2016-2017學(xué)年人教版九年級數(shù)學(xué)上冊全冊課時精講(含答案)

學(xué)期銜接訓(xùn)練

一、選擇題

1.計算"7羽一的結(jié)果是(B)

A.一小B.小C.—y＞/3D.y^3

2.一直角三角形的兩邊長分別為3和4,則第三邊的長為(D)

A.5B中C鄧D.5或幣

3.種植能手李大叔種植了?批新品種黃瓜，為了考察這種黃瓜的生長情況，李大叔抽

查了部分黃瓜株上長出的黃瓜根數(shù)，得到如圖的條形圖，則抽查的這部分黃瓜株上所結(jié)黃瓜

根數(shù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是(C)

A.13.5,20B.15,5C.13.5,14D.13,14

4.根據(jù)下表中一次函數(shù)的自變量x與函數(shù)y的對應(yīng)值，可得p的值為(A)

X-201

y3P0

A.lB.-1C.3D.-3

5.如圖，在RtAJBC中，Z5=90°,AB=3,BC=4,點。在BC上，以4c為對角

線的所有％DCE中，DE最小的值是(B)

A.2B.3C.4D.5

二、填空題

6.若整數(shù)x滿足慟＜3,則使、斤三為整數(shù)的x的值是一2或3.(只需填一個)

7.若一組數(shù)據(jù)2,—1,0,2,—1，〃的眾數(shù)為2,則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1.

8.如圖，已知一條直線經(jīng)過點,2),8(1,0),將這條直線向左平移與x軸、＞軸分

別交于點C,D若DB=DC,則直線CD的函數(shù)解析式為y=-2x-2.

三、解答題

9.如圖，在平行四邊形N8CZ)中，后為8c邊上的一點，連接ZE,BD,且

(1)求證：NABE=NEAD；

(2)若,求證：四邊形力8?！?是菱形.

解：⑴證N4BE=N4EB=NEAD(2)；AD〃BC,：.NADB=NDBE,NABE=

NAEB,NAEB=2NADB,：.ZABE=2ZADB.NABD=/ABE-/DBE=2NADB-N

4DB=NADB,：.AB=AD,又：四邊形/8CD是平行四邊形，，四邊形488是菱形

10.某巾出租車計費方法如圖所示，x(km)表示行駛里程，M元)表示車費，請根據(jù)圖象

回答下面的問題：

(1)出租車的起步價是多少元？當x>3時，求〉關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若某乘客有一次乘出租車的車費為32元，求這位乘客乘車的里程.

解：(1)山圖象得：出租車的起步價是8元；設(shè)當x>3時，y與x的函數(shù)關(guān)系式為

+b,由函數(shù)圖象，得

S=3k+b,

?解得

I2=5k+b,

k—2,,

,故y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=2x+2

6=2,

(2)當y=32時，32=2x+2,x=15,則這位乘客乘車的里程是15km

第二十一章

第二十一章一元二次方程

21.1一元二次方程

碰LJL習(xí)一昱量________

1.只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為二_的整式方程叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式為以2+1+。=0（“卜0）.

3.使一元二次方程的左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的，也叫做

一元二次方程的根.

課內(nèi)精練

知識點1：一元二次方程的概念

1.下列方程是一元二次方程的是（。）

A.ax2+bx+c=OB.3x2-2x=3（x2-2）

C.X3-2X-4=0D.（X-1）2-1=0

2.關(guān)于x的一元二次方程（a-BM^+x+a?—9=0,其中a的取值范圍為（C）

A.a>3B.a23

C.aW3D.a<3

3.已知關(guān)于x的方程（n?-4）x2+（m—2）x+3m=0,當m3±2時,它是一元二次

方程；當m=-2時,它是一元一次方程.

知識點2：一元二次方程的一般形式

4.方程3x2=5x—1化為一元二次方程的一般形式后，二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)

項分別是（8）

4.3,5,-1B.3,-5,1

C.3,-5,-1D.3,5,1

5.將一元二次方程2y2—1=小丫化為一般形式，并寫出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)

和常數(shù)項.

解：一般形式為2y2—小y—1=0,其中二次項系數(shù)是2，一次項系數(shù)是一小，常數(shù)項

是一1

知識點3：一元二次方程的解（根）

6.下列關(guān)于x的方程中，一定有實數(shù)根一1的是（C）

A.X2-X+2=0B.X2+X-2=0

C.X2-X-2=0D.X2+1=0

7（2014?長沙）已知關(guān)于x的一元二次方程2x2-3kx+4=0的一個根是1則k=2.

知識點4：用一元二次方程刻畫實際問題中的數(shù)量關(guān)系

8.用10米長的鋁材制成一個矩形窗框，使它的面積為6平方米.若設(shè)它的一條邊長為

X米，則根據(jù)題意可列出關(guān)于x的方程為(8)

A.x(5+x)=6B.x(5—x)=6

C.x(10-x)=6D.x(10-2x)=6

9.根據(jù)下列問題，列出關(guān)于x的方程，并將其化為般形式.

(1)正方體的表面積為54,求正方體的邊長x；

解：6x2=54,一般形式為6x2—54=0

(2)x個球隊參加籃球賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場，共進行了30場比賽，

求參賽的籃球隊數(shù)X.

解：1x(x—1)=30,-一般形式為#—gx—30=0

缸量M二達頓…一…一

10.下列是方程3X2+5X-2=0的解的是(C)

A.x=-1B.x=1

C.x=-2D.x=2

11.已知實數(shù)a,b滿足a2—3a+l=0,b2—3b+1=0,則關(guān)于一元二次方程x?-3x+l

=0的根的說法中正確的是(。)

A.x=a,x=b都不是該方程的解

B.x=a是該方程的解，x=b不是該方程的解

C.x=b是該方程的解，x=a不是該方程的解

D.x=a,x=b都是該方程的解

12.若關(guān)于x的一元二次方程為ax2+bx+5=0(a/0)的一個解是x=1,則2015—a-b

的值是(Z)

A.2020B.2010

C.2016D.2014

13.若方程(m—2)x2+而x=l是關(guān)于*的一元二次方程，則m的取值范圍是m20

目mW2.

14.小明用30厘米的鐵絲圍成一斜邊長等于13厘米的直角三角形，設(shè)該直角三角形的

一邊長x厘米，則另一邊長(17—x)厘米,列方程得X2+(17—X)2=132.

15.如圖，矩形ABCD是由三個矩形拼接成的，AB=8,陰影部分的面積是24,另外

兩個小矩形全等.設(shè)小矩形的長為x,則可列出的方程為x(2x—8)=24.

16.分別根據(jù)下列條件，寫出一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的一般形式.

(l)a=5,b=—4,c=—1；

(2)二次項系數(shù)為3,一次項系數(shù)為一7，常數(shù)項為2.

解：(1)5X2-4X-1=0

(2)3X2-7X+2=0

17.根據(jù)下列問題，列出一元二次方程，并將其化成一般形式.

(1)一個微信群里共有x個好友，每個好友都分別給群里其他好友發(fā)送一條信息，這樣

共有756條消息；

(2)兩個連續(xù)奇數(shù)的平方和為130,求這兩個奇數(shù).

解：(l)x(x-1)=756,X2-X-756=O

(2)設(shè)這兩個連續(xù)奇數(shù)分別為n,n+2,則n2+(n+2)2=130,2n2+4n-126=0

18.關(guān)于x的方程但一3械）+*—5=0是一元二次方程，求a的值.

仙一1=2,

解：由定義可得解得a=-3

a—3W0,

“自遵耀戰(zhàn)

19.已知k是方程x2-101x+l=0的一個不為0的根，不解方程，你能求出1?一1001<

器■的值嗎？如果能，請寫出解答過程；如果不能，請說明理由.（用方程根的定義解答）

1k2+1

解：Vk2-101k+l=0,.*.k2-100k=k-l,k2+l=101k,原式=k-1+工=—[――1

KK

*1=100

K

21.2解一元二次方程

21.2.1配方法

第1課時直接開平方法

顯字____

1.若x2=a(a)0),則x就叫做a的平方根，記為x=述(a20),由平方根的意

義降次來解一元二次方程的方法叫做直接開平方法.

2.直接開平方，把一元二次方程“降次”轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程.

3.如果方程能化為x?=p(p—0)或(mx+n)2=p(pN0)的形式，那么或mx

?…嘿內(nèi)精/______

知識點1：可化為x2=p(p20)型方程的解法

1.方程X?—16=0的根為(C)

A.x=4B.x=16

C.x=±4D.x=±8

2.方程x2+m=0有實數(shù)根的條件是(。)

A.m>0B.m20

C.m<0D.mWO

3.方程5y2—3=y?+3的實數(shù)根的個數(shù)是(C)

4.0個B.1個

C.2個D3個

4.若4x2—8=0成立，則x的值是.

5.解下列方程：

⑴3x2=27；

解：X1=3,X2=—3

(2)2x2+4=12；

解：X|=2,X2=—2

(3)5X2+8=3.

解：沒有實數(shù)根

知識點2：形如(mx+n)2=p(p20)的解法

6.一元二次方程(x+6)2=16可轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，其中一個一元一次方程是x

+6=4,則另一個一元一次方程是(。)

A.x—6=—4B.x—6=4

C.x+6=4D.x+6=—4

7.若關(guān)于X的方程(x+1)2=1—k沒有實數(shù)根，則k的取值范圍是(。)

A.k<lB.k<-l

C.k，lD.k>l

8.一元二次方程(x-3/=8的解為x=3±2也

9.解下列方程：

(l)(x-3)2—9=0；

解：Xi=6,x2=0

(2)2(X-2)2-6=0；

解：X]=2+，5,x?=2—y[3

(3)X2-2X+1=2.

解：xj=1+yf2,x2=1~y[2

破L課時達4___

10.(2014?白銀)一元二次方程(a+l)x2—ax+a2—l=0的一個根為0,則a=J.

11.若的值為0,則x=2.

12.由x2=y2得x=±y,利用它解方程(3x-4y=(4x-3p,其根為x=±l.

13.在實數(shù)范圍內(nèi)定義一種運算“*”，其規(guī)則為a*b=a2-b2，根據(jù)這個規(guī)則，方程(x+

2)*5=0的根為xj.=3,x?=7.

14.下列方程中，不能用直接開平方法求解的是(C)

A.X2-3=0B.(X-1)2-4=0

C.X2+2X=0D.(X-1)2=(2X+1)2

15.(2014?棗莊岡，X2是一元二次方程3(X-1)2=I5的兩個解，且x4x2,下列說法正

確的是(Z)

A.X|小于一1,X2大于3

B.X1小于一2,X2大于3

C.X],X2在T和3之間

￡>.X],X2都小于3

16.若(x2+y2—3)2=16,則x2+『的值為(4)

A.7B.7或一1

C.-1D.19

17.解下列方程：

(l)3(2x+1)2-27=0；

解：Xi=l,X2=-2

(2)(x—也)(x+也)=10；

解：Xi=2小,X2=—2小

(3)X2-4X+4=(3-2X)2；

解：X1=1,X2=g

(4)4(2X-1)2=9(2X+1)2.

解：x)=-|,x2=-

18.若2(x?+3)的值與3(1—x2)的值互為相反數(shù)，求學(xué)的值.

x-J-32x3

解：由題意得2(x?+3)+3(l—x?)=0,，x=±3.當x=3時'，y=§；當x=-3時,

映自苑辨戰(zhàn)

19.如圖，在長和寬分別是a,b的矩形紙片的四個角都剪去一個邊長為x的正方形.

(1)用a,b,x表示紙片剩余部分的面積；

(2)當a=6,b=4,且剪去部分的面積等于剩余部分的面積時，求正方形的邊長.

ft?：(l)ab—4x2(2)依題意有ab—4X2=4X2,將a=6,b=4代入，得x2=3,解得x1=

小,X2=—小(舍去)，即正方形的邊長為小

第2課時配方法

胸…預(yù)習(xí)導(dǎo)裳_____

1.通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法叫做配方法.

2.配方法的一般步驟：

(1)化二次項系數(shù)為1,并將含有未知數(shù)的項放在方程的左邊，常數(shù)項放在方程的右邊；

(2)配方：方程兩邊同時加上一次項系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個完全平方

式，寫成(mx+nf=p的形式;

⑶若p20,則可直接開平方求出方程的解；若P<0,則方程無解.

?…課內(nèi)精緘_____

知識點1：配方

1.下列二次三項式是完全平方式的是(8)

A.X2—8x—16B.x2+8x+16

C.x2一4x—16D.X2+4X+16

2.若x2-6x+m2是一個完全平方式，則m的值是(C)

A.3B.—3

C.±3D.以上都不對

3.用適當?shù)臄?shù)填空：

X2—4x+4=(x—2『；

93

n?及m+^=(m芍尸.

知識點2：用配方法解x"px+q=O型的方程

4.用配方法解一元二次方程x2—4x=5時，此方程可變形為(D)

A.(X+2)2=1B.(X-2)2=1

C.(X+2)2=9D.(X-2)2=9

5.下列配方有錯誤的是(。)

A.x2—2x-3=o化為(X-1)2=4

B.X2+6X+8=0化為(X+3)2=1

C.x?—4x-l=0化為(X—2)2=5

D.x2-2x—124=0化為(x—1)2=124

6.(2014?寧夏)一元二次方程X2-2X-1=0的解是(C)

A.Xi=X2=1

B.Xi=l+也,X2=—1—也

C.X]=l+爽,X2=l一也

D.X]=-1,x2=-1-y/2,

7.解下列方程：

(1)X2-4X+2=0；

解：X[=2~f~y/2,X2=2—y[2

(2)X2+6X-5=0.

解：Xi=—3+V14,x2=-3—^14

知識點3：用配方法解ax2+bx+c=0(aW0)型的方程

8.解方程3X2-9X+1=0，兩邊都除以3得X?—3x+g=0.配方后得以一號宰

9.方程3X2-4X-2=0配方后正確的是(。)

A.(3X-2)2=6B.3(X-2)2=7

C.3(x-6”7D.3(x一務(wù)=?

10.解下列方程：

(1)3X2-5X=-2；

2

解：Xi=j,x2=l

(2)2X2+3X=-1.

=

解：Xj=-1,x2~2

達頓_____

11.對于任意實數(shù)x,多項式X2-4X+5的值一定是(B)

A.非負數(shù)B.正數(shù)

C.負數(shù)D.無法確定

12.方程3x2+也x=6,左邊配方得到的方程是(B)

Z.(X十6)—18從(X十6)—18

6

C.(x+6)-[8D(x+6)-18

13.已知方程x2-6x+q=0可以配方成(x—p)2=7的形式，那么x2-6x+q=2可以配

方成下列的(8)

A.(x—p)2—5B.(x—p)2=9

C.(x—p+2)2=9D.(x—p+2)2=5

14.已知三角形一邊長為12,另兩邊長是方程x2—18x+65=0的兩個實數(shù)根，那么其

另兩邊長分別為5和13,這個三角形的面積為3Q..

15.當x=」一時，式子200—儀一2)2有最大值，最大值為20。；當丫=一1

時，式子,+2丫+5有最小值為4_.

16.用配方法解方程：

21

(1)鏟2=2一鏟；

3

解：X]=],X2=—2

(2)3,+1=2小y.

解：yi=y2=^

17.把方程X2—3x+p=0配方得到(x+m)2=T,求常數(shù)m與p的值.

37

解：m=-2,p=4

18.試證明關(guān)于x的方程(a?—8a+20)x2+2ax+l=0,無論a為何值，該方程都是一元

二次方程.

?：Va2-8a+20=(a-4)2+4^0，工無論a取何值，該方程都是一元二次方程

旦用戰(zhàn)

19.選取二次三項式ax2+bx+c(a#0)中的兩項，配成完全平方式的過程叫做配方.例

如：①選取二次項和一次項配方：x2-4x+2=(x-2)2-2;②選取二次項和常數(shù)項配方：x2

-4x+2=(x-也了+(2也-4)x，或x2-4x+2=(x+也)?-(4+2啦)x;③選取一次項和常

數(shù)項配方：x?—4x+2=(/x-也了一x?.根據(jù)上述材料,解決下歹!]問題：

(1)寫出X2-8X+4的兩種不同形式的配方；

(2)已知x2+y2+xy—3y+3=0,求/的值.

解：(l)x2—8x+4=x2—8x+16—16+4=(x—4)2—12；x2—8x+4=(x—2)2+4x~8x=(x

]313

-2)2—4x(2)x2+y2+xy-3y+3=o,(x2+xy+^y2)+(^y2-3y+3)=0,(x+^y)2+4(y-2)2

=0,又：(x+1y)220,1(y-2)2>0,/.x+1y=0,y-2=0,：.x=—1,y=2,則xy=(-

1)2=1

21.2.2公式法

頓二理(國一導(dǎo)一學(xué)一……

1.一元二次方程ax2+bx+c=O(a:#:O),當b?—4ac20時,x=-4江,這

Za

個式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.

2.式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判別式，常用△表示，△

>0㈡ax?+bx+c=0(aW0)有有兩個不等的實數(shù)根；A=0<=>ax2+bx+c=0(aW0)有_

兩個相等的實數(shù)根；A<0相ax2+bx+c=0(a#0)手有實數(shù)根.

內(nèi)精練=___

知識點1:根的判別式

1.下列關(guān)于X的方程有實數(shù)根的是(C)

A.x2—x+l=0B.x2+x+1=0

C.(x-l)(x+2)=0D.(x-l)2+l=0

2.(2014?蘭州)一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)有兩個不相等的實數(shù)根，下列選項中

正確的是(8)

A.b2-4ac=0B.b2-4ac>0

C.b2-4ac<0D.b2-4ac>0

3.一元二次方程X2-4X+5=0的根的情況是(D)

A.有兩個不相等的實數(shù)根

B.有兩個相等的實數(shù)根

C.只有一個實數(shù)根

D.沒有實數(shù)根

4.利用判別式判斷卜列方程的根的情況：

(1)9X2-6X+1=0；

解：?.?a=9,b=-6,c=l,；.△=(-6)2—4X9X1=0一?.此方程有兩個相等的實數(shù)

根

(2)8X2+4X=-3；

解:化為一般形式為8X2+4X+3=0,Va=8,b=4,c=3,A△=42-4X8X3=-80

<0，，此方程沒有實數(shù)根

(3)2(X2-1)+5X=0.

解：化為一般形式為2X2+5X-2=0,Va=2,b=5,c=-2，二A=5?—4X2X(—2)

=41>0，，此方程有兩個不相等的實數(shù)根

知識點2：用公式法解一元二次方程

5.方程5x=2x?-3中，a=2,b=—5,c=—3,b?-4ac=49.

6.一元二次方程x?—x—6=0中4ac=25，可得Xi=3,x0=-2

7.方程X2—x—1=0的一個根是(8)

1一小

A.1一小B:

.2

C.-1+V5。二^^

8.用公式法解下列方程：

(1)X2-3X-2=0；

有3+63—5

解：X[=----2-,x2=----2-

(2)8x2—8x+1=0

.2+啦2f

解：X|=-4,X2=-4

(3)2x2—2x=5._

.[+yri[—y/n

解：X[=2，x2=2

破L課時達頓_____

9.(2014?廣東)關(guān)于x的一元二次方程x2—3x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m

的取值范圍為(8)

99

A.m>aB.

99

C.m=aD.mV-彳

10.若關(guān)于x的一元二次方程kx2-2x-l=0有實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是(C)

A.k>-lB.k<l且k/0

C.k》一Li.kW0Dk>-l月一kWO

11.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+b-l=O有兩個相等的實數(shù)根，則b的值是

2.

12.關(guān)于x的方程5+1僅2—4*-1=0有實數(shù)根，則a滿足的條件是a2一5.

13.用公式法解下列方程：

(l)x(2x—4)=5—8x；

-2+5—2—yn

解：X]=----2->x2-----2-

(2)(3y-l)(y+2)=lly-4.

段3+小3f

解：y<=~y~，y2=~y-

x+1<3x—3,

14.當x滿足條件h1時，求出方程x2-2x-4=0的根.

2(X—4)(X—4)

解：解不等式組得2Vx<4,解方程得X|=l+小,X2=l一小,.,.X—1+-75

15.(2014?梅州)已知關(guān)于x的方程x?+ax+a—2=0.

(1)若該方程的一個根為1,求a的值及該方程的另一根；

(2)求證：不論a取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根.

13

解：(l)a=],另一個根為x=-]

(2)VA-a2-4(a-2)=(a-2)2+4>0，，無論a取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實

數(shù)根

16.關(guān)于x的一元二次方程(a—6)x2—8x+9=0有實數(shù)根.

(1)求a的最大整數(shù)值；

(2)當a取最大整數(shù)值時，求出該方程的根.

解：(1)；關(guān)于x的一元二次方程(a—6)x2—8x+9=0有實根，..W一6Ho,A=(-8)2

—4X(a—6)X920，解得aW當且aW61a的最大整數(shù)值為7(2)當a=7時，原一元二次

方程變?yōu)閤2-8x+9=0.Va=1,b=-8,c=9,A=(-8)2-4X1X9=28,Ax=

------,即X|=4+6,X2=4-幣

隹冊戰(zhàn)

17.(2014?株洲)已知關(guān)于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中a,b,c分

別為4ABC三邊的長.

(1)如果x=-1是方程的根，試判斷4ABC的形狀，并說明理由：

(2)如果方程有兩個相等的實數(shù)根，試判斷4ABC的形狀，并說明理由；

(3)如果4ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根.

解：⑴aABC是等腰三角形.理由：：x=-l是方程的根，，(a+c)X(-l)2—2b+(a

-c)=0,.*.a+c-2b+a-c=0,/.a-b=0,Aa=b".△ABC是等腰三角形(2)：方程

有兩個相等的實數(shù)根，.?.(2b)2-4(a+c)(a—c)=0,.-.4b2-4a2+4c2=0,Aa^^+c2,/.△

ABC是直角三角形(3)當a=b=c時，可整理為2ax2+2ax=0,.,.x2+x—0,解得X|=0,

X2=-l

21.2.3因式分解法

頓=^二國一基早二……

1.當一元二次方程的一邊為0,另一邊可以分解成兩個一次因式的乘積時，通常將??

元二次方程化為兩個一次因式的乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0,

從而實現(xiàn)降次，這種解法叫做因式分解法.

2.解一元二次方程，首先看能否用直接開平方法；再看能否用因式分解法；

否則就用公式法；若二次項系數(shù)為1,一次項系數(shù)為偶數(shù)可先用配方法.

立建內(nèi)精練—__

知識點1：用因式分解法解一元二次方程

1.方程(x+2)(x—3)=0的解是(C)

A..x-=2B.x—■3

C.X]=-2,X2=3D.Xi=2,X2=-3

2.一元二次方程x(x-5)=5-x的根是(D)

A.-1B.5

C.1和5D.一1和5

3.(2014?永州)方程X2-2X=0的解為x4=0,x2=2.

4.方程x?—2x+l=0的根是X[=X2=1.

5.用因式分解法解下列方程：

(l)x2—4=0；

解：X]=2,x?=—2

(2)X2-2V3X=0；

解：X]=0,X2=2，§

(3)(3—x)2—9=0；

解：X|=0,X2=6

(4)X2-4X+4=(3-2X)2.

解：X1=1,x2=|

知識點2：用適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠?/p>

6.解方程(x+l)2—5(x+l)+6=0時，我們可以將x+1看成一個整體，設(shè)x+l=y,

則原方程可化為y2—5y+6=0,解得y\—2,y2=3.當y=2時，即x+1=2,解得x=l；當

y=3時,即x+l=3,解得x=2,所以原方程的解為xi=l,x?=2.利用這種方法求方程(2x

-l)2-4(2x-l)+3=0的解為(C)

A.x]—1,X2~3B.X]=-1,X2—-3

-

C.xi=1,X2=2D.X]=0,x2=1

7.用適當?shù)姆椒ń夥匠蹋?/p>

(1)2(X-1)2=12.5；

解：用直接開平方法解,X]=3.5,X2=-1.5

(2)X2+2X-168=0；

解：用配方法解，xi=12,x2=-14

(3的2=2X；

解：用因式分解法解，XI=0,X2=也

(4)4X2-3X-2=0.

解：用公式法解，x尸"產(chǎn),X2=q^

OO

8.方程x(x—l)=-x+l的解為(。)

A.x=lB.x=-1

C.X]=0,x2=1D.Xj-■1,x2=-1

9.用因式分解法解方程，下列方法中正確的是(4)

A.(2x+2)(3x+4)=0化為2x+2=0或3x+4=0

B.(x-3)(x+l)=l化為x—3=l或x+l=l

C.(x-2)(x-3)=2X3化為x—2=2或x-3=3

D.x(x-2)=0化為x-2=0

10.一個三角形的兩邊長分別為3和6,第三邊的邊長是方程(x—2)(x—4)=0的根，則

這個三角形的周長是(C)

A.118.11或13

C.13D.以上都不對

11.(2014?陜西)若x=-2是關(guān)于x的一元二次方程X2—|ax+a2=0的一個根，則a的

值是(8)

4.1或4B.-1或一4

C.-1或4D.1或一4

12.已知x=l是關(guān)于x的方程(l-k)x2+k2x-l=0的根.則常數(shù)k的值為0或1.

13.已知(x?+2x—3)°—x2——3x+3,貝x—2

14.用因式分解法解下列方程：

(l)x2—3x=x—4；

X1=X2=2

(2)(X-3)2=3(X-3).

解：X|=3,X2=6

15.用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/p>

(1)4(X-1)2=2；

.啦+2-g+2

解：X]=q^-,x2=-2---

(2)X2-6X+4=0；

解：xi=3+小，X2=3一小

(3)X2-4=3X-6；

解：X|=l,x?—2

(4)(X+5)2+X2=25.

解：X]=—5,X2=0

16.一跳水運動員從10”?高臺上跳下，他離水面的高度h(單位：M與所用時間t(單位:

s)的關(guān)系是h=-5(t—2)(t+l),那么運動員從起跳到入水所用的時間是多少？

解：依題意，得一5(t—2)(t+l)=0,解得h=-1(不合題意，舍去)，t2=2,故運動員從

起跳到入水所用的時間為2s

宜3,辨戰(zhàn)

17.先閱讀下列材料，然后解決后面的問題：

材料?：因為二次三項式x2+(a+b)x+ab=:(x+a)(x+b),所以方程x2+(a+b)x+ab=0

可以這樣解:(x+a)(x+b)=0，/x+a=0或x+b=0,/.x^—a,x2=-b.

問題：

(1)用因式分解法解方程x2-kx-16=0時，得到的兩根均為整數(shù)，則k的值可以為—

—15,—6,0,6,15；

回靛

名加中課堂

(2)已知實數(shù)x滿足(x?—x)2—4(x2—x)—12=0,則代數(shù)式x+1的值為_7

專題訓(xùn)練（一）一元二次方程的解法及配方法的應(yīng)用

一、一元二次方程的解法

1.用直接開平方法解方程：

⑴(4x-1)2=225；

7

解：Xi=4,x2=—2

(2)；(X-2)2=8；

解：X|=2+2灰，X2=2-2#

(3)9X2-6X+1=9；

解：X1=y,x2=-j

(4)3(2X+1)2-2=0.

解：X尸乎平，X2=_,_平

2.用配方法解方程：

(l)2t2-3t=-l；

解：L=/,t2=l

(2)2X2+5X-1=0；

—5+而-5—市

角％X]一—,x2-4

(3)(2x-l)(3x-l)=3-6x；

M12

解：Xi=2?X2=-3

(4)(2X-1)2=X(3X+2)-7.

解：X[=4,X2=2

3.用公式法解方程：

(1)X2=6X+1;

解：XI=3+A/-10,X2=3—VT5

(2)0.2X2-0.1=0.4X；

解：x尸苧

（3h/2x-2=2x2.

解：原方程無實數(shù)根

4.用因式分解法解方程:

(1)(X-1)2-2(X-1)=0；

解：X1=3,X2=l

(2)5x(x—3)=(x—3)(x+1)；

解：x,=3,X2=9

(3)(x+2)2-10(x+2)+25=0.

解：xi=x2=3

5.用適當?shù)姆椒ń夥匠蹋?/p>

(1)2(X-3)2=X2-9；

解：X|=3,X2=9

(2)(2X+1)(4X-2)=(2X-l)2+2；

A,-1+而一加

角岸：X|=---丁一,x2=---丁一

(3)(x+l)(x—l)+2(x+3)=8.

解：X1=1,X2=—3

二、配方法的應(yīng)用

（一）最大（?。┲?/p>

6.利用配方法證明：無論X取何實數(shù)值，代數(shù)式一X2—X—1的值總是負數(shù)，并求出它

的最大值.

i31i1

解:—x2—x—1=—(x+2)2—4，:一儀+寸式。,—(x+2)2—4<0，故結(jié)論成立.當

X=—2時，一X2一X—1有最大值一a

7.對關(guān)于x的二次三項式X2+4X+9進行配方得x2+4x+9=(x+m)2+n.

⑴求m,n的值；

(2)求x為何值時，X2+4X+9有最小值，并求出最小值為多少？

解:(1)Vx2+4x+9=(x+m)2+n:=x2+2mx+m2+n,.*.2m=4,m2+n=9,；.m=2,

n=5

(2)Vm=2,n=5,.*.x2+4x+9=(x+2)2+5,.,.當x=-2時,有最小值是5

(二)非負數(shù)的和為0

8.已知a2+b?+4a-2b+5=0,求3a2+5b2—5的值.

解：a2+b2+4a—2b+5=0,(a2+4a+4)+(b2—2b+1)=0,即(a+2)?+(b—1)2=0,

，a=-2,b=l..\3a2+5b2-4=3X(-2)2+5Xl2-5^12

9.若a,b,c是AABC的三邊長且滿足a~—6a+b?-8b+#—5+25=0，請根據(jù)已知

條件判斷其形狀.

解：等式變形為a2-6a+9+b2-8b+16+drE=0,即(a—3y+(b—4『+］右=0,

由非負性得(a—3)2=0,(b-4)2=0,加=3=0,；.a=3,b=4,c=5.V32+42=52,即a2

+b2=c?,.?.△ABC為直角三角形

21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

頓二理(國-導(dǎo)一學(xué)=-一

2

1.若一元二次方程x+px+q=0的兩個根分別為Xi,x2,則xi+x產(chǎn)一p,XjX2

=g

2.若一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)的兩個根分別為X1,x2,則x1+x2=—與，

C

X1X==_.

2a

3.一元二次方程ax2+bx+c=0的根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用條件：(1)--般形式，即ax?+

bx+c=O:(2)二次方程，即aWO；(3)有根，即b2—4acM.

內(nèi)精練――

知識點1：利用根與系數(shù)的關(guān)系求兩根之間關(guān)系的代數(shù)式的值

1.已知XI,X2是一元二次方程x2+2x-l=0的兩根，則X|+X2的值是(C)

A.0B.2C.-2D.4

2(2014?昆明)已知xi*2是一元二次方程x2—4x+l=0的兩個實數(shù)根則等于(C)

A.-4B.-1C.1D.4

3.已知方程x?—6x+2=0的兩個解分別為X,,x2,則X]+x2—X]X2的值為(。)

A.-8B.-4C.8D.4

4.已知X|,X2是方程x?—3x—4=0的兩個實數(shù)根，則(xi—2)(x?-2)=-6.

5.不解方程，求下列各方程的兩根之和與兩根之積：

(1)X2+3X+1=0：

解：X|+X2=-3,X?X2-1

(2)2X2-4X-1=0；

解：XI+X2=2,X|X2=一；

(3)2X2+3=5X2+X.

解：Xi+X2=-；,X[X2=-1

6.已知X1,X2是一元二次方程x2—3x—1=0的兩根，不解方程求下列各式的值：

(1—2：(24+9

222

解：(1)X1+X2=(X1+X2)—2X1,x2=ll

知識點2：利用根與系數(shù)的關(guān)系求方程中待定字母的值

7,已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)的兩根互為相反數(shù)，則(B)

A.b>0B.b=0C.b<0D.c=0

8.已知一元二次方程X2-6X+C=0有一個根為2,則另一根和c分別為(C)

4?1,2氏2,4C.4,8。?8,16

9.若關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c=0的兩個實數(shù)根分別為X|=-2,X2=4,則b

+c的值是(Z)

A.-10B.10C.-6D.—1

10.(2014?煙臺)關(guān)于X的方程x2-ax+2a=o的兩根的平方和是5,則a的值是(D)

4.-1或5B.1C.5D.-1

11.若關(guān)于X的一元二次方程x2-4x+k-3=0的兩個實數(shù)根為X-X2，且滿足X|=3X2,

試求出方程的兩個實數(shù)根及k的值.

X1+X2=4①,

解：由根與系數(shù)的關(guān)系得，又???xi=3X2③，聯(lián)立①③，解方程組得

.X|X2=k—3②,

x1=3,

<.*.k=XiX2+3=3X1+3=6

,X2—1,

@-___

12,已知一元二次方程X2—2X+2=0,則下列說法正確的是（。）

A.兩根之和為2B.兩根之積為2

C.兩根的平方和為0D.沒有實數(shù)根

13.已知a,B滿足a+p=6,且ap=8，則以a,B為兩根的一元二次方程是（B）

A.X2+6X+8=0B.X2—6X+8=0

C.X2-6X-8=0D.X2+6X-8=0

14.設(shè)X1,X2是方程x2+3x-3=o的兩個實數(shù)根，則郎的值為（B）

A.5B,-5C.1D.-1

22

15.方程x—（m+6）x+m=0有兩個相等的實數(shù)根，且滿足x14-x2=x1x2,則m的值

是（。）

A.—2或3B.3

C,~2D.-3或2

16.（2014?呼和浩特）已知m,n是方程x?+2x—5=0的兩個實數(shù)根,則m2-mn+3m

+n—8

17.在解某個方程時，甲看錯了一次項的系數(shù)，得出的兩個根為-8,一1；乙看錯了常

數(shù)項，得出的兩個根為8,1