山東省聊城市第二中學(xué)2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題含答案

山東省聊城市第二中學(xué)2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點(diǎn)關(guān)于平面yOz對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．2．已知向量，且與互相垂直，則的值是（

）A．1 B． C． D．3．已知，若共面，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．4．已知直線l的方向向量，平面的法向量，若，則（

）A． B． C．2 D．5．如圖，在四面體OABC中，，，.點(diǎn)M在OA上，且，為BC中點(diǎn)，則等于（

）

A． B．C． D．6．已知平面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)在平面內(nèi)，則平面外一點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．17．如圖，已知二面角的大小為，，，，且，，則（

）A． B． C． D．8．如圖，在直三棱柱中，，已知與分別為和的中點(diǎn)，與分別為線和上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若、則線段長(zhǎng)度的取值范圍為（

）A．[) B．[] C．[) D．[]二、多選題（本大題共3小題）9．下列命題是真命題的有（）A．A，B，M，N是空間四點(diǎn)，若能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么A，B，M，N共面B．直線l的方向向量為，直線m的方向向量為，則l與m垂直C．直線l的方向向量為，平面α的法向量為，則l⊥αD．平面α經(jīng)過(guò)三點(diǎn)是平面α的法向量，則10．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，，，，則（

）A．B．C．異面直線OB與AC所成角的余弦值為D．點(diǎn)O到直線BC的距離是11．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，E為的中點(diǎn)，P為棱BC上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（

）

A．存在點(diǎn)P，使B．存在點(diǎn)P，使C．四面體的體積為定值D．二面角的余弦值的取值范圍是三、填空題（本大題共3小題）12．已知，，則在方向上的投影向量為.13．點(diǎn)O為所在平面外一點(diǎn)，點(diǎn)G為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，若成立，則實(shí)數(shù)的值為．14．如圖，四棱錐P-ABCD中，平面平面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，是等邊三角形，M，N分別為AB和PC的中點(diǎn)，則平面DMN上任意一點(diǎn)到底面ABCD中心距離的最小值為.

四、解答題（本大題共5小題）15．已知向量，.(1)求的值；(2)求向量與夾角的余弦值.16．如圖，四棱錐中，底面，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

(1)寫(xiě)出B，D，P，F(xiàn)四點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求.17．已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).(1)求證平面；(2)求平面與平面的夾角余弦值；18．如圖，在中，，，．將繞旋轉(zhuǎn)得到，分別為線段的中點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)求平面與平面夾角的余弦值.19．如圖，已知四棱錐的底面是平行四邊形，側(cè)面是等邊三角形，，，.請(qǐng)用空間向量的知識(shí)解答下列問(wèn)題：(1)求與平面所成角的大??；(2)設(shè)Q為側(cè)棱PD上一點(diǎn)，四邊形是過(guò)B，Q兩點(diǎn)的截面，且平面，是否存在點(diǎn)Q，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由.

參考答案1．【答案】A【詳解】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對(duì)稱的性質(zhì)，關(guān)于平面yOz對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：A2．【答案】D【詳解】向量，則，由與互相垂直，得，所以.故選：D3．【答案】B【詳解】若共面，則，即，所以，解得：.故選：B4．【答案】C【詳解】因?yàn)椋逝c垂直，故，解得.故選：C5．【答案】B【分析】連接，根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算計(jì)算求解.【詳解】連接，是的中點(diǎn)，，，.故選：B

6．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量點(diǎn)到面的距離公式直接進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，點(diǎn)在平面內(nèi)，點(diǎn)平面外，所以點(diǎn)到平面的距離，故選：B7．【答案】A【詳解】因?yàn)槎娼堑拇笮椋?，，，，，所以與的夾角為，又因?yàn)椋?，所以，即．故選：A．8．【答案】A【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，故，因?yàn)椋士傻?，則，由可得，又，故,故當(dāng)時(shí)，取得最小值；又當(dāng)時(shí)，，但無(wú)法取到，則無(wú)法取到；綜上，線段DF長(zhǎng)度的取值范圍為.故選：A9．【答案】BD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故不能平移到同一個(gè)平面內(nèi)，即A，B，M，N不共面，A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，因，即，故l與m垂直，B項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，要使l⊥α,須使與共線，不妨設(shè)，則得：，顯然該方程組無(wú)解，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，因是平面內(nèi)的兩個(gè)向量，是平面α的法向量，故解得：則有：，故D項(xiàng)正確.故選：BD.10．【答案】AC【詳解】對(duì)于A，，，，依題意，，，故A正確；對(duì)于B，，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，,因?yàn)?，則異面直線OB與AC所成角的余弦值為，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，在上的投影為，所以點(diǎn)O到直線BC的距離是，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11．【答案】AB【詳解】

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，則，，，當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，故A正確；由知，解得，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，故B正確；為定值，故C錯(cuò)誤；又因?yàn)?，，設(shè)平面的法向量，由，令則，，，又因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄浚?，又因?yàn)椋?，故D錯(cuò)誤.故選AB.12．【答案】【詳解】在方向上的投影向量為.故答案為：13．【答案】43/【詳解】，因?yàn)楣财矫妫瑒t，解得.故答案為：.

14．【答案】【詳解】

連接相交于點(diǎn)，點(diǎn)為底面的中心，取中點(diǎn)為，連接，則，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，則平面，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以為軸正半軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，且底面ABCD邊長(zhǎng)為2，是等邊三角形，則，，則，，則，，設(shè)平面的法向量為，則，解得，取，則，，所以，且平面DMN上任意一點(diǎn)到底面ABCD中心距離的最小值即為點(diǎn)到平面的距離，則.故答案為：.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，所以；?）因?yàn)椋?，則，，所以，，，設(shè)向量與夾角為，所以，所以向量與夾角的余弦值為.16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為2的菱形，且，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，所以，又，；（2）.17．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）取中點(diǎn)，利用線面平行判定推理即得.（2）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，再利用面面角的向量求解即得.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，由是的中點(diǎn)，得，且，由是的中點(diǎn)，得，且，則有，四邊形是平行四邊形，于是，又平面平面，所以平面.（2）四棱柱中，平面，，則直線兩兩垂直，以A為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，有，則有，設(shè)平面與平面的法向量分別為，則有，令，得，，令，得，因此.所以平面與平面的夾角余弦值為.18．【答案】(1)(2)【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，作，垂足為．因?yàn)?，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以．又，所以平面．因?yàn)槠矫妫裕?，所以平面，即點(diǎn)到平面的距離為的長(zhǎng)度．易證平面，所以．因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的等邊三角形，所以，又，所以，所以．（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以．

設(shè)平面的法向量為，可得即令，得．取的中點(diǎn)，連接，在等腰中，易證平面，所以為平面的一個(gè)法向量．設(shè)平面與平面的夾角為，則，．19．【答案】(1)；(2)或.【分析】(1)證明出兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的求解公式得到答案；(2)證明出，求出平面的法向量，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，根據(jù)兩平面夾角列出方程，求出或，設(shè)，進(jìn)而根據(jù)求出答案.【詳解】(1)因?yàn)?，，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，又平面平面，兩平面交線為，平面，所以平面，取的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，，故兩兩垂直，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，由勾股定理得，所以，平面的法向量為，設(shè)與平面所成角的大小為，則，因?yàn)?，所以?2)設(shè)平面的法向量