第九章　統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 第三節(jié)　一元線性回歸模型及其應(yīng)用 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識隨堂練

統(tǒng)計與統(tǒng)計案例第三節(jié)一元線性回歸模型及其應(yīng)用1．下列有關(guān)線性回歸的說法，不正確的是()A．具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量不是因果關(guān)系B．散點圖能直觀地反映數(shù)據(jù)的相關(guān)程度C．經(jīng)驗回歸直線最能代表線性相關(guān)的兩個變量之間的關(guān)系D.任何一組數(shù)據(jù)都有經(jīng)驗回歸方程2．對兩個變量x，y進(jìn)行線性回歸分析，計算得到樣本相關(guān)系數(shù)r＝－0.9962，則下列說法中正確的是()A．x與y正相關(guān)B．x與y具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系C．x與y幾乎不具有線性相關(guān)關(guān)系D．x與y的線性相關(guān)關(guān)系還需進(jìn)一步確定3．某校一個課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位：?C)的關(guān)系，在20個不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到下面的散點圖：由此散點圖，在10?C至40?C之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是()A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2C．y＝a＋bex D．y＝a＋blnx4．某供電公司為了分析本地某小區(qū)的用電量y(單位：kW·h)與氣溫x(單位：?C)之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計了4天的用電量與當(dāng)天的氣溫，這兩者之間的對應(yīng)關(guān)系如下表：氣溫x/?C181310－1用電量y/(kW·h)24343864若上表中的數(shù)據(jù)可用經(jīng)驗回歸方程y＝－2x＋b(b∈R)來預(yù)測，則當(dāng)氣溫為－4?C時，該小區(qū)相應(yīng)的用電量約為________kW·h.5．新能源汽車的核心部件是動力電池，電池占了整車成本的很大一部分，而其中的原材料碳酸鋰又是電池的主要成分．從2020年底開始，碳酸鋰的價格不斷升高，下表是2022年某企業(yè)的前5個月碳酸鋰的價格y(單位：萬元/千克)與月份x的統(tǒng)計數(shù)據(jù)．月份x12345碳酸鋰價格y/(萬元/千克)0.50.61m1.5根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為y＝0.28x＋a，根據(jù)數(shù)據(jù)計算出在樣本點(5，1.5)處的殘差為－0.06，則表中m＝________．高考訓(xùn)練6．(多選題)某工廠為了研究某種產(chǎn)品的產(chǎn)量x(單位：噸)與所需某種材料的用量y(單位：噸)之間的相關(guān)關(guān)系，在生產(chǎn)過程中收集了4組數(shù)據(jù)如表所示．根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得經(jīng)驗回歸方程為y＝0.78x＋a，則下列四個說法中正確的為()x/噸3467y/噸2.5345.9A．變量x與y正相關(guān)B．y與x的樣本相關(guān)系數(shù)r<0C．a(chǎn)＝－0.05D．當(dāng)產(chǎn)量為8噸時，預(yù)測所需材料約為6.19噸7．(能力創(chuàng)新)某互聯(lián)網(wǎng)公司為了確定下一季度的前期廣告投入計劃，收集了近6個月的廣告投入量x(單位：萬元)和收益y(單位：萬元)的數(shù)據(jù)如下表：月份123456x/萬元24681012y/萬元14.2120.3131.831.1837.8344.67他們用兩種模型①y＝bx＋a，②y＝aebx分別進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的經(jīng)驗回歸方程并進(jìn)行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖及一些統(tǒng)計量的值．xy∑∑7301464.24364(1)根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個模型？并說明理由．(2)殘差絕對值大于2的數(shù)據(jù)被認(rèn)為是異常數(shù)據(jù)，需要剔除．①剔除異常數(shù)據(jù)后，求出(1)中所選模型的經(jīng)驗回歸方程；②當(dāng)廣告投入量x＝18時，(1)中所選模型收益的預(yù)測值是多少？附：對于一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其經(jīng)驗回歸方程y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘估計分別為b＝∑ni=1(xi－x)(答案解析1、D解析：根據(jù)兩個變量具有相關(guān)關(guān)系的概念，可知A正確；散點圖能直觀地描述呈相關(guān)關(guān)系的兩個變量的相關(guān)程度，且經(jīng)驗回歸直線最能代表它們之間的線性相關(guān)關(guān)系，所以B，C正確；具有相關(guān)關(guān)系的成對樣本數(shù)據(jù)才有經(jīng)驗回歸方程，所以D不正確．2、B解析：因為樣本相關(guān)系數(shù)r＝－0.9962，所以x與y負(fù)相關(guān)．因為|r|＝0.9962，非常接近1，所以線性相關(guān)性很強(qiáng)．故選B.3、D解析：由散點圖分布可知，散點分布在一個對數(shù)型函數(shù)圖象的附近，因此最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是y＝a＋blnx．4、68解析：由表中數(shù)據(jù)可得x＝18則將(10，40)代入經(jīng)驗回歸方程可得，40＝－20＋b，得b＝60，則經(jīng)驗回歸方程為y＝－2x＋60.當(dāng)x＝－4時，y＝－2×(－4)＋60＝68.故當(dāng)氣溫為－4℃時，該小區(qū)相應(yīng)的用電量約為68kW·h.5、1.4解析：由題可知，當(dāng)x＝5時，有1.5－y＝1.5－(0.28×5＋a)＝－0.06，解得a＝0.16.又x＝1+2且經(jīng)驗回歸直線過樣本點的中心x，y，所以0.28×3＋0.16＝3.6+m56、ACD解析：因為經(jīng)驗回歸方程y＝0.78x＋a，0.78＞0，所以變量x與y呈正相關(guān)，樣本相關(guān)系數(shù)r>0，故A正確，B錯誤；由表格數(shù)據(jù)可得x＝3+4則0.78×5＋a＝3.85，解得a＝－0.05，故C正確；經(jīng)驗回歸方程為y＝0.78x－0.05，當(dāng)x＝8時，y＝0.78×8－0.05＝6.19，即產(chǎn)量為8噸時，預(yù)測所需材料約為6.19噸，故D正確．7、解：(1)應(yīng)該選擇模型①，因為模型①的殘差點比較均勻地落在以橫軸為對稱軸的水平帶狀區(qū)域中，且模型①的帶狀區(qū)域比模型②的帶狀區(qū)域窄，所以模型①的擬合精度更高，經(jīng)驗回歸方程的預(yù)測精度高．(2)①剔除異常數(shù)據(jù)，即3月份的數(shù)據(jù)后，得x'＝15×(7×6－y'＝15×(30×6－31.∑ni=1xiyi＝1464.2