工程數(shù)學 課件 第6、7章 概率論、數(shù)理統(tǒng)計

第6章

概率論第1節(jié)

隨機事件第2節(jié)

概率的定義與性質(zhì)第3節(jié)

條件概率第4節(jié)

獨立性第5節(jié)

隨機變量的分布第6節(jié)

數(shù)學期望與方差第7節(jié)

常見隨機變量的分布

第1節(jié)

隨

機

事

件

一、

隨機事件

1.隨機試驗滿足下列三個條件的試驗稱為隨機試驗：

(1)試驗可在相同條件下重復進行；

(2)試驗的可能結(jié)果不止一個，且所有可能結(jié)果是已知的；

(3)每次試驗哪個結(jié)果出現(xiàn)是未知的。

隨機試驗以后簡稱為試驗，并常記為E。

例如：

E1：擲一骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)；

E2：上拋硬幣兩次，觀察正反面出現(xiàn)的情況；

E3：觀察某電話交換臺在某段時間內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。

2.隨機事件

在試驗中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事情稱為隨機事件，常記為A,B,C

等。

例如，在E1

中，A

表示“擲出2點”，B

表示“擲出偶數(shù)點”均為隨機事件。

3.必然事件與不可能事件

每次試驗必發(fā)生的事情稱為必然事件，記為Ω。每次試驗都不可能發(fā)生的事情稱為不可能事件，記為?。

例如,在E1

中，“擲出不大于6點”的事件便是必然事件，而“擲出大于6點”的事件便是不可能事件。

隨機事件，必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為事件。

4.基本事件

試驗中直接觀察到的最簡單的結(jié)果稱為基本事件。由基本事件構(gòu)成的事件稱為復合事件。

例如，在E1

中，“擲出1點”，“擲出2點”,…,

“擲出6點”均為此試驗的基本事件；“擲出偶數(shù)點”便是復合事件。

5.樣本空間

從集合觀點看，稱構(gòu)成基本事件的元素為樣本點。試驗中所有樣本點構(gòu)成的集合稱為樣本空間，記為Ω。

例如，在

E1

中，Ω={1,2,3,4,5,6}；在

E2

中，Ω={(H,H)，(H,T)，(T,H)，(T,T)}；在E3

中，Ω={0,1,2,…}

二、

事件間的關(guān)系與運算

1.包含關(guān)系

若事件A

的發(fā)生必導致事件B

發(fā)生，則稱事件B

包含事件A，記為A?B

或B?A。

例如，在E1

中，令A

表示“擲出2點”的事件，即A={2},B

表示“擲出偶數(shù)”的事件，即B={2,4,6}，則A?B。

2.相等關(guān)系

若A?B

且B?A，則稱事件A

等于事件B，記為A=B(圖6.1)。

例如，從一副54張的撲克牌中任取4張，令A

表示“取得至少有3張紅桃”的事件；B表示”取得至多有一張不是紅桃”的事件，顯然A=B。

圖6.1

3.和關(guān)系

稱事件A

與B

至少有一個發(fā)生的事件為A與B

的和事件，簡稱為和，記為

A∪B

或A+B(圖6.2)。

例如，甲、乙兩人向目標射擊，令A

表示“甲擊中目標”的事件，B

表示“乙擊中目標”的事件，則A∪B

表示“目標被擊中”的事件。

圖6.2

4.積關(guān)系

稱事件A

與事件B

同時發(fā)生的事件為A

與B的積事件，簡稱為積，記為A∩B

或AB(圖6.3)。

例如，在E3中，觀察某電話交換臺在某時刻接到的呼喚次數(shù)中，令A={接到2的位數(shù)次呼喚}，B={接到3的倍數(shù)次呼喚}，則A∩B={接到6的倍數(shù)次呼喚}。

圖6.3

5.差關(guān)系

稱事件A

發(fā)生但事件B不發(fā)生的事件為A

減B

的差事件，簡稱為差，記為

A-B(圖6.4)

例如，測量晶體管的β參數(shù)值，令

A={測得β

值不超過50}，B={測得β

值不超過100}，則A-B=?，B-A={測得β值為50<β≤100}。

圖6.4

6.互不相容關(guān)系

若事件A

與事件B不能同時發(fā)生，即AB=?，則稱A

與B

是互不相容的事件，或稱A

與B

為互斥事件(圖6.5)。

例如，觀察某交通路口在某時刻的紅綠燈：若A={紅燈亮}，B={綠燈亮}，則A

與B便是互不相容的。

圖6.5

圖6.6

第2節(jié)

概率的定義與性質(zhì)

一、

概率的定義所謂事件A的概率是指事件A

發(fā)生可能性程度的數(shù)值度量，記為P

(A)。規(guī)定P(A)≥0，P(Ω)=1。以下從不同角度給出概率的定義。

1.古典概型中概率的定義

滿足下列兩個條件的試驗模型稱為古典概型。

(1)所有基本事件是有限個；

(2)各基本事件發(fā)生的可能性相同。

定義6.1

在古典概型中，設其樣本空間Ω所含的樣本點總數(shù)，即試驗的基本事件總數(shù)為

NΩ

，而事件

A

所含的樣本數(shù)，即有利于事件

A

發(fā)生的基本事件數(shù)為NA

，則事件

A的概率便定義為

古典概型中所定義的概率有以下基本性質(zhì)：

(1)P(A)≥0；(2)P(Ω)=1

例6.1

將n

個球隨機地放到n

個瓶子中去，問每個瓶子恰有1個球的概率是多少?

例6.2

將3個不同的球隨機地放入4個不同的盒子中,問盒子中球的個數(shù)的最大數(shù)分別為1、2、3的概率各是多少?

例6.3

將一枚質(zhì)地均勻的硬幣拋三次，求恰有一次正面向上的概率。

解

用

H

表示正面，T

表示反面，則該試驗的樣本空間

2.概率的統(tǒng)計定義

頻率：在n次重復試驗中，設事件A

出現(xiàn)了nA

次，則稱

為事件A

的頻率。

頻率具有一定的穩(wěn)定性，示例如表6.1所示。

頻率有以下基本性質(zhì):

(1)fn(A)≥0；

(2)fn(Ω)=1；

(3)若A1A2,…Ak，兩兩互不相容，則

定義6.2

在相同條件下，將試驗重復n

次，如果隨著重復試驗次數(shù)n

的增大，事件A的頻率fn(A)越來越穩(wěn)定地在某一常數(shù)p

附近擺動，則稱常數(shù)p

為事件A

的概率，即P(A)=p。

3.概率的公理化定義

定義6.3

設某試驗的樣本空間為Ω，對其中每個事件A

定義一個實數(shù)P(A)，如果它滿足下列三條公理：(1)P(A)≥0(非負性)；

(2)P(Ω)=1，P(?)=0(規(guī)范性)：

(3)若A1,A2,…,An兩兩互不相容，則

(稱為可加性)；則稱P(A)為A

的概率。

例6.7甲、乙兩城市在某季節(jié)內(nèi)下雨的概率分別為0.4和0.35，而同時下雨的概率為0.15，求在此季節(jié)內(nèi)甲、乙兩城市中至少有一個城市下雨的概率。

解

令A={甲城下雨}，B={乙城下雨},按題意所要求的是

第3節(jié)

條

件

概

率

一、

條件概率的概念及計算

例6.8

一盒子內(nèi)有10只晶體管，其中4只是壞的，6只是好的，從中無放回地取二次晶體管，每次取一只，當發(fā)現(xiàn)第一次取得的是好的晶體管時，問第二次取得的也是好的晶體管的概率為多少?

例6.9某種集成電路使用到2000小時還能正常工作的概率為0.94，使用到3000小時還能正常工作的概率為0.87。有一塊集成電路已工作了2000小時，問它還能再工作1000小時的概率為多大?

二、

條件概率的三個重要公式

1.乘法公式

定理6.1

如果P(B)>0，那么

同樣，如果P(A)>0，則

例6.10

已知某產(chǎn)品的不合格品率為4%，而合格品中有75%的一級品，今從這批產(chǎn)品中任取一件，求取得的為一級品的概率。

解

令A={任取一件產(chǎn)品為一級品}，B={任取一件產(chǎn)品為合格品}，顯然

A?B，即有AB=A，故P(AB)=P(A)。于是，所求概率為

2.全概率公式

定義6.5

如果一組事件

H1,H2,…,Hn

在每次試驗中必發(fā)生且僅發(fā)生一個，即則稱此事件組為該試驗的一個完備事件組。

定理6.2設

H1,H2,…,Hn

為一完備事件組，且P(Hi)>0(i=1,2,…,n)，則對于任意事件A

有

例6.11

某屆世界女排錦標賽半決賽的對陣如圖6.7所示，根據(jù)以往資料可知，中國勝美國的概率為0.4，中國勝日本的概率為0.9，而日本勝美國的概率為0.5，求中國得冠軍的概率。

圖6.7

3.貝葉斯公式

定理6.3

設

H1,H2,…,Hn為一完備事件組，且P(Hi)>0(i=1,2,…,n)，又設A為任意事件，且P(A)>0，則有

例6.12某種診斷癌癥的實驗有如下效果：患有癌癥者做此實驗反映為陽性的概率為0.95，不患有癌癥者做此實驗反映為陰的概率也為0.95，并假定就診者中有0.005的人患有癌癥。已知某人做此實驗反應為陽性，問他是一個癌癥患者的概率是多少?

第4節(jié)

獨

立

性

一、

事件的獨立性如果事件B

的發(fā)生不影響事件A

的概率(例如：某人擲一顆骰子兩次，第一次骰子出現(xiàn)的點數(shù)A

并不會影響第二次骰子出現(xiàn)的點數(shù)B)，且P(B)>0時，有P(A|B)=P(A)，則稱事件A對事件B

獨立；反之，如果事件A

的發(fā)生不影響事件B

的概率，且P(A)>0時，有P(B|A)=P(B)，則稱事件B

對事件A

獨立．當P(A)>0，P(B)>0，上述兩個式子是等價的，因此有下面定義：

定義6.6對任意兩個事件A

與B，若P(AB)=P(A)·P(B)，則稱事件

A

與B

相互獨立．

定理6.4事件A

與B

獨立的充要條件是

例6.13

袋中有3個白球2個黑球，現(xiàn)從袋中分別有放回、無放回的各取兩次球，每次取一球，令A={第一次取出的是白球}，B={第二次取出的是白球}，問A,B是否獨立?

例6.14

統(tǒng)計浙江浦陽江甲乙兩地在1964-1966年3年內(nèi)6月份90天中降雨的天數(shù)。甲地降雨46天，乙地降雨45天，兩地同時降雨42天．假定兩地6月份任一天為雨日的頻率穩(wěn)定，試問：

(1)6月份兩地降雨是否相互獨立?

(2)6月份任一天至少有一地降雨的概率為多少?

定義6.7

設A,B,C

為三個事件，如果P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，則稱A,B,C

是相互獨立的。

定義6.8設A1,A2,…,An為n個事件，如果對任意正整數(shù)k(k≤n)及上述事件中的任意k

個事件Ai1

，Ai2,…,Aik，有P(Ai1Ai2…Aik)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik)，則稱這n

個事件A1,A2,…,An是相互獨立的。

例如：(1)將一骰子擲10次觀察出現(xiàn)6點的次數(shù)——10重伯努利試驗；(2)在裝有8個正品，2個次品的箱子中，有放回地取5次產(chǎn)品，每次取一個,觀察取得次品的次數(shù)——5重伯努利試驗；(3)向目標獨立地射擊n

次，每次擊中目標的概率為p,觀察擊中目標的次數(shù)——n

重伯努利試驗等等。

在n

重伯努利實驗中，假定每次實驗事件A

出現(xiàn)的概率為p(0<p<1)，則在n

重伯努利試驗中，事件A

恰好出現(xiàn)了k次的概率為

其中q=1-p。

例6.18

某彩票每周開獎一次，每次只有百萬分之一中獎的概率。若你每周買一張彩票，盡管你堅持十年(每年52周)之久，但你從未中過獎的概率是多少?

解

每周買一張彩票,不中獎的概率是1-10-6，十年中共購買520次，且每次開獎都相互獨立，所以十年中從未中過獎的概率為

例6.19一副撲克牌(52張)，從中任取13張，求至少有一張”A”的概率.

解

設A={任取的13張牌中至少有一張”A”}，并設Ai={任取的13張牌中恰有i張”A”}，i=1,2,3,4,則A=A1∪A2∪A3∪A4,且A1,A2,A3,A4

兩兩互斥.

因此

用另一方法來計算這一概率：

從而

例6.20某射手向某目標射擊5次，每次擊中目標的概率為p，不擊中目標的概率為q，且每次是否擊中目標是相互獨立的，求5次射擊當中恰好擊中目標3次的概率P5(3)

第5節(jié)

隨機變量的分布

一、

隨機變量定義6.9一個變量

X

的取值取決于隨機試驗E(現(xiàn)象)的基本結(jié)果ω，則該變量X(ω)稱為隨機變量。隨機變量常用大寫字母X、Y、Z

等表示，其取值用小寫字母x、y、z

等表示。例如：擲一顆骰子得到的點數(shù)，分別用1、2、3、4、5、6來表示；測試一個燈泡的使用壽命，結(jié)果對應著(0,+∞)中的一個實數(shù)；投籃一次”命中”可用1表示，”沒有命中”可用0表示；從一批產(chǎn)品中隨機抽取一個檢驗，”次品”用0表示，”合格品”用1表示等等。

定義6.10

設X

是一個隨機變量，對于任意實數(shù)x，令F(x)=P{X≤x}，稱F(x)為隨機變量

X

的概率分布函數(shù)，簡稱分布函數(shù)。

分布函數(shù)的性質(zhì)：

二、

離散型隨機變量的分布

定義6.11

設

X

為離散型隨機變量,其可能取值為x1,x2,…,且

稱上式為隨機變量

X

的概率分布或分布列.

隨機變量

X的概率分布可用如下形式的表格來表示:

離散型隨機變量的概率分布有如下的性質(zhì):

例6.21

設隨機變量的

X

的概率分布為

試確定常數(shù)a。

三、

連續(xù)型隨機變量的分布

定義6.12如果對于隨機變量X

的分布函數(shù)F(x)，存在函數(shù)f(x)≥0(-∞<x<+∞)，使得對于任意實數(shù)x，有

則稱X為連續(xù)型隨機變量，函

數(shù)f(x)稱為

X的概率密度函數(shù)(簡稱密度函數(shù))。

密度函數(shù)的性質(zhì)和意義:

定義6.13

設X是一個隨機變量，g(x)為連續(xù)實函數(shù)，則Y=g(X)稱為一維隨機變量的函數(shù)，顯然Y

也是一個隨機變量。

離散型隨機變量函數(shù)分布的求法如下：首先將

X

的取值代入函數(shù)關(guān)系式，求出隨機變量Y

相應的取值yi=g(xi)(i=1,2,…)。如果yi(i=1,2,…)的值各不相等，則Y

的概

率分布為

如果yi=g(xi)(i=1,2,…)中出現(xiàn)相同的函數(shù)值，如yi=g(xi)=g(xk)(i≠k)，則在Y

的概率分布列中,Y

取yi

的概率為

例6.23

設隨機變量X

的概率分布為

求Y=2X+1和Z=X2的概率分布。

解

由Y=2X+1和

X

可能的取值，得Y

相應的取值為-3，-1,1,3,5,7,又由Y=2X+1中Y與X

是一一對應關(guān)系可得Y

的概率分布為

Z=X2

可能取的值為0,1,4,9,相應的概率值為

即Z

的概率分布為

第6節(jié)

數(shù)學期望與方差

一、

數(shù)學期望的概念分布函數(shù)在概率意義上給隨機變量以完整的刻畫，但在許多實際問題的研究中，要確定某一隨機變量的概率分布往往并不容易。就某些實際問題而言，我們更關(guān)心隨機變量的某些特征。例如：在研究水稻品種的優(yōu)劣時，往往關(guān)心的是稻穗的平均稻谷粒數(shù)；在評價兩名射手的射擊水平時，通常是通過比較兩名射手在多次射擊試驗中命中環(huán)數(shù)的平均值來區(qū)別水平高低。

例6.25

某商店從工廠進貨,該貨物有四個等級：一等、二等、三等和等外，產(chǎn)品屬于這些等級的概率依次是：0.5、0.3、0.15、0.05.若商店每銷出一件一等品獲利10.5元，銷出一件二、三等品分別獲利8元和3元，而銷出一件等外品則虧損6元,問平均銷出一件產(chǎn)品獲利多少元?

二、

離散型隨機變量的數(shù)學期望

三、

連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望

例6.28

設

X

的概率分布為

求E[X-E(X)]2。

五、

數(shù)學期望和方差的性質(zhì)

1.數(shù)學期望的性質(zhì)

(1)設c為任意一個常數(shù)，則E(c)=c；

(2)設

X

為一隨機變量，且E(X)存在，c為常數(shù)，則有E(cX)=cE(X)。

由(1)、(2)可得E(aX+b)=aE(X)+b(a,b

為任意常數(shù))。

2.方差的性質(zhì)

(1)設c為常數(shù)，則D(c)=0；

(2)如果

X

為隨機變量，c為常數(shù)，則D(cX)=c2D(X)；

(3)如果

X

為隨機變量，c為常數(shù)，則有D(X+c)=D(X)。

由(2)、(3)可得

D(aX+b)=a2D(X)(a,b

為任意常數(shù))。

第7節(jié)

常見隨機變量的分布

一、

離散型隨機變量的分布

1.一點分布(退化分布)一個隨機變量

X

以概率1取某一常數(shù)a，即P{X=a}=1，則稱X服從點a

處的一點分布(退化分布)。數(shù)學期望E(X)=a，方差D(X)=0。

2.兩點分布(伯努利分布)

若隨機變量X只有兩個可能的取值0和1,其概率分布為

或

則稱

X

服從參數(shù)為p(p>0)的兩點分布(也稱0-1分布)。

數(shù)學期望E(X)=p，方差D(X)=p(1-p)=pq(q=1-p)。

3.二項分布

設X

表示n

重伯努利試驗中事件A

發(fā)生的次數(shù)，則X

所有可能的取值為0,1,…,n,且相應的概率為

則稱

X服從參數(shù)為n、p的二項分布，記作

X~B(n,p)。

數(shù)學期望E(X)=np，方差D(X)=npq(q=1-p)。

4.兩點分布、

二項分布的關(guān)系及應用

例6.30

假設某籃球運動員投籃命中率為0.8，X

表示他投籃一次命中的次數(shù)，求

X的概率分布.

解

投籃一次只有”不中”和”命中”兩個結(jié)果，命中次數(shù)X

只可能取0、1兩個值，且概率分別為

也可表示為

例6.31甲、乙兩名棋手約定進行10盤比賽，以贏的盤數(shù)較多者為勝。假設每盤棋甲贏的概率都為0.6，乙贏的概率都為0.4，且各盤比賽相互獨立，問甲、乙獲勝的概率各為多少?甲平均贏得的盤數(shù)是多少?

5.泊松分布

若一個隨機變量

X

的概率分布為

其中λ>0為參數(shù)，則稱

X

服從參數(shù)為λ

的泊松分布，記作

X~p(λ)。

數(shù)學期望E(X)=λ，方差D(X)=λ。

6.泊松分布的應用

例6.32某商店根據(jù)過去的銷售記錄知道某種商品每月的銷售量可以用λ=10的泊松分布來描述。為了以95%以上的把握保證不脫銷，問商店在月底應存有多少件該種商品?

(假設只在月底進貨)

二、

連續(xù)型隨機變量的分布

1.均勻分布

一個隨機變量

X，如果其密度函數(shù)為

則稱

X

服從(a,b)上的均勻分布,記作

X~U(a,b)。

例6.33某公共汽車站每隔5分鐘有一輛車通過，可將車站上侯車的乘客全部運走。設乘客在兩趟車之間的任何時刻到站都是等可能的，求乘客侯車時間不超過3分鐘的概率和乘客平均候車時間。

2.指數(shù)分布

一個隨機變量

X，如果其密度函數(shù)為

其中λ>0為參數(shù)，則稱

X

服從參數(shù)為λ

的指數(shù)分布，記作

X~Exp(λ)。

例6.34假

設

某

種

熱

水

器

首

次

發(fā)

生

故

障

的

時

間

X(單

位：小

時)服

從

指

數(shù)

分

布Exp(0.002)，求：

(1)該熱水器在100小時內(nèi)需要維修的概率；

(2)該熱水器平均能正常使用的時間。

3.正態(tài)分布

一個連續(xù)型隨機變量

X，如果其密度函數(shù)為

其中μ,σ為常數(shù)，-∞<μ<+∞，σ>0，則稱

X服從參數(shù)為μ和σ2

的正態(tài)分布，記作X~N(μ,σ2)。

數(shù)學期望E(X)=μ，方差D(X)=σ2。

例6.36設隨機變量

X~N(10,22)，求P{8<X<14}.

解

易知μ=10,σ=2，則

正態(tài)隨機變量

X

的取值位于均值μ

附近的密集程度可用標準差σ為單位來度量，而且X

的取值幾乎全部落在區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ)之內(nèi)，所以有時稱3σ為極限誤差。

第7章

數(shù)理統(tǒng)計第1節(jié)

樣本及抽樣分布第2節(jié)

參數(shù)的點估計第3節(jié)

參數(shù)的區(qū)間估計第4節(jié)

假設檢驗

第1節(jié)

樣本及抽樣分布

一、

樣本

1.總體與樣本在數(shù)理統(tǒng)計中,將研究對象的全體稱為總體(或母體)；組成總體的每個元素稱為個體。從總體中抽取的一部分個體，稱為總體的一個樣本；樣本中個體的個數(shù)稱為樣本的容量。

例如，研究某城市人口年齡的構(gòu)成時，可以把該城市所有居民的年齡看作一個整體.若該城市有1000萬人口，那么該總體就是由1000萬個表示年齡的數(shù)字構(gòu)成的，而每一個人的年齡即是一個個體。

總體中所含的個體數(shù)不一定是個定值，它可以是很小的有限值，也可以是很大的值,甚至是無限值。

例如，研究棉花的纖維長度時，每根棉花的纖維長度就是一個個體,若研究對象為一個棉包，則總體中所包含的個體數(shù)目可視為無窮大。而如果測量一個班100名學生的體重，則總體中所包含的個體數(shù)目只有有限多個。

如果從總體X中抽取n個個體X1,X2,…,Xn

組成一個樣本，則記為(X1,X2,…,Xn)，其中Xi(i=1,2,…,n)表示第i次從總體X

中取得的個體.很明顯，每個Xi(i=1,2,…,n)都是隨機變量。所以，稱(X1,X2,…,Xn)為隨機樣本。對樣本(X1,X2,…,Xn)的每一次觀察所得到的n

個數(shù)(x1,x2,…,xn)，稱為樣本觀察值(或樣本值)。

為了研究方便,常常假定樣本滿足以下兩個性質(zhì)：

(1)獨立性：X1,X2,…,Xn

是n個相互獨立的隨機變量。

(2)代表性：每個

Xi(i=1,2,…,n)與總體

X

有相同的分布。

具有上述兩個性質(zhì)的隨機樣本(X1,X2,…,Xn)稱為簡單隨機樣本。以后討論的樣本都指簡單隨機樣本。

2.樣本的聯(lián)合分布

對于簡單隨機樣本(X1,X2,…,Xn)，其聯(lián)合概率分布可以由總體

X

的分布完全確定。若總體

X的分布函數(shù)為F(x)，則樣本(X1,X2,…,Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)為

又若X

具有概率密度f(x)，則(X1,X2,…,Xn)的聯(lián)合概率密度為

若

X

的分布律為P{X=xi}=pi，i=1,2,…,則(X1,X2,…,Xn)的聯(lián)合分布律為

二、

統(tǒng)計量

從統(tǒng)計學的觀點來看，總體的分布一般是未知的。有時總體的分布類型已知，但其中包含著未知參數(shù)，如總體

X~N(μ,σ2)中μ，σ2

未知。統(tǒng)計學的方法是進行抽樣得到樣本，利用樣本提供的信息對總體中的未知參數(shù)進行推斷，這就是統(tǒng)計推斷。然而，我們實際上觀察得到的是樣本值，即一批數(shù)據(jù)，我們對這批數(shù)據(jù)進行處理，最常用的方法就是構(gòu)造一個樣本函數(shù)，這種樣本函數(shù)稱為統(tǒng)計量。

定義7.1

設(X1,X2,…,Xn)為來自總體

X

的樣本，g(X1,X2,…,Xn)是(X1,X2,…,Xn)的函數(shù)，若g

中不含任何未知參數(shù)，則稱g(X1,X2,…,Xn)為統(tǒng)計量，稱統(tǒng)計量的概率分布為抽樣分布。

設(x1,x2,…,xn)是相應于樣本(X1,X2,…,Xn)的樣本值，則稱g(x1,x2,…,xn)是g(X1,X2,…,Xn)的觀察值。

定理7.1

設總體X~N(μ,σ2)，(X1,X2,…,Xn)為來自總體

X

的樣本，則

三、

抽樣分布

1.χ2分布

定義7.2設隨機變量X1,X2,…,Xn

相互獨立，且均服從標準正態(tài)分布N(0,1)，則

的分布稱為自由度為n的χ2

分布，記為χ2~χ2(n)。

2.t分布

定義7.2

設隨機變量

X、Y

相互獨立,且

X~N(0,1),Y~χ2(n),則稱隨機變量服從自由度為n

的t分布(又稱學生氏分布)，記作T~t(n)。

t分布的概率密度函數(shù)為

t分布的性質(zhì)如下:

3.F分布

定義7.4

設隨機變量

X、Y

相互獨立，且

X~χ2(m)，Y~χ2(n)，則稱隨機變量F=服從自由度為(m,n)的F

分布，記作F~F(m,n)。

F

分布的概率密度函數(shù)為

對于給定的α(0≤α≤1)，稱滿足等式

的點Fα(m,n)為F

分布的α

分位點。

F

分布的性質(zhì)如下：

第2節(jié)

參數(shù)的點估計

二、

矩估計法

矩估計法的思想是用樣本矩作為總體矩的估計。當總體

X

的分布類型已知，但含有未知參數(shù)時，可以用矩估計法獲得未知參數(shù)的估計。

設X

的分布函數(shù)為F(x,θ),θ=θ1,θ2,…,θk

為待估參數(shù)，并設總體X

的前k

階矩存在，且它們均是θ1,θ2,…,θk

的函數(shù)，則求待估參數(shù)θi(i=1,2,…,k)的矩估計的步驟如下：

例7.4

設總體

X

的二階矩存在且未知，(X1,X2,…,Xn)為來自總體的樣本，求μ=E(X)和σ2=D(X)的估計量。

三、

最大似然估計法

定義7.6

設總體X具有概率密度函數(shù)f(x;θ)或分布律函數(shù)

p(x;θ)，θ=θ1,θ2,…,θm

為待估參數(shù)，樣本(X1,X2,…,Xn)的聯(lián)合概率密度(或聯(lián)合分布律函數(shù))

稱為似然函數(shù).假定在x1,x2,…,xn

給定的條件下，存在m

維統(tǒng)計量

圖7.1

2.有效性

圖7.2

3.相合性

定義7.9的直觀含義是：只要樣本容量充分大，作為一個好的估計量，它的估計值應以最大的可能性接近于所估參數(shù)的真值。

第3節(jié)

參數(shù)的區(qū)間估計

二、

正態(tài)總體均值的區(qū)間估計

1.方差已知時,均值的區(qū)間估計

設總體X

是正態(tài)分布,X~N(μ,σ2),且σ2

已知,若(X1,X2,…,Xn)是來自正態(tài)總體

X~N(μ,σ2)的簡單隨機樣本,則一定有

對于給定的一個置信水平α，由標準正態(tài)分布表可以查得Zα/2(稱為臨界值)使得

則有

都僅是樣本的函數(shù)，是統(tǒng)計量。

2.方差未知時,均值的區(qū)間估計

由于方差是未知的，可以用樣本標準差S來估計總體標準差σ。利用前面講過的抽樣分布來求μ的區(qū)間估計。前面講過t分布的形狀接近于標準正態(tài)分布，

也是一個對稱分布。

由上面的方法，對于給定的α，可以通過查t分布表,得臨界值tα/2(n-1)，則有

由此得到μ

的1-α

置信區(qū)間為

例7.10某車間生產(chǎn)滾球，已知其直徑

X~N(μ,σ2)，現(xiàn)從某一天生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取出6個，測得直徑如下(單位：mm)：

試求滾球直徑

X

的均值μ

的置信概率為95%的置信區(qū)間.

解

因為

所以

因此置信區(qū)間為(14.95-0.24,14.95+0.24)，即(14.71,15.19)。

三、

正態(tài)總體方差的區(qū)間估計

設(X1,X2,…,Xn)是來自正態(tài)總體

X~N(μ,σ2)的樣本，則有

當給定α時，

整理得

可通過查χ2(n-1)表，求得臨界值χα/22(n-1)和χ21-α/2(n-1)，由此可得σ2

的1-α

置信區(qū)間為

從而σ的1-α的置信區(qū)間為

例7.11投資的回收利潤率常用來衡量投資風險。隨機地調(diào)查了26年的回收利潤率(%)，標準差s=15(%)，設回收利潤率服從正態(tài)分布，求它的方差的區(qū)間估計。(取α=0.05)。

解

本題中n=26，s=15,α=0.05，χ20.025(25)=40.646，χ20.975(25)=13.120，則得方差的區(qū)間估計：

置信下限

置信上限

故方差的95%的區(qū)間估計是

標準差的95%的區(qū)間估計是

第4節(jié)

假

設

檢

驗

例7.13某制藥商稱自己有90%的把握能保證他們的藥對緩解過敏癥狀有效?，F(xiàn)從患有過敏癥的人群中隨機抽取200人，服藥后，有160人的癥狀得到了緩解，據(jù)此判定制藥商的聲明是否真實。

由上面的例子可知,假設檢驗是對總體的分布函數(shù)的形式或分布中的某些參數(shù)作出某種假設，然后通過抽取樣本，構(gòu)造適當?shù)慕y(tǒng)計量，對假設的正確性進行判斷的過程。

要對總體作出判斷，常常要先對所關(guān)心的問題作出某些假定(或是猜測)，這些假定可能是正確的，也可能是不正確的，它們一般是關(guān)于總體分布或其參數(shù)的某些陳述，稱之為統(tǒng)計假設。

一般要同時提出兩個對立的假設，即原假設和備擇假設(與原假設對立的假設稱為備擇假設)，分別記為

H0和

H1。在很多情況下，我們給出一個統(tǒng)計假設僅僅是為了拒絕它。例如，要判斷一枚硬幣是否均勻，一般假設硬幣是均勻的(在研究這類問題時，通常是已經(jīng)懷疑該結(jié)論的真實性)。將檢驗硬幣均勻性的原假設記為

H0:p=0.5(p

為出現(xiàn)正面的概率)。

備擇假設的選取通常要和實際問題相符，如上面檢驗硬幣均勻性的備擇假設可以是H1:p≠0.5；當我們已經(jīng)肯定是p偏大時，也可選p>0.5，或其他確定的值。

假設檢驗的基本依據(jù)是“小概率原理”，即概率很小的隨機事件在一次試驗中一般是不會發(fā)生的。根據(jù)這一原理,先假定原假設

H0

是正確的,在此假設下構(gòu)造關(guān)于樣本的小概率

事件A，例如P{A

發(fā)生|

H0

為真}=0.05。

若在一次試驗(抽樣)中事件

A

竟然發(fā)生了,就有理由懷疑

H0

的正確性，從而拒絕

H0；反之，若事件A

沒有出現(xiàn)，則可以認為假設

H0

與試驗結(jié)果是相容的，即沒有理由懷疑

H0，因此接受原假設。

二、

兩類錯誤

在根據(jù)樣本作推斷時，由于樣本的隨機性，難免會作出錯誤的決定。當原假設

H0

為真時，而作出拒絕

H0

的判斷，稱為犯第一類錯誤；當原假設

H0

不真時，而作出接受

H0

的判斷，稱為犯第二類錯誤?？刂品傅谝活愬e誤的概率不大于一個較小的數(shù)α(0<α<1)，α

稱為檢驗的顯著性水平。

假設檢驗的基本步驟如下：

(1)根據(jù)實際問題的要求，提出相應的原假設

H0和備擇假設

H1；

(2)給定顯著性水平α,通常α

取0.1、0.05或0.01等；

(3)根據(jù)已知條件和統(tǒng)計假設構(gòu)造適當?shù)慕y(tǒng)計量，并在原假設成立的條件下確定其分布；

(4)根據(jù)給定的α

和統(tǒng)計量所服從的分布，查分位點值，確定原假設的拒絕域；

(5)計算統(tǒng)計量的值，