數(shù)學(xué)素材：教材梳理絕對(duì)值不等式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精庖丁巧解牛知識(shí)·巧學(xué)一、絕對(duì)值三角不等式1。定理1如果a，b是實(shí)數(shù),則|a+b|≤｜a|+｜b|,當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)，等號(hào)成立.定理1的等號(hào)成立的情況具體來(lái)說(shuō)，當(dāng)a=0或b=0時(shí)，或a〉0、b〉0時(shí)，或a<0，b〈0時(shí)，等號(hào)都是成立的，即有｜a+b｜=｜a｜+｜b｜。除此之外，就是|a+b|<｜a｜+|b｜了。如果把定理1中的實(shí)數(shù)a，b分別替換為向量a,b，則定理1的形式仍舊成立.即有|a+b｜≤|a|+｜b|成立,當(dāng)且僅當(dāng)向量a,b不共線(xiàn)時(shí)，有｜a+b|<|a|+｜b｜成立。聯(lián)想發(fā)散根據(jù)定理1，我們可以得到許多正確的結(jié)論。其中比較常用的結(jié)論有：(1）如果a，b是實(shí)數(shù),那么｜a｜—｜b|≤|a±b｜≤｜a｜+｜b|。（2)|a1+a2+a3+…+an｜≤｜a1|+｜a2｜+｜a3|+…+|an|(n∈N*）.2.絕對(duì)值三角不等式所謂絕對(duì)值三角不等式就是指把定理1中的實(shí)數(shù)a,b分別替換為向量a,b,且向量a，b不共線(xiàn)時(shí)，所成立的不等式｜a+b|〈|a|+|b｜.絕對(duì)值三角不等式即向量不等式|a+b|<|a｜+｜b｜的幾何意義就是三角形的兩邊之和大于第三邊(如下圖所示）.記憶要訣由于絕對(duì)值三角不等式其形式與定理1是完全類(lèi)似的，所以只要記住定理1，那么這個(gè)絕對(duì)值三角不等式也就記住了。3.定理2如果a,b，c是實(shí)數(shù)，那么｜a—c｜≤|a-b｜+|b—c|，當(dāng)且僅當(dāng)(a—b)(b—c)≥0時(shí),等號(hào)成立.對(duì)于定理2，同學(xué)們不但要記住它的形式，還應(yīng)注意它的特點(diǎn),尤其要注意它的不等號(hào)左邊沒(méi)有字母b，只有右邊才有。學(xué)法一得要注意|a—c｜可以變形為|（a-b)+(b—c)｜，熟悉這種變形，那么在具體解題時(shí)就可以通過(guò)變形來(lái)巧妙地利用定理2了.二、絕對(duì)值不等式的解法要熟記簡(jiǎn)單絕對(duì)值不等式的解法,它是解較復(fù)雜的絕對(duì)值不等式的基礎(chǔ)，即要記?。阂话愕?如果a〉0，則有：|x｜〈a—a<x〈a,因此,不等式|x｜〈a的解集是(-a，a)；|x｜〉ax<—a或x〉a，因此,不等式|x｜>a的解集是（—∞，—a）∪（a，+∞）。1。|ax+b|≤c和｜ax+b|≥c型不等式的解法。求解這類(lèi)絕對(duì)值不等式,只要將ax+b看成一個(gè)整體，然后套用|x｜<a或｜x|〉a的不等式的解法即可。2。|x-a｜+|x-b|≤c和|x-a｜+|x-b｜≥c型不等式的解法.求解這類(lèi)絕對(duì)值不等式，主要的方法有如下三種：（1）利用絕對(duì)值的幾何意義；（2）分區(qū)間討論法；(3）構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的圖象求解。求解這類(lèi)絕對(duì)值不等式時(shí)，可根據(jù)題目的不同而適時(shí)選用不同的方法求解.誤區(qū)警示解絕對(duì)值不等式切勿盲目地套用某一類(lèi)解法，一定要注意不等式的形式，要針對(duì)不同的形式對(duì)號(hào)入座采取相應(yīng)的方法來(lái)求解。典題·熱題知識(shí)點(diǎn)一:與定理1、2相關(guān)的絕對(duì)值不等式的判斷與證明例1若｜x—a|〈m，|y—a｜〈n，則下列不等式一定成立的是（)A.｜x-y|〈2mB.｜x-y｜<2nC。|x—y|<n-mD.｜x—y｜<n+m思路分析：注意觀察比較｜x-y｜與｜x—a|，|y—a|之間的關(guān)系，不難發(fā)現(xiàn)通過(guò)適當(dāng)變形就可運(yùn)用定理1及已知條件來(lái)巧妙求解此題了,具體解題過(guò)程為:|x—y｜=｜x-a—(y-a）|≤｜x-a｜+｜y—a|〈m+n,故選D。答案：D巧解提示對(duì)某些式子進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?以便創(chuàng)造條件利用某些定理、公式來(lái)解題，這是一種常用的技巧，如此題求解過(guò)程中的｜x-y|=|x—a—（y-a）|就是變形，而變形的基礎(chǔ)是必須要熟悉公式.例2已知a、b、c、d都是實(shí)數(shù),且a2+b2=m2，c2+d2=n2(m〉0，n>0)，求證：|ac+bd|≤.思路分析:證明此題時(shí),可將ac、bd分別看成整體，那么就可以套用定理1來(lái)證明了。證明:∵a、b、c、d∈R，∴|ac+bd|≤｜ac|+|bd｜≤=，∴｜ac+bd|≤。誤區(qū)警示如果利用ab≤來(lái)證明此題，就容易出現(xiàn)似是而非的證法，而利用較嚴(yán)格的公式｜ab｜≤來(lái)證明就不易出錯(cuò)了。因此同學(xué)們要注意公式的適時(shí)選用.知識(shí)點(diǎn)二：絕對(duì)值不等式的解法例3解關(guān)于x的不等式|2x-1|<2m—1（m∈R）。思路分析:要注意對(duì)2m—1的正負(fù)情況進(jìn)行討論。解：若2m-1≤0，即m≤，則|2x-1｜<2m—1恒不成立，此時(shí)，原不等式無(wú)解；若2m—1〉0,即m〉，則—（2m-1）〈2x—1<2m-1,所以1-m<x<m.由上可得：當(dāng)m≤時(shí)，原不等式的解集為，當(dāng)m>時(shí)，原不等式的解集為：{x｜1-m〈x<m}.方法歸納對(duì)于不等號(hào)右側(cè)是含有參數(shù)的式子的這類(lèi)絕對(duì)值不等式，在求解時(shí)一定要通過(guò)對(duì)參數(shù)式子的正、負(fù)、零三種情況的討論來(lái)求解.例4解不等式3≤｜x—2｜<4.思路分析：此題的不等式屬于絕對(duì)值的連不等式，求解時(shí)可將其化為絕對(duì)值的不等式組再求解。解:原不等式等價(jià)于由(1）得x—2≤-3或x-2≥3,∴x≤-1,或x≥5。由（2）得—4〈x-2〈4，∴—2<x〈6.如上圖所示，原不等式的解集為{x|—2〈x≤-1或5≤x<6｝.誤區(qū)警示有些同學(xué)求解這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，為了圖省事，往往不愛(ài)通過(guò)畫(huà)圖來(lái)尋找解集，總愛(ài)耍點(diǎn)小聰明，這是造成求解出錯(cuò)的主要原因.例5解不等式｜x+7｜-|x-2｜≤3.思路分析：解含有絕對(duì)值的不等式，總的思路是同解變形為不含絕對(duì)值的不等式，但要根據(jù)求解不等式的結(jié)構(gòu),選用恰當(dāng)?shù)姆椒ā４祟}中有兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)，故可用絕對(duì)值的幾何意義來(lái)求解,或用分區(qū)間討論法求解,還可構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)圖象求解。圖1解：[方法一]|x+7｜-|x—2｜可以看成數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)(坐標(biāo)為x）到-7對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離與到2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離的差，先找到這個(gè)差等于3的點(diǎn)，即x=-1（如圖1所示）.從圖易知不等式｜x+7|-|x-2|≤3的解為x≤-1，即x∈（-∞,-1］。[方法二］令x+7=0,x-2=0得x=—7,x=2。①當(dāng)x<-7時(shí),不等式變?yōu)椤獂—7+x-2≤3，∴—9≤3成立,∴x<-7.圖2②當(dāng)—7≤x≤2時(shí)，不等式變?yōu)閤+7+x—2≤3，即2x≤-2，∴x≤—1,∴-7≤x≤-1.③當(dāng)x〉2時(shí)，不等式變?yōu)閤+7—x+2≤3,即9≤3不成立，∴x∈.∴原不等式的解集為(—∞,-1］.［方法三］將原不等式轉(zhuǎn)化為|x+7｜—|x-2|-3≤0,構(gòu)造函數(shù)y=|x+7|-｜x-2｜-3，即y=.作出函數(shù)的圖象(如圖2），從圖可知，當(dāng)x≤—1時(shí),有y≤0,即|x+7|—｜x-2｜—3≤0，所以，原不等式的解集為(—∞,—1］。巧妙變式針對(duì)此題，我們可以進(jìn)行各種不同的題目變式.如：可以將兩個(gè)絕對(duì)值里面的運(yùn)算符號(hào)改變、可以將兩個(gè)絕對(duì)值之間的運(yùn)算符號(hào)改變、可以將“≤”改變?yōu)椤啊?，還可以將不等號(hào)右邊的數(shù)改成字母等等。變式后題目的求解還是用上述的幾種解法.問(wèn)題·探究誤區(qū)陷阱探究問(wèn)題1對(duì)此題“寫(xiě)出不等式|2x-1｜〈3的解集并化簡(jiǎn)”，某同學(xué)的錯(cuò)解如下：不等式｜2x—1｜〈3的解集是｛x｜｜2x—1｜〈3}=｛x｜2x—1〈3｝∪｛x|2x—1〉—3}=｛x|x<2｝∪{x|x>—1｝={x｜-1<x<2｝.探究過(guò)程：這位同學(xué)解得的結(jié)果是正確的，但解法不對(duì)。解法中有兩處錯(cuò)誤，但卻歪打正著得出了正確的結(jié)果。首先是把絕對(duì)值不等式的解法搞錯(cuò)了.這位同學(xué)寫(xiě)的求解過(guò)程中的兩個(gè)集合{x｜2x—1〈3}與{x｜2x-1>-3}的中間不應(yīng)當(dāng)用并的符號(hào)“∪”，而應(yīng)改為“∩”.這兩個(gè)集合是應(yīng)該取交集的.另外，按照這位同學(xué)錯(cuò)寫(xiě)的兩集合“并”來(lái)運(yùn)算時(shí)又解錯(cuò)了。{x|x<2｝∪{x|x>-1}的結(jié)果應(yīng)為{x｜-∞〈x〈+∞｝,而不是{x|—1<x<2｝。探究結(jié)論:如果按照這位同學(xué)的思路求解，可以修改為：不等式｜2x-1｜<3的解集是：｛x｜|2x—1|<3｝={x｜2x—1<3｝∩{x|2x—1>—3｝=｛x｜x<2｝∩｛x｜x〉—1｝={x｜-1〈x〈2}。不過(guò)，更簡(jiǎn)單的解法應(yīng)是:不等式｜2x-1|〈3的解集是:{x||2x-1|<3｝=｛x｜—3〈2x-1<3}={x｜-1<x〈2}。思維發(fā)散探究問(wèn)題2已知a、b、c是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，g(x）=ax+b，當(dāng)-1≤x≤1時(shí),|f(x)|≤1，試探究當(dāng)x∈［—1，1］時(shí),|g(x)|≤2。探究過(guò)程:這是一個(gè)通過(guò)關(guān)聯(lián)二次函數(shù)、一次函數(shù)考查不等式的變換能力的問(wèn)題，因此在證明中要注意合理應(yīng)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)定理，由于g(x)是一次函數(shù),可將｜g（x)|≤2轉(zhuǎn)化為g（—1）與g（1）與2的關(guān)系加以證明，也可挖掘g（x)與f(x）的隱含關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)模型，尋求整體突破.探究結(jié)論:［方法一］當(dāng)a>0時(shí)g（x)=ax+b在[—1，1]上是增函數(shù)，∴g(—1)≤g(x）≤g（1），∵|f(x）|≤1（—1≤x≤1),∴｜c(diǎn)｜=｜f（0）｜≤1，∴g（1）=a+b=f(1)—c≤|f(1）|+|c|≤2，g（-1）=—a+b=—f（-1)+c≥—（｜f（—1）｜+｜c(diǎn)|)≥-2，∴|g(x）|≤2。當(dāng)a<0時(shí)，g(x)=ax+b在[-1，1］上是減函數(shù)，∴g(1)≤g（x）≤g（-1),∵|f(x）|≤1(-1≤x≤1)，∴｜c(diǎn)|=|f(0)｜≤1,∴g(—1）=-a+b=-f（—1）+c≤|f(—1）｜+｜c(diǎn)｜≤2,g（1）=a+b=f（1）-c≥-(|f（—1）｜+｜c(diǎn)|)≥-2，∴|g（x）|≤2.當(dāng)a=0時(shí),g（x