2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第6章平面向量及其應(yīng)用6.2.1向量的加法運(yùn)算課時(shí)分層作業(yè)含解析新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE課時(shí)分層作業(yè)(二)向量的加法運(yùn)算(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．下列等式不正確的是()①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b；②eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＝0；③eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→)).A．②③ B．②C．① D．③B[②錯(cuò)誤，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＝0，①③正確．]2．已知向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，則向量a＋b的方向()A．與向量a方向相同 B．與向量a方向相反C．與向量b方向相同 D．與向量b方向相反A[因?yàn)閍∥b，且|a|＞|b|＞0，由三角形法則知向量a＋b與a同向．]3．若向量a表示“向東航行1km”，向量b表示“向北航行eq\r(,3)km”，則向量a＋b表示()A．向東北方向航行2kmB．向北偏東30°方向航行2kmC．向北偏東60°方向航行2kmD．向東北方向航行(1＋eq\r(,3))kmB[eq\o(AB,\s\up7(→))＝a表示“向東航行1km，eq\o(BC,\s\up7(→))＝b表示“向北航行eq\r(,3)km”，依據(jù)三角形法則，∴eq\o(AC,\s\up7(→))＝a＋b，∵tanA＝eq\r(,3)，∴A＝60°，且eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\r(,\r(,3)2＋12)＝2(km)，∴a＋b表示向北偏東30°方向航行2km.]4.如圖所示的方格中有定點(diǎn)O，P，Q，E，F(xiàn)，G，H，則eq\o(OP,\s\up7(→))＋eq\o(OQ,\s\up7(→))＝()A．eq\o(OH,\s\up7(→)) B．eq\o(OG,\s\up7(→))C．eq\o(FO,\s\up7(→)) D．eq\o(EO,\s\up7(→))C[設(shè)a＝eq\o(OP,\s\up7(→))＋eq\o(OQ,\s\up7(→))，以O(shè)P，OQ為鄰邊作平行四邊形(圖略)，則夾在OP，OQ之間的對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量即為向量a＝eq\o(OP,\s\up7(→))＋eq\o(OQ,\s\up7(→))，則a與eq\o(FO,\s\up7(→))長度相等，方向相同，所以a＝eq\o(FO,\s\up7(→)).]5．a(chǎn)，b為非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，則()A．a(chǎn)∥b，且a與b方向相同B．a(chǎn)，b是共線向量且方向相反C．a(chǎn)＝bD．a(chǎn)，b無論什么關(guān)系均可A[依據(jù)三角形法則可知，a∥b，且a與b方向相同．]二、填空題6．設(shè)a0，b0分別是a，b的單位向量，則下列結(jié)論中正確的是________(填序號(hào))．①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0.③[單位向量不肯定相等或相反，也不肯定共線，但其模為1，故只有③正確．]7．(一題兩空)如圖，在平行四邊形ABCD中，eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＝________，eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＝________.eq\o(AC,\s\up7(→))eq\o(BC,\s\up7(→))(或eq\o(AD,\s\up7(→)))[利用三角形法則和平行四邊形法則求解．]8.如圖所示，在正六邊形ABCDEF中，若AB＝1，則|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(FE,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))|等于________．2[正六邊形ABCDEF中，eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(ED,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(AF,\s\up7(→))，∴eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(FE,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(ED,\s\up7(→))＋eq\o(FE,\s\up7(→))＋eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\o(AF,\s\up7(→))＋eq\o(FE,\s\up7(→))＋eq\o(ED,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))，∵|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝1，∴|eq\o(AD,\s\up7(→))|＝2.]三、解答題9．如圖所示，P，Q是△ABC的邊BC上兩點(diǎn)，且eq\o(BP,\s\up7(→))＋eq\o(CQ,\s\up7(→))＝0.求證：eq\o(AP,\s\up7(→))＋eq\o(AQ,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)).[證明]∵eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BP,\s\up7(→))，eq\o(AQ,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CQ,\s\up7(→))，∴eq\o(AP,\s\up7(→))＋eq\o(AQ,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(BP,\s\up7(→))＋eq\o(CQ,\s\up7(→)).又∵eq\o(BP,\s\up7(→))＋eq\o(CQ,\s\up7(→))＝0，∴eq\o(AP,\s\up7(→))＋eq\o(AQ,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)).10．(多選題)若a＝(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→)))＋(eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→)))，b是任一非零向量，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)∥b B．a(chǎn)＋b＝aC．a(chǎn)＋b＝b D．|a＋b|＜|a|＋|b|AC[∵a＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＝0，b為任一非零向量，∴a∥b，即A對(duì)；0＋b＝b，即B錯(cuò)，C對(duì)；D中|0＋b|＝|b|＝|0|＋|b|，即D錯(cuò)．故選AC．]11．若在△ABC中，AB＝AC＝1，|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))|＝eq\r(2)，則△ABC的形態(tài)是()A．正三角形 B．銳角三角形C．斜三角形 D．等腰直角三角形D[設(shè)線段BC的中點(diǎn)為O，由平行四邊形法則和平行四邊形對(duì)角線相互平分可知|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))|＝2|eq\o(AO,\s\up7(→))|，又|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))|＝eq\r(2)，故|eq\o(AO,\s\up7(→))|＝eq\f(\r(2),2)，又BO＝CO＝eq\f(\r(2),2)，所以△ABO和△ACO都是等腰直角三角形，所以△ABC是等腰直角三角形．]12．(一題兩空)如圖所示，設(shè)O為正六邊形ABCDEF的中心，則：(1)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝________；(2)eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(FE,\s\up7(→))＝________.(1)eq\o(OB,\s\up7(→))(2)eq\o(AD,\s\up7(→))[(1)由題圖可知，四邊形OABC為平行四邊形．由向量加法的平行四邊形法則，得eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→)).(2)由題圖可知，eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(FE,\s\up7(→))＝eq\o(OD,\s\up7(→))＝eq\o(AO,\s\up7(→))，∴eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(FE,\s\up7(→))＝eq\o(AO,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→)).]13．若P為△ABC的外心，且eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))＝eq\o(PC,\s\up7(→))，則∠ACB＝________.120°[因?yàn)閑q\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))＝eq\o(PC,\s\up7(→))，則四邊形APBC是平行四邊形．又P為△ABC的外心，所以|eq\o(PA,\s\up7(→))|＝|eq\o(PB,\s\up7(→))|＝|eq\o(PC,\s\up7(→))|.因此∠ACB＝120°.]14.如圖，已知向量a，b，c，d.(1)求作a＋b＋c＋d；(2)設(shè)|a|＝2，e為單位向量，求|a＋e|的最大值．[解](1)在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，做eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(AB,\s\up7(→))＝b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝c，eq\o(CD,\s\up7(→))＝d，則eq\o(OD,\s\up7(→))＝a＋b＋c＋d.(