教案 均值不等式教案

課題均值不等式年級(jí)授課對(duì)象編寫人LTX時(shí)間2013.4學(xué)習(xí)目標(biāo)1．理解掌握算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的概念，能利用均值定理解決相關(guān)問題；2．通過對(duì)均值不等式的應(yīng)用的研究，滲透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生運(yùn)算能力和邏輯推理能力．3．在學(xué)習(xí)和解決問題的過程中，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和良好的思維習(xí)慣,培養(yǎng)學(xué)生積極探索的態(tài)度和克服困難的毅力。學(xué)習(xí)重點(diǎn)、難點(diǎn)均值定理的理解掌握和靈活運(yùn)用既是教學(xué)重點(diǎn)又是教學(xué)的難點(diǎn)教學(xué)過程T（測試）求的值域，(考查一正)求的最小值。(考查二定)求的最小值。(考查二定)X>0,Y>0,，求的最小值。S（歸納）均值不等式以及與之相關(guān)的不等式內(nèi)容均值定理及重要變形基本形式其他形式若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）.若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）（1）當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”．（2）求最值的條件“一正，二定，三取等”E（典例）公式運(yùn)用舉例例1.已知a、b∈（0，1）且a≠b，下列各式中最大的是（）Ａ．a(chǎn)2+b2Ｂ．２Ｃ．2bＤ．+b解析：只需比較a2+b2與+b。由于a、b∈（0，1），∴a2<a,b2<b∴a2+b2<+b；選D遷練1.（01年.北京春）若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是.分析：“和”到“積”是一個(gè)縮小的過程，而且定值，因此考慮利用均值定理求最小值，解：都是正數(shù)，≥當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由及得即當(dāng)時(shí)，的最小值是6．二．公式運(yùn)用條件例2．求的值域，解。X>0,(當(dāng)僅當(dāng)x=1時(shí)取等)又由奇函數(shù)性質(zhì)，故函數(shù)值域?yàn)椋?∞，-2][2，+∞）遷練2.的值域?yàn)槔?。求最小值。解。2x+=2(x-1)+2+2+2=2+2(當(dāng)僅當(dāng)2（x-1）=時(shí)，即x=2+時(shí)取等)原函數(shù)最小值2。遷練3.設(shè)，求函數(shù)的最大值。解：∵∴當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立。例4.求的最小值解。Slnx++2+3=5(當(dāng)僅當(dāng)slnx=1時(shí)等)所以原函數(shù)最小值5.遷練4.求y=x+,(x1)的最小值三．兩次放縮的取等例5.（2009·重慶)已知a＞0，b＞0，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋2eq\r(ab)的最小值是()A．2 B．2eq\r(2) C．4 D．5解析：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋2eq\r(ab)≥2eq\r(\f(1,ab))＋2eq\r(ab)≥4eq\r(\f(1,ab)·ab)＝4當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b,\f(1,ab)＝ab))，即a＝b＝1時(shí)，等號(hào)成立，因此eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋2eq\r(ab)的最小值為4.答案：C遷練5.1.（00年.全國卷）若，則的大小關(guān)系是.分析：∵∴（∴R>Q>P。遷練5.2.若是正數(shù)，則的最小值是（）A．3 B． C．4 D．解：==≥1+2+1=4當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立故選C。四．構(gòu)造倒式和添項(xiàng)拆填技巧例6．設(shè)a、b∈(0，＋∞)，若a＋b＝2，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值等于()A．1 B．3 C．2 D．4解析：因?yàn)?a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥2eq\r(ab)·2eq\r(\f(1,ab))，即(a＋b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4，其中a＋b＝2，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2.當(dāng)eq\f(1,a)＝eq\f(1,b)，且a＝b即a＝b＝1時(shí)，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)取得最小值2.答案：C遷練6.已知（為常數(shù)），，求的最小值例7.最小值。解。==++2+2=4,(當(dāng)僅當(dāng))遷練7.若,求的最小值五．和積的轉(zhuǎn)換例8．若正數(shù)滿足，則的取值范圍是.分析：因?yàn)槭钦龜?shù)∴∵∴當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立。故的取值范圍是[9，+∞）。遷練8.設(shè)，，且，則課后小結(jié)：二元均值不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”，和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的“放縮功能”.注意均值定理成立的條件：“一正，二定，三取等”.3.創(chuàng)設(shè)應(yīng)用均值不等式的條件，合理拆分項(xiàng)或配湊因式是常用的解題技巧，而拆與湊的方向在于使不等式運(yùn)用時(shí)能消去變量得定值和使等號(hào)能成立.4.多次放縮應(yīng)特別注意不等式方向和取等的公共條件。P(練習(xí)）1．若實(shí)數(shù)a、b滿足0＜a＜b，且a＋b＝1，則下列四個(gè)數(shù)中最大的是()A.eq\f(1,2) B．a(chǎn)2＋b2 C．2ab D．a(chǎn)解析：∵a＋b＝1，a＋b＞2eq\r(ab)，∴2ab＜eq\f(1,2).由a2＋b2＞2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝2·eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)，又0＜a＜b，且a＋b＝1，∴a＜eq\f(1,2)，∴a2＋b2最大．。答案：B2.求下列函數(shù)的最值：（1）；（2）；3.已知，，且，求的最大值.4.已知≥，≥，且，求證：≤5.（01年.北京春）若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是.分析：“和”到“積”是一個(gè)縮小的過程，而且定值，因此考慮利用均值定理求最小值，解：都是正數(shù)，≥當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由及得即當(dāng)時(shí)，的最小值是6．6.(2009·天津)設(shè)x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax＝by＝3，a＋b＝2eq\r(3)，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最大值為()A．2 B.eq\f(3,2) C．1 D.eq\f(1,2)解析：由ax＝by＝3得：x＝loga3，y＝logb3，由a＞1，b＞1知x＞0，y＞0，eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝log3a＋log3b＝log3ab≤log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝1，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝eq\r(3)時(shí)“＝”號(hào)成立，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最大值為1.答案：C測試題選擇題：1．x∈R，下列不等式恒成立的是（）A．x2+1≥xB．<1C．lg(x2+1)≥lg(2x)D．x2+4>4x2．已知x+3y-1=0，則關(guān)于的說法正確的是（）Ａ．有最大值8Ｂ．有最小值Ｃ．有最小值8Ｄ．有最大值3．Ａ設(shè)實(shí)數(shù)x，y，m，n滿足x2+y2=1，m2+n2=3那么mx+ny的最大值是（）Ａ．Ｂ．2Ｃ．Ｄ．4．設(shè)a>0，b>0，則以下不等式中不恒成立的是（）Ａ．（a+b）()≥4Ｂ．a(chǎn)3+b3≥2ab2Ｃ．a(chǎn)2+b2+2≥2a+2bＤ．5．下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)x>0且x≠1時(shí)，lgx+≥2B．當(dāng)x>0時(shí)，+≥2C．當(dāng)x≥2時(shí)，x＋≥2D．當(dāng)0<x≤2時(shí)，x－無最大值6．若a、b、c>0且a(a+b+c)+bc=，則2a+b+c的最小值為（）A．B．C．2D．2二．填空題：7．設(shè)x>0，則函數(shù)y=2－－x的最大值為；此時(shí)x的值是。8．若x>1，則log＋log的最小值為；此時(shí)x的值是。9．函數(shù)y=在x>1的條件下的最小值為；此時(shí)x=_________．10．函數(shù)f(x)=(x≠0)的最大值是；此時(shí)的x值為_______________．三．解答題：11．函數(shù)y=loga(x+3)－1(a>0,a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上，其中mn>0，求的最小值為。12．某公司一年購某種貨物400噸，每次都購買x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬元／次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x為多少噸？13．已知x,y∈（－，）且xy＝－1，求s=的最小值。參考答案：選擇題：1．B2．B解析：＝＝3。A解法一：設(shè)x=sinα，y=cosα，m=sinβ，n=cosβ，其中α，β∈∈（0°，180°）其他略。解法二、m2+n2=3＝1∴2＝x2+y2＋≥∴mx+ny≤。4．B解析：A、C由均值不等式易知成立；D中，若a<b，結(jié)論顯然，若a≥b則這顯然也成立。取a=0.1，b=0.01，可驗(yàn)證B不成立。5．B解析：A中l(wèi)gx不一定為正；C中等號(hào)不成立；D中函數(shù)為增函數(shù)，閉區(qū)間上有最值。故選B。6．D解析：(2a+b+c)2=4a2+(b2+c2)+4ab+4ac+2bc≥4a2+2bc+4ab+4ac+2bc=4(a2+bc+ac+ab)=4[a(a+b+c)+bc]=4()＝4（）2當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立?！嘧钚≈禐?。二．填空題：7．－2，28．2，29。解析：y=＝＝≥5，當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)等號(hào)成立。10。解析：f(x)=＝，此時(shí)x＝。三．解答題：11．解析：∵y=logax恒過定點(diǎn)（1，0），∴y=loga(