四川省瀘縣普通高中共同體2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題含答案

四川省瀘縣普通高中共同體2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的情況，采用分層抽樣的方法從高一240人、高二200人、高三160人中，抽取60人進(jìn)行問卷調(diào)查，則高一年級被抽取的人數(shù)為（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若向量與共線，則實(shí)數(shù)（

）A．-2 B．-1 C．1 D．24．已知空間中三點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．5．設(shè)m，n是空間中兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若．則D．若，則6．空氣質(zhì)量指數(shù)是評估空氣質(zhì)量狀況的一組數(shù)字，空氣質(zhì)量指數(shù)劃分為、、、、和六檔，分別對應(yīng)“優(yōu)”、“良”、“輕度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“嚴(yán)重污染”六個等級．如圖是某市2月1日至14日連續(xù)14天的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，則下面說法中正確的是（

）．A．這14天中有5天空氣質(zhì)量為“中度污染”B．從2日到5日空氣質(zhì)量越來越好C．這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)是214D．連續(xù)三天中空氣質(zhì)量指數(shù)方差最小是5日到7日7．三棱錐中，平面，，，，，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．8．如圖，在三棱錐中，點(diǎn)為底面的重心，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，過點(diǎn)的平面分別交棱，，于點(diǎn)，，，若，，，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A．向量與向量的夾角為B．C．向量在向量上的投影向量為D．向量與向量共面10．下列說法正確的是（

）A．從容量為的總體中抽取一個容量為的樣本，當(dāng)選取抽簽法、隨機(jī)數(shù)法和按比例分層隨機(jī)抽樣三種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為則B．若，則事件A與事件B相互獨(dú)立C．一個人連續(xù)射擊2次，事件“兩次均未擊中”與事件“至多一次擊中”互為對立事件D．若，，且事件A與事件B相互獨(dú)立，則11．已知正方體棱長為2，P為空間中一點(diǎn)，下列論述正確的是（

）A．若，則異面直線BP與所成角的余弦值為B．若三棱錐的體積是定值C．若，有且僅有一個點(diǎn)P，使得平面D．若，則異面直線BP和所成角取值范圍是三、填空題（本大題共3小題）12．在一次射擊訓(xùn)練中，某運(yùn)動員5次射擊的環(huán)數(shù)依次是，則該組數(shù)據(jù)的方差.13．圓錐的高為2，其側(cè)面展開圖的圓心角為，則該圓錐的體積為.14．如圖，銳二面角的棱上有，兩點(diǎn)，直線，分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于.已知，，，則銳二面角的平面角的余弦值是.四、解答題（本大題共5小題）15．《中華人民共和國民法典》于2021年1月1日正式施行．某社區(qū)為了解居民對民法典的認(rèn)識程度，隨機(jī)抽取了一定數(shù)量的居民進(jìn)行問卷測試（滿分：100分），并根據(jù)測試成績繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)估計該組測試成績的平均數(shù)和第57百分位數(shù)；(2)該社區(qū)在參加問卷且測試成績位于區(qū)間和的居民中，采用分層隨機(jī)抽樣，確定了5人.若從這5人中隨機(jī)抽取2人作為該社區(qū)民法典宣講員，設(shè)事件“兩人的測試成績分別位于和”，求.16．記的內(nèi)角，，所對的邊分別為，已知．(1)求；(2)若是的中線，且，的面積為，求的周長．17．某足球俱樂部舉辦新一屆足球賽,按比賽規(guī)則,進(jìn)入淘汰賽的兩支球隊(duì)如果在120分鐘內(nèi)未分出勝負(fù),則需進(jìn)行點(diǎn)球大戰(zhàn).點(diǎn)球大戰(zhàn)規(guī)則如下:第一階段,雙方各派5名球員輪流罰球,雙方各罰一球?yàn)橐惠?球員每罰進(jìn)一球則為本方獲得1分,未罰進(jìn)不得分,當(dāng)分差拉大到即使落后一方剩下的球員全部罰進(jìn)也不能追上的時候,比賽即宣告結(jié)束,剩下的球員無需出場罰球.若5名球員全部罰球后雙方得分一樣,則進(jìn)入第二階段,雙方每輪各派一名球員罰球,直到出現(xiàn)某一輪一方罰進(jìn)而另一方未罰進(jìn)的局面,則罰進(jìn)的一方獲勝.設(shè)甲、乙兩支球隊(duì)進(jìn)入點(diǎn)球大戰(zhàn),由甲隊(duì)球員先罰球,甲隊(duì)每位球員罰進(jìn)點(diǎn)球的概率均為,乙隊(duì)每位球員罰進(jìn)點(diǎn)球的概率均為.假設(shè)每輪罰球中,兩隊(duì)進(jìn)球與否互不影響,各輪結(jié)果也互不影響.(1)求每一輪罰球中,甲、乙兩隊(duì)打成平局的概率;(2)若在點(diǎn)球大戰(zhàn)的第一階段,甲隊(duì)前兩名球員均得分而乙隊(duì)前兩名球員均未得分,甲隊(duì)暫時以2:0領(lǐng)先,求甲隊(duì)第5個球員需出場罰球的概率.18．如圖，且，，且，且，平面，.(1)設(shè)面BCF與面EFG的交線為，求證：；(2)證明:(3)在線段BE上是否存在一點(diǎn)P，使得直線DP與平面ABE所成的角的正弦值為，若存在，求出P點(diǎn)的位置，若不存在，說明理由.19．“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個問題.該問題是：“在一個三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個頂點(diǎn)的距離之和最小.意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時，使得的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)有一個內(nèi)角大于或等于時，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).試用以上知識解決下面問題：(1)若是邊長為4的等邊三角形，求該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離之和；(2)的內(nèi)角所對的邊分別為，且，點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn).（ⅰ）若，求;（ⅱ）若，求的最小值.

參考答案1．【答案】B【詳解】高一抽取的人數(shù)分別，故選B．2．【答案】B【詳解】由，可得，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)為，則該點(diǎn)位于第二象限.故選：B.3．【答案】D【分析】先由圖得出用表示的式子，再根據(jù)向量共線的充要條件求之即得.【詳解】根據(jù)網(wǎng)格圖中的的大小與方向，易于得到，由向量與共線，可得，解得：.故選D.4．【答案】C【詳解】因?yàn)椋?，則點(diǎn)到直線的距離為.故選：C.5．【答案】A【分析】對于A,利用平面的法向量可判斷A;對于B，判斷出m,n可能是異面直線即可；對于C,判斷出m,n可能是平行直線，即可判斷C；對于D，判斷兩平面有可能相交，即可判斷D.【詳解】對于A，可在m上取向量作為平面的法向量，在n上取向量作為平面的法向量，則由可知，故，A正確；對于B，若，則m,n可能是異面直線，故B錯誤；對于C，若，則m,n可能是平行直線，不一定垂直，故C錯誤；對于D，若，則可能相交，即當(dāng)m,n都和兩平面的交線平行時，即有，故不一定平行，故D錯誤，故選：A6．【答案】B【詳解】A選項(xiàng)：這14天中空氣質(zhì)量為“中度污染”有4日，6日，9日，10日，共4天，A選項(xiàng)錯誤；B選項(xiàng)：從2日到5日空氣質(zhì)量指數(shù)逐漸降低，空氣質(zhì)量越來越好，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)是，C選項(xiàng)錯誤；D選項(xiàng)：方差表示波動情況，根據(jù)折線圖可知連續(xù)三天中波動最小的是9日到11日，所以方程最小的是9日到11日，D選項(xiàng)錯誤；故選：B.7．【答案】B【詳解】在中，，，，由余弦定理可得，即，所以，設(shè)的外接圓半徑為，則，所以，平面，且，設(shè)三棱錐外接球半徑為，則，即，所以三棱錐外接球的表面積為．故選：B．8．【答案】D【分析】由空間向量基本定理，用表示，由D，E，F(xiàn)，M四點(diǎn)共面，可得存在實(shí)數(shù)，使，再轉(zhuǎn)化為，由空間向量分解的唯一性，分析即得解.【詳解】由題意可知，因?yàn)镈，E，F(xiàn)，M四點(diǎn)共面，所以存在實(shí)數(shù)，使，所以，所以，所以，所以．故選D.9．【答案】BCD【詳解】因?yàn)?，所以，可得，則向量與向量的夾角為，故A錯誤；因?yàn)?，，所以，即B正確；根據(jù)投影向量的定義可知，向量在向量上的投影向量為，所以C正確；由向量，可知，向量與向量共面，所以D正確．故選：BCD.10．【答案】ABD【詳解】對于A，根據(jù)抽樣方法的使用規(guī)則，可知A正確；對于B，，故B正確；對于C，設(shè)事件{兩次均為中}={中槍次數(shù)為}、事件{至多中一次}={中槍的次數(shù)為}，由，則事件包含事件，故C錯誤；對于D，由，則，因?yàn)槭录c事件相互獨(dú)立，所以，故D正確.故選：ABD.11．【答案】BD【詳解】A：由，即為中點(diǎn)，連接，若分別是中點(diǎn)，連接，則，又且，即為平行四邊形，所以，所以異面直線BP與所成角，即為或其補(bǔ)角，而，，，故，故A錯誤；B：由知：在（含端點(diǎn)）上移動，如下圖示，△面積恒定，到面的距離恒定，故的體積是定值，故B正確；C：若分別是中點(diǎn)，由知：在（含端點(diǎn)）上移動，由平面，平面，則面平面，由，平面平面，平面，所以平面，平面，則，同理可證：，由，,平面，故平面，而面平面，要使平面，則必在面內(nèi)，顯然平面，故C錯誤；D：由知：在（含端點(diǎn)）上移動，如圖以為原點(diǎn)，分別為軸建系，則，，，則，設(shè)，則，所以，令，當(dāng)，即時，，此時直線和所成角是；當(dāng)，即時，則，當(dāng)，即時，取最大值為，直線和所成角的最小值為，故D正確.故選BD.12．【答案】/【詳解】因?yàn)槠骄鶖?shù)，所以方差.故答案為：13．【答案】【分析】結(jié)合圓錐的幾何特征，分別求出，最后應(yīng)用圓錐體積公式計算.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，高為，則，所以，所以圓錐的體積為.故答案為：14．【答案】【詳解】設(shè)銳二面角的平面角為，，則，則.故答案為：15．【答案】(1)平均數(shù)76.2；第57百分位數(shù)79；(2).【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知測試成績的平均數(shù).測試成績落在區(qū)間的頻率為，落在區(qū)間的頻率為，所以設(shè)第57百分位數(shù)為a，有，解得；（2）由題知，測試分?jǐn)?shù)位于區(qū)間、的人數(shù)之比為，所以采用分層隨機(jī)抽樣確定的5人，在區(qū)間中3人，用，，表示，在區(qū)間中2人，用，表示，從這5人中抽取2人的所有可能情況有：，，，，，，，，，，共10種，其中“分別落在區(qū)間和”有6種，所以.16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）∵，∴由正弦定理得，∴，∴，∵，∴.即，∵，∴.∴，即.（2）∵由題意得，∴.∵是的中線，∴CD=∴，∴，，由余弦定理得，∴.∴的周長為.17．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)每一輪罰球中,甲隊(duì)球員罰進(jìn)點(diǎn)球的事件為,未罰進(jìn)點(diǎn)球的事件為;乙隊(duì)球員罰進(jìn)點(diǎn)球的事件為,未罰進(jìn)點(diǎn)球的事件為.設(shè)每一輪罰球中,甲、乙兩隊(duì)打成平局的事件為C,由題意,得在每一輪罰球中兩隊(duì)打成平局的情況有兩種:甲、乙均未罰進(jìn)點(diǎn)球,或甲、乙均罰進(jìn)點(diǎn)球,則,故每一輪罰球中,甲、乙兩隊(duì)打成平局的概率為.（2）因?yàn)榧钻?duì)第5個球員需出場罰球,則前四輪罰球甲、乙兩隊(duì)分差不能超過1分,即四輪罰球結(jié)束時比分可能為2:1或2:2或3:2.①比分為2:1的概率為.②比分為2:2的概率為.③比分為3:2的概率為.綜上,甲隊(duì)第5個球員需出場罰球的概率為.18．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)線段BE上存在點(diǎn)P，且時使得直線DP與平面ABE所成的角的正弦值為【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，又平面，平面，所以面，又平面，平面平面，所?（2）因?yàn)榍遥运倪呅蜛DGE為平行四邊形，又，所以四邊形ADGE為菱形，所以AG⊥DE.因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，平面，所以CD⊥面，又面，所以，又，平面，所以面，又面，所以.（3）由于，，，平面，，則以D為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系，如圖，于是，，設(shè)平面ABE的法向量為，則，，令，得，假設(shè)線段BE上存在點(diǎn)P，使得直線DP與平面ABE所成的角的正弦值為.設(shè)，，，解得：.所以線段BE上存在點(diǎn)P，且時,使得直線DP與平面ABE所成的角的正弦值為.19．【答案】(1)；(2)（?。?（ⅱ）.【分析】(1)運(yùn)用費(fèi)馬點(diǎn)定義，結(jié)合等邊三角形性質(zhì)可解；(2)（?。┯烧叶ɡ淼?，由費(fèi)馬點(diǎn)定義可知，，結(jié)合得，再用數(shù)量積可解；（ⅱ）設(shè),可以推得，則，由余弦定理和勾股定理，得到