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第=page11頁(yè),共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年云南大學(xué)附中高三(上)期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z滿足z(1+2i)=3?4i,則|z|=(
)A.3 B.3 C.5 D.2.已知p:|2x?3|<1,q:(x?1)(x?3)<0,則p是q的(????)條件.A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知向量a,b滿足|a|=1,|a+2b|=2,且A.12 B.22 C.4.在一次射擊比賽中,甲、乙兩名選手的射擊環(huán)數(shù)如下表,則下列說(shuō)法正確的是(
)甲乙87909691869086928795A.甲選手射擊環(huán)數(shù)的極差小于乙選手射擊環(huán)數(shù)的極差
B.甲選手射擊環(huán)數(shù)的平均數(shù)等于乙選手射擊環(huán)數(shù)的平均數(shù)
C.甲選手射擊環(huán)數(shù)的方差小于乙選手射擊環(huán)數(shù)的方差
D.甲選手射擊環(huán)數(shù)的第75百分位數(shù)大于乙選手射擊環(huán)數(shù)的第75百分位數(shù)5.已知函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式可能為(
)
A.f(x)=ex?e?x3?4|x| B.f(x)=6.PA、PB、PC是從P點(diǎn)出發(fā)的三條射線,每?jī)蓷l射線的夾角均為60°,那么直線PC與平面PAB所成角的余弦值是(
)A.12B.22
C.7.在橢圓E:x225+y29=1上任取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD,垂足為D,點(diǎn)M滿足DM=5A.x2+y2=25 B.x28.已知x1,x2是函數(shù)f(x)=(x?2)(ex?2?1)?e(A.1 B.e C.e2 D.二、多選題:本題共3小題,共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知函數(shù)f(x)=cosx+cos2x,則下列說(shuō)法正確的有(
)A.函數(shù)f(x)為偶函數(shù) B.函數(shù)f(x)的最小值為?2
C.函數(shù)f(x)的最大值為2 D.函數(shù)f(x)在(0,2π)上有兩個(gè)極值點(diǎn)10.已知F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),C的準(zhǔn)線為l,直線x?y?1=0與C交于A,B兩點(diǎn)(A在第一象限內(nèi)),與l交于點(diǎn)D,則(
)A.|AB|=6
B.|BD|=2|BF|
C.以AF為直徑的圓與y軸相切
D.l上存在點(diǎn)E11.已知函數(shù)f(x)=a3x3?ax2?3ax+b,其中實(shí)數(shù)aA.當(dāng)a=1時(shí),f(x)沒有極值點(diǎn)
B.當(dāng)f(x)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)時(shí),ba∈(?53,9)
C.當(dāng)b=113a時(shí),f(x+1)為奇函數(shù)
D.當(dāng)三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。12.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1+a213.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,其中c=4,∠C為銳角,△ABC的外接圓半徑為22,且滿足2sin(B+π4)=c?214.哈三中2024?2025年度上學(xué)期高二年級(jí)十月月考中有這樣一道題目:已知A,B是兩個(gè)隨機(jī)事件,且0<P(A)<1,0<P(B)<1,給出5個(gè)命題如下:
①若P(A)+P(B)=1,則事件A,B對(duì)立;
②若事件A與B獨(dú)立,則P(AB)=P(A)P(B)成立;
③若P(AB)=P(AB?)=P(A?B)=P(A?B?),則事件A,B相互獨(dú)立,且P(AB)=14;
由于印刷原因,其中命題④⑤四、解答題:本題共5小題,共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)
如圖所示,在四棱錐P?ABCD中,底面ABCD為正方形,E為側(cè)棱PC上靠近P的三等分點(diǎn),PA⊥底面ABCD,且PA=AD=2.
(1)在側(cè)棱PD上是否存在點(diǎn)F,使得點(diǎn)A,B,E,F(xiàn)四點(diǎn)共面?若存在,指出點(diǎn)F的位置,并證明;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)求二面角P?AB?E的余弦值.16.(本小題15分)
已知函數(shù)f(x)=lnx?x,g(x)=ax2?2ax,a>0.
(1)設(shè)曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線為l,若l與曲線y=g(x)相切,求a;
(2)設(shè)函數(shù)?(x)=f(x)+g(x),討論17.(本小題15分)
為了調(diào)研某地區(qū)學(xué)生在“自由式滑雪”和“單板滑雪”兩項(xiàng)活動(dòng)的參與情況,在該地區(qū)隨機(jī)選取了10所學(xué)校進(jìn)行研究,得到如下數(shù)據(jù):
(Ⅰ)從這10所學(xué)校中隨機(jī)選取1所,已知這所學(xué)校參與“自由式滑雪”人數(shù)超過40人,求該校參與“單板滑雪”超過30人的概率;
(Ⅱ)已知參與“自由式滑雪”人數(shù)超過40人的學(xué)校評(píng)定為“基地學(xué)?!?現(xiàn)在從這10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所,設(shè)“基地學(xué)?!钡膫€(gè)數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(Ⅲ)現(xiàn)在有一個(gè)“單板滑雪”集訓(xùn)營(yíng),對(duì)“滑行、轉(zhuǎn)彎、停止”這3個(gè)動(dòng)作技巧進(jìn)行集訓(xùn).并專門對(duì)這3個(gè)動(dòng)作進(jìn)行了多輪測(cè)試.規(guī)定:在一輪測(cè)試中,這3個(gè)動(dòng)作中至少有2個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”,則該輪測(cè)試記為“優(yōu)秀”.在此集訓(xùn)測(cè)試中,李華同學(xué)3個(gè)動(dòng)作中每個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”的概率均為35,每個(gè)動(dòng)作互不影響,每輪測(cè)試也互不影響.如果李華同學(xué)在集訓(xùn)測(cè)試中想獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)的均值達(dá)到5次,那么至少要進(jìn)行多少輪測(cè)試?(結(jié)論不要求證明)18.(本小題17分)
通過兩角和的正、余弦公式和二倍角公式,可以推導(dǎo)出三倍角公式.例如:cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα?sin2αsinα=(2cos2α?1)cosα?2sin2αcosα=4cos3α?3cosα.
(1)根據(jù)上述過程,推導(dǎo)出sin3α關(guān)于sinα的表達(dá)式;19.(本小題17分)
已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,且|F1F2|=8,過F2作其中一條漸近線的垂線,垂足為M,延長(zhǎng)F2M交另一條漸近線于點(diǎn)N,且|F2M|=|MN|,
(1)求C的方程;
(2)如圖,過A(6,0)作直線l(l不與x軸重合
參考答案1.D
2.A
3.C
4.B
5.A
6.C
7.A
8.D
9.AC
10.BC
11.BCD
12.16
13.π614.0或1
15.解:(1)取PD上靠近P的三等分點(diǎn)F,連接EF,AF,
因?yàn)镋為側(cè)棱PC上靠近P的三等分點(diǎn),
所以PEPC=PFPD=13,所以EF//CD,
又底面ABCD為正方形,所以CD/?/AB,
所以EF/?/AB,所以A,B,E,F(xiàn)四點(diǎn)共面;
(2)因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形,所以AB⊥AD,
因?yàn)镻A⊥底面ABCD,AB,AD?底面ABCD,
所以PA⊥AB,PA⊥AD,
所以AB、AD、AP兩兩垂直,
故以A為原點(diǎn),以AB、AD、AP所在直線為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示:
PA=AD=2,
則A(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,2),E(23,23,43),
AB=(2,0,0),AE=(23,23,43),
設(shè)平面ABE的法向量為m=(x,y,z),
則m16.解:(1)f′(x)=1x?1,f′(1)=0,且f(1)=?1,
所以曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線為y=?1,
則y=?1y=ax2?2ax,得ax2?2ax+1=0,
因?yàn)閥=?1與g(x)=ax2?2ax相切,
所以Δ=4a2?4a=0,得a=0(舍)或a=1;
(2)?(x)=f(x)+g(x)=lnx?x+ax2?2ax=lnx+ax2?(2a+1)x的定義域?yàn)?0,+∞),
則?′(x)=1x+2ax?(2a+1)=2ax2?(2a+1)x+1x=(2ax?1)(x?1)x,
因?yàn)閍>0,
令?(x)=0,得x=1或x=12a,
當(dāng)0<a<12時(shí),12a>1,當(dāng)x∈(0,1和(12a,+∞)時(shí),?′(x)>0,函數(shù)?(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)x∈(1,12a)時(shí),?′(x)<0,函數(shù)?(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)a>12時(shí),12a<1,
所以當(dāng)x∈(0,12a)和(1,+∞)時(shí),17.解:(Ⅰ)設(shè)參與“自由式滑雪”人數(shù)超過40人的學(xué)校為事件A,參與“單板滑雪”超過30人的學(xué)校為事件B,則P(A)=410=25,P(B)=610=35,P(AB)=310,
所以P(B|A)=P(AB)P(A)=31025=34;
(Ⅱ)由題知,“基地學(xué)?!庇?
X
0
1
2
P
1
8
2所以E(X)=0×13+1×815+2×215=45;
(Ⅲ)因?yàn)槔钊A同學(xué)一次測(cè)試達(dá)到優(yōu)秀的概率p=C32×(35)2×(1?18.解:(1)sin3α=sin(2a+α)=sin2αcosα+cos2αsinα
=2sinαcos2α+(1?2sin2α)sinα
=2sinα(1?sin2α)+(1?2sin2α)sinα
=?4sin3α+3sinα.
(2)因?yàn)?6°+54°=90°,所以sin36°=cos54°,
即sin(2×18°)=cos(3×18°),可得2sin18°cos18°=4cos318°?3cos18°,
因?yàn)閏os18°≠0,所以2sin18°=4cos218°?3,可得2sin18°=4(1?sin218°)?3,
整理得4sin218°+2sin18°?1=0,
19.解:(1)易知雙曲線C的漸近線l1:y=bax,漸近線l2:y=?bax,
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