2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.2.1任意角的三角函數(shù)3教學(xué)教案新人教A版必修4

PAGE§1.2.1隨意角三角函數(shù)（一）授課人授課班級課型概念課課時1課時教學(xué)目標(biāo)1.駕馭隨意角的三角函數(shù)的定義；

2.隨意角的三角函數(shù)和銳角的三角函數(shù)的聯(lián)系和區(qū)分；

3.理解角的三角函數(shù)值與角終邊上點的位置無關(guān)；

4.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義域；

5.已知角終邊上一點，會求角的各三角函數(shù)值。教學(xué)重點隨意角三角函數(shù)的定義和簡潔應(yīng)用教學(xué)難點用角的的終邊上點的坐標(biāo)來刻畫三角函數(shù)，隨意角三角函數(shù)定義的引入教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)過程設(shè)計意圖教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入：師：同學(xué)們，初中我們學(xué)習(xí)了銳角的三角函數(shù)，之前我們把角由初中學(xué)習(xí)的~推廣到了隨意角，能否也將銳角三角函數(shù)推廣到隨意角的三角函數(shù)呢？今日我們將一起來學(xué)習(xí)和探討。問：如圖，初中我們銳角QUOTE是怎么定義它的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的？（引導(dǎo)學(xué)生作直角三角形，設(shè)出點P的坐標(biāo)）從開章語談起，告知學(xué)生本節(jié)課探討的目的和緣由。復(fù)習(xí)舊學(xué)問，為新學(xué)問的探究作打算。教學(xué)過程教學(xué)過程二、深化探究問題1：在直角坐標(biāo)系中如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)？探究1：在直角三角形中銳角QUOTE是怎么定義它的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的？探究2：引入直角坐標(biāo)系之后，可以怎么表示？探究3：三角函數(shù)的值會因為角終邊點P的選取而改變嗎？圖中，點是銳角的終邊上異于的一點，設(shè)P，，你能寫出、、、之間的關(guān)系嗎？MM’yxOP’PM隨意角QUOTEQUOTE（實數(shù)）→唯一比值隨意角QUOTEQUOTE（實數(shù)）→唯一比值隨意角QUOTEQUOTE（實數(shù)）→唯一比值師：確定的角QUOTE（弧度數(shù)）終邊任取一點P，，比值（、）與角QUOTE唯一對應(yīng)，都是實數(shù)的函數(shù)。探究4：能否通過|op|取特別值將表達(dá)式簡化呢？畫單位圓與角終邊的交點探究5:如何用單位圓定義隨意角的三角函數(shù)？雖然角的大小發(fā)生改變，但是：隨意角QUOTEQUOTE（實數(shù)）→唯一對應(yīng)隨意角QUOTEQUOTE（實數(shù)）→唯一對應(yīng)隨意角QUOTEQUOTE（實數(shù)）→唯一對應(yīng)滿意函數(shù)定義，可以推廣從熟識的初中定義起先，逐步引入坐標(biāo)系，從特別到一般，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，感受新學(xué)問產(chǎn)生的合理性和必冉性。唯一比值：1、說明與點P的選取是無關(guān)的，為下一問作鋪墊；2、說明自變量隨意角QUOTEQUOTE與三角函數(shù)值的比值是一個映射，滿意函數(shù)關(guān)系。單位圓的引入，簡化了函數(shù)值的表達(dá)式。隨意角QUOTEQUOTE與三角函數(shù)值的比值是一個映射，是一個函數(shù)。三、定義推廣隨意角的三角函數(shù)定義【板書】隨意角QUOTE的終邊與單位圓交于點P，則：y叫做QUOTEQUOTEQUOTE的正弦，記作sinQUOTEQUOTE，即sinQUOTEQUOTE=yx叫做QUOTEQUOTE的余弦，記作cosQUOTEQUOTE，即cosQUOTEQUOTE=x叫做QUOTEQUOTE的正切，記作tanQUOTEQUOTEQUOTE，即tan=師：正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)。問4：你能給出三角函數(shù)中自變量的取值范圍（即三角函數(shù)的定義域）嗎？問5：如何求角的三角函數(shù)值?畫角：使角的始邊在x軸上，角的頂點在坐標(biāo)原點求點：求角的終與單位圓的交點坐標(biāo)P（x,y）3、算值：由定義計算：sinQUOTEQUOTE=ycosQUOTEQUOTE=xtan=留意用函數(shù)的定義稍加說明。強調(diào)函數(shù)問題定義域優(yōu)先。由定義總結(jié)方法，為應(yīng)用作好備注。四、學(xué)以致用例1：如圖：已知角的終邊與單位圓的交點是P，求角的正弦、余弦和正切值。xxyo思索：如何判定一個點的坐標(biāo)是否在單位圓上？例2：求的正弦、余弦、正切值。xyxyo例3：已知角的終邊經(jīng)過點，求角的正弦、余弦、正切值。干脆運用定義，強調(diào)定義運用的條件：“點P為角的終邊與單位圓的交點”數(shù)形結(jié)合，干脆運用定義探究3的應(yīng)用，另肯定義的引入。課堂小結(jié)本節(jié)課我們是如何探討隨意角三角函數(shù)的？直角三角形中銳角三角函數(shù)→直角坐標(biāo)系中銳角三角函數(shù)→單位圓中隨意角三角函數(shù)如何求角的三角函數(shù)單位圓中：在非單位圓中：sinQUOTEQUOTE=ysinQUOTE=cosQUOTEQUOTE=xcosQUOTE=tan=tanQUOTEQUOTE=課后作業(yè)練習(xí)題：第15頁第1、2題習(xí)題1.2A組第1、2題.板書設(shè)計教學(xué)反思三角函數(shù)是描述客觀世界中周期改變規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，本章是建立在函數(shù)基礎(chǔ)上探究角，本節(jié)課是學(xué)習(xí)完《隨意角》、《弧度制》后的第一節(jié)課。在初中，學(xué)生就接觸過銳角三角函數(shù)，為了刻畫一些簡潔的周期運動，要將其推廣給出定義，將使學(xué)生的思維陷入僵化，不能發(fā)展學(xué)生的發(fā)散思維，無法讓學(xué)生體會到隨意角的三角函數(shù)是以角為變量的函數(shù)這一數(shù)學(xué)本質(zhì)。這是我上這節(jié)課始終關(guān)注和克服的一大問題，因此我在教學(xué)中運用了幾何畫板，用現(xiàn)場的度量、計算使學(xué)生實現(xiàn)自主探究、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)內(nèi)涵。一、勝利之處

1、教學(xué)設(shè)計合理、層次分明、環(huán)環(huán)相扣，符合學(xué)生的學(xué)情和認(rèn)知規(guī)律。本節(jié)課的教學(xué)中，以初中學(xué)習(xí)過的學(xué)問入手，切入點底，學(xué)生進入狀態(tài)快。從特別到一般的做法，給學(xué)生有據(jù)可依，有例可仿，能大膽總結(jié)，主動參加。2、幾何畫板展示的數(shù)學(xué)“試驗”成為了托載學(xué)生思維翱翔的翅膀。為防止“由直角三角形中的銳角三角函數(shù)推廣到隨意角三角函數(shù)的定義，將使學(xué)生的思維陷入僵化，不能發(fā)展學(xué)生的發(fā)散思維，無法讓學(xué)生體會到隨意角的三角函數(shù)是以角為變量的函數(shù)這一數(shù)學(xué)本質(zhì)”這一目的，我在教學(xué)中兩次設(shè)計幾何畫板數(shù)學(xué)“試驗”，展示了“銳角三角函數(shù)值與角終邊取點的位置無關(guān)”和“隨意角的三角函數(shù)是以角為變量，角的終邊與單位圓交點坐標(biāo)或比值為函數(shù)值的函數(shù)關(guān)系”兩個數(shù)學(xué)試驗，讓學(xué)生視察、體會到這一數(shù)學(xué)本質(zhì)?！皯{風(fēng)巧借力，送我上青云”此次再一次讓我體會到數(shù)學(xué)學(xué)科與先進的信息技術(shù)不斷融合，將更好的為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)創(chuàng)建好的學(xué)習(xí)環(huán)境。3、板書設(shè)計的變更。實際教學(xué)中，我將預(yù)設(shè)板書中的“一、直角坐標(biāo)系中的銳角三角函數(shù)”標(biāo)題更改為：“三、隨意角三角函數(shù)（非單位圓中）”這樣的更改來源于課堂教學(xué)中老師和學(xué)生互動之后思維碰撞的聚晶。不僅僅降低了書寫“成本”，更好的體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的返璞歸真和解決問題的多樣性，更加的突出和強調(diào)了本節(jié)課的重點。二、不足之處

1、學(xué)生談?wù)摕岢啦桓?，老師引?dǎo)不夠。學(xué)生自己的想法，不擅長和同學(xué)老師溝通，不敢大膽的說。我想在此，老師的引導(dǎo)不夠，啟發(fā)不足，激勵不多有關(guān)。2、課堂中留給學(xué)生獨立思索，獨立表達(dá)的時間還不夠多，未能讓學(xué)生更加更好的展示自己的所思所想。3、對學(xué)生的學(xué)習(xí)實力預(yù)想略微偏高。三、教材再相識

1、數(shù)學(xué)課堂的情景創(chuàng)設(shè)是關(guān)鍵。雖然這節(jié)課情景創(chuàng)設(shè)是老掉牙的復(fù)習(xí)導(dǎo)入初中銳角三角函數(shù)，但留意與義務(wù)教材的連接，初中教材中只涉及正弦、余弦和正切，在本節(jié)的內(nèi)容比老教材相比三角函數(shù)的定義削減了三個，這三個三角函數(shù)的刪減大大降低三角函數(shù)一章的難度，由這三個也可以推導(dǎo)其他幾個。定義的引入還有一個最大的特點是利用單位圓定義三角函數(shù)是一個創(chuàng)新。我認(rèn)為它有如下幾個優(yōu)點：一是使正余弦函數(shù)干脆對應(yīng)直角坐標(biāo)系下一個點的橫縱坐標(biāo)更加清晰、簡潔，突出了三角函數(shù)的本質(zhì)。有利于學(xué)生理解三角函數(shù)是函數(shù)的本質(zhì)；二是使三角函數(shù)反映的數(shù)形關(guān)系更加明白，為后續(xù)內(nèi)容奠定基礎(chǔ)。2、本節(jié)的重點和難點是對隨意角三角函數(shù)定義的理解。一要闡述隨意角三角函數(shù)定義來歷，而要說明關(guān)系式是函數(shù)。在說明是函數(shù)上為了不讓學(xué)生會被函數(shù)的概念攪昏，我提出了啟發(fā)性的問題：給一個a值有一個點的坐標(biāo)與之對應(yīng)，所以它們是函數(shù)嗎？比干脆問他們是不是函數(shù)好推斷多了。銳角三角函數(shù)與隨意角三角函數(shù)的關(guān)系是由特別到一般的關(guān)系，首先，要建立銳角三角函數(shù)放在直角坐標(biāo)系下，用終邊上點的坐標(biāo)來表示，再用終邊與單位圓的交點的坐標(biāo)表示。

3、本節(jié)滲透數(shù)學(xué)思想方法、思維實力

。通過單位圓來定義三角函數(shù)，滲透數(shù)形結(jié)合思想。同時在說明三角函數(shù)是函數(shù)上體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想。由銳角三角函數(shù)的坐標(biāo)表示引到隨意角的三角函數(shù)的坐標(biāo)表示展示類比的思想。在探究四象限的三角函數(shù)的符號特征我采納探究式學(xué)習(xí)方式，熬煉了學(xué)生的獨立思索的實力，也充分呈現(xiàn)學(xué)生自學(xué)、探究學(xué)習(xí)的過程。4、數(shù)學(xué)概念教學(xué)。數(shù)學(xué)概念是人腦對現(xiàn)實對象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，即一種數(shù)學(xué)的思維形式。，三角函數(shù)的概念教學(xué)是本節(jié)難點，假如老師干脆“告知”學(xué)生什么是“隨意角三角函數(shù)”，就會讓學(xué)生處于茫然不知所日，在學(xué)問接受上有突兀感．在教學(xué)中應(yīng)遵循中學(xué)數(shù)學(xué)新課標(biāo)的要求，加強概念的引入，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)驗從舊知抽象出數(shù)學(xué)概念的過程．合理設(shè)置情境，使學(xué)生主動參加教學(xué)，了解學(xué)問發(fā)生發(fā)展的背景和過程，使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)的樂趣，為了總結(jié)出一個結(jié)論要建立隨意角三角函數(shù)概念，角的概念先擴大，即隨意角三角函數(shù)的概念是抽象度更高、包含范圍更廣的概念。產(chǎn)生與原認(rèn)知結(jié)構(gòu)不協(xié)調(diào)的方面是：要建立銳角三角函數(shù)的一個等價的表示過程，即放在直角坐標(biāo)系下，用終邊上點的坐標(biāo)來表示，進一步用終邊與單位圓的交點的坐標(biāo)表示。以上是我對上這課的一點體會