2024屆河南省平頂山市重點中學高考全國統(tǒng)考預測密卷（2）數(shù)學試題試卷

2023屆河南省平頂山市重點中學高考全國統(tǒng)考預測密卷（2）數(shù)學試題試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知拋物線和點，直線與拋物線交于不同兩點，，直線與拋物線交于另一點．給出以下判斷：①以為直徑的圓與拋物線準線相離；②直線與直線的斜率乘積為；③設過點，，的圓的圓心坐標為，半徑為，則．其中，所有正確判斷的序號是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③2．已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成的角的正弦值為（）．A． B． C． D．3．設，點，，，，設對一切都有不等式成立，則正整數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．4．圓柱被一平面截去一部分所得幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．5．將一塊邊長為的正方形薄鐵皮按如圖（1）所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器，將該容器按如圖（2）放置，若其正視圖為等腰直角三角形，且該容器的容積為，則的值為（）A．6 B．8 C．10 D．126．已知復數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則z的虛部為（）A． B． C．1 D．7．已知數(shù)列滿足：)若正整數(shù)使得成立，則（）A．16 B．17 C．18 D．198．函數(shù)，，的部分圖象如圖所示，則函數(shù)表達式為（）A． B．C． D．9．設為拋物線的焦點，，，為拋物線上三點，若，則（）.A．9 B．6 C． D．10．已知集合，則等于（）A． B． C． D．11．若的展開式中二項式系數(shù)和為256，則二項式展開式中有理項系數(shù)之和為（）A．85 B．84 C．57 D．5612．在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為()A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10–10.1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓Г：，F(xiàn)1、F2是橢圓Г的左、右焦點，A為橢圓Г的上頂點，延長AF2交橢圓Г于點B，若為等腰三角形，則橢圓Г的離心率為___________.14．學校藝術節(jié)對同一類的，，，四件參賽作品，只評一件一等獎，在評獎揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學對這四項參賽作品預測如下：甲說：“或作品獲得一等獎”；乙說：“作品獲得一等獎”；丙說：“，兩項作品未獲得一等獎”；丁說：“作品獲得一等獎”．若這四位同學中有且只有兩位說的話是對的，則獲得一等獎的作品是______.15．已知，，且，則的最小值是______.16．在中，，，，則__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)f(x)=x（1）討論fx（2）當x≥-1時，fx+a18．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是矩形，，，分別是，的中點.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）設，求三棱錐的體積.19．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，，，底面ABCD是邊長為2的菱形，點E，F(xiàn)分別為棱DC，BC的中點，點G是棱SC靠近點C的四等分點.求證：（1）直線平面EFG；（2）直線平面SDB.20．（12分）如圖，是正方形，點在以為直徑的半圓弧上（不與，重合），為線段的中點，現(xiàn)將正方形沿折起，使得平面平面.（1）證明：平面.（2）三棱錐的體積最大時，求二面角的余弦值.21．（12分）數(shù)列的前項和為，且.數(shù)列滿足，其前項和為.（1）求數(shù)列與的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.22．（10分）已知數(shù)列中，，前項和為，若對任意的，均有（是常數(shù)，且）成立，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.（1）若數(shù)列為“數(shù)列”，求數(shù)列的前項和；（2）若數(shù)列為“數(shù)列”，且為整數(shù)，試問：是否存在數(shù)列，使得對任意，成立？如果存在，求出這樣數(shù)列的的所有可能值，如果不存在，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

對于①，利用拋物線的定義，利用可判斷；對于②，設直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，用坐標表示直線與直線的斜率乘積，即可判斷；對于③，將代入拋物線的方程可得，，從而，，利用韋達定理可得，再由，可用m表示，線段的中垂線與軸的交點（即圓心）橫坐標為，可得a，即可判斷.【詳解】如圖，設為拋物線的焦點，以線段為直徑的圓為，則圓心為線段的中點．設，到準線的距離分別為，，的半徑為，點到準線的距離為，顯然，，三點不共線，則．所以①正確．由題意可設直線的方程為，代入拋物線的方程，有．設點，的坐標分別為，，則，．所以．則直線與直線的斜率乘積為．所以②正確．將代入拋物線的方程可得，，從而，．根據(jù)拋物線的對稱性可知，，兩點關于軸對稱，所以過點，，的圓的圓心在軸上．由上，有，，則．所以，線段的中垂線與軸的交點（即圓心）橫坐標為，所以．于是，，代入，，得，所以．所以③正確．故選：D【點睛】本題考查了拋物線的性質(zhì)綜合，考查了學生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學運算的能力，屬于較難題.2．C【解析】

設M,N,P分別為和的中點，得出的夾角為MN和NP夾角或其補角，根據(jù)中位線定理，結(jié)合余弦定理求出和的余弦值再求其正弦值即可.【詳解】根據(jù)題意畫出圖形:設M,N,P分別為和的中點，則的夾角為MN和NP夾角或其補角可知，.作BC中點Q，則為直角三角形；中，由余弦定理得，在中，在中，由余弦定理得所以故選：C【點睛】此題考查異面直線夾角，關鍵點通過平移將異面直線夾角轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的夾角，屬于較易題目.3．A【解析】

先求得，再求得左邊的范圍，只需，利用單調(diào)性解得t的范圍.【詳解】由題意知sin，∴，∴，隨n的增大而增大，∴,∴，即，又f(t)=在t上單增，f(2)=-1<0，f(3)=2>0，∴正整數(shù)的最小值為3.【點睛】本題考查了數(shù)列的通項及求和問題，考查了數(shù)列的單調(diào)性及不等式的解法，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.4．B【解析】

三視圖對應的幾何體為如圖所示的幾何體，利用割補法可求其體積.【詳解】根據(jù)三視圖可得原幾何體如圖所示，它是一個圓柱截去上面一塊幾何體，把該幾何體補成如下圖所示的圓柱，其體積為，故原幾何體的體積為.故選：B.【點睛】本題考查三視圖以及不規(guī)則幾何體的體積，復原幾何體時注意三視圖中的點線關系與幾何體中的點、線、面的對應關系，另外，不規(guī)則幾何體的體積可用割補法來求其體積，本題屬于基礎題.5．D【解析】

推導出，且，，，設中點為，則平面，由此能表示出該容器的體積，從而求出參數(shù)的值．【詳解】解：如圖（4），為該四棱錐的正視圖，由圖（3）可知，，且，由為等腰直角三角形可知，，設中點為，則平面，∴，∴，解得.故選：D【點睛】本題考查三視圖和錐體的體積計算公式的應用，屬于中檔題.6．D【解析】

根據(jù)復數(shù)z滿足，利用復數(shù)的除法求得，再根據(jù)復數(shù)的概念求解.【詳解】因為復數(shù)z滿足，所以，所以z的虛部為.故選：D.【點睛】本題主要考查復數(shù)的概念及運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.7．B【解析】

計算，故，解得答案.【詳解】當時，，即，且.故，，故.故選：.【點睛】本題考查了數(shù)列的相關計算，意在考查學生的計算能力和對于數(shù)列公式方法的綜合應用.8．A【解析】

根據(jù)圖像的最值求出，由周期求出，可得，再代入特殊點求出，化簡即得所求.【詳解】由圖像知，，，解得，因為函數(shù)過點，所以，，即，解得，因為，所以，.故選：A【點睛】本題考查根據(jù)圖像求正弦型函數(shù)的解析式，三角函數(shù)誘導公式，屬于基礎題.9．C【解析】

設，，，由可得，利用定義將用表示即可.【詳解】設，，，由及，得，故，所以.故選：C.【點睛】本題考查利用拋物線定義求焦半徑的問題，考查學生等價轉(zhuǎn)化的能力，是一道容易題.10．C【解析】

先化簡集合A，再與集合B求交集.【詳解】因為，，所以.故選：C【點睛】本題主要考查集合的基本運算以及分式不等式的解法，屬于基礎題.11．A【解析】

先求，再確定展開式中的有理項，最后求系數(shù)之和.【詳解】解：的展開式中二項式系數(shù)和為256故，要求展開式中的有理項，則則二項式展開式中有理項系數(shù)之和為：故選：A【點睛】考查二項式的二項式系數(shù)及展開式中有理項系數(shù)的確定，基礎題.12．A【解析】

由題意得到關于的等式，結(jié)合對數(shù)的運算法則可得亮度的比值.【詳解】兩顆星的星等與亮度滿足,令,.故選A.【點睛】本題以天文學問題為背景,考查考生的數(shù)學應用意識?信息處理能力?閱讀理解能力以及指數(shù)對數(shù)運算.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由題意可得等腰三角形的兩條相等的邊，設，由題可得的長，在三角形中，三角形中由余弦定理可得的值相等，可得的關系，從而求出橢圓的離心率【詳解】如圖，若為等腰三角形，則|BF1|=|AB|.設|BF2|=t，則|BF1|=2a?t，所以|AB|=a+t=|BF1|=2a?t，解得a=2t，即|AB|=|BF1|=3t，|AF1|=2t，設∠BAO=θ，則∠BAF1=2θ，所以Г的離心率e=，結(jié)合余弦定理，易得在中，，所以，即e==，故答案為：.【點睛】此題考查橢圓的定義及余弦定理的簡單應用，屬于中檔題.14．B【解析】

首先根據(jù)“學校藝術節(jié)對四件參賽作品只評一件一等獎”，故假設分別為一等獎，然后判斷甲、乙、丙、丁四位同學的說法的正確性，即可得出結(jié)果．【詳解】若A為一等獎，則甲、丙、丁的說法均錯誤，不滿足題意；若B為一等獎，則乙、丙的說法正確，甲、丁的說法錯誤，滿足題意；若C為一等獎，則甲、丙、丁的說法均正確，不滿足題意；若D為一等獎，則乙、丙、丁的說法均錯誤，不滿足題意；綜上所述，故B獲得一等獎．【點睛】本題屬于信息題，可根據(jù)題目所給信息來找出解題所需要的條件并得出答案，在做本題的時候，可以采用依次假設為一等獎并通過是否滿足題目條件來判斷其是否正確．15．8【解析】

由整體代入法利用基本不等式即可求得最小值.【詳解】，當且僅當時等號成立.故的最小值為8，故答案為：8.【點睛】本題考查基本不等式求和的最小值，整體代入法，屬于基礎題.16．1【解析】

由已知利用余弦定理可得，即可解得的值．【詳解】解：，，，由余弦定理，可得，整理可得：，解得或（舍去）．故答案為：1．【點睛】本題主要考查余弦定理在解三角形中的應用，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析；（2）-∞,1【解析】

（1）f′（x）=（x+1）ex-ax-a=（x+1）（ex-a）．對a分類討論，即可得出單調(diào)性．

（2）由xex-ax-a+1≥0，可得a（x+1）≤xex+1，當x=-1時，0≤-1e+1恒成立．當x＞-1時，a≤xe【詳解】解法一：（1）f①當a≤0時，x(-∞-1(-1,+∞)f-0+f(x)↘極小值↗所以f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減，在(-1,+∞)單調(diào)遞增.②當a>0時，f'(x)=0的根為x=ln若lna>-1，即a>x(-∞,-1)-1(-1,ln(f+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗所以f(x)在(-∞,-1)，(lna,+∞)上單調(diào)遞增，在若lna=-1，即a=f'(x)≥0在(-∞,+∞)上恒成立，所以f(x)在若lna<-1，即0<a<x(-∞,ln(-1(-1,+∞)f+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗所以f(x)在(-∞,lna)，(-1,+∞)上單調(diào)遞增，在綜上：當a≤0時，f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減，在(-1,+∞)上單調(diào)遞增；當0<a<1e時，f(x)在(-∞,lna)，自a=1e時，f(x)在當a>1e時，f(x)在(-∞,-1)，(ln（2）因為xex-ax-a+1≥0當x=-1時，0≤-1當x>-1時，a≤x令g(x)=xex設h(x)=e因為h'(x)=e即hx=e又因為h0=0，所以g(x)=xex則g(x)min=g(0)=1綜上，a的取值范圍為-∞,1.解法二：（1）同解法一；（2）令g(x)=f(x)+a所以g'當a≤0時，g'(x)≥0，則g(x)在所以g(x)≥g(-1)=-1當0<a≤1時，令h(x)=e因為h'(x)=2ex+x又因為h-1=-a<0，所以h(x)=ex+xexx(-1x(g-0+g(x)↘極小值↗g==-e當a>1時，g(0)=-a+1<0，不滿足題意.綜上，a的取值范圍為-∞,1.【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、分類討論方法、方程與不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．18．（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）取中點，連，，根據(jù)平行四邊形，可得，進而證得平面平面，利用面面垂直的性質(zhì)，得平面，又由，即可得到平面.（Ⅱ）根據(jù)三棱錐的體積公式，利用等積法，即可求解.【詳解】（Ⅰ）取中點，連，，由，可得，可得是平行四邊形，則，又平面，∴平面平面，∵平面，平面，∴平面平面，∵，是中點，則，而平面平面，而，∴平面.（Ⅱ）根據(jù)三棱錐的體積公式，得.【點睛】本題主要考查了空間中線面位置關系的判定與證明，以及利用“等體積法”求解三棱錐的體積，其中解答中熟記線面位置關系的判定定理和性質(zhì)定理，以及合理利用“等體積法”求解是解答的關鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎題.19．（1）見解析（2）見解析【解析】

(1)連接AC、BD交于點O,交EF于點H,連接GH,再證明即可.(2)證明與即可.【詳解】（1）連接AC、BD交于點O,交EF于點H,連接GH,所以O為AC的中點,H為OC的中點,由E、F為DC、BC的中點,再由題意可得,所以在三角形CAS中,平面EFG,平面EFG,所以直線平面EFG.（2）在中,,,,由余弦定理得,,即,解得,由勾股定理逆定理可知,因為側(cè)面底面ABCD,由面面垂直的性質(zhì)定理可知平面ABCD,所以,因為底面ABCD是菱形,所以,因為,所以平面SDB.【點睛】本題考查線面平行與垂直的證明.需要根據(jù)題意利用等比例以及余弦定理勾股定理等證明.屬于中檔題.20．（1）見解析（2）【解析】

（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理證得平面，由此證得，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)證得，由此證得平面.（2）判斷出三棱錐的體積最大時點的位置.建立空間直角坐標系，通過平面和平面的法向量，計算出二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：因為平面平面是正方形，所以平面.因為平面，所以.因為點在以為直徑的半圓弧上，所以.又，所以平面.（2）解：顯然，當點位于的中點時，的面積最大，三棱錐的體積也最大.不妨設，記中點為，以為原點，分別以的方向為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設平面的法向量為，則令，得.設平面的法向量為，則令，得，所以.由圖可知，二面角為銳角，故二面角的余弦值為.【點睛】本小題主要考查線面垂直的證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.21．（1），；（2）.【解析】

（1）令可求得的值，令，由得出，兩式相減可推導出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的公比，利用等比數(shù)列的通項公式可求得數(shù)列的通項公式，再利用對數(shù)的運算性質(zhì)可得出數(shù)列的通項公式；（2）運用