重難點(diǎn)4-3解三角形的中線(xiàn)垂線(xiàn)角平分線(xiàn)問(wèn)題4大題型（原卷版）

重難點(diǎn)43解三角形的中線(xiàn)、垂線(xiàn)、角平分線(xiàn)問(wèn)題4大題型解三角形是高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容，其中在三角形中增加中線(xiàn)、垂線(xiàn)、角平分線(xiàn)以及其他等分點(diǎn)條件在最近幾年的高考中出現(xiàn)的頻率很高。這部分內(nèi)容一般需要綜合使用正弦定理和余弦定理。考題難度會(huì)稍大。一、中線(xiàn)1、中線(xiàn)長(zhǎng)定理：在?ABC中，AD是邊BC上的中線(xiàn)，則AB推導(dǎo)過(guò)程：在?ABD中，cosB=在?ABC中，cos聯(lián)立兩個(gè)方程可得：AB【點(diǎn)睛】靈活運(yùn)用同角的余弦定理，適用在解三角形的題型中2、向量法：AD推導(dǎo)過(guò)程：由AD=則AD所以AD【點(diǎn)睛】適用于已知中線(xiàn)求面積（已知BDCD二、角平分線(xiàn)如圖，在?ABC中，AD平分?BAC，角A、B，C所對(duì)的邊分別問(wèn)a，b，1、利用角度的倍數(shù)關(guān)系：?2、內(nèi)角平分線(xiàn)定理：AD為?ABC的內(nèi)角?BAC的平分線(xiàn)，則AB推導(dǎo)過(guò)程：在中，，在中，，，該結(jié)論也可以由兩三角形面積之比得證，即說(shuō)明：三角形內(nèi)角平分線(xiàn)性質(zhì)定理將分對(duì)邊所成的線(xiàn)段比轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的兩邊之比，再結(jié)合抓星結(jié)構(gòu)，就可以轉(zhuǎn)化為向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”類(lèi)問(wèn)題，運(yùn)用向量知識(shí)解決起來(lái)都較為簡(jiǎn)捷。3、等面積法：因?yàn)镾?ABD所以12所以b+c整理的：AD=2bccos三、垂線(xiàn)1、分別為邊上的高，則2、求高一般采用等面積法，即求某邊上的高，需要求出面積和底邊長(zhǎng)度高線(xiàn)兩個(gè)作用：（1）產(chǎn)生直角三角形；（2）與三角形的面積相關(guān)?！绢}型1與中線(xiàn)有關(guān)的解三角形】【例1】（2023·河南開(kāi)封·開(kāi)封高中?？寄M預(yù)測(cè)）在銳角中，，，則中線(xiàn)的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式11】（2023秋·遼寧葫蘆島·高三統(tǒng)考期末）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．（1）求C；（2）已知，設(shè)D為邊AB的中點(diǎn)，若，求a．【變式12】（2023春·四川成都·高三校聯(lián)考期末）在斜三角形中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足．（1）求角的大小；（2）若，且上的中線(xiàn)長(zhǎng)為，求斜三角形的面積．【變式13】（2023春·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿(mǎn)足，且．（1）求角B的大??；（2）若的面積為，求AC邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)．【變式14】（2023秋·山西太原·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，已知邊上的兩條中線(xiàn)相交于點(diǎn).（1）求的長(zhǎng)度；（2）求的余弦值.【題型2與垂線(xiàn)有關(guān)的解三角形】【例2】（2023春·河南·高三洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在銳角三角形ABC中，B=60°，AB=1，則AB邊上的高的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式21】（2023春·四川資陽(yáng)·高三四川省樂(lè)至中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）在中，內(nèi)角、、滿(mǎn)足.（1）求；（2）若邊上的高等于，求.【變式22】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．若．（1）求角；（2）若，求邊上的高的取值范圍．【變式23】（2022秋·江蘇南通·高三江蘇省如東高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在①，②，③三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的橫線(xiàn)上，并加以解答在中，角，，的對(duì)邊分別為，，且______，若，，邊上的中垂線(xiàn)交于點(diǎn)，求的長(zhǎng).【變式24】（2022秋·湖北·高三湖北省紅安縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知的內(nèi)角滿(mǎn)足.（1）求角；（2）若，設(shè)是中邊上的高，求的最大值.【題型3與角平分線(xiàn)有關(guān)的解三角形】【例3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．從①②③中選取兩個(gè)作為條件，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答．①；②的面積是；③．問(wèn)題：已知角A為鈍角，，______．（1）求外接圓的面積；（2）AD為角A的平分線(xiàn)，D在BC上，求AD的長(zhǎng)．【變式31】（2023·山西晉中·統(tǒng)考二模）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其中，且滿(mǎn)足．（1）求△ABC的外接圓半徑；（2）若∠B的平分線(xiàn)BD交AC于點(diǎn)D，且，求△ABC的面積．【變式32】（2023·福建廈門(mén)·統(tǒng)考二模）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求B；（2）A的角平分線(xiàn)與C的角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)D，，，求和．【變式33】（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知銳角，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且．（1）證明：；（2）若為的角平分線(xiàn)，交AB于D點(diǎn)，且．求的值．【變式34】（2023春·廣西柳州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊為a，b，c，且．（1）求；（2）若的面積為，求內(nèi)角A的角平分線(xiàn)長(zhǎng)的最大值．【題型4其他等分點(diǎn)型解三角形】【例4】（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）在中，為上的中點(diǎn)，滿(mǎn)足.（1）證明：為等腰三角形或直角三角形；（2）若角為銳角，為邊上一點(diǎn)，，求的面積.【變式41】（2023·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)校考階段練習(xí)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求；（2）若為線(xiàn)段延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，且，求.【變式42】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）在△ABC中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，且．（1）求角的大?。唬?）若是邊上一點(diǎn)，且，若，求△ABC面積的最大值．【變式43】（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，已知．（1）求；（2）若是邊上的一點(diǎn)，且，求面積的最大值．【變式44】（2023春·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在銳角中，.（1）求；（2）若的面積為，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且，求的最小值.（建議用時(shí)：60分鐘）1．（2023春·河北石家莊·高三石家莊二中?？茧A段練習(xí)）已知內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，面積為，且，求：（1）求角A的大??；（2）求邊中線(xiàn)長(zhǎng)的最小值.2．（2023春·河南洛陽(yáng)·高三新安縣第一高級(jí)中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且．（1）求角A的大?。唬?）若，邊上的中線(xiàn)，求的面積．3．（2023秋·浙江嘉興·高三統(tǒng)考期末）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知三角形，角的平分線(xiàn)交邊于點(diǎn).（1）證明：；（2）若，求的周長(zhǎng).4．（2023·全國(guó)·本溪高中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，，．（1），時(shí)，求CD的長(zhǎng)度；（2）若CD為角C的平分線(xiàn)，且，求的面積．5．（2023·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考一模）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、．已知．（1）求角的大小；（2）給出以下三個(gè)條件：①，；②；③．若這三個(gè)條件中僅有兩個(gè)正確，請(qǐng)選出正確的條件并回答下面問(wèn)題：（i）求的值；（ii）的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．6．（2023秋·江西贛州·高三統(tǒng)考期末）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿(mǎn)足.（1）求B的值；（2）若與邊上的高之比為3∶5，且，求的面積.7．（2023春·浙江紹興·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（1）求角的大小；（2）若于，求的面積的最小值.8．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求B；（2）設(shè)，若點(diǎn)M是邊