第五章　平面向量、復(fù)數(shù) 第三節(jié)　平面向量的數(shù)量積及綜合應(yīng)用

平面向量、復(fù)數(shù)第三節(jié)平面向量的數(shù)量積及綜合應(yīng)用1．(2022·全國乙卷)已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝3，a－2b＝3，則A．－2 B．－1C．1 D．22．已知向量a＝(－2，1)，b＝(3，0)，e是與b方向相同的單位向量，則a在b上的投影向量為()A．－5e B．C．－2e D．2e3．(多選題)已知向量m，n滿足|m|＝1，|n|＝2，|m＋n|＝3，則下列說法正確的是()A．m·n＝－1B．m與n的夾角為2πC．|m－n|＝7D．(m＋n)⊥(m－n)4．(2022·新高考全國Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，則t等于()A．－6 B．－5C．5 D．65．(2024·宿州模擬)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且C＝60?，a＝3，S△ABC＝1534，則A．49 B．7C．496．已知|a|＝4，b＝(－1，0)，且(a＋2b)⊥b，則a與b的夾角為________．7．已知AB＝(cos23?，cos67?)，BC＝(2cos68?，2cos22?)，則△ABC的面積為________．8．在平面直角坐標(biāo)系中，點A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．(1)求以線段AB，AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；(2)設(shè)實數(shù)t滿足AB－tOC·OC＝0，求高考模擬9．(多選題)(數(shù)學(xué)與文化)八卦是中國古代哲學(xué)和文化中的一個重要概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形ABCDEFGH，其中|OA|＝1，則下列結(jié)論正確的有()A．OA·B．OBC．AH·D．AH10．(多選題)(2024·廣東一模)已知向量a＝1，3，b＝(cosα，sinα)，則下列結(jié)論正確的是(A．若a∥b，則tanα＝3B．若a⊥b，則tanα＝－3C．若a與b的夾角為π3D．若a與b方向相反，則b在a上的投影向量的坐標(biāo)是－11．(2022·北京卷)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90?.P為△ABC所在平面內(nèi)的動點，且PC＝1，則PA·A．[－5，3] B．[－3，5]C．[－6，4] D．[－4，6]12．(數(shù)學(xué)與生活)窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，每逢新春佳節(jié)，我國許多地區(qū)都有貼窗花的習(xí)俗，以此達(dá)到裝點環(huán)境、渲染氣氛的目的，并寄托著辭舊迎新、接福納祥的愿望．圖1是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形剪紙窗花，已知圖2中正六邊形ABCDEF的邊長為2，圓O的圓心為正六邊形的中心，半徑為1，若點P在正六邊形的邊上運動，MN為圓的直徑，則PM·A．[1，2] B．[2，3]C．313．在△ABC中，AB＝3sinx，sinx，AC＝(－(1)設(shè)f(x)＝AB·AC，若f(A)＝0，求角(2)若對任意的實數(shù)t，恒有AB－tAC≥BC，答案解析1、C解析：由|a－2b|＝3，可得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝9.又|a|＝1，|b|＝3，所以代入得a·b＝1.2、C解析：設(shè)a與b所成的角為θ，則cosθ＝a·故a在b上的投影向量為(|a|cosθ)e＝－2e.3、ABC解析：因為|m|＝1，|n|＝2，|m＋n|＝3，所以m2+n即1＋4＋2m·n＝3，解得m·n＝－1，故A正確；因為cos〈m，n〉＝m·nmn＝－12，且0≤所以〈m，n〉＝2π3，故B因為|m－n|2＝|m|2＋|n|2－2m·n＝1＋4＋2＝7，所以|m－n|＝7，故C正確；因為(m＋n)·(m－n)＝|m|2－|n|2＝1－4＝－3≠0，故D錯誤．4、C解析：由題意，得c＝a＋tb＝(3＋t，4)，所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.因為〈a，c〉＝〈b，c〉，所以cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，即a·即25+3t5＝3＋t，5、D解析：由S△ABC＝12absinC＝12×3×不妨設(shè)AB的中點為M，則CM＝故CM＝12CA+CB2即AB邊上的中線長為726、2π3解析：由b＝(－1，0)，得|b因為(a＋2b)⊥b，所以(a＋2b)·b＝0，即a·b＋2b2＝0，所以|a||b|cos〈a，b〉＋2|b|2＝0.因為|a|＝4，所以4cos〈a，b〉＋2＝0，所以cos〈a，b〉＝－12因為〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝2π37、22解析：根據(jù)題意知AB＝(cos23?，cos67?)所以BA＝(－cos23?，－sin23?)，則BA＝1.又因為BC＝(2cos68?，2cos22?)＝(2cos68?，2sin68?)，所以BC＝2.由BA·BC＝－2cos23?cos68?＝－2(cos23?cos68?＋sin23?·sin68?)＝－2×cos45?＝－2，得cosB＝BA·BCBABC＝－22，所以B＝135?.故S△8、解：(1)由題意可得AB＝(3，5)，AC＝(－1，1)，則AB+AC＝(2，6)，AB－AC所以AB+AC＝210，故所求的兩條對角線的長分別為210，(2)由題意可得，OC＝(－2，－1)，AB－tOC＝(3＋2t，5＋由AB－tOC·OC＝0，得(3＋2t，5＋t)·(－2即－6－4t－5－t＝0，從而5t＝－11，解得t＝－1159、ABD解析：對于A，OA·OD＝1×1×cos3π對于B，OB+OH對于C，AH＝BC，HO＝BO，但對應(yīng)向量的夾角不相等，所以不成立，對于D，AH·AB＝AB2cosπ4，由余弦定理可得AB2＝2－ABD11、D解析：以C為坐標(biāo)原點，CA，CB所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，則A(3，0)，B(0，4)．設(shè)P(x，y)，則x2＋y2＝1，PA＝(3－x，－y)，PB＝(－x，4－y)，所以PA·PB＝x2－3x+又x－322＋(y－2)2表示圓x2＋y2＝1上的點到點32，2距離的平方，圓心(0，0)到點32，2的距離為即PA·PB∈[－4，6].故選12、B解析：如圖所示，取AF的中點Q，連接OA，OF，OQ，OP.根據(jù)題意，△AOF是邊長為2的正三角形，易得|OQ|＝3.又PM·PN＝PO＝PO＝PO2+PO·ON+OM根據(jù)圖形可知，當(dāng)點P位于正六邊形各邊的中點時，PO有最小值為3，此時PO2－1＝2.當(dāng)點P位于正六邊形的頂點時，PO有最大值為2，此時PO2－1＝3.故PM·PN的取值范圍是[2，13、解：(1)f(x)＝AB·AC＝－3sin2x＋sinxcosx＝－3×因為f(A)＝0，所以si