹣2）x2+m2＝4的根，則m的值為（）A．2 B．﹣2或3 C．2或﹣3 D．﹣3【分析】首先把x＝1代入（m﹣2）x2+m2＝4解方程可得m的值，再結(jié)合一元二次方程定義可得m的值．【解答】解：把x＝1代入（m﹣2）x2+m2＝4，得（m﹣2）×1+m2＝4，整理，得m2+m﹣6＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣3，∵（m﹣2）x2+m2＝4是一元二次方程，∴m﹣2≠0，∴m≠2，∴m＝﹣3，故選：D．一元二次方程的一般形式1．（2023秋?貴陽期中）一元二次方程x2﹣2x+1＝0的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別是（）A．1，2，1 B．1，﹣2，1 C．0，﹣2，﹣1 D．0，﹣2，1【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式確定出所求即可．【解答】解：方程x2﹣2x+1＝0的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別為1、﹣2、1．故選：B．2．（2023秋?水城區(qū)期中）關(guān)于x的方程3x2﹣2＝4x中，二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)分別是（）A．3，﹣2 B．3，4 C．3，﹣4 D．﹣4，﹣2【分析】先把方程化為一元二次方程的一般形式，再確定二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)．【解答】解：∵方程3x2﹣2＝4x化為一般形式為：3x2﹣4x﹣2＝0，∴二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)分別是3，﹣4．故選：C．一元二次方程根的判別式1．（2023秋?南明區(qū)期中）關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的根的情況是（）A．沒有實(shí)數(shù)根 B．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根【分析】先計(jì)算根的判別式的值，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到Δ＞0，然后根據(jù)根的判別式的意義判斷方程根的情況．【解答】解：∵Δ＝m2﹣4×（﹣2）＝m2+8＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：D．2．（2023秋?貴陽期中）已知關(guān)于x的方程x2﹣6x+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值為（）A．6 B．﹣6 C．9 D．﹣9【分析】根據(jù)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根得出Δ＝0，求出m的值即可．【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2﹣6x+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×m＝0，解得：m＝9，故選：C．3．（2023秋?紅花崗區(qū)期中）下面的四組值中，能使關(guān)于x的一元二次方程為x2+bx+c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根是（）A．b＝2，c＝1 B．b＝3，c＝3 C．b＝2，c＝2 D．b＝3，c＝﹣1【分析】先根據(jù)這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得b2＞4c，據(jù)此即可判斷．【解答】解：∵這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴b2﹣4ac＞0，∵a＝1，∴b2＞4c，故A、B、C不合題意，D符合題意．故選：D．4．（2023秋?觀山湖區(qū)校級(jí)期中）關(guān)于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k≤﹣ B．k≤﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k≥﹣且k≠0【分析】根據(jù)方程根的情況可以判定其根的判別式的取值范圍，進(jìn)而可以得到關(guān)于k的不等式，解得即可，同時(shí)還應(yīng)注意二次項(xiàng)系數(shù)不能為0．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有實(shí)數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4ac≥0，即：9+4k≥0，解得：k≥﹣，∵關(guān)于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0中k≠0，則k的取值范圍是k≥﹣且k≠0．故選：D．5．（2023秋?六盤水期中）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b定義新運(yùn)算：a?b＝ab2﹣b，若關(guān)于x的方程1?x＝k有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍（）A．k＞﹣ B．k C．k且k≠0 D．k且k≠0【分析】先利用新定義得到x2﹣x＝k，再把方程化為一般式，然后根據(jù)根的判別式的意義得到Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣k）＞0，再解不等式即可．【解答】解：∵1?x＝k，∴x2﹣x＝k，方程化為一般式為x2﹣x﹣k＝0，∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣k）＞0，解得k＞﹣．故選：A．6．（2023秋?鐘山區(qū)期中）新概念運(yùn)算：運(yùn)算符號(hào)“”稱為二階行列式，規(guī)定它的運(yùn)算法則為：＝ad﹣bc，請(qǐng)根據(jù)上述規(guī)定判斷關(guān)于x的二階行列式：＝0根的情況沒有實(shí)數(shù)根．【分析】先根據(jù)新概念，把關(guān)于x的二階行列式化成一元二次方程，利用根的判別式判定方程根的情況即可．【解答】解：∵＝ad﹣bc，∴＝0，2（x﹣9）﹣x（x﹣2）＝0，2x﹣18﹣x2+2x＝0，﹣x2+4x﹣18＝0，x2﹣4x+18＝0，a＝1，b＝﹣4，c＝8，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×8＝﹣16＜0，∴方程沒有實(shí)數(shù)根，故答案為：沒有實(shí)數(shù)根．解一元二次方程1．（2023秋?花溪區(qū)期中）將一元二次方程（x﹣6）2＝25轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，其中一個(gè)一元一次方程是x﹣6＝5，則另一個(gè)一元一次方程是（）A．x﹣6＝﹣5 B．x﹣6＝5 C．x+6＝﹣5 D．x+6＝5【分析】根據(jù)解一元二次方程﹣直接開平方法進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：（x﹣6）2＝25，x﹣6＝5或x﹣6＝﹣5，故選：A．2．（2023秋?綏陽縣期中）方程（x+1）2＝0的根是（）A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝﹣1 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．無實(shí)根【分析】根據(jù)一元二次方程的解法即可求出答案．【解答】解：由于（x+1）2＝0，∴x+1＝0，∴x1＝x2＝﹣1故選：B．3．（2023秋?六盤水期中）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0時(shí)，原方程變形為（）A．（x+1）2＝6 B．（x﹣1）2＝6 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣1）2＝9【分析】首先把常數(shù)項(xiàng)移到右邊，再將方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，配成完全平方公式，即可得解．【解答】解：x2﹣2x﹣5＝0，x2﹣2x＝5，x2﹣2x+1＝5+1，∴（x﹣1）2＝6．故選：B．4．（2023秋?觀山湖區(qū)校級(jí)期中）用配方法解方程x2﹣8x+5＝0，將其化為（x+a）2＝b的形式，則a+b的值為（）A．15 B．7 C．﹣1 D．1【分析】先配方，確定a、b，再計(jì)算a+b的值得結(jié)論．【解答】解：x2﹣8x+5＝0，移項(xiàng)，得x2﹣8x＝﹣5，配方，得x2﹣8x+16＝﹣5+16，∴（x﹣4）2＝11．∴a＝﹣4，b＝11．∴a+b＝﹣4+11＝7．故選：B．5．（2023秋?盤州市期中）方程x2﹣2x＝0的根是（）A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2【分析】先利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為x＝0或x﹣2＝0，然后解兩個(gè)一次方程即可．【解答】解：x2﹣2x＝0，x（x﹣2）＝0，x＝0或x﹣2＝0，所以x1＝0，x2＝2．故選：C．6．（2023秋?綏陽縣期中）小明在學(xué)習(xí)配方法解一元二次方程后，用配方法解方程2x2﹣8x+3＝的過程如下．解：2x2﹣8x＝﹣3．①x2﹣4x＝﹣3．②x2﹣4x+4＝﹣3+4．③（x﹣2）2＝1．④x﹣2＝±1．⑤∴x1＝3，x2＝1．⑥（1）上述解方程的過程中，小明從第②步開始出現(xiàn)了錯(cuò)誤；（填序號(hào)）（2）請(qǐng)利用配方法正確的解方程2x2﹣8x+3＝0．【分析】（1）根據(jù)等式的性質(zhì)判斷②錯(cuò)誤；（2）移項(xiàng)，二次項(xiàng)系數(shù)化成1，配方，開方，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）上述過程中，從第②步開始出現(xiàn)了錯(cuò)誤，故答案為：②；（2）2x2﹣8x+3＝0，移項(xiàng)，得2x2﹣8x＝﹣3，x2﹣4x＝﹣，配方，得x2﹣4x+4＝﹣+4，即（x﹣2）2＝，x﹣2＝±，x1＝2+，x2＝2﹣．7．（2023秋?南明區(qū)期中）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）x2﹣1＝0；（2）x2﹣3x+1＝0．【分析】（1）利用平方差公式分解因式解方程；（2）利用公式法解方程；【解答】解：（1）x2﹣1＝0；（x﹣1）（x+1）＝0．∴x1＝1，x2＝﹣1；（2）x2﹣3x+1＝0．∵a＝1，b＝﹣3，c＝1Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝9﹣4＝5＞0，．8．（2023秋?黔東南州期中）解方程：（1）x2﹣2x﹣15＝0；（2）2x2+3x＝1．【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用公式法求解可得．【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣15＝0，∴（x+3）（x﹣5）＝0，則x+2＝0或x﹣5＝0，解得x1＝5，x2＝﹣3；（2）2x2+3x＝1移項(xiàng)得2x2+3x﹣1＝0，a＝2，b＝3，c＝﹣1，Δ＝32﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，．9．（2023秋?貴陽期中）解方程：（1）（x﹣5）2﹣36＝0；（2）x2﹣2x﹣8＝0；（3）（x﹣1）（x+2）＝2（x+2）．【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用因式分解法求解可得．（3）利用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）（x﹣5）2﹣36＝0，因式分解，得（x﹣5﹣6）（x﹣5+6）＝0，∴x﹣5﹣6＝0或x﹣5+6＝0，所以x1＝11，x2＝﹣1；（2）x2﹣2x﹣8＝0，因式分解，得（x﹣4）（x+2）＝0，∴x﹣4＝0或x+2＝0，所以x1＝4，x2＝﹣2；（3）（x﹣1）（x+2）＝2（x+2），移項(xiàng)，得（x﹣1）（x+2）﹣2（x+2）＝0，因式分解，得（x+2）（x﹣3）＝0，∴x+2＝0或x﹣3＝0，∴x1＝﹣2，x2＝3．10．（2023秋?鐘山區(qū)期中）數(shù)學(xué)課上，老師出了一道關(guān)于解一元二次方程的題2（x+3）2＝x（x+3），小明同學(xué)的做法如下：解：2（x+3）2＝x（x+3）2（x+3）＝x…第一步2x+6＝x…第二步2x﹣x＝﹣6…第三步x＝﹣6…第四步（1）上面的運(yùn)算過程中從第一步開始出現(xiàn)了錯(cuò)誤；（2）請(qǐng)寫出正確的解題過程．【分析】（1）當(dāng)x+3＝0時(shí)，方程兩邊不能同時(shí)除以（x+3）；（2）利用因式分解法解方程即可．【解答】解：（1）∵當(dāng)x+3＝0時(shí)，方程兩邊不能同時(shí)除以（x+3），∴上面的運(yùn)算過程中從第一步開始出現(xiàn)了錯(cuò)誤；故答案為：一；（2）2（x+3）2＝x（x+3），移項(xiàng)得：2（x+3）2﹣x（x+3）＝0，因式分解得：（x+3）（2x+6﹣x）＝0，∴x+3＝0或2x+6﹣x＝0，解得x1＝﹣3，x2＝﹣6．由實(shí)際問題抽象出一元二次方程1．（2023秋?六盤水期中）我國古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無錢準(zhǔn)與一株椽．”其大意為：現(xiàn)請(qǐng)人代買一批椽，這批椽的價(jià)錢為6210文．如果每株椽的運(yùn)費(fèi)是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價(jià)錢，試問6210文能買多少株椽？設(shè)這批椽的數(shù)量為x株，則符合題意的方程是（）A．3（x+1）x＝6210 B．3（x﹣1）＝6210 C．（3x﹣1）x＝6210 D．3（x﹣1）x＝6210【分析】根據(jù)”少拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價(jià)錢“可得出相應(yīng)的方程．【解答】解：根據(jù)題意得：3（x﹣1）x＝6210．故選：D．2．（2023秋?紅花崗區(qū)校級(jí)期中）如圖，有一張矩形紙片，長(zhǎng)10cm，寬6cm，在它的四角各減去一個(gè)同樣的小正方形，然后折疊成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體紙盒．若紙盒的底面（圖中陰影部分）面積是32cm2，求剪去的小正方形的邊長(zhǎng)．設(shè)剪去的小正方形邊長(zhǎng)是xcm，根據(jù)題意可列方程為（）A．10×6﹣4×6x＝32 B．10×6﹣4x2＝32 C．（10﹣x）（6﹣x）＝32 D．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32【分析】設(shè)剪去的小正方形邊長(zhǎng)是xcm，則做成的紙盒的底面長(zhǎng)為（10﹣2x）cm，寬為（6﹣2x）cm，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：設(shè)剪去的小正方形邊長(zhǎng)是xcm，則做成的紙盒的底面長(zhǎng)為（10﹣2x）cm，寬為（6﹣2x）cm，依題意，得：（10﹣2x）（6﹣2x）＝32．故選：D．3．（2023秋?盤州市期中）如圖，學(xué)校種植園是長(zhǎng)32米，寬20米的矩形．為便于管理，現(xiàn)要在中間開辟一橫兩縱三條等寬的小道，使種植面積為600平方米．若設(shè)小道的寬為x米，則下面所列方程正確的是（）A．（32﹣x）（20﹣x）＝600 B．（32﹣x）（20﹣2x）＝600 C．（32﹣2x）（20﹣x）＝600 D．（32﹣2x）（20﹣2x）＝600【分析】把陰影部分分別移到矩形的上邊和左邊，可得種植面積為一個(gè)矩形，根據(jù)種植的面積為600列出方程即可．【解答】解：把陰影部分分別移到矩形的上邊和左邊可得矩形的長(zhǎng)為（32﹣2x）米，寬為（20﹣x）米，∴可列方程為（32﹣2x）（20﹣x）＝600，故選：C．4．（2023秋?南明區(qū)期中）2023年5月13日，貴州省榕江縣舉辦了“和美鄉(xiāng)村足球超級(jí)聯(lián)賽”，該比賽迎來了全國各地的游客．據(jù)了解，5月份全縣接待游客42萬人次，7月份接待游客人數(shù)達(dá)到133.91萬人次．設(shè)這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意列出方程，正確的是（）A．42（1﹣x）2＝133.91 B．42（1+x）2＝133.91 C．133.91（1﹣x）2＝42 D．133.91（1+x）2＝42【分析】利用7月份接待游客人數(shù)＝5月份接待游客人數(shù)×（1+這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：依題意得42（1+x）2＝133.91，故選：B．5．（2023秋?貴陽期中）生物興趣小組的學(xué)生，將自己收集的標(biāo)本向本組其他成員各贈(zèng)送一件，全組共相互贈(zèng)送標(biāo)本210件，若全組有x名同學(xué)，則根據(jù)題意列出方程是（）A．x（x+1）＝210 B．x（x﹣1）＝210 C．2x（x+1）＝210 D．x（x﹣1）＝210【分析】若全組有x名同學(xué)，根據(jù)生物興趣小組的學(xué)生，將自己收集的標(biāo)本向本組其他成員各贈(zèng)送一件，全組共相互贈(zèng)送標(biāo)本210件，可列方程求解．【解答】解：設(shè)全組有x名同學(xué)，每位同學(xué)將送出x﹣1件，∴x（x﹣1）＝210，故選：B．利用一元二次方程的解求字母或式子1．（2023秋?紅花崗區(qū)期中）若x＝2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+5＝0的一個(gè)根，則m的值是（）A．2 B．﹣2 C． D．【分析】將x＝2代入方程x2﹣mx+5＝0得到關(guān)于m的方程求解即可．【解答】解：將x＝2代入方程x2﹣mx+5＝0，得4﹣2m+5＝0，解得：m＝．故選：C．2．（2023秋?綏陽縣期中）關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一根為0，則m＝﹣1．【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，將x＝0代入原方程，列出關(guān)于m的方程，通過解關(guān)于m的方程即可求得m的值．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一根為0，∴x＝0滿足關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0，且m﹣1≠0，∴m2﹣1＝0，即（m﹣1）（m+1）＝0且m﹣1≠0，∴m+1＝0，解得，m＝﹣1；故答案為：﹣1．3．（2023秋?貴陽期中）已知n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根，代數(shù)式n（n﹣1）+2的值是3．【分析】把x＝n代入一元二次方程得到n2﹣5n+4＝0，然后利用代數(shù)式變形可得到代數(shù)式n2﹣5n的值．【解答】解：∵n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的一個(gè)根，∴n2﹣n﹣1＝0，∴n2﹣n＝1，∴n（n﹣1）+2＝n2﹣n+2＝1+2＝3，故答案為：3．4．（2023秋?黔東南州期中）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一個(gè)根，則﹣a2﹣2a的值是﹣3．【分析】將a代入x2+2x﹣3＝0，即可得出a2+2a＝3，再把a(bǔ)2+2a＝3整體代入﹣a2﹣2a，即可得出答案．【解答】解：∵a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一個(gè)根，∴a2+2a﹣3＝0，∴a2+2a＝3，∴﹣a2﹣2a＝﹣3．故答案為：﹣3．5．（2023秋?黔東南州期中）如果關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中a﹣b+c＝0，那么方程必有一個(gè)根是（）A．1 B．﹣1 C．0 D．2【分析】根據(jù)題意知，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，a﹣b+c＝0，由此可以判定x＝﹣1是原方程的一個(gè)根．【解答】解：∵a﹣b+c＝0，且當(dāng)x＝﹣1時(shí)，a﹣b+c＝0，∴x＝﹣1是原方程的一個(gè)根．故選：B．6．（2023秋?鐘山區(qū)期中）已知代數(shù)式﹣ax2+bx的取值如下所示，由數(shù)據(jù)可得，關(guān)于x的一元二次方程﹣ax2+bx+2＝0的解是（）x…﹣2﹣10123…﹣ax2+bx…﹣4﹣200﹣2﹣4…A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝﹣2，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)即可求解．【解答】解：由數(shù)據(jù)可得，當(dāng)x＝﹣1或2時(shí)，﹣ax2+bx＝﹣2，∴關(guān)于x的一元二次方程﹣ax2+bx+2＝0的解是x1＝﹣1，x2＝2．故選：B．根與系數(shù)的關(guān)系及其求值1．（2023秋?紅花崗區(qū)期中）已知x1、x2為方程x2+3x﹣4＝0的兩根，則x1?x2的值是﹣4．【分析】直接利用根與系數(shù)的關(guān)系求解．【解答】解：∵x1、x2為方程x2+3x﹣4＝0的兩根，∴x1?x2＝﹣4．故答案為：﹣4．2．（2023秋?黔東南州期中）已知：x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b＝0的兩根，且x1+x2＝3，x1x2＝1，則a、b的值分別是（）A．a(chǎn)＝﹣3，b＝1 B．a(chǎn)＝3，b＝1 C．，b＝﹣1 D．，b＝1【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2＝﹣2a，x1x2＝b，而x1+x2＝3，x1x2＝1，那么﹣2a＝3，b＝1，解即可．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b＝0的兩根，∴x1+x2＝﹣2a，x1x2＝b，∵x1+x2＝3，x1x2＝1，∴﹣2a＝3，b＝1，即a＝﹣，b＝1，故選：D．3．（2023秋?黔東南州期中）已知m、n是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的兩根，則的值為﹣2．【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系，可得出m+n＝2，mn＝﹣1，將其代入＝中，即可求出結(jié)論．【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的兩根，∴m+n＝2，mn＝﹣1，∴＝＝＝﹣2．故答案為：﹣2．4．（2023秋?綏陽縣期中）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（m+2）x+m＝0．（1）求證：無論m取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，且x1+x2+2x1x2＝1，求m的值．【分析】（1）計(jì)算根的判別式的值得到Δ＝m2+4，則Δ＞0，然后根據(jù)根的判別式的意義得到結(jié)論；（2）先利用根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2＝﹣（m+2），x1x2＝m，由于x1+x2+2x1x2＝1，所以﹣（m+2）+2m＝1，然后解關(guān)于m的方程即可．【解答】（1）證明：∵Δ＝（m+2）2﹣4m＝m2+4m+4﹣4m＝m2+4＞0，∴無論m取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2＝﹣（m+2），x1x2＝m，∵x1+x2+2x1x2＝1，∴﹣（m+2）+2m＝1，解得m＝3，即m的值為3．5．（2023秋?鐘山區(qū)期中）已知：關(guān)于x的方程x2+kx﹣1＝0，（1）求證：無論k為何值時(shí)，方程始終有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若k＝2，且方程的兩個(gè)根分別是α與β，求的值．【分析】（1）根據(jù)根的判別式＞0，即可得證；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得α+β＝﹣2，αβ＝﹣1，化簡(jiǎn)所求式并代入可解答．【解答】（1）證明：∵Δ＝k2﹣4×1×（﹣1）＝k2+4＞0，∴無論k為何值時(shí)，方程始終有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：當(dāng)k＝2時(shí)，方程為：x2+2x﹣1＝0，∵方程x2+2x﹣1＝0的兩個(gè)根分別是α與β，∴α+β＝﹣2，αβ＝﹣1，∴+＝＝＝2．6．（2023秋?紅花崗區(qū)期中）【概念理解】如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根比另一個(gè)根大1，那么稱這樣的方程為“鄰根方程”，例如，一元二次方程x2+x＝0的兩個(gè)根是x1＝0，x2＝﹣1．則方程x2+x＝0是“鄰根方程”．（1）【初步運(yùn)用】解方程x2﹣5x+6＝0，并判斷此方程是否是鄰根方程；（2）【能力提升】關(guān)于x的方程x2﹣（m+3）x+3m＝0（m是常數(shù)）是鄰根方程，求m的值．【分析】（1）先利用因式分解法解一元二次方程，然后根據(jù)“鄰根方程”的定義進(jìn)行判斷；（2）先利用因式分解法解一元二次方程得到x1＝m，x2＝3，再根據(jù)“鄰根方程”的定義得到m﹣3＝1或3﹣m＝1，然后解關(guān)于m的方程即可．【解答】解：（1）解方程x2﹣5x+6＝0得x1＝3，x2＝2，∵3比2大1，∴方程是“鄰根方程”；（2）∵x2﹣（m+3）x+3m＝0，∴（x﹣m）（x﹣3）＝0，∴x﹣m＝0或x﹣3＝0，∴x1＝m，x2＝3，∵方程x2﹣（m+3）x+3m＝0（m是常數(shù)）是“鄰根方程”，∴3﹣m＝1或m﹣3＝1．解得m＝2或4．一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用1．（2023秋?紅花崗區(qū)期中）2023年杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物一開售，就深受大家的喜愛．某商店以每件35元的價(jià)格購進(jìn)某款亞運(yùn)會(huì)吉祥物，以每件58元的價(jià)格出售．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，4月份的銷售量為256件，6月份的銷售量為400件．（1）求該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率；（2）從7月份起，商場(chǎng)決定采用降價(jià)促銷的方式回饋顧客，經(jīng)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)該吉祥物每降價(jià)1元，月銷售量就會(huì)增加20件．當(dāng)該吉祥物售價(jià)為多少元時(shí)，月銷售利潤(rùn)達(dá)8400元？【分析】（1）設(shè)該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率為x，利用6月份的銷售量＝4月份的銷售量×（1+該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率）2，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)該吉祥物售價(jià)為y元，則每件的銷售利潤(rùn)為（y﹣35）元，月銷售量為400+20（58﹣y）＝（1560﹣20y）件，利用月銷售利潤(rùn)＝每件的銷售利潤(rùn)×月銷售量，可列出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意得：256（1+x）2＝400，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合題意，舍去）．答：該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率為25%；（2）設(shè)該吉祥物售價(jià)為y元，則每件的銷售利潤(rùn)為（y﹣35）元，月銷售量為400+20（58﹣y）＝（1560﹣20y）件，根據(jù)題意得：（y﹣35）（1560﹣20y）＝8400，整理得：y2﹣113y+3150＝0，解得：y1＝50，y2＝63（不符合題意，舍去）．答：該款吉祥物售價(jià)為50元時(shí)，月銷售利潤(rùn)達(dá)8400元．2．（2023秋?思南縣校級(jí)期中）某超市于今年年初以每件25元的進(jìn)價(jià)購進(jìn)一批商品．當(dāng)商品售價(jià)為40元時(shí)，一月份銷售256件．二、三月該商品十分暢銷．銷售量持續(xù)走高．在售價(jià)不變的基礎(chǔ)上，三月底的銷售量達(dá)到400件．設(shè)二、三這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率不變．（1）求二、三這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率；（2）從四月份起，商場(chǎng)決定采用降價(jià)促銷的方式回饋顧客，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每降價(jià)1元，銷售量增加5件，當(dāng)商品降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)獲利4250元？【分析】（1）由題意可得，1月份的銷售量為：256件；設(shè)2月份到3月份銷售額的月平均增長(zhǎng)率，則二月份的銷售量為：256（1+x）件；三月份的銷售量為：256（1+x）（1+x）件，又知三月份的銷售量為：400元，由此等量關(guān)系列出方程求出x的值，即求出了平均增長(zhǎng)率；（2）利用銷量×每件商品的利潤(rùn)＝4250求出即可．【解答】解：（1）設(shè)二、三這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意可得：256（1+x）2＝400，解得：x1＝，x2＝﹣（不合題意舍去）．答：二、三這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率為25%；（2）設(shè)當(dāng)商品降價(jià)m元時(shí)，商品獲利4250元，根據(jù)題意可得：（40﹣25﹣m）（400+5m）＝4250，解得：m1＝5，m2＝﹣70（不合題意舍去）．答：當(dāng)商品降價(jià)5元時(shí)，商場(chǎng)獲利4250元．3．（2023秋?綏陽縣期中）某商場(chǎng)銷售一批兒童玩具，平均每天能售出20件，每件盈利40元．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：這種玩具的售價(jià)每降低1元，平均每天能多售出2件，設(shè)每件玩具降價(jià)x元．（1）降價(jià)后，每件玩具的利潤(rùn)為（40﹣x）元，平均每天的銷售量為（20+2x）件；（用含x的式子表示）（2）為了擴(kuò)大銷售，盡快減少庫存，商場(chǎng)決定采取降價(jià)措施，但需要每天盈利1200元，那么每件玩具應(yīng)降價(jià)多少元？【分析】（1）根據(jù)“這種玩具的售價(jià)每降低1元時(shí)，平均每天能多售出2件”結(jié)合每件玩具的原利潤(rùn)及降價(jià)x元，即可得出降價(jià)后每件玩具的利潤(rùn)及銷量；（2）根據(jù)總利潤(rùn)＝每件利潤(rùn)×銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較大值即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵每件玩具降價(jià)x元，∴每件玩具的利潤(rùn)為（40﹣x）元，銷量為（20+2x）件．故答案為：（40﹣x）；（20+2x）．（2）依題意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理，得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20．∵為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，∴x＝20．答：每件玩具應(yīng)降價(jià)20元．4．（2023秋?貴陽期中）2023年杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物組合名為“江南憶”，吉祥物一開售，就深受大家的喜愛．某商家銷售吉祥物進(jìn)價(jià)為15元，促銷前銷售單價(jià)為25元，平均每天能售出80件根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，銷售單價(jià)每降低1元，平均每天可多售出40件．（1）若每件商品降價(jià)x元，則商店每天的平均銷量是（80+40x）件（用含x的代數(shù)式表示）；（2）不考慮其他因素的影響，若商店平均每天至少要銷售該商品200件，平均每天的利潤(rùn)達(dá)到1280元，每件商品的定價(jià)應(yīng)為多少元？【分析】（1）利用商店每天的平均銷售量＝80+20×每件商品降低的價(jià)格，即可求出結(jié)論；（2）設(shè)每件商品的定價(jià)為a元，則每件商品的銷售利潤(rùn)為（a﹣15）元，平均每天能售出（1080﹣40a）件，利用總利潤(rùn)＝每件的銷售利潤(rùn)×平均每天的銷售量，即可得出關(guān)于x一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）（80+40x）件．故答案為：（80+40x）．（2）設(shè)每件商品的定價(jià)為a元，則每件商品的銷售利潤(rùn)為（a﹣15）元，平均每天能售出（1080﹣40a）件，依題意得：（a﹣15）（1080﹣40a）＝1280，解得：a1＝19，a2＝23．當(dāng)a1＝23時(shí)，1080﹣40×23＝160＜200舍去，答：每件商品的定價(jià)應(yīng)為19元．5．（2023秋?南明區(qū)期中）第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日在中國杭州舉行，某商場(chǎng)在銷售亞運(yùn)會(huì)吉祥物徽章時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每套徽章盈利40元時(shí)，則每天可售出20套．為了喜迎亞運(yùn)會(huì)，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果銷售單價(jià)每降價(jià)1元，該商店平均每天將多銷售2套．（1）當(dāng)每套徽章盈利38元時(shí)，每天可多銷售多少套？（2）商場(chǎng)為了盡快減少庫存，每套吉祥物徽章降價(jià)多少元時(shí)，該商場(chǎng)銷售吉祥物徽章的日盈利可達(dá)到1200元？【分析】（1）根據(jù)銷售單價(jià)每降價(jià)1元，該商店平均每天將多銷售2套．列式計(jì)算即可；（2）設(shè)每套吉祥物徽章降價(jià)x元時(shí)，商場(chǎng)銷售吉祥物徽章日盈利可達(dá)到1200元，根據(jù)盈利＝每件盈利×銷售量，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可．【解答】解：（1）（40﹣38）×2＝4（套），答：當(dāng)每套徽章盈利38元時(shí)，每天可多銷售4套；（2）設(shè)每套吉祥物徽章降價(jià)x元時(shí)，商場(chǎng)銷售吉祥物徽章日盈利可達(dá)到1200元，根據(jù)題意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，解得：x1＝20，x2＝10（不符合題意，舍去），答：每套吉祥物徽章降價(jià)20元時(shí)，商場(chǎng)銷售吉祥物徽章日盈利可達(dá)到1200元．6．（2023秋?南明區(qū)期中）如圖所示，某農(nóng)業(yè)大學(xué)科技園建立了一個(gè)矩形飼養(yǎng)室ABCD，飼養(yǎng)室的一面靠墻，墻長(zhǎng)為15m，另外三邊用長(zhǎng)為32m的柵欄圍成．若要使飼養(yǎng)室的面積達(dá)到120m2．請(qǐng)問，AB的長(zhǎng)應(yīng)是多少m？【分析】設(shè)AB的長(zhǎng)應(yīng)是xm，則BC的長(zhǎng)為（32﹣2x）m，根據(jù)飼養(yǎng)室的面積達(dá)到120m2．列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可．【解答】解：設(shè)AB的長(zhǎng)應(yīng)是xm，則BC的長(zhǎng)為（32﹣2x）m，根據(jù)題意得：x（32﹣2x）＝120，整理得：x2﹣16x+60＝0，解得：x1＝6，x2＝10，當(dāng)AB＝6時(shí)，BC＝32﹣2×6＝20＞15，不符合題意，舍去；當(dāng)AB＝10時(shí)，BC＝32﹣2×10＝12＜15，符合題意；答：AB的長(zhǎng)應(yīng)是為10m．7．（2023秋?碧江區(qū)校級(jí)期中）某批發(fā)商以每件50元的價(jià)格購進(jìn)800件T恤，第一個(gè)月以單價(jià)80元銷售，售出了200件；第二個(gè)月如果單價(jià)不變，預(yù)計(jì)仍可售出200件，批發(fā)商為增加銷售量，決定降價(jià)銷售，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，單價(jià)每降低1元，可多售出20件，但最低單價(jià)應(yīng)高于購進(jìn)的價(jià)格，并且已知第二月后T恤還有剩余；第二個(gè)月結(jié)束后，批發(fā)商將對(duì)剩余的T恤一次性清倉銷售，清倉時(shí)單價(jià)為40元．設(shè)第二個(gè)月單價(jià)降低x元．（1）填表時(shí)間第一個(gè)月第二個(gè)月清倉時(shí)單價(jià)（元）8080﹣x40銷售量（件）200200+20x400﹣20x（2）如果批發(fā)商希望通過銷售這批T恤獲利12000元，那么第二個(gè)月的單價(jià)應(yīng)是多少元？【分析】（1）根據(jù)題意直接用含x的代數(shù)式表示即可；（2）利用“獲利12000元”，即銷售額﹣進(jìn)價(jià)＝利潤(rùn)，作為相等關(guān)系列方程，解方程求解后要代入實(shí)際問題中檢驗(yàn)是否符合題意，進(jìn)行值的取舍．【解答】解：（1）由題意可得：時(shí)間第一個(gè)月第二個(gè)月清倉時(shí)單價(jià)（元）8080﹣x40銷售量（件）200200+20x400﹣20x故答案為：80﹣x，200+20x，400﹣20x；（2）根據(jù)題意，得80×200+（80﹣x）（200+20x）+40（400﹣20x）﹣50×800＝12000整理得10x2﹣300x+200＝0，即x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20，x＝20時(shí)，400﹣20x＝0，故當(dāng)x＝10，答：第二個(gè)月的單價(jià)應(yīng)是70元．8．（2023秋?觀山湖區(qū)校級(jí)期中）現(xiàn)有可建筑60m圍墻的材料，準(zhǔn)備依靠原有舊墻圍成如圖所示的矩形倉庫，墻長(zhǎng)為am．（1）設(shè)AD邊的長(zhǎng)為xm，則AB邊的長(zhǎng)為（60﹣3x）m，矩形倉庫的面積為x（60﹣3x）m2；（用含x的代數(shù)式表示）（2）若a＝50，能否圍成總面積為225m的倉庫？若能，求AB的長(zhǎng)；（3）能否圍成總面積為400m2的倉庫？請(qǐng)說明理由．【分析】（1）根據(jù)圖形可表示出AB的長(zhǎng)，由矩形面積公式可表示出倉庫面積；（2）由圍成總面積為225m的倉庫可解得x的值，再檢驗(yàn)即可得到答案；（3）根據(jù)圍成總面積為400m2的倉庫列方程，判斷方程解的情況即可．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：3x+AB＝60，∴AB＝（60﹣3x）m，矩形倉庫的面積為x（60﹣3x）m2；故答案為：（60﹣3x）m，x（60﹣3x）m2；（2）若a＝50，能圍成總面積為225m的倉庫，理由如下：根據(jù)題意得：x（60﹣3x）＝225，解得x＝5或x＝15，當(dāng)x＝5時(shí)，60﹣3x＝60﹣3×5＝45＜50，當(dāng)x＝15時(shí)，60﹣3x＝60﹣3×15＝15＜50，∴AB的長(zhǎng)為45m或15m；（3）不能圍成總面積為400m2的倉庫，理由如下：根據(jù)題意得：x（60﹣3x）＝400，整理得：3x2﹣60x+400＝0，Δ＝（﹣60）2﹣4×3×400＝﹣1200＜0，∴方程無實(shí)數(shù)解，∴不能圍成總面積為400m2的倉庫．配方法的實(shí)際應(yīng)用1．（2023秋?花溪區(qū)期中）定義：關(guān)于x的一元二次方程：與，稱為“同族二次方程”．如2（x﹣3）2+4＝0與3（x﹣3）2+4＝0是“同族二次方程”．若關(guān)于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0與（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”．則代數(shù)式﹣ax2+bx+2019的最大值是（）A．2024 B．2023 C．2022 D．20