七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)-線段上的動(dòng)點(diǎn)問題四種考法全梳理

線段上的動(dòng)點(diǎn)問題的四種考法全梳理目錄TOC\o"1-1"\h\u【考法一、線段定值問題】 1【考法二、求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間】 10【考法三、線段之間數(shù)量關(guān)系】 16【考法四、求線段】 21【課后練習(xí)】 28【考法一、線段定值問題】例1．如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為8，B是數(shù)軸上一點(diǎn)，且．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)寫出數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù)________，點(diǎn)P表示的數(shù)________（用含t的代數(shù)式表示）；(2)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，問點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)追上點(diǎn)Q？(3)若M為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)：點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過程中，線段的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，請(qǐng)你畫出圖形，并求出線段的長(zhǎng)．例2．如圖，點(diǎn)是定長(zhǎng)線段上一點(diǎn)，、兩點(diǎn)分別從點(diǎn)、出發(fā)以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直線向左運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上）．（1）若點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)到任一時(shí)刻時(shí)，總有，請(qǐng)說明點(diǎn)在線段上的位置；（2）在（1）的條件下，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且，求的值；（3）在（1）的條件下，若點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)5秒后，恰好有，此時(shí)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)在線段上），點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①的值不變；②的值不變．可以說明，只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請(qǐng)你找出正確的結(jié)論并求值．變式1．【感悟體驗(yàn)】如圖，三點(diǎn)在同一直線上，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，請(qǐng)僅用一把圓規(guī)在圖中確定點(diǎn)的位置．【認(rèn)識(shí)概念】在同一直線上依次有四點(diǎn)，且，那么稱與互為“對(duì)稱線段”，其中為的“對(duì)稱線段”，亦為的“對(duì)稱線段”．如圖，下列情形中與互為“對(duì)稱線段”的是（直接填序號(hào)）．；；．【運(yùn)用概念】如圖，與互為“對(duì)稱線段”，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且．（1）若，求的長(zhǎng)；（2）若，求的長(zhǎng)；【拓展提升】如圖，在同一直線上依次有四點(diǎn)，且（為常數(shù)），點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上且．是否存在的值使得的長(zhǎng)為定值？若存在，請(qǐng)求出的值以及這個(gè)定值（用含的代數(shù)式表示）；若不存在，請(qǐng)說明理由．變式2．已知，，和分別為線段，的中點(diǎn)．（1）若重合，在線段上，如圖1，求的長(zhǎng)度；（2）①如果將圖1的線段沿著向右平移個(gè)單位，求的長(zhǎng)度與的數(shù)量關(guān)系；②當(dāng)為多少的時(shí)，的長(zhǎng)度為9；（3）如果保持長(zhǎng)度和位置不變，點(diǎn)保持圖1的位置不變，改變的長(zhǎng)度，將點(diǎn)沿著直線向右移動(dòng)個(gè)單位，其余條件不變，①②，請(qǐng)問以上兩個(gè)式子哪一個(gè)式子的值是定值，定值是多少？變式3．已知：如圖，一條直線上依次有A、B、C三點(diǎn)．（1）若BC＝60，AC＝3AB，求AB的長(zhǎng)；（2）若點(diǎn)D是射線CB上一點(diǎn)，點(diǎn)M為BD的中點(diǎn)，點(diǎn)N為CD的中點(diǎn)，求的值；（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E是AP中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC中點(diǎn)，下列結(jié)論中：①是定值；②是定值．其中只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請(qǐng)選擇正確結(jié)論并求出其值．【考法二、求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間】例．定義：若線段上的一個(gè)點(diǎn)把這條線段分成的兩條線段，則稱這個(gè)點(diǎn)是這條線段的三等分點(diǎn)，如圖1，點(diǎn)C在線段上，且，則點(diǎn)C是線段的一個(gè)三等分點(diǎn)，顯然，一條線段的三等分點(diǎn)有兩個(gè)，依此類推，一條線段的四等分點(diǎn)有三個(gè)．(1)已知：如圖2，，點(diǎn)P是的三等分點(diǎn)，直接寫出_________；(2)已知，線段，如圖3，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒的速度在射線上向點(diǎn)B方向運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，先向點(diǎn)A方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)與點(diǎn)P重合后立馬改變方向與點(diǎn)P同向而行且速度始終為每秒，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①若點(diǎn)P、點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，且當(dāng)時(shí)，求t的值；②若點(diǎn)P、點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，且當(dāng)點(diǎn)P是線段的四等分點(diǎn)時(shí)，直接寫出t的值為______．變式1．已知線段，點(diǎn)、點(diǎn)都是線段上的點(diǎn)．(1)如圖1，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)；(2)若，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，請(qǐng)自己作圖并求的長(zhǎng)；(3)如圖3，若，，點(diǎn)，分別從、出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度分別為每秒移動(dòng)1個(gè)單位和每秒移動(dòng)4個(gè)單位，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若，求的值．【答案】(1)線段的長(zhǎng)為30；(2)的長(zhǎng)為25或35；(3)或．【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及線段中點(diǎn)的性質(zhì)．（1）由即可求出答案；（2）分兩種情況討論，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)或點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，結(jié)合圖形，列式可求出答案；（3）可得，，則或，由可得方程，解方程即可得出答案．【詳解】（1）解：∵M(jìn)為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，∴，，∴；（2）解：如圖，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，∵點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，∴，，∴；如圖，點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，∵點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，∴，，∴；綜上，的長(zhǎng)為25或35；（3）解：運(yùn)動(dòng)t秒后，，∵E為的中點(diǎn)，∴，∴，∵，F(xiàn)為的中點(diǎn)，∴，又，∴，或，由得：或，解得：或．變式2．【新知理解】如圖①，點(diǎn)C在線段上，圖中共有三條線段、和，若其中有一條線段的長(zhǎng)度是另外一條線段長(zhǎng)度的2倍，則稱點(diǎn)C是線段AB的“巧點(diǎn)”．（1）線段的中點(diǎn)______這條線段的“巧點(diǎn)”；（填“是”或“不是”）．（2）若，點(diǎn)C是線段的“巧點(diǎn)”，則______；【解決問題】（3）如圖②，已知．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以的速度沿AB向點(diǎn)B勻速移動(dòng)：點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以的速度沿向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為ts．當(dāng)t為何值時(shí)，A、P、Q三點(diǎn)中其中一點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的“巧點(diǎn)”？并說明理由．

【答案】（1）是；（2）8或12或16；（3）t為或或，理由見詳解【分析】（1）由“巧點(diǎn)”的定義進(jìn)行判斷即可求解；（2）由“巧點(diǎn)”的定義，按的位置進(jìn)行分類討論①，②，③，即可求解；（3）①當(dāng)是、的“巧點(diǎn)”，(ⅰ)由“巧點(diǎn)”的定義得，列方程即可求解；(ⅱ)由“巧點(diǎn)”的定義得，②當(dāng)是、的“巧點(diǎn)”，(ⅰ)由“巧點(diǎn)”的定義得，(ⅱ)由“巧點(diǎn)”的定義得，即可求解．【詳解】（1）解：C是線段的中點(diǎn)，，C是線段的“巧點(diǎn)”；故答案：是；（2）解：①如圖，點(diǎn)C是線段的“巧點(diǎn)”，

，；②如圖，點(diǎn)C是線段的“巧點(diǎn)”，

，；③如圖，點(diǎn)C是線段的“巧點(diǎn)”，

，；故答案：或或；（3）解：t為或或，理由如下：①當(dāng)是、的“巧點(diǎn)”，(ⅰ)如圖，

，，，，，解得：，(ⅱ)如圖，

，，，，，解得：；②當(dāng)是、的“巧點(diǎn)”，(ⅰ)如圖，

，，，，，，，解得：；(ⅱ)如圖，

，，同理可得：，解得：；此種情況不合題意，舍去；綜上所示：當(dāng)t為或或時(shí)，A、P、Q三點(diǎn)中其中一點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的“巧點(diǎn)”．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，線段的和差，一元一次方程的應(yīng)用，理解新定義，將為題轉(zhuǎn)化為一元一次方程進(jìn)行求解是解題關(guān)鍵．【考法三、線段之間數(shù)量關(guān)系】例．如圖，在直線上，線段，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在直線上運(yùn)動(dòng)，M為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)若點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，______；(2)若點(diǎn)P在射線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段的反向延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的結(jié)論，并說明你的理由．【答案】(1)3(2)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的值為或20(3)【分析】本題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，線段中點(diǎn)的含義，線段的和差運(yùn)算，理解題意，清晰地分類討論是解本題的關(guān)鍵．（1）由中點(diǎn)的含義先求解，證明，再求解，從而可得答案；（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上，，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，，再建立方程求解即可；（3）先證明，，可得，從而可得結(jié)論．【詳解】（1）解：∵為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，∴，∴，∵線段，∴，∴．故答案為：3．（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上，，如圖，為的中點(diǎn)，∴，解得，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，，如圖，同理：解得，綜上所述，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的值為或20；（3）當(dāng)點(diǎn)在線段的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，，理由如下：如圖，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，變式1．如圖，已知在數(shù)軸上有A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)為8，點(diǎn)B在A點(diǎn)的左邊，且．若有一動(dòng)點(diǎn)P從數(shù)軸上點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著數(shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)解決問題：①當(dāng)時(shí)，寫出數(shù)軸上點(diǎn)B，P所表示的數(shù)；②若點(diǎn)P，Q分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，問點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒與點(diǎn)Q相距3個(gè)單位長(zhǎng)度？(2)探索問題：若M為AQ的中點(diǎn)，N為BP的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，探索線段MN與線段PQ的數(shù)量關(guān)系（寫出過程）．【答案】(1)①點(diǎn)B表示-4，點(diǎn)P表示5；②1.8秒或3秒(2)2MN+PQ=12或2MN-PQ=12，過程見解析【分析】（1）①根據(jù)已知可得B點(diǎn)表示的數(shù)為8-12；點(diǎn)P表示的數(shù)為8-3t；②點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)x秒時(shí)，與Q相距2個(gè)單位長(zhǎng)度，則AP=3x，BQ=2x，根據(jù)AP+BQ=AB-3，或AP+BQ=AB+3，列出方程求解即可；（2）根據(jù)點(diǎn)P在點(diǎn)A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)，故MN=MQ+NP-PQ，由此可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：①∵點(diǎn)A表示的數(shù)為8，B在A點(diǎn)左邊，AB=12，∴點(diǎn)B表示的數(shù)是8-12=-4，∵動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，∴點(diǎn)P表示的數(shù)是8-3×1=5．②設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)x秒時(shí)，與Q相距3個(gè)單位長(zhǎng)度，則AP=3x，BQ=2x，∵AP+BQ=AB-3，∴3x+2x=9，解得：x=1.8，∵AP+BQ=AB+3，∴3x+2x=15解得：x=3．∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)1.8秒或3秒時(shí)與點(diǎn)Q相距3個(gè)單位長(zhǎng)度．（2）2MN+PQ=12或2MN-PQ=12；理由如下：P在Q右側(cè)時(shí)有：MN=MQ+NP-PQ=AQ+BP-PQ=（AQ+BP-PQ）-PQ=AB-PQ=（12-PQ），即2MN+PQ=12．同理P在Q左側(cè)時(shí)有：2MN-PQ=12．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸和一元一次方程的應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，注意分兩種情況進(jìn)行討論．變式2．如圖，是數(shù)軸上一條動(dòng)線段，滿足，“點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為24”表示為．(1)若線段在線段上，且滿足．①______；②點(diǎn)E是線段上一點(diǎn)，滿足，______；(2)如圖，設(shè)（且），P是數(shù)軸上一點(diǎn)，若，猜想與的關(guān)系，并說明理由；(3)若點(diǎn)C是的中點(diǎn)，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，以、、分別為直徑的圓的周長(zhǎng)為a、b、c，請(qǐng)直接寫出的a、b、c關(guān)系．【答案】(1)①22；②18(2)，理由見解析(3)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．【分析】（1）①先求解，結(jié)合，從而可得答案；②設(shè)，則，而，再利用建立方程即可；（2）分別表示，，從而可得答案；（3）①當(dāng)時(shí)，如圖，可得，，，可得，②當(dāng)時(shí)，如圖，可得：，，，可得，，，可得；③當(dāng)時(shí)，如圖，可得：，，，可得，，，則有．【詳解】（1）解：①∵，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，∴，故答案為：22；②設(shè)，則，而，∵，∴，解得：，∴，故答案為：18；（2）解：猜想：，理由如下：如圖，∵，，∴∵，∴，∵，∴∵∴∴；（3）解：設(shè)，①當(dāng)時(shí)，如圖，∵，，∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，，∴，∴，，，∴，②當(dāng)時(shí)，如圖，同理可得：，，，∴，，，∴；③當(dāng)時(shí)，如圖，同理可得：，，，∴，，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，一元一次方程的應(yīng)用，整式的加減運(yùn)算的應(yīng)用，理解題意，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．【考法四、求線段】例．（1）如圖1，點(diǎn)，，，為直線上從左到右順次的四個(gè)點(diǎn)．①直線上以，，，為端點(diǎn)的射線共有______條；②若，，，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，則的最大值為______；（2）從圖1的位置開始，點(diǎn)在直線上向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，在直線上向右與點(diǎn)同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中的長(zhǎng)度保持不變，，分別為，的中點(diǎn)（如圖2）．在此過程中，請(qǐng)指出三條線段，，之間的數(shù)量關(guān)系（用一個(gè)等式表示）并說明理由；（3）如圖3，點(diǎn)，，為數(shù)軸上從左到右順次的三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)，表示的數(shù)分別為，，為中點(diǎn)．若，且，，求線段的長(zhǎng)．【答案】（1）①8；②9；（2）；（3）5【分析】本題主要考查了與線段中點(diǎn)有關(guān)的線段和差計(jì)算，數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離計(jì)算，射線的條數(shù)問題：（1）①根據(jù)射線的定義進(jìn)行求解即可；②分點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)，點(diǎn)P在A、B之間，點(diǎn)P在點(diǎn)D右側(cè)三種情況討論求解即可；（2）如圖所示，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)C左邊時(shí)，由線段中點(diǎn)的定義得到，，根據(jù)，推出，則；如圖所示，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，由線段中點(diǎn)的定義得到，，根據(jù)．推出則；（3）由中點(diǎn)的定義得到，，求出，則，再由，推出，則．【詳解】解：（1）①由題意得，圖中的射線有射線，共8條射線，故答案為：8；②∵，，，∴，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)（包括A），如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在A、D之間時(shí)，，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D右側(cè)時(shí)（包括B），；綜上所述，的最大值為9；故答案為：9；（2），理由如下：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)C左邊時(shí)，∵，分別為，的中點(diǎn)，∴，，∴，，∴；如圖所示，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，∵，分別為，的中點(diǎn)，∴，，∴，，∴；綜上所述，；（3）∵為中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．變式1．點(diǎn)在線段上，．(1)如圖1，，兩點(diǎn)同時(shí)從，出發(fā)，分別以，的速度沿直線向左運(yùn)動(dòng)；

①在還未到達(dá)點(diǎn)時(shí)，的值為；②當(dāng)在右側(cè)時(shí)(點(diǎn)與不重合)，取中點(diǎn)，的中點(diǎn)是，求的值；(2)若是直線上一點(diǎn)，且．則的值為．【答案】（1）①；②;（2）或或或【分析】（1）由線段的和差關(guān)系，以及QB=2PC，BC=2AC，即可求解；（2）設(shè)AC=x，則BC=2x，∴AB=3x，D點(diǎn)分四種位置進(jìn)行討論，①當(dāng)D在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)，②當(dāng)D在AC之間時(shí)，③當(dāng)D在BC之間時(shí)，④當(dāng)D在B的右側(cè)時(shí)求解即可．【詳解】解：（1）①AP=AC-PC，CQ=CB-QB，∵BC=2AC，P、Q速度分別為1cm/s、2cm/s，∴QB=2PC，∴CQ=2AC-2PC=2AP，∴②設(shè)運(yùn)動(dòng)秒，分兩種情況A:在右側(cè)，，分別是，的中點(diǎn)，，∴B:在左側(cè)，，分別是，的中點(diǎn)，，∴（2）∵BC=2AC．設(shè)AC=x，則BC=2x，∴AB=3x，①當(dāng)D在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)，|AD-BD|=BD-AD=AB=CD，∴CD=6x，∴；②當(dāng)D在AC之間時(shí)，|AD-BD|=BD-AD=CD，∴2x+CD-x+CD=CD，x=-CD（不成立），③當(dāng)D在BC之間時(shí)，|AD-BD|=AD-BD=CD，∴x+CD-2x+CD=CD，CD=x，∴；|AD-BD|=BD-AD=CD，∴2x-CD-x-CD=CD，∴CD=；④當(dāng)D在B的右側(cè)時(shí)，|AD-BD|=BD-AD=CD，∴2x-CD-x-CD=CD，CD=6x，∴．綜上所述，的值為或或或【點(diǎn)睛】題考查線段的和差問題，距離與絕對(duì)值的關(guān)系，動(dòng)點(diǎn)問題．畫好線段圖，分類討論是解決本題的關(guān)鍵．變式2．?dāng)?shù)軸上有A，B，C三點(diǎn)，A，B表示的數(shù)分別為m，n，點(diǎn)C在B的右側(cè)，．(1)如圖1，若多項(xiàng)式是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，請(qǐng)直接寫出m，n的值：(2)如圖2，在（1）的條件下，長(zhǎng)度為1的線段（E在F的左側(cè)）在A，B之間沿?cái)?shù)軸水平滑動(dòng)（不與A，B重合），點(diǎn)M是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，在滑動(dòng)過程中，線段的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化，請(qǐng)判斷并說明理由；(3)若點(diǎn)D是的中點(diǎn)．①直接寫出點(diǎn)D表示的數(shù)____________（用含m，n的式子表示）；②若，試求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)，(2)不變化，理由見解析(3)①；②【分析】（1）由題可知，n-1=0，7+m=2，求出m，n；（2）設(shè)點(diǎn)E表示的數(shù)為x，則，，，，再由中點(diǎn)的定義，得，，由，得出MN的定值；（3）①根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式以及中點(diǎn)公式進(jìn)行推導(dǎo)即可；②由題意，，依次表示出AD，BD的長(zhǎng)，代入求解即可.【詳解】（1）解：由題可知，n-1=0，7+m=2，∴，故答案為：，（2）解：MN的長(zhǎng)不發(fā)生變化，理由如下：由題意，得點(diǎn)C表示的數(shù)為3，設(shè)點(diǎn)E表示的數(shù)為x，則點(diǎn)F表示的數(shù)為∴，，，，，，∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)∴，即（3）解：①∵A，B表示的數(shù)分別為m，n又點(diǎn)C在B的右側(cè)∴AB=n-m∵∴AC=n-m+2∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)∴AD=AC=（n-m+2）∴D表示的數(shù)為：m+（n-m+2）=②依題意，點(diǎn)C表示的數(shù)分別為∴，∴，∵即當(dāng)時(shí)．∵∴不符合題意，舍去當(dāng)時(shí)．綜上所述，線段的長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題，以及兩點(diǎn)間距離公式和中點(diǎn)公式的考查，利用數(shù)形結(jié)合思想表示出線段長(zhǎng)是解決問題的關(guān)鍵.【課后練習(xí)】1．如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為-2，點(diǎn)B表示的數(shù)為8．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（）．

（1）填空：①A、B兩點(diǎn)間的距離________，線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為________；②用含t的代數(shù)式表示：t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)為________；點(diǎn)Q表示的數(shù)為________；（2）求當(dāng)t為何值時(shí)，；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，線段PA的中點(diǎn)為M，N為線段PB的三等分點(diǎn)且靠近于P點(diǎn)，求的值．【答案】（1）①10；3；②點(diǎn)P表示的數(shù)為-2+3t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為8-2t；（2）1或3；（3）5【分析】（1）①根據(jù)點(diǎn)A表示的數(shù)為-2，點(diǎn)B表示的數(shù)為8，即可得到A、B兩點(diǎn)間的距離以及線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)；②依據(jù)點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)速度以及方向，即可得到結(jié)論；（2）由t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)-2+3t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為8-2t，于是得到|PQ|=|（-2+3t）-（8-2t）|=|5t-10|，列方程即可得到結(jié)論；（3）依據(jù)PA的中點(diǎn)為M，N為PB的三等分點(diǎn)且靠近于P點(diǎn)，運(yùn)用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可得到的值．【詳解】解：（1）①8-（-2）=10，-2+×10=3，故答案為：10，3；②由題可得，點(diǎn)P表示的數(shù)為-2+3t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為8-2t；故答案為：-2+3t，8-2t；（2）∵t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)-2+3t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為8-2t，∴|PQ|=|（-2+3t）-（8-2t）|=|5t-10|，又=×10=5，∴|5t-10|=5，解得：t=1或3，∴當(dāng)t=1或3時(shí)，；（3）∵PA的中點(diǎn)為M，N為PB的三等分點(diǎn)且靠近于P點(diǎn)，∴|MP|=|AP|=×3t=t，|BN|=|BP|=（|AP|-|AB|）=×（3t-10）=2t-，∴=t-（2t-）=5．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)和數(shù)軸以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握點(diǎn)的移動(dòng)與點(diǎn)所表示的數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程求解．2．如圖1所示，已知線段，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)（不與、重合），，兩點(diǎn)分別從、同時(shí)出發(fā)沿射線向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為/秒，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度為/秒，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（1）若，①時(shí)，則的長(zhǎng)為______；②點(diǎn)、在移動(dòng)過程中，線段、之間是否存在某種確定的的數(shù)量關(guān)系，判斷并說明理由；（2）如圖2所示，點(diǎn)、在射線上移動(dòng)，若，，直接寫出的值．【答案】（1）①；②，理由見解析；（2），，，【分析】（1）①根據(jù)題意畫出圖形，分別求出時(shí)，AM，PN的長(zhǎng)，進(jìn)而求出AN，即可求解；②分和兩種情況，分別表示出AM，PN，BM，MN的長(zhǎng)，即可求解；（2）分和兩種情況，每種情況再分點(diǎn)N在點(diǎn)M左邊，點(diǎn)N在點(diǎn)M右邊，分別表示出AM，PN，AP，PB的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：（1）①如圖：時(shí)，AM=，PN=，∴，∴=；②∵，，∴當(dāng)時(shí)點(diǎn)、同時(shí)到達(dá)點(diǎn)∴當(dāng)時(shí)，如圖：∴∴∵∴；當(dāng)時(shí)，，如圖：∴∴∵∴；（2），點(diǎn)N在點(diǎn)M左邊時(shí)，如圖：∵，，，∴，，∵，，∴，，∴，，∴；，點(diǎn)N在點(diǎn)M右邊時(shí)，如圖：∵，，，∴，，∵，，∴，，∴，，∴；，點(diǎn)N在點(diǎn)M左邊時(shí)，如圖：∵，，，∴，，∵，，∴，，∴，，∴；，點(diǎn)N在點(diǎn)M右邊時(shí)，如圖：∵，，，∴，，∵，，∴，，∴，，∴．∴的值為，，，．【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)之間距離，線段和差的計(jì)算，一元一次方程，行程問題中的路程=速度×?xí)r間．解題時(shí)注意分類討論的運(yùn)用．3．如圖，線段AB和CD數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，A開始時(shí)與原點(diǎn)重合，且.(1)若AB=10，且B為線段AC的中點(diǎn)，求線段AD的長(zhǎng).

(2)在(1)的條件下，線段AB和CD同時(shí)開始向右運(yùn)動(dòng)，線段AB的速度為5個(gè)單位/秒，線段CD的速度為3個(gè)單位/秒，經(jīng)過t秒恰好有，求t的值.(3)若線段AB和CD同時(shí)開始向左運(yùn)動(dòng)，且線段AB的速度大于線段CD的速度，在點(diǎn)A和C之間有一點(diǎn)P(不與點(diǎn)B重合)，且有，此時(shí)線段BP為定值嗎？若是請(qǐng)求出這個(gè)定值，若不是請(qǐng)說明理由.【答案】（1）52；（2）t=6或25；（3）BP=1為定值，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)，AB=10，求出CD長(zhǎng)，再由B為線段AC的中點(diǎn)，求出AC長(zhǎng)，即可求出AD；（2）由題知A：5t，B：10+5t，C：20+3t，D：52+3t，再寫出AC和BD長(zhǎng)，代入中解出t即可；（3）由，在點(diǎn)A和C之間有一點(diǎn)P，得到，，化簡(jiǎn)即可證明BP為定值.【詳解】解：（1）∵，AB=10，∴，∵B為線段AC的中點(diǎn)，∴，∴；（2）由題知A：5t，B：10+5t，C：20+3t，D：52+3t，∴，，∵，∴，①當(dāng)0≤t＜10時(shí)，，解得：，0≤6＜10，成立；②當(dāng)10≤t＜21時(shí)，，方程無解；③當(dāng)21≤t時(shí)，，解得：，21≤25，成立；t=6或25；（3）∵，在點(diǎn)A和C之間有一點(diǎn)P，∴，，∴∴BP=1，為定值.【點(diǎn)睛】本題是對(duì)線段動(dòng)點(diǎn)問題的考查，熟練掌握直線動(dòng)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)及解一元一次方程是解決本題的關(guān)鍵，屬于壓軸題.4．已知數(shù)軸上兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別為和，且滿足，為原點(diǎn)．（1）試求和的值；（2）點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過3秒后點(diǎn)到點(diǎn)的距離是點(diǎn)到點(diǎn)距離的3倍，求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度？（3）點(diǎn)以一個(gè)單位每秒的速度從點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以5個(gè)單位每秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以20個(gè)單位每秒的速度向右運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過程中，分別為的中點(diǎn)，問的值是否發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）2個(gè)單位/秒或5個(gè)單位/秒；（3）的值不發(fā)生變化，其值為2，理由見解析．【分析】（1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解；（2）設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度為v個(gè)單位/秒，則3s后點(diǎn)表示的數(shù)為3v，AC=3v+3，再分點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)或右側(cè)兩種情況，列方程即可求解；（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，根據(jù)題意用t表示出PQ，OD，MN的長(zhǎng)，進(jìn)而求出答案．【詳解】解：（1）∵|a+3|+（b-9）2020=0，∴a+3=0且b-9=0，∴a=-3，b=9；（2）設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度為v個(gè)單位/秒，則3s后點(diǎn)表示的數(shù)為3v，又由（1）知，點(diǎn)A表示的數(shù)為-3，點(diǎn)B表示的數(shù)為9，∴，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，BC=9-3v，則，解得v=2;當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，BC=3v-9，則，解得v=5，故點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)速度為2個(gè)單位/秒或5個(gè)單位/秒；（3）的值不發(fā)生變化，理由如下：設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，則表示的數(shù)為，表示的數(shù)為，表示的數(shù)為，又、分別為、的中點(diǎn)，∴表示的數(shù)為，表示的數(shù)為，∴．即的值不發(fā)生變化，其值為2．【點(diǎn)睛】此題主要考查了數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離的求法，一元一次方程的應(yīng)用以及代數(shù)式的化簡(jiǎn)等知識(shí)，根據(jù)題意用代數(shù)式表示出數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離是解題關(guān)鍵．5．如圖，點(diǎn)C是線段上的一點(diǎn)，線段，，點(diǎn)D為線段的中點(diǎn)．(1)直接寫出線段和的長(zhǎng)；(2)若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿直線向右運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度沿直線向左運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A時(shí)立即掉頭沿直線向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q再次回到點(diǎn)B時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間