統(tǒng)考版2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第4章三角函數(shù)解三角形第1節(jié)任意角蝗制及任意角的三角函數(shù)教師用書教案北師大版

PAGE第四章三角函數(shù)、解三角形全國卷五年考情圖解高考命題規(guī)律把握1.考查形式從高考題型、題量來看，一般有兩種方式：二個小題或一個小題另加一個解答題，分值為為10分或17分左右．2．考查內(nèi)容(1)客觀題主要考查三角函數(shù)的定義，圖像與性質(zhì)，同角三角函數(shù)關(guān)系，誘導(dǎo)公式，和、差、倍角公式，正、余弦定理等學(xué)問．(2)解答題涉及學(xué)問點較為綜合．涉及三角函數(shù)圖像與性質(zhì)、三角恒等變換與解三角形學(xué)問較為常見.隨意角、弧度制及隨意角的三角函數(shù)[考試要求]1.了解隨意角的概念和弧度制的概念.2.能進(jìn)行弧度與角度的互化.3.理解隨意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義．1．角的概念的推廣(1)定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線圍著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形．(2)分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角.,按終邊位置不同分為象限角和軸線角.))(3)終邊相同的角：全部與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．提示：終邊相同的角不肯定相等，但相等的角其終邊肯定相同．2．弧度制的定義和公式(1)定義：把長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.(2)公式：角α的弧度數(shù)公式|α|＝eq\f(l,r)(弧長用l表示)角度與弧度的換算①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧長公式弧長l＝|α|r扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2提示：有關(guān)角度與弧度的兩個留意點(1)角度與弧度的換算的關(guān)鍵是π＝180°，在同一個式子中，采納的度量制度必需一樣，不行混用．(2)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要留意角的單位必需是弧度．3．隨意角的三角函數(shù)(1)定義設(shè)角α終邊與單位圓交于P(x，y)，則sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．拓展：隨意角的三角函數(shù)的定義(推廣)設(shè)P(x，y)是角α終邊上異于頂點的任一點，其到原點O的距離為r，則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．(2)三角函數(shù)值在各象限內(nèi)符號為正的口訣一全正，二正弦，三正切，四余弦．(3)幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示．正弦線的起點都在x軸上，余弦線的起點都是原點，正切線的起點都是(1,0)．如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角α的正弦線、余弦線和正切線．eq\a\vs4\al([常用結(jié)論])1．象限角2．軸線角一、易錯易誤辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)銳角是第一象限的角，第一象限的角也都是銳角．()(2)角α的三角函數(shù)值與其終邊上點P的位置無關(guān)．()(3)不相等的角終邊肯定不相同．()(4)若α為第一象限角，則sinα＋cosα＞1.()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√二、教材習(xí)題衍生1．若θ滿意sinθ＜0，cosθ＞0，則θ的終邊在()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限D(zhuǎn)[∵sinθ＜0，cosθ＞0，∴θ的終邊落在第四象限．]2．下列與eq\f(9π,4)的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是()A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋eq\f(9,4)π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)C[∵eq\f(9π,4)＝2π＋eq\f(π,4)，∴eq\f(9π,4)與eq\f(π,4)終邊相同．又角度制與弧度制不行同時混用，故選C.]3．角－225°＝________弧度，這個角的終邊落在第________象限．[答案]－eq\f(5π,4)二4．設(shè)角θ的終邊經(jīng)過點P(4，－3)，那么2cosθ－sinθ＝________.eq\f(11,5)[由已知并結(jié)合三角函數(shù)的定義，得sinθ＝－eq\f(3,5)，cosθ＝eq\f(4,5)，所以2cosθ－sinθ＝2×eq\f(4,5)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝eq\f(11,5).]5．一條弦的長等于半徑，這條弦所對的圓心角大小為________rad.eq\f(π,3)[弦和兩條半徑構(gòu)成等邊三角形，因此這條弦所對的圓心角大小為eq\f(π,3)rad.]考點一象限角及終邊相同的角1.象限角的兩種推斷方法2．求eq\f(θ,n)或nθ(n∈N*)所在象限的步驟(1)將θ的范圍用不等式(含有k，且k∈Z)表示；(2)兩邊同除以n或乘n；(3)對k進(jìn)行探討，得到eq\f(θ,n)或nθ(n∈N*)所在的象限．1．集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ≤α≤kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))中的角所表示的范圍(陰影部分)是()ABCDB[當(dāng)k＝2n(n∈Z)時，2nπ≤α≤2nπ＋eq\f(π,4)(n∈Z)，此時α的終邊和0≤α≤eq\f(π,4)的終邊相同；當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時，2nπ＋π≤α≤2nπ＋eq\f(5π,4)(n∈Z)，此時α的終邊和π≤α≤eq\f(5π,4)的終邊相同，故選B.]2．設(shè)θ是第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，則eq\f(θ,2)是()A．第一象限角 B．其次象限角C．第三象限角 D．第四象限角B[∵θ是第三象限角，∴π＋2kπ＜θ＜eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，∴eq\f(π,2)＋kπ＜eq\f(θ,2)＜eq\f(3π,4)＋kπ，k∈Z，∴eq\f(θ,2)的終邊落在其次、四象限，又eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，∴coseq\f(θ,2)＜0，∴eq\f(θ,2)是其次象限角．]3．與－2010°終邊相同的最小正角是________．150°[與－2010°終邊相同的角可表示為α＝－2010°＋k·360°，k∈Z，又當(dāng)k＝6時，α＝150°，故與－2010°終邊相同的最小正角為150°.]4．終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合是________．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝kπ＋\f(π,3)，k∈Z))))[終邊在直線y＝eq\r(3)x上且在第一象限的角為α＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，終邊在直線y＝eq\r(3)x上且在第三象限的角為β＝2kπ＋π＋eq\f(π,3)＝(2k＋1)π＋eq\f(π,3)(k∈Z)．則終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝kπ＋\f(π,3)，k∈Z)))).]點評：利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的全部角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需的角．考點二扇形的弧長及面積公式的應(yīng)用有關(guān)弧長及扇形面積問題的留意點(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要留意角的單位必需是弧度．(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決．(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形．[典例1]已知一扇形的圓心角為α，半徑為R，弧長為l.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧長l；(2)已知扇形的周長為10cm，面積是4cm2，求扇形的圓心角；(3)若扇形周長為20cm，則當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？[解](1)α＝60°＝eq\f(π,3)rad，所以l＝α·R＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10π,3)(cm)．(2)由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2R＋Rα＝10，,\f(1,2)α·R2＝4))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R＝1，,α＝8))(舍去)或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R＝4，,α＝\f(1,2).))故扇形圓心角為eq\f(1,2)rad.(3)由已知得l＋2R＝20，所以S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以當(dāng)R＝5cm時，S取得最大值25cm2，此時l＝10cm，α＝2rad.eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．若圓弧長度等于圓內(nèi)接正三角形的邊長，則其圓心角的弧度數(shù)為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.3 D.eq\r(3)D[如圖，等邊三角形ABC是半徑為r的圓O的內(nèi)接三角形，則線段AB所對的圓心角∠AOB＝eq\f(2π,3)，作OM⊥AB，垂足為M，在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝eq\f(π,3)，∴AM＝eq\f(\r(3),2)r，AB＝eq\r(3)r，∴l(xiāng)＝eq\r(3)r，由弧長公式得α＝eq\f(l,r)＝eq\f(\r(3)r,r)＝eq\r(3).]2．已知扇形弧長為20cm，圓心角為100°，則該扇形的面積為________cm2.eq\f(360,π)[由弧長公式l＝|α|r，得r＝eq\f(20,\f(100π,180))＝eq\f(36,π)，所以S扇形＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×20×eq\f(36,π)＝eq\f(360,π).]考點三三角函數(shù)的定義及應(yīng)用利用三角函數(shù)的定義求值三角函數(shù)的定義中常見的三種題型及解決方法(1)已知角α的終邊上的一點P的坐標(biāo)，求角α的三角函數(shù)值．方法：先求出點P到原點的距離，再利用三角函數(shù)的定義求解．(2)已知角α的一個三角函數(shù)值和終邊上一點P的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，求與角α有關(guān)的三角函數(shù)值．方法：先求出點P到原點的距離(帶參數(shù))，依據(jù)已知三角函數(shù)值及三角函數(shù)的定義建立方程，求出未知數(shù)，從而求解問題．(3)已知角α的終邊所在的直線方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函數(shù)值．方法：先設(shè)出終邊上一點P(a，ka)，a≠0，求出點P到原點的距離(留意a的符號，對a分類探討)，再利用三角函數(shù)的定義求解．[典例2－1](1)已知角α的終邊與單位圓的交點為Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，y))，則sinα·tanα＝()A．－eq\f(\r(3),3) B．±eq\f(\r(3),3)C．－eq\f(3,2) D．±eq\f(3,2)(2)若角α的終邊經(jīng)過點P(－eq\r(3)，m)(m≠0)，且sinθ＝eq\f(\r(2),4)m，則cosθ＝________.(3)若角α的終邊在直線y＝－eq\f(4,3)x上，求sinα，cosα和tanα的值．(1)C(2)－eq\f(\r(6),4)[(1)由|OP|2＝eq\f(1,4)＋y2＝1，得y2＝eq\f(3,4)，則y＝eq\f(\r(3),2)或y＝－eq\f(\r(3),2).當(dāng)y＝eq\f(\r(3),2)時，sinα＝eq\f(\r(3),2)，tanα＝－eq\r(3)，此時，sinα·tanα＝－eq\f(3,2)；當(dāng)y＝－eq\f(\r(3),2)時，sinα＝－eq\f(\r(3),2)，tanα＝eq\r(3)，此時，sinα·tanα＝－eq\f(3,2).綜上所述，選C.(2)r＝eq\r(m2＋3)，由sinθ＝eq\f(m,\r(m2＋3))＝eq\f(\r(2),4)m，整理得m2＝5，則r＝eq\r(m2＋3)＝eq\r(8)＝2eq\r(2).∴cosθ＝eq\f(－\r(3),2\r(2))＝－eq\f(\r(6),4).](3)[解]由題意知tanα＝－eq\f(4,3)，①當(dāng)角α終邊落在其次象限，設(shè)角α終邊上一點P(－3,4)，r＝5，∴sinα＝eq\f(4,5)，cosα＝－eq\f(3,5)，②當(dāng)角α終邊落在第四象限，設(shè)角α終邊上一點P(3，－4)，r＝5，sinα＝－eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(3,5).點評：充分利用三角函數(shù)的定義解題是解答此類問題的關(guān)鍵，對于含字母的方程求解要留意字母的范圍．三角函數(shù)值的符號推斷已知一角的三角函數(shù)值(sinα，cosα，tanα)中隨意兩個的符號，可分別確定出角的終邊所在的可能位置，二者的交集即為該角終邊的位置，留意終邊在坐標(biāo)軸上的特別狀況．[典例2－2](1)(2024·全國卷Ⅱ)若α為第四象限角，則()A．cos2α＞0 B．cos2α＜0C．sin2α＞0 D．sin2α＜0(2)若sinα·tanα＜0，且eq\f(cosα,tanα)＜0，則角α是()A．第一象限角 B．其次象限角C．第三象限角 D．第四象限角(1)D(2)C[(1)∵α是第四象限角，∴sinα＜0，cosα＞0，∴sin2α＝2sinαcosα＜0，故選D.(2)由sinα·tanα＜0可知sinα，tanα異號，則α為其次象限角或第三象限角．由eq\f(cosα,tanα)＜0可知cosα，tanα異號，