《工程數(shù)學(xué)》全套教學(xué)課件

目錄第1章

行列式第2章

矩陣第3章

n

維向量與線性方程組第4章

多元函數(shù)微分第5章

多元函數(shù)積分第6章

概率論第7章

數(shù)理統(tǒng)計(jì)全套可編輯PPT課件

第1章

行列式

第1節(jié)

行列式的定義第2節(jié)

行列式的性質(zhì)第3節(jié)

克萊姆法則全套可編輯PPT課件

第1節(jié)

行列式的定義

一、

二階行列式

在初等代數(shù)中我們解過二元一次方程組

當(dāng)a11a22-a12a21≠0時，方程組有唯一解：

對于線性方程組（1。1），分別記

于是方程組（1。1）的解可表示為

定義1.1我們把式子

叫作二階行列式，其

中的數(shù)aij（i=1,2；j=1,2）稱為該行列式的元素，每個橫排稱為行列式的行，每個豎排稱為行列式的列。aij（i=1,2；j=1,2）就是從上到下第i行，從左到右第j列的元素。

在二階行列式中，用實(shí)線將a11、a22連接，用虛線將a21、a12連接（如圖1.1所示），實(shí)連接線稱為主對角線，虛連接線稱為次對角線（或副對角線），則二階行列式等于主對角線上兩元素的乘積減去次對角線上兩元素的乘積（這樣的記憶方式稱為對角線法則），即

圖1.1

例1.1

計(jì)算下列二階行列式。

二、

三階行列式

類似地，對于三元一次方程組

對于線性方程組（1.2），分別記

則在D≠0的情形下，線性方程組（1.2）的解可表示為

定義1.2我們把式子

叫作三階行列

式，其中的數(shù)aij=（i=1,2，3；j=1,2，3）稱為該行列式的元素。

等號右端稱為三階行列式的展開式。展開式一共有6項(xiàng)，3項(xiàng)為正，3項(xiàng)為負(fù)，每項(xiàng)均由位于不同行不同列的三個元素相乘得到。展開式可通過對角線法則記憶，如圖1.2所示，其中三條實(shí)線（主對角線）所連三個元素的乘積為正項(xiàng)，三條虛線（次對角線或副對角線）所連三個元素的乘積為負(fù)項(xiàng)。三階行列式的展開式，也可以按如圖1.3所示的方法記憶，圖1.3所示的對角線法則又稱為沙路法則。

圖1.2

圖1.3

例1.2求三階行列式

解

例1.3求解方程：

解

因?yàn)?/p>

所以

因此方程的解為

三、n

階行列式

根據(jù)二階和三階行列式的定義，我們給出n

階行列式的定義。

定義1.3將n2個數(shù)排成n行n列數(shù)表，并在左、右兩邊各加一豎線，記為Dn或D，即

稱為n階行列式。

四、余子式與代數(shù)余子式

定義1.4將n階行列式元素aij所在的第i行和第j列的元素去掉，余下的（n-1）2個元素組成的行列式叫作元素aij的余子式，記作Mij。將Aij=（-1）i+jMij稱為元素aij的代數(shù)余子式。

定理1.1

n階行列式Dn等于它的任一行(列)元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即

可以按第i行展開為

也可以按第j列展開為

五、幾種特殊行列式

1.三角形行列式

定義1.5主對角線下方的元素全為0的行列式

稱為上三角形行列式；反之，主對角線上方的元素全為0的行列式

稱為下三角形行列式。上、下三角形行列式統(tǒng)稱為三角形行列式。

2.轉(zhuǎn)置行列式

定義1.6設(shè)n階行列式

把行列式D的行與相應(yīng)的列互換后得到行列式

稱其為行列式D的轉(zhuǎn)置行列式，記作DT。

3.對稱行列式與反對稱行列式

定義1.7如果n階行列式中第i行、第j列的元素等于第j行、第i列的元素，即aij=aji，則稱這樣的行列式為對稱行列式。如果它的第i行、第j列的元素等于第j行、第i列的元素的相反數(shù)，即aij=-aji，則稱這樣的行列式為反對稱行列式。

第2節(jié)行列式的性質(zhì)

性質(zhì)1.1任一行列式和它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即

推論1.1上（下）三角形行列式等于主對角線上的元素的乘積，即

性質(zhì)1.2互換行列式的兩行(列)，行列式改變符號。

第i行(列)和第j行(列)互換，記作ri?rj（ci?cj）

推論1.2如果行列式有兩行(列)完全相同，則此行列式等于零。

性質(zhì)1.3行列式中某一行(列)的所有元素都乘同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式。

第i行(列)乘k，記作ri×k(ci×k)。

例如，

推論1.3行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式記號的外面。

第i行(列)提出公因子k，記作ri÷k（ci÷k）。

推論1.4如果行列式中有兩行(列)元素成比例，則此行列式等于零。

性質(zhì)1.4若行列式的某一行(列)的元素都是兩數(shù)之和，則其等于兩個行列式之和，這兩個行列式的這一行(列)的元素分別為相應(yīng)的兩數(shù)中的一個，其余元素與原來行列式的對應(yīng)元素相同。

例如，

性質(zhì)1.5把行列式的某一行(列)的各元素乘同一個數(shù)然后加到另一行(列)對應(yīng)的元素上去，行列式的值不變。

數(shù)k乘第j行(列)加到第i行(列)，記作ri+krj（ci+kcj）

例如，

例1.6計(jì)算四階行列式

解方法一：利用行列式的性質(zhì)，將D化為上三角形行列式

方法二：利用D中a13=1，把第3列其余元素化為0之后，再按第3列展開，將D降為三階行列式。

第3節(jié)克萊姆法則對于包含n個未知數(shù)x1，x2，…，xn的n個方程所組成的方程組如果方程組的常數(shù)項(xiàng)全為0，則此方程組稱為齊次線性方程組；如果方程組的常數(shù)項(xiàng)不全為0，則此方程組稱為非齊次線性方程組。克萊姆給出了上述方程組的求解方法，即克萊姆法則。

定理1.2（克萊姆法則）如果方程組（1.3）的系數(shù)行列式不等于零，即

那么方程組（1.3）有唯一解：

定理1.3若方程組（1.3）無解或有兩個以上的不同解，則它的系數(shù)行列式D=0。

定理1.4若方程組（1.3）的系數(shù)行列式D≠0，則對應(yīng)的齊次線性方程組有唯一的零解；反之，若齊次線性方程組有非零解，則D=0。

例1.8某物流公司有3輛汽車，如果這3輛汽車同時運(yùn)送一批貨物，則一天共運(yùn)8800噸；如果第1輛汽車運(yùn)2天，第2輛汽車運(yùn)3天，則共運(yùn)貨物13200噸；如果第1輛汽車運(yùn)1天，第2輛汽車運(yùn)2天，第3輛汽車運(yùn)3天，則共運(yùn)貨物18800噸。問：每輛汽車每天可運(yùn)貨物多少噸?

第2章

矩陣第1節(jié)

矩陣的概念第2節(jié)

矩陣的運(yùn)算第3節(jié)

逆矩陣第4節(jié)

矩陣的初等變換及其應(yīng)用第5節(jié)

矩陣的秩

第1節(jié)矩陣的概念

一、矩陣的概念

引例2.1若有甲、乙、丙三家公司，在一段時期內(nèi)，這三家公司的成本明細(xì)如表2.1所示。

定義2.1由m×n個數(shù)aij(i=1,2，…，m；j=1,2，…，n)組成一個m行n列的矩形數(shù)表，稱其為m行n列矩陣，簡稱m×n矩陣。

矩陣常用大寫字母A,B,C,…表示，記作

其中aij(i=1,2,…，m；j=1,2,…,n)稱為矩陣A的元素。m×n矩陣A也可記為A=(aij)m×n或者Am×n。

二、幾種特殊的矩陣

以下列舉出幾種特殊的矩陣。

(1)零矩陣：所有元素都是零的矩陣。記作0或者0m×n。

(2)行矩陣和列矩陣：只有一行元素的矩陣稱為行矩陣(行向量)；只有一列元素的矩陣稱為列矩陣(列向量)。例如

(3)負(fù)矩陣：矩陣A的負(fù)矩陣就是矩陣A的所有元素都取相反數(shù)，記為-A。

(4)n階方陣：行數(shù)m等于列數(shù)n的矩陣稱為n階方陣，即n×n矩陣或n×n方陣。

(5)主對角線以下(上)元素全為零的方陣稱為上(下)三角形矩陣。

(6)除了主對角線上的元素以外，其余元素全為零的矩陣稱為對角矩陣。

(7)主對角線上的元素全相等的對角矩陣稱為數(shù)量矩陣。

(8)主對角線上的元素全為1的數(shù)量矩陣稱為單位矩陣，n階單位矩陣記作En或In。

第2節(jié)矩陣的運(yùn)算

一、矩陣相等設(shè)A=(aij)m×n，B=(bij)m×n，則由矩陣相等的定義可以看出，矩陣A與矩陣B相等當(dāng)且僅當(dāng)A與B的行、列、對應(yīng)元素都相等。

二、矩陣加法

定義2.2已知兩個m×n矩陣A=(aij)m×n，B=(bij)m×n，將對應(yīng)的元素相加得到一個新的m×n矩陣稱為矩陣A與B的和，記作A+B=aij+(bij)m×n。

矩陣加法滿足如下的運(yùn)算規(guī)律：

(1)交換律：A+B=B+A；

(2)結(jié)合律：(A+B)+C=A+(B+C)；

(3)存在零矩陣：對任何矩陣A，都有A+0=A。

三、數(shù)乘矩陣

定義2.3已知數(shù)k和一個m×n矩陣A=(aij)m×n，將數(shù)k乘以矩陣A中的每一個元素，所得到的一個新的m×n矩陣稱為數(shù)k與矩陣A的乘積，記作kA=(kaij

)

m×n。

四、矩陣乘法

先看一個實(shí)際的例子。

某鋼鐵生產(chǎn)企業(yè)7-9月份的生產(chǎn)原料：鐵礦石、焦炭、無煙煤的用量(噸)用矩陣A表示，三種原料的費(fèi)用(元)用矩陣B表示。

五、矩陣轉(zhuǎn)置

定義2.5已知m×n矩陣

將矩陣A的行變成相應(yīng)的列，得到新的n×m矩陣，稱它為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作

如果A是一個n階方陣，且AΤ=A，則稱矩陣A為n階對稱矩陣。

可以證明，矩陣的轉(zhuǎn)置有如下性質(zhì)：

(1)(A+B)T=AT+BT；

(2)(AT)T=A；

(3)(kA)T=kAT(k為常數(shù))；

(4)(AB)T=BTAT。

六、方陣的行列式

定義2.6已知n階方陣將構(gòu)成n階方

陣的n2個元素按照原來的順序作一個n階行列式，這個n階行列式稱為n階方陣A的行列式，記作

第3節(jié)逆矩陣一、逆矩陣的概念及性質(zhì)1.逆矩陣的概念定義2.8已知n階方陣A，若存在n階方陣B，使得AB=BA=E，則稱n階方陣A可逆，并稱n階方陣B是A的逆矩陣，記作A-1=B。由定義可知，矩陣A和它的逆矩陣B都是可逆的，并且A-1=B，B-1=A。注(1)可逆矩陣的逆是唯一的；(2)由于E·E=E，故單位矩陣E是可逆的，且E-1=E。

二、可逆矩陣的判定及求法

1.可逆矩陣的判定

定理2.1

n階方陣可逆的充分必要條件是A≠0.

定義2.9如果n階矩陣A的行列式A≠0，則稱其為非奇異矩陣；如果A=0，則稱其為奇異矩陣。

所以矩陣A不可逆。

第4節(jié)矩陣的初等變換及其應(yīng)用

一、矩陣的初等變換定義2.10矩陣的初等行變換是指對矩陣施行如下三種變換：(1)對換變換：交換矩陣的兩行(ri?rj)；(2)倍乘變換：用非零數(shù)k乘以矩陣的某一行(kri)；(3)倍加變換：把矩陣的某一行乘以數(shù)k后加到另一行上去(ri+krj)。

把定義2.8中的“行”換成“列”，即得矩陣的初等列變換的定義(所用的記號是把“r”換成“c”)。

矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為初等變換。如果矩陣A經(jīng)有限次的初等變換變成矩陣B，則稱矩陣A與B等價，記作A~B。

矩陣之間的等價關(guān)系具有下面的性質(zhì)：

(1)反身性：A~A；

(2)對稱性：若A~B，則B~A；

(3)傳遞性：若A~B，B~C，則A~C。

二、階梯形矩陣和簡化階梯形矩陣

定義2.11滿足以下條件的矩陣稱為階梯形矩陣：

(1)各非零行的第一個非零元素(稱為該行的首非零元)所在的列標(biāo)隨著行標(biāo)的增大而嚴(yán)格增大，即矩陣中每一行首非零元素必在上一行首非零元的右下方；

(2)當(dāng)有零行時，零行在非零行的下方。

定義2.12滿足以下條件的階梯形矩陣稱為簡化階梯形矩陣：

(1)各非零行的首非零元素都是1；

(2)各非零行首非零元素所在列的其他元素全為零。

定理2.3任何非零矩陣A經(jīng)過一系列初等行變換可化成階梯形矩陣，再經(jīng)過一系列初等行變換可化成簡化階梯形矩陣。

如何將矩陣化為階梯形和簡化階梯形矩陣?常常按下面的步驟進(jìn)行：

(1)讓矩陣最左上角的元素，通常是(1，1)元變?yōu)?(或便于計(jì)算的其他數(shù))；

(2)把第1行的若干倍加到下面各行，讓(1，1)元下方的元素都化為零；如果變換的過程中出現(xiàn)零行，就將它換到最下面；

(3)重復(fù)上面的做法，把(2，2)元下方的各元素都化為零，直到下面各行都是零行為止，得到階梯形矩陣；

(4)然后從最下面的一個首元開始，依次將各首元上方的元素化為零。

三、初等矩陣

定義2.13單位矩陣經(jīng)過一次初等變換所得到的矩陣稱為初等矩陣。

三種初等變換得到如下的三種初等矩陣：

(1)初等互換矩陣E(i，j)：交換單位矩陣E的第i行和第j行；

(2)初等倍乘矩陣E(i(k))：用非零數(shù)k乘以單位矩陣E的第i行；

(3)初等倍加矩陣E(i，j(k))：把單位矩陣E的第j行的k倍加到第i行。

初等矩陣的行列式都不為零，因此都可逆：

定理2.4設(shè)A是一個m×n矩陣，對A施行一次初等行變換相當(dāng)于用同種類型的初等矩陣左乘A；對A施行一次初等列變換相當(dāng)于用同種類型的初等矩陣右乘A。

定理2.5設(shè)A是一個m×n

矩陣，那么存在m階初等矩陣P1，…，Ps和n階初等矩陣Q1，…，Qt，使得

推論2.1如果A和B都是m×n矩陣，那么A與B等價的充分必要條件是存在m階可逆矩陣P

和n階可逆矩陣Q，使得PAQ=B。

推論2.2可逆矩陣與單位矩陣等價。

推論2.3可逆矩陣可以表示成若干個初等矩陣的乘積。

四、初等變換求逆

設(shè)A是n階可逆矩陣，那么其逆A-1也是可逆矩陣.根據(jù)推論2.3，存在初等矩陣P1，…，Ps使A-1=P1P2…Ps，即

式(2.1)兩邊同時右乘A可變成

根據(jù)定理2.2，式(2.2)表示對A施行s次初等行變換，可以把A化為單位矩陣E，式(2.1)表示經(jīng)過同樣的初等變換可以把E化為A-1。那么我們作一個n×2n的矩陣(A，E)，對其僅作初等行變換(這時A和E作了相同的初等行變換)，當(dāng)A的部分化為E時，E的部分就化成了A-1。

這種方法稱為初等變換法求逆：.

還可以用同樣的方法求

在以上求逆和A-1B的運(yùn)算中，不可以作初等列變換!但是可以通過初等列變換求逆和求BA-1：

例2.17用初等行變換求矩陣方程AX+B=X的解X，其中

解將方程變形為X-AX=B，即(E-A)X=B，故X=(E-A)-1B.由于

且|E-A|≠0，則

所以

所以

或者寫成

因此

如果AX=B中的B是一個列矩陣，那么AX=B是一個線性方程組.也就是A可逆時，可以用這種方法求解線性方程組。

注逆矩陣的計(jì)算方法有初等變換和伴隨矩陣兩種，初等變換法為基本方法，四階以上的矩陣一般用初等變換法。

第5節(jié)矩陣的秩

一、矩陣秩的定義及性質(zhì)1.矩陣秩的定義定義2.14從矩陣Am×n中任取k行和k列，用交叉位置上的元素并且保持相對位置不變，組成的k階行列式稱為矩陣的一個k階子式。

注意(1)子式不是矩陣而是行列式，每個子式都有一個值；

(2)k階子式有CkmCkn個；

(3)當(dāng)所有k階子式都等于零時，k+1及以上階數(shù)的子式都等于零；

(4)Am×n的子式的最高階數(shù)為min(m,n)。

根據(jù)定義求矩陣Am×n的秩的方法如下：

(1)從小到大：如果有一個1階子式不等于零，就考察2階子式；如果有一個2階子式不等于零，就考察3階子式；……，直到發(fā)現(xiàn)所有r階子式都等于零為止，得到r(A)=r-1。

(2)從大到?。喝绻幸粋€N=min(m,n)階子式不等于零，那么r(A)=N；如果所有的N階子式都等于零，就考察N-1階子式；如果所有的N-1階子式都等于零，就考察N-2階子式；……，直到找到一個不為零的子式為止，這個子式的階數(shù)r就是矩陣的秩，即r(A)=r。

2.矩陣的性質(zhì)

(1)矩陣的秩是唯一的；

(2)r

(Am×n

)≤min(m，n)；

(3)r(A)=r(AT)，r(kA)=r(A)(k≠0)。

二、初等變換求矩陣的秩

定理2.6如果A~B，那么r(A)=r(B)，即初等變換不改變矩陣的秩。

定理2.6表明用初等變換可以求矩陣的秩：對矩陣A作初等行變換將其化為階梯形矩陣，階梯形矩陣的非零行行數(shù)就是矩陣A的秩；也可以類似地對A作初等列變換來求它的秩。

觀察矩陣B1：

當(dāng)λ=1時，r(A)=r(B)=1；

當(dāng)λ=-2時，r(A)=2，r(B)=3；

當(dāng)λ≠-2且λ≠1時，r(A)=r(B)=3。

綜上所述，當(dāng)λ≠-2時，r(A)=r(B)。第3章

n

維向量與線性方程組第1節(jié)

向量組及其線性組合第2節(jié)

向量組的線性相關(guān)性第3節(jié)

向量組的秩第4節(jié)

齊次線性方程組的解第5節(jié)

非齊次線性方程組的解

第1節(jié)向量組及其線性組合

一、n維向量的概念

定義3.1由n個數(shù)a1,a2,…,an組成的有序數(shù)組(a1,a2,…,an)稱為一個n維向量,數(shù)ai稱為向量的第i個分量(i=1,2,…,n).

注在解析幾何中,我們把“既有大小又有方向的量”稱為向量,并把可隨意平行移動的有向線段作為向量的幾何形象.引入坐標(biāo)系后,又定義了向量的坐標(biāo)表示式(三個有次序

實(shí)數(shù)),此即上面定義的3維向量.因此,當(dāng)n≤3時,n維向量可以把有向線段作為其幾何形象.當(dāng)n>3時,n維向量沒有直觀的幾何形象.

向量可以寫成一行:(a1,a2,…,an);也可以寫成一列:

向量寫成一行時稱為行向量,寫成一列時

稱為列向量.向量常用字母α,β,γ等表示.

若干個同維數(shù)的列向量(或行向量)所組成的集合稱為向量組.例如,一個m×n矩陣

每一列

組成的向量組a1,a2,…,an稱為矩陣A的列向量組,而由矩陣A的每一行βi=(ai1,ai2,…,ain)(i=1,2,…,m),組成的向量組β1,β2,…,βm稱為矩陣A的行向量組.

根據(jù)上述討論,矩陣A記為A=(a1,a2,…,an)或

這樣,矩陣A就與其列向量組或行向量組之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系.

矩陣的列向量組和行向量組都是只含有限個向量的向量組,而線性方程組Am×nA=0的全體解當(dāng)r(A)<n時是一個含有無限多個n維列向量的向量組.

我們規(guī)定:

(1)分量全為零的向量,稱為零向量,記作0,即0=(0,0,…,0).

(2)向量α=(a1,a2,…,an

)各分量的相反數(shù)組成的向量稱為α的負(fù)向量,記作-α,即-α=(-a1,-a2,…,-an).

(3)如果α=(a1,a2,…,an

),β=(b1,b2,…,bn),當(dāng)ai=bi(i=1,2,…,n)時,則稱這兩個向量相等,記作α=β.

定義3.2設(shè)兩個n維向量α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn),定義向量α,β的和:α+β=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn);α,β的差:α-β=(a1-b1,a2-b2,…,an-bn).若存在常數(shù)k,則常數(shù)與向量α的數(shù)乘kα=(ka1,ka2,…,kan).

向量的加法及數(shù)與向量的乘法統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.

注向量的線性運(yùn)算與行(列)矩陣的運(yùn)算規(guī)律相同,從而也滿足下列運(yùn)算規(guī)律:

(1)α+β=β+α;

(2)(α+β)+γ=α+(β+γ);

(3)α+0=α;

(4)α+(-α)=0;

(5)1α=α;

(6)k(lα)=(kl)α;

(7)k(α+β)=kα+kβ;

(8)(k+l)α=kα+lα.

二、向量組的線性組合

定義3.3設(shè)有n維向量組α1,α2,…,αm,對于向量β,如果存在一組數(shù)k1,k2,…,km,使得β=k1α1+k2α2+…+kmαm,則稱β是α1,α2,…,αm的線性組合,也稱β可由α1,α2,…,αm線性表示,k1,k2,…,km稱為這個線性組合的系數(shù).

定理3.1向量β可由向量組A:α1,α2,…,αm線性表示的充分必要條件是:矩陣A=(α1,α2,…,αm)與矩陣B=(α1,α2,…,αm,β)的秩相等.

三、向量組間的線性表示

定義3.4設(shè)有兩向量組

若向量組B中的每一個向量都能由向量組A線性表示,則稱向量組B能由向量組A線性表示.若向量組A與向量組B能相互線性表示,則稱這兩個向量組等價.

引理3.1若Cs×n

=As×tBt×n,則矩陣C的列向量組能由矩陣A的列向量組線性表示,B為這一表示的系數(shù)矩陣.而矩陣C的行向量組能由B的行向量組線性表示,A為這一表示的系數(shù)矩陣.

定理3.2若向量組A可由向量組B線性表示,向量組B可由向量組C線性表示,則向量組A可由向量組C線性表示.

第2節(jié)向量組的線性相關(guān)性一、線性相關(guān)性概念定義3.5對n維向量組α1,α2,…,αm,若有數(shù)組k1,k2,…,km不全為0,使得k1α1+k2α2…+kmαm=0,則稱向量組α1,α2,…,αm線性相關(guān),否則稱為線性無關(guān).

注(1)對于單個向量α:若α=0,則α線性相關(guān);若α≠0,則α線性無關(guān).

(2)含有一個向量的向量組線性相關(guān)的充要條件是此向量為零向量;含有一個向量的向量組線性無關(guān)的充要條件是此向量為非零向量.

(3)兩個向量構(gòu)成的向量組線性相關(guān)的充要條件是這兩個向量對應(yīng)分量成比例.

二、線性相關(guān)性的判定

定理3.3向量組α1,α2,…,αm(m≥2)線性相關(guān)的充要條件是向量組中至少有一個向量可由其余m-1個向量線性表示.

定理3.4若向量組α1,α2,…,αm線性無關(guān),α1,α2,…,αm,β線性相關(guān),則β可由α1,α2,…,αm線性表示,且表示式唯一.

第3節(jié)向量組的秩

定義3.6設(shè)向量組為A,若:(1)在A中有r個向量α1,α2,…,αr線性無關(guān);(2)在A中任意r+1個向量線性相關(guān)(如果有r+1個向量的話),則稱α1,α2,…,αr為向量組A的一個極大線性無關(guān)組,稱r為向量組A的秩,記作:秩(A)=r.注(1)向量組中的向量都是零向量時,其秩為0

(2)秩(A)=r時,A中任意r個線性無關(guān)的向量都是A的一個極大無關(guān)組.

α1,α2線性無關(guān)?α1,α2是一個極大無關(guān)組.

α1,α3線性無關(guān)?α1,α3是一個極大無關(guān)組.

注一個向量組的極大無關(guān)組一般不是唯一的.

定理3.7設(shè)r(Am×n)=r≥1,則:

(1)A的行向量組(列向量組)的秩為r;

(2)A中某個行列式Dr≠0?A中Dr所在的r個行向量(列向量)是A的行向量組(列向量組)的極大無關(guān)組.

定理3.8已知Am×n,Bm×n,

第4節(jié)齊次線性方程組的解

一、齊次線性方程組解的判定一般地,我們把含有m個方程、n個未知量的齊次線性方程組

簡寫成矩陣形式AX=0,其中

對于方程個數(shù)等于未知量個數(shù)的線性方程組

二、齊次線性方程組的一般解

例3.11求例3.10中齊次線性方程組的一般解.

三、齊次線性方程組的通解的求法

齊次線性方程組的解有如下性質(zhì)

定理3.10設(shè)A為m×n矩陣,若r(A)=r<n,則方程組AX=0有基礎(chǔ)解系,且基礎(chǔ)解系含有n-r個解向量;若設(shè)ξ1,ξ2,…,ξn-r是方程組AX=0的一個基礎(chǔ)解系,則方程組AX=0的通解為

得同解方程組:

此方程組的一般解為

可得r(A)=2<n,則方程組有無窮多解,其同解方程組為

第5節(jié)非齊次線性方程組的解

一、非齊次線性方程組例3.15如圖3.1的網(wǎng)絡(luò)是某市的一些單行道路在一個下午(以每小時車輛數(shù)目計(jì)算)的交通流量,計(jì)算該網(wǎng)絡(luò)的車流量.

圖3.1

解如圖3.1所示,標(biāo)記道路交叉口和未知的分支流量,在每個交叉口,令其車輛駛?cè)霐?shù)目等于車輛駛出數(shù)目.

(1)車輛駛?cè)腭偝鰯?shù)目,列表如下:

(2)車輛駛?cè)霐?shù)目等于車輛駛出數(shù)目,列表如下:

(3)車輛總駛?cè)肓康扔谲囕v總駛出量,列表如下:

(4)得到下面方程組:

二、非齊次線性方程組解的判定

方程組的矩陣形式是AX=B,與之對應(yīng)的齊次線性方程組為AX=0.而且有如下定理:

定理3.11

AX=B有解?r(A,B)=r(A)

三、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

性質(zhì)3.3設(shè)η1,η2為AX=B的解,則η1-η2為AX=0的解.

證明

A(η1-η2)=Aη1-Aη2=B-B=0.

性質(zhì)3.4設(shè)η1為AX=B的解,η2為AX=0的解,則η1+η2為AX=B的解.

證明A(η1+η2)=Aη1+Aη2=B+0=B.

由以上的兩條性質(zhì)可以推出非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu).

四、非齊次線性方程組通解的求法

定理3.12設(shè)非齊次線性方程組AX=B有解,則其通解為X=η+ξ,其中,η為AX=B的一個特解,ξ是方程組AX=B的導(dǎo)出組AX=0的通解.

若設(shè)矩陣Am×n的秩為r,齊次線性方程組AX=0的一個基礎(chǔ)解系為ξ1,ξ2,…,ξn-r,則AX=B的通解為

例3.17解例3.15中的非齊次線性方程組

綜上有AX=B的通解是

例3.18解線性方程組

于是得到導(dǎo)出組的一個基礎(chǔ)解系為

所以,原方程組的通解為

例3.21求線性方程組

的全部解.

又原方程組對應(yīng)齊次線性方程組導(dǎo)出組的同解方程組為

令x4=-2(這里取-2為了消去分母取單位向量的倍數(shù)),得x1=3,x2=-3,x3=1,于是得到導(dǎo)出組的一個基礎(chǔ)解系為

所以,原方程組的通解為

下面求其導(dǎo)出方程組的一個基礎(chǔ)解系.由于導(dǎo)出方程組是將原方程組的常數(shù)全部改為0得到的,因此可得導(dǎo)出方程組的同解方程組為

即

第4章

多元函數(shù)微分第1節(jié)

多元函數(shù)第2節(jié)

偏導(dǎo)數(shù)第3節(jié)

全微分第4節(jié)

多元復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的求導(dǎo)法則

第1節(jié)多元函數(shù)

一、多元函數(shù)的定義在很多自然現(xiàn)象和實(shí)際問題中，經(jīng)常會遇到多個變量之間的依賴關(guān)系，舉例如下。例4.1圓柱體的體積V和它的底半徑r、高h(yuǎn)之間具有如下關(guān)系：這里有三個變量,V隨著兩個獨(dú)立變量r、h的變化而變化.

例4.2具有一定量的理想氣體的壓強(qiáng)p、體積V與絕對溫度T之間具有如下關(guān)系：

這里也有三個變量，p隨著兩個獨(dú)立變量T、V的變化而變化。

定義4.1對于變量x、y、z,如果變量x、y在一定范圍內(nèi)任意取一組數(shù)值，這時變量z按照一定法則總有唯一確定的數(shù)值和它們相對應(yīng)，那么就稱z是x、y的二元函數(shù)，記為z=f(x,y)。

z=f(x,y)中，x、y稱為自變量，z稱為因變量。x、y的變化范圍稱為二元函數(shù)z=f(x,y)的定義域，記為D；z的變化范圍稱為二元函數(shù)z=f(x,y)的值域，記為R(f)。

對于二元函數(shù)z=f(x,y)(x,y∈D)，其映射為f：D→R，如圖4.1所示。

圖4.1

類似地。可以定義三元函數(shù)u=f(x,y,z)以及n元函數(shù)u=f(x1,x2,x3,…,xn)。二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)。

定義4.2平面的區(qū)域是指一條或者幾條曲線所圍成的具有連通性的平面的一部分。其中，連通性是指一塊部分平面內(nèi)任意兩點(diǎn)可以用完全屬于這個部分平面的折線連接貫通。如果區(qū)域能夠無限延伸，則稱此區(qū)域是無界的；如果區(qū)域不能夠無限延伸，它就總是被包含在一個范圍更大一點(diǎn)的半徑有限的圓內(nèi)，則稱此區(qū)域是有限的.圍成區(qū)域的曲線稱為區(qū)域的邊界。閉區(qū)域是包含邊界在內(nèi)的區(qū)域，開區(qū)域是不包含邊界在內(nèi)的區(qū)域，二者統(tǒng)稱為區(qū)域。為方便起見，我們將開區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)稱為內(nèi)點(diǎn)，將區(qū)域邊界上的點(diǎn)稱為邊界點(diǎn)。

例4.4求下列函數(shù)的定義域D，并畫出D的圖形。

(1)z=ln(x+y)；

(2)z=arcsin(x2+y2)。

解(1)要使函數(shù)z=ln(x+y)有意義，應(yīng)有x+y>0，所以函數(shù)的定義域D是位于直線x+y=0上方而不包括這條直線在內(nèi)的半平面，這是一個無界區(qū)域，如圖4.2(a)所示。

(2)要使函數(shù)z=arcsin(x2+y2)有意義，應(yīng)有x2+y2≤1，所以函數(shù)的定義域D是以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的閉圓區(qū)域，如圖4.2(b)所示。

圖4.2

二、二元函數(shù)的極限

與一元函數(shù)的極限概念類似，我們用“ε-δ”語言描述二元函數(shù)的極限概念。

正如一元函數(shù)的極限一樣，二重極限也有類似的運(yùn)算法則：

第2節(jié)偏導(dǎo)數(shù)

一、偏導(dǎo)數(shù)的定義定義4.6設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在y0而x在x0處有增量Δx時，相應(yīng)地函數(shù)有增量f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果極限

存在，則稱此極限為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對x的偏導(dǎo)數(shù)，記作

定義4.7如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)(x,y)處對x的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個偏導(dǎo)數(shù)就是x、y的函數(shù)，它就稱為函數(shù)z=f(x,y)對自變量x的偏導(dǎo)函數(shù)，

記作

其定義式為

類似地，可定義函數(shù)z=f(x,y)對y的偏導(dǎo)函數(shù)，記為

其定義式為

注偏導(dǎo)函數(shù)也簡稱偏導(dǎo)數(shù)。二元函數(shù)z=f(x,y)對于自變量x的偏導(dǎo)數(shù)也可記為zx或fx(x,y)；二元函數(shù)z=f(x,y)對于自變量y的偏導(dǎo)數(shù)也可記為zy或fy(x,y)。求二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)就是先將一個自變量固定為常量，再求函數(shù)對于另外一個自變量的一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。因此，一元函數(shù)的求導(dǎo)公式以及求導(dǎo)法則對于多元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)依然適用。

由偏導(dǎo)數(shù)的概念可知，函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)f'x(x0,y0)就是f'x(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的函數(shù)值，而f'y(x0,y0)就是偏導(dǎo)數(shù)f'y(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的函數(shù)值。

偏導(dǎo)數(shù)的概念還可推廣到二元以上的函數(shù)。例如，三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)(x,y,z)處對x的偏導(dǎo)數(shù)定義為

其中(x,y,z)是函數(shù)u=f(x,y,z)的定義域的內(nèi)點(diǎn)。它們的求法也是一元函數(shù)的微分法問題。

二、偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法

在實(shí)際求z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)時，并不需要用新的方法，因?yàn)檫@里只有一個自變量在變動，另一個自變量是看作固定的，所以仍舊是一元函數(shù)的微分法問題。求時，只要把y暫時看作常量而對x求導(dǎo)數(shù)；求時，只要把x暫時看作常量而對y求導(dǎo)數(shù)。

例4.12已知理想氣體的狀態(tài)方程為pV=RT(R為常數(shù)),求證：

證明因?yàn)?/p>

所以

三、高階偏導(dǎo)數(shù)

定義4.8設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)

于是在D內(nèi)f'x(x,y)、f'y(x,y)都是x,y的函數(shù)。如果這兩個函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱它們是函數(shù)z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)。

按照對變量求導(dǎo)次序的不同有下列四個二階偏導(dǎo)數(shù)：

同樣可得三階、四階以及n階偏導(dǎo)數(shù)。二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)。

定理4.1如果函數(shù)z=f(x,y)的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)

在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等。

第3節(jié)全微分

在實(shí)際中，有時需計(jì)算當(dāng)兩個自變量都改變時二元函數(shù)z=f(x,y)的改變量f(x0+Δx,y0+Δy)-f(x0,y0)。一般來說，計(jì)算這個改變量比較麻煩，因此我們希望找出計(jì)算它的近似公式。該公式應(yīng)滿足：①好算；②有一定的精確度。類似一元函數(shù)的微分概念,引入記號和定義:稱Δz為z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的全增量。

一、全微分的定義

定義4.9如果二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)的全增量z=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可表示為

其中A、B不依賴于Δx、Δy而僅與x、y有關(guān)，

則稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微分，而稱AΔx+BΔy為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處的全微分，記作dz，即

證明設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)處可微分。于是，對于點(diǎn)P的某個鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)P'(x+Δx,y+Δy)，有Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)。特別當(dāng)Δy=0時有

上式兩邊各除以Δx,再令Δx→0而取極限,就得

例4.15求函數(shù)z=x2y2在點(diǎn)(2,-1)處當(dāng)Δx=0.02、Δy=-0.01時的全增量與全微分。

解全增量為

函數(shù)z=x2y2的兩個偏導(dǎo)數(shù)分別為

因?yàn)樗鼈兌际沁B續(xù)的，所以全微分是存在的，其值為

二、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用

設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微，則函數(shù)的全增量與全微分之差是高階無窮小，有近似公式Δz≈d，即

例4.19計(jì)算(1.02)1.99的近似值

第4節(jié)多元復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的求導(dǎo)法則

一、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)函數(shù)z=f(u,v)，其中u=φ(x,y)，v=ψ(x,y)都是關(guān)于x,y的函數(shù)，于是z=f[φ(x,y),ψ(x,y)]是關(guān)于x,y的函數(shù)，則稱函數(shù)z=f[φ(x,y),ψ(x,y)]是z=f(u,v)與u=φ(x,y)，v=ψ(x,y)的復(fù)合函數(shù)。

定理4.4如果函數(shù)u=φ(x,y),v=ψ(x,y)在點(diǎn)(x,y)處有偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)z=f(u,v)在對應(yīng)點(diǎn)(u,v)處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z=f[φ(x,y)，ψ(x,y)]在點(diǎn)(x,y)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，并且有

定義4.11設(shè)z=f(u,v)，其中u=φ(t)，v=ψ(t)，則z=f[φ(t),ψ(t)]是t的一元函數(shù)，并且

二、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則

1.一元隱函數(shù)的求導(dǎo)公式

2.二元隱函數(shù)的求導(dǎo)公式

第5章多元函數(shù)積分第1節(jié)二重積分第2節(jié)二重積分的計(jì)算第3節(jié)廣義重積分

第1節(jié)

二

重

積

分

一、

二重積分的概念

1.引例例5.1如圖5.1所示，設(shè)有一立體，它的底是xOy面上的閉區(qū)域D，它的側(cè)面是以D

的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面，它的頂是曲面z=f(x,y)，這里f(x,y)>0且在D

上連續(xù)。這種立體叫作曲頂柱體.現(xiàn)在要求該曲頂柱體的體積V。圖5.1

由于曲頂柱體的高f(x,y)是變量，它的體積不能直接用體積公式來計(jì)算。但仍可采用求曲邊梯形面積的思想方法，即通過

分割：將區(qū)域D

任意分成n

個小區(qū)域

近似：在每個Δδi

上任取一點(diǎn)(ξi,ηi)(見圖5.1)，則

求和：將上式累加，得

取極限：令Δδi

中的最大直徑λ

趨于0，得

例5.2如圖5.2所示，設(shè)有一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域D，它在點(diǎn)(x,y)處的面密度為ρ(x,y)，這里ρ(x,y)>0且在D

上連續(xù)?，F(xiàn)在要計(jì)算該薄片的質(zhì)量

M。圖5.2

2.二重積分的定義

定義5.1設(shè)f(x,y)是有界閉區(qū)域D

上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域D

任意分成n個小閉區(qū)域

其中Δσi

表示第i個小閉區(qū)域，也表示它的面積。在每個Δσi

上任取一點(diǎn)(ξi,ηi)，作乘積

并作和

二、

二重積分的性質(zhì)

性質(zhì)5.1設(shè)α、β為常數(shù)，則

性質(zhì)5.2

如果f(x,y)在有界閉區(qū)域D

上可積，D

被連續(xù)曲線分成D1、D2

兩部分，D=D1∪D2

且D1、D2

無公共內(nèi)點(diǎn)，則f(x,y)在區(qū)域D1、D2

上可積，且

這個性質(zhì)說明二重積分對積分區(qū)域具有可加性。

性質(zhì)5.3如果在D

上，f(x,y)=1，σ為D

的面積，則

性質(zhì)5.4如果在D

上，f(x,y)≤g(x,y)，則有

特殊地,由于

又有

性質(zhì)5.5設(shè)

M、m

分別是f(x,y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值，σ是D

的面積，則有

性質(zhì)5.6(二重積分的中值定理)設(shè)函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域

D

上連續(xù)，σ

是D

的面積，則在D

上至少存在一點(diǎn)(ξ,η)，使得

第2節(jié)

二重積分的計(jì)算

二重積分是用和式的極限定義的，對一般的函數(shù)和區(qū)域用定義直接計(jì)算二重積分是不可行的。計(jì)算二重積分的主要方法是將它化為兩次定積分的計(jì)算，稱為累次積分法。

一、

在直角坐標(biāo)系下求二重積分

先從幾何上研究二重積分的計(jì)算問題，在討論中我們假定f(x,y)≥0。若積分區(qū)域D

可表示為

則稱D為X型區(qū)域，它是由直線x=a、x=b

及曲線y=φ1(x)、y=φ2(x)所圍成(圖5.3)，其中函數(shù)φ1(x)、φ2(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù).X

型區(qū)域的特點(diǎn)是：任何平行于y軸且穿過區(qū)域內(nèi)部的直線與D

的邊界的交點(diǎn)不多于兩個。圖5.3

求以D

為底，曲面z=f(x,y)為頂?shù)那斨w的體積(圖5.4)。先計(jì)算截面積。在區(qū)間[a,b]上取定一點(diǎn)x0，作平行于yOz面的平面x=x0。這平面頂柱體所得的截面是一個以區(qū)間[φ1(x0),φ2(x0)]為底、曲線z=f(x0,y)為曲邊的曲邊梯形(圖5.4)所以這個截面的面積為

一般地，過區(qū)間[a,b]上任一點(diǎn)x且平行于yOz

面的平面截曲頂柱體的截面的面積為圖5.4

于是,應(yīng)用計(jì)算平行截面面積為已知的立體體積的方法,得曲頂柱體的體積為

這個體積也就是所求二重積分的值,從而有等式

上式右端的積分是先對y、后對x

的二次積分。就是說,先把x

看作常數(shù)，把f(x,y)只看作y的函數(shù)，并對y計(jì)算從φ1(x)到φ2(x)的定積分：然后把算得的結(jié)果(是x

的函數(shù))再對x

計(jì)算在區(qū)間[a,b]上的定積分。這個先對y、后對x

的二次積分也常記為

因此，等式(5.1)也寫成

這就是把二重積分化為先對y、后對x

的二次積分公式。

在上述討論中，我們假定f(x,y)≥0，實(shí)際上公式(5.1)的成立并不受此條件的限制。類似地，若積分區(qū)域D

可表示為

則稱D

為Y

型區(qū)域，它是由直線y=c、y=d及曲線x=ψ1(y)、x=ψ2(y)所圍成，其中函數(shù)ψ1(x)、ψ2(x)在區(qū)間[c,d]上連續(xù)。同樣Y

型區(qū)域的特點(diǎn)是：任何平行于x

軸且穿過區(qū)域內(nèi)部的直線與D

的邊界的交點(diǎn)不多于兩個。圖5.5

例5.5計(jì)算二重積分其中D

是由直線y=x，x=1及x軸所圍成的閉區(qū)域。

解

畫出積分區(qū)域D

如圖5.6所示，圖5.6

它既是X

型，又是Y型。若D

看成X

型，則D

可表示為

于是

若將D看成X型,則D可表示為

于是

例5.6

計(jì)算二重積分其中D

是由拋物線y=x2

及直線y=x+2所圍成的閉區(qū)域。

解

畫出積分區(qū)域D

如圖5.7所示，圖5.7

若D

看成X

型，則D可表示為

于是

若將D看成Y型,則由于在區(qū)間[0,1]及[1,4]上x

的積分下限不同,所以要用直線y=1把區(qū)域D分成D1

和D2

兩個部分(圖5.8),其中

于是圖5.8

例5.9求兩個圓柱面x2+y2=a2，x2+z2=a2

所圍成的立體體積.

解

由對稱性知,所求立體的體積V

是該立體位于第一卦限部分的體積V1的8倍(見圖5.11).圖5.11

立體在第一卦限部分可以看成一個曲頂柱體，它的底為

它的頂是柱面

于是

二、

在極坐標(biāo)系下求二重積分

在平面上選定一點(diǎn)O，從點(diǎn)O

出發(fā)引一條射線Ox，并在射線上規(guī)定一個單位長度，這就得到了極坐標(biāo)系(如圖5.12)，其中點(diǎn)P

稱為極點(diǎn)，射線Ox

稱為極軸。

平面上每一點(diǎn)

M

都可以用它的極徑r

和極角θ來確定其位置，稱有序數(shù)對(r,θ)為點(diǎn)

M

的極坐標(biāo)。圖5.12

如果我們將直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)O

和x軸的正半軸選為極坐標(biāo)系中的極點(diǎn)和極軸，如圖5.13所示，則平面上點(diǎn)M

的直角坐標(biāo)(x,y)與其極坐標(biāo)(r,θ)有以下的關(guān)系圖5.13

在二重積分的定義中，若函數(shù)f(x,y)可積，則二重積分的存在與區(qū)域D

的劃分無關(guān)。在直角坐標(biāo)系中，我們是用平行于x

軸和y

軸的兩組直線來分割區(qū)域D的，此時面積元素dσ=dxdy。所以有

在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)的極坐標(biāo)是(r,θ)，r=常數(shù)，是一簇圓心在極點(diǎn)的同心圓；θ=常數(shù),是一簇從極點(diǎn)出發(fā)的射線。我們用上述的同心圓和射線將區(qū)域

D

分成多個小區(qū)域，如圖5.14所示，其中，任一小區(qū)域Δσ

是由極角為θ

和θ+Δθ

的兩射線與半徑為r和r+Δr的兩圓弧所圍成的區(qū)域，則由扇形面積公式得圖5.14

在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分，仍然需要化為二次積分來計(jì)算，通常是按先r后θ的順序進(jìn)行，下面分三種情況予以介紹。

(1)極點(diǎn)O

在區(qū)域D之外，且D

由射線θ=α，θ=β和連續(xù)曲線r=r1(θ)，r=r2(θ)所圍成，如圖5.15所示，這時區(qū)域D

可表示為

于是圖5.15

(2)極點(diǎn)O

在區(qū)域D

的邊界上，且D

由射線θ=α，θ=β和連續(xù)曲線r=r(θ)所圍成，如圖5.16所示，這時區(qū)域D

可表示為

于是圖5.16

(3)極點(diǎn)O

在區(qū)域D

內(nèi)部，且

D的邊界曲線為連續(xù)封閉曲線r=r(θ)，如圖5.17所示，這時區(qū)域D

可表示為

于是圖5.17

例5.10計(jì)算二重積分其中D

是由圓x2+y2=a2(a>0)圍成的閉區(qū)域.

解

由于區(qū)域D

在極坐標(biāo)系下表示為

所以

例5.11

計(jì)算二重積分其中D

是由圓x2+y2=π2

和x2+y2=4π2

所圍成的閉區(qū)域。

解

積分區(qū)域D是由兩個圓所圍成的圓環(huán)，在極坐標(biāo)系下表示為

于是

例5.12

計(jì)算二重積分其中D

是第一象限中同時滿足x2+y2≤1和x2+(y-1)2≤1的點(diǎn)所組成的區(qū)域.

所以得圖5.18

第3節(jié)

廣

義

重

積

分

和一元函數(shù)類似，二重積分也可以推廣到無界區(qū)域上的廣義二重積分，它在概率統(tǒng)計(jì)中是一種廣泛應(yīng)用的積分形式。

定義5.2

設(shè)函數(shù)f(x,y)在無界區(qū)域

D

上有定義，用任意光滑或分段光滑的曲線γ在D中劃出有界區(qū)域Dγ，如圖5.19所示，若二重積分存在，且當(dāng)曲線γ

連續(xù)變動，區(qū)域Dγ無限擴(kuò)展而趨于區(qū)域D

時，如果不論γ

的形狀如何，也不論γ

擴(kuò)展的過程怎樣，極限

有同一極限值I，則稱I

是函數(shù)f(x,y)在無界區(qū)域D

上的廣義二重積分，記為

這時也稱函數(shù)f(x,y)在D

上的積分收斂。否則，稱為發(fā)散的。圖5.19第6章

概率論第1節(jié)

隨機(jī)事件第2節(jié)

概率的定義與性質(zhì)第3節(jié)

條件概率第4節(jié)

獨(dú)立性第5節(jié)

隨機(jī)變量的分布第6節(jié)

數(shù)學(xué)期望與方差第7節(jié)

常見隨機(jī)變量的分布

第1節(jié)

隨

機(jī)

事

件

一、

隨機(jī)事件

1.隨機(jī)試驗(yàn)滿足下列三個條件的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)：

(1)試驗(yàn)可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；

(2)試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個，且所有可能結(jié)果是已知的；

(3)每次試驗(yàn)?zāi)膫€結(jié)果出現(xiàn)是未知的。

隨機(jī)試驗(yàn)以后簡稱為試驗(yàn)，并常記為E。

例如：

E1：擲一骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；

E2：上拋硬幣兩次，觀察正反面出現(xiàn)的情況；

E3：觀察某電話交換臺在某段時間內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。

2.隨機(jī)事件

在試驗(yàn)中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事情稱為隨機(jī)事件，常記為A,B,C

等。

例如，在E1

中，A

表示“擲出2點(diǎn)”，B

表示“擲出偶數(shù)點(diǎn)”均為隨機(jī)事件。

3.必然事件與不可能事件

每次試驗(yàn)必發(fā)生的事情稱為必然事件，記為Ω。每次試驗(yàn)都不可能發(fā)生的事情稱為不可能事件，記為?。

例如,在E1

中，“擲出不大于6點(diǎn)”的事件便是必然事件，而“擲出大于6點(diǎn)”的事件便是不可能事件。

隨機(jī)事件，必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為事件。

4.基本事件

試驗(yàn)中直接觀察到的最簡單的結(jié)果稱為基本事件。由基本事件構(gòu)成的事件稱為復(fù)合事件。

例如，在E1

中，“擲出1點(diǎn)”，“擲出2點(diǎn)”,…,

“擲出6點(diǎn)”均為此試驗(yàn)的基本事件；“擲出偶數(shù)點(diǎn)”便是復(fù)合事件。

5.樣本空間

從集合觀點(diǎn)看，稱構(gòu)成基本事件的元素為樣本點(diǎn)。試驗(yàn)中所有樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為樣本空間，記為Ω。

例如，在

E1

中，Ω={1,2,3,4,5,6}；在

E2

中，Ω={(H,H)，(H,T)，(T,H)，(T,T)}；在E3

中，Ω={0,1,2,…}

二、

事件間的關(guān)系與運(yùn)算

1.包含關(guān)系

若事件A

的發(fā)生必導(dǎo)致事件B

發(fā)生，則稱事件B

包含事件A，記為A?B

或B?A。

例如，在E1

中，令A(yù)

表示“擲出2點(diǎn)”的事件，即A={2},B

表示“擲出偶數(shù)”的事件，即B={2,4,6}，則A?B。

2.相等關(guān)系

若A?B

且B?A，則稱事件A

等于事件B，記為A=B(圖6.1)。

例如，從一副54張的撲克牌中任取4張，令A(yù)

表示“取得至少有3張紅桃”的事件；B表示”取得至多有一張不是紅桃”的事件，顯然A=B。

圖6.1

3.和關(guān)系

稱事件A

與B

至少有一個發(fā)生的事件為A與B

的和事件，簡稱為和，記為

A∪B

或A+B(圖6.2)。

例如，甲、乙兩人向目標(biāo)射擊，令A(yù)

表示“甲擊中目標(biāo)”的事件，B

表示“乙擊中目標(biāo)”的事件，則A∪B

表示“目標(biāo)被擊中”的事件。

圖6.2

4.積關(guān)系

稱事件A

與事件B

同時發(fā)生的事件為A

與B的積事件，簡稱為積，記為A∩B

或AB(圖6.3)。

例如，在E3中，觀察某電話交換臺在某時刻接到的呼喚次數(shù)中，令A(yù)={接到2的位數(shù)次呼喚}，B={接到3的倍數(shù)次呼喚}，則A∩B={接到6的倍數(shù)次呼喚}。

圖6.3

5.差關(guān)系

稱事件A

發(fā)生但事件B不發(fā)生的事件為A

減B

的差事件，簡稱為差，記為

A-B(圖6.4)

例如，測量晶體管的β參數(shù)值，令

A={測得β

值不超過50}，B={測得β

值不超過100}，則A-B=?，B-A={測得β值為50<β≤100}。

圖6.4

6.互不相容關(guān)系

若事件A

與事件B不能同時發(fā)生，即AB=?，則稱A

與B

是互不相容的事件，或稱A

與B

為互斥事件(圖6.5)。

例如，觀察某交通路口在某時刻的紅綠燈：若A={紅燈亮}，B={綠燈亮}，則A

與B便是互不相容的。

圖6.5

圖6.6

第2節(jié)

概率的定義與性質(zhì)

一、

概率的定義所謂事件A的概率是指事件A

發(fā)生可能性程度的數(shù)值度量，記為P

(A)。規(guī)定P(A)≥0，P(Ω)=1。以下從不同角度給出概率的定義。

1.古典概型中概率的定義

滿足下列兩個條件的試驗(yàn)?zāi)Ｐ头Q為古典概型。

(1)所有基本事件是有限個；

(2)各基本事件發(fā)生的可能性相同。

定義6.1

在古典概型中，設(shè)其樣本空間Ω所含的樣本點(diǎn)總數(shù)，即試驗(yàn)的基本事件總數(shù)為

NΩ

，而事件

A

所含的樣本數(shù)，即有利于事件

A

發(fā)生的基本事件數(shù)為NA

，則事件

A的概率便定義為

古典概型中所定義的概率有以下基本性質(zhì)：

(1)P(A)≥0；(2)P(Ω)=1

例6.1

將n

個球隨機(jī)地放到n

個瓶子中去，問每個瓶子恰有1個球的概率是多少?

例6.2

將3個不同的球隨機(jī)地放入4個不同的盒子中,問盒子中球的個數(shù)的最大數(shù)分別為1、2、3的概率各是多少?

例6.3

將一枚質(zhì)地均勻的硬幣拋三次，求恰有一次正面向上的概率。

解

用

H

表示正面，T

表示反面，則該試驗(yàn)的樣本空間

2.概率的統(tǒng)計(jì)定義

頻率：在n次重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件A

出現(xiàn)了nA

次，則稱

為事件A

的頻率。

頻率具有一定的穩(wěn)定性，示例如表6.1所示。

頻率有以下基本性質(zhì):

(1)fn(A)≥0；

(2)fn(Ω)=1；

(3)若A1A2,…Ak，兩兩互不相容，則

定義6.2

在相同條件下，將試驗(yàn)重復(fù)n

次，如果隨著重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n

的增大，事件A的頻率fn(A)越來越穩(wěn)定地在某一常數(shù)p

附近擺動，則稱常數(shù)p

為事件A

的概率，即P(A)=p。

3.概率的公理化定義

定義6.3

設(shè)某試驗(yàn)的樣本空間為Ω，對其中每個事件A

定義一個實(shí)數(shù)P(A)，如果它滿足下列三條公理：(1)P(A)≥0(非負(fù)性)；

(2)P(Ω)=1，P(?)=0(規(guī)范性)：

(3)若A1,A2,…,An兩兩互不相容，則

(稱為可加性)；則稱P(A)為A

的概率。

例6.7甲、乙兩城市在某季節(jié)內(nèi)下雨的概率分別為0.4和0.35，而同時下雨的概率為0.15，求在此季節(jié)內(nèi)甲、乙兩城市中至少有一個城市下雨的概率。

解

令A(yù)={甲城下雨}，B={乙城下雨},按題意所要求的是

第3節(jié)

條

件

概

率

一、

條件概率的概念及計(jì)算

例6.8

一盒子內(nèi)有10只晶體管，其中4只是壞的，6只是好的，從中無放回地取二次晶體管，每次取一只，當(dāng)發(fā)現(xiàn)第一次取得的是好的晶體管時，問第二次取