數(shù)學(xué)素材：第三章基本初等函數(shù)（Ⅰ）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精教材習(xí)題點(diǎn)撥思考與交流1．略2．注意(eq\r(n,a）)n和eq\r（n，an)(n＞1且n∈N＋)的區(qū)別．①（eq\r(n，a）)n中：當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時(shí)，eq\r（n，a）對(duì)任意的a∈R都有意義，它表示a在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有唯一的一個(gè)n次方根，即（eq\r（n,a））n＝a；當(dāng)n是大于1的偶數(shù)時(shí)，eq\r（n，a)只有當(dāng)a≥0時(shí)才有意義,a＜0時(shí)無意義，eq\r(n，a）（a≥0）表示a在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的一個(gè)n次方根，(eq\r(n，a））n＝a。②式子eq\r（n,an)對(duì)任意a∈R都有意義,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，eq\r(n，an)＝a;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),eq\r(n，an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a（a≥0）,,－a(a〈0)。）)3．冪的運(yùn)算法則是①am·an＝am＋n；②am÷an＝am－n；③(am）n＝amn;④(ab）m＝am·bm.4．對(duì)數(shù)恒等式：.證明：設(shè)aN＝b，由對(duì)數(shù)的意義得logab＝N,兩邊取以a為底的指數(shù)得alogab＝aN＝b，所以。對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則．①loga（MN）＝logaM＋logaN(a＞0,a≠1，M＞0,N＞0）．證明：設(shè)logaM＝p，logaN＝q。由對(duì)數(shù)的定義可知:M＝ap,N＝aq，∴MN＝ap·aq＝ap＋q，∴l(xiāng)oga（MN）＝logaap＋q＝p＋q＝logaM＋logaN.②logaeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（M,N）））＝logaM－logaN(a＞0，a≠1,M＞0,N＞0）．證明：設(shè)logaM＝p，logaN＝q.由對(duì)數(shù)的定義得M＝ap，N＝aq，∴eq\f（M，N）＝eq\f（ap，aq）＝ap－q.∴l(xiāng)ogaeq\f(M,N）＝logaap－q＝p－q＝logaM－logaN,③logaMn＝nlogaM(a＞0，a≠1，M＞0,n∈R)．證明:設(shè)logaM＝p，由對(duì)數(shù)定義知M＝ap,∴Mn＝(ap)n＝anp，∴l(xiāng)ogaMn＝logaanp＝np＝n·logaM。④logaeq\r(n,M）＝eq\f(1,n)logaM（a＞0，a≠1,M＞0，n∈R)．證明:設(shè)logaM＝p，由對(duì)數(shù)定義可得M＝ap，∴，∴l(xiāng)ogaeq\r(n,M)＝＝eq\f(p,n)＝eq\f（1,n)logaM。5．常用對(duì)數(shù)是以10為底的對(duì)數(shù),自然對(duì)數(shù)是以e＝2。71828…為底的對(duì)數(shù)，換底公式為logab＝eq\f(logcb,logca）（a＞0，a≠1，b＞0，c＞0，c≠1)，作用略，合理即可．6．對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)性質(zhì)對(duì)照表。7．略8．略9．略鞏固與提高1．(1)4；（2）27；（3）(0,1)；(4）（1，0)；（5）(1，1）;(6)－2；（7);(8）0。7781;（9）｛x｜1＜x≤2｝;（10）2.2．解：（1）eq\r(5）×eq\r（3,25）×eq\r（6,25)＝.(2)log32×log25×log53＝eq\f(lg2，lg3）×eq\f（lg5，lg2)×eq\f（lg3，lg5）＝1。（3)log2eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(log232－log2\f（3,4）＋log26）)＝log2(log2256）＝log28＝3.3．解：（1）有意義，需2x－1≠0，即x≠eq\f（1,2），即定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈R且x≠\f(1,2）)）））.(2)y＝eq\r（1－\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,2)））x)有意義，需1－eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,2）)）x≥0,所以定義域?yàn)椋?,＋∞)．(3）函數(shù)y＝loga(2－x)(a＞0，且a≠1)有意義，需2－x＞0，所以定義域?yàn)?－∞，2）．（4）函數(shù)y＝loga(1＋x)2(a＞0，且a≠1)有意義，需1＋x≠0，所以定義域?yàn)椋鹸|x∈R，且x≠－1}．4．a(chǎn)(a＞0,a≠1）bN(N＞0）ab＝N底數(shù)指數(shù)冪logaN＝b底數(shù)對(duì)數(shù)真數(shù)評(píng)注：本題考查指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系，它們互為反函數(shù)．5．解:函數(shù)f(x）＝log2（－x）與g(x）＝x＋1的圖象如圖所示．由圖象可知f(x）＜g(x)的解為－1＜x＜0。6．證明：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽。又f(－x）＝eq\f(a－x－ax，2)＝－eq\f(ax－a－x,2)＝－f（x)，∴f(x)為奇函數(shù)．7．解：∵f（x)的定義域?yàn)椋?，3]，又函數(shù)為f(lgx），∴1≤lgx≤3，即10≤x≤1000，則f（lgx）的定義域?yàn)閇10，1000］．8．解:設(shè)這9年的平均增長率為x,則800。05＝60。24（1＋x)9，（1＋x）9＝eq\f（800.05,60。24）＝13。2810,兩邊取常用對(duì)數(shù)，得9lg（1＋x）＝lg13.2810,∴9lg（1＋x）≈1.1232,則lg(1＋x)＝0.1248,∴1＋x＝1.332907，則x＝0.332907≈33.3％?！嗄昶骄鲩L率為33。3％。9．解：當(dāng)A1＝100時(shí),＝25eq\r（A1）＝250；當(dāng)A2＝156.25時(shí)，R2＝25eq\r(A2）＝312.5；當(dāng)A3＝169時(shí)，R3＝25eq\r(A3）＝325?！郣1＜R2＜R3。10．略11．略自測(cè)與評(píng)估1．(1）B（2)B解析：（1）∵eq\r（(lg8－1）2)＝1－lg8，故選B。(2)∵(a＞0且a≠1），∴l(xiāng)ogab＝eq\f(1,2),即2logab＝1。故選B。2．證明:(1)f(a)·f(b）＝3a·3b＝3a＋b＝f(a＋b）．(2)f（a)÷f(b）＝3a÷3b＝3a－b＝f（a－b)．3．解:函數(shù)f(x）的定義域?yàn)閧x｜x∈R且x≠0}，f（－x)＝eq\f(（a－x＋1）(－x),a－x－1）＝eq\f（\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,ax)＋1）)（－x)，\f(1,ax）－1)＝eq\f((1＋ax）（－x),1－ax）＝eq\f(（ax＋1)x,ax－1)＝f（x），所以f（x)為偶函數(shù)．4．解：(1）∵2＞1,且2m＜2n，∴m＜n。(2）∵0。2＜1且log0。2m＞log0.2n，∴m＜n。(3）∴am＜an(0＜a＜1)，∴m＞n。（4）∵logam＞logan（a＞1）,∴m＞n.5．解：由log2［log3(log4x）]＝0得log3(log4x）＝1，即log4x＝3，∴x＝43＝64；由log3［log4（log2y)］＝0得log4(log2y）＝1，即log2y＝4，∴y＝24＝16?！鄕＋y＝64＋16＝80。6．解：∵f（lgx）的定義域?yàn)椋?。1,100］，即0.1≤x≤100，∴－1≤lgx≤2，則f（x)的定義域?yàn)椋郏?，2］．由－1≤eq\f（x，2)≤2，得－2≤x≤4,∴feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(x，2）））的定義域?yàn)椋郏?/p>