新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 易錯點(diǎn)16 橢圓（解析版）

易錯點(diǎn)16橢圓易錯點(diǎn)1：焦點(diǎn)位置不確定導(dǎo)致漏解要注意根據(jù)焦點(diǎn)的位置選擇橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，知道SKIPIF1<0之間的大小關(guān)系和等量關(guān)系：易錯點(diǎn)2：橢圓的幾何性質(zhì)易錯點(diǎn)3：直線與橢圓的位置關(guān)系忽視直線斜率為0或不存在的情況在用橢圓與直線聯(lián)立求解時，消元后得到的方程中要注意：二次項(xiàng)的系數(shù)是否為零？判別式的限制.（求交點(diǎn)，弦長，中點(diǎn)，斜率，對稱，存在性問題都在下進(jìn)行）.易錯點(diǎn)4：求軌跡方程時，忽視對結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證。題組一：橢圓的定義與焦點(diǎn)三角形1.（2019年全國文科1卷）已知橢圓SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0的直線與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】法1：由已知可設(shè)|F2B|=n,則|AF2|=2n,|BF1|=|AB|=3n,由橢圓的定義有2a=|BF1|+|BF2|=4n,所以|AF1|=2a-|AF2|=2n,在ΔAF1B中，由余弦定理的推論得SKIPIF1<0,在ΔAF1F2中，由余弦定理得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0法2：由已知可設(shè)|F2B|=n,則|AF2|=2n,|BF1|=|AB|=3n，由橢圓的定義有2a=|BF1|+|BF2|=4n,所以|AF1|=2a-|AF2|=2n,在ΔAF1F2和ΔBF1F2，由余弦定理得SKIPIF1<0又因?yàn)椤螦F2F1和∠BF2F1，所以cos∠AF2F1+cos∠BF2F1=0,消去cos∠AF2F1和cos∠BF2F得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<02.（2019年全國3卷）設(shè)，為橢圓的兩個焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)且在第一象限，若△為等腰三角形，則的坐標(biāo)為．【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)M(m,n),m,n>0,由題意得SKIPIF1<0，由于M為C上一點(diǎn)且在第一象限，可得|MF1|>|MF2|,ΔMF1F2為等腰三角形，可能|MF1|=2c或|MF2|=2c,即有SKIPIF1<0故答案為SKIPIF1<03.(2013新課標(biāo)1)已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，動圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，圓心SKIPIF1<0的軌跡為曲線SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0的方程為________【答案】SKIPIF1<0【解析】因?yàn)閳AP與圓M外切并與圓N內(nèi)切，所以SKIPIF1<0，由橢圓的定義可知，曲線C是以M,N為左、右焦點(diǎn)，長半軸長為2，短半軸長為SKIPIF1<0的橢圓（左頂點(diǎn)除外），其方程為：SKIPIF1<0題組二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程4.（2019新課標(biāo)2卷）若拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個焦點(diǎn)，則p=（）A．2 B．3 C．4 D．8【答案】D【解析】由題意可知:SKIPIF1<0故選D5.（2017新課標(biāo)1卷）已知橢圓C：SKIPIF1<0（a>b>0），四點(diǎn)P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，SKIPIF1<0），P4（1，SKIPIF1<0）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上，則C的方程是______________。【解析】由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)．又由SKIPIF1<0知，C不經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0在C上．因此SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故C的方程為SKIPIF1<0．6.（2014新課標(biāo)1卷）已知點(diǎn)SKIPIF1<0（0，-2），橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是橢圓的焦點(diǎn)，直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程是____________.【解析】設(shè)F(c,0),由條件知，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故橢圓E得方程為SKIPIF1<0題組三：橢圓的幾何性質(zhì)7．（2021年全國乙卷）設(shè)SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的上頂點(diǎn)，若SKIPIF1<0上的任意一點(diǎn)SKIPIF1<0都滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的離心率的取值范圍是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】SKIPIF1<0點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，可以看成以SKIPIF1<0為圓心，2b為半徑的圓與橢圓至多只有一個交點(diǎn).即SKIPIF1<0至多一個解，消去x得SKIPIF1<0SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.8．（2021年浙江卷）已知橢圓SKIPIF1<0，焦點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若過SKIPIF1<0的直線和圓SKIPIF1<0相切，與橢圓的第一象限交于點(diǎn)P，且SKIPIF1<0軸，則該直線的斜率是，橢圓的離心率是．【答案】SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．【解析】法一（解析幾何角度）：設(shè)切線方程為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0又與橢圓的第一象限交于點(diǎn)P，SKIPIF1<0SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．法二（平面幾何角度）：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．9．（2017新課標(biāo)3卷）已知橢圓SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的左、右頂點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，且以線段SKIPIF1<0為直徑的圓與直線SKIPIF1<0相切，則SKIPIF1<0的離心率為（）SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由題意可得，原點(diǎn)到直線的距離SKIPIF1<0所以橢圓C的離心率SKIPIF1<0，故選A.題組四：直線與橢圓的位置關(guān)系10.（2013新課標(biāo)2卷）過橢圓M：SKIPIF1<0右焦點(diǎn)的直線SKIPIF1<0交M于A、B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，且OP的斜率為SKIPIF1<0，M的方程為_________【解析】把右焦點(diǎn)(c,0)代入直線SKIPIF1<0得SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0.故M的方程式為SKIPIF1<0．11.（2013新課標(biāo)1卷）已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的右焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0的直線交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)。若SKIPIF1<0的中點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的方程為()A．eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1 B．eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1 C．eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,18)＝1 D．eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1【解析】設(shè)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0,故E的方程式為SKIPIF1<0．12．（2021年新高考1卷）在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，已知點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0的軌跡為SKIPIF1<0．（1）求C的方程；（2）設(shè)點(diǎn)T在直線SKIPIF1<0上．過SKIPIF1<0的兩條直線分別交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)和P，Q兩點(diǎn)，且SKIPIF1<0，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）由題意可知：軌跡C為實(shí)軸為2，焦距為SKIPIF1<0的雙曲線的右支．

從而可以直接寫出軌跡方程為SKIPIF1<0．（2）方法一：設(shè)T為SKIPIF1<0，直線TAB為SKIPIF1<0.

又SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入可得：

SKIPIF1<0SKIPIF1<0.

設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0

SKIPIF1<0

即SKIPIF1<0.

直線TPQ斜率為t，則有SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.

由SKIPIF1<0可知，SKIPIF1<0.方法二：設(shè)T為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0為SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，

代入軌跡C中可得：SKIPIF1<0．

整理得SKIPIF1<0．

設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，

設(shè)直線TPQ為SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0

有SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，即直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.1．已知橢圓SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的左焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由題意得：SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選C．2．已知橢圓SKIPIF1<0（a＞b＞0）的離心率為SKIPIF1<0，則（）A．a(chǎn)2=2b2B．3a2=4b2C．a(chǎn)=2bD．3a=4b【答案】B【解析】橢圓的離心率SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，故選B．3.已知F1，F(xiàn)2是橢圓C:eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1（a>b>0）的左，右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過A且斜率為eq\f(\r(3),6)的直線上，ΔPF1F2為等腰三角形，∠F1F2P=1200，則C的離心率為()A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,2) C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,4)【答案】D【解析】直線AP的方程為SKIPIF1<0由∠F1F2P=1200，|PF2|=|F1F2|=2c,則SKIPIF1<0代入直線AP的方程得SKIPIF1<0,故所求橢圓得離心率為SKIPIF1<04.已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的右焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0的直線交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)。若SKIPIF1<0的中點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的方程為()A．eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1 B．eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1 C．eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,18)＝1 D．eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1【答案】D【解析】設(shè)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0,故E的方程式為SKIPIF1<0．5．設(shè)A，B是橢圓C：SKIPIF1<0長軸的兩個端點(diǎn)，若C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB=120°，則m的取值范圍是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】當(dāng)SKIPIF1<0時，焦點(diǎn)在SKIPIF1<0軸上，要使C上存在點(diǎn)M滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，焦點(diǎn)在SKIPIF1<0軸上，要使C上存在點(diǎn)M滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0，故選A．6.設(shè)是橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)，SKIPIF1<0為直線上一點(diǎn)，SKIPIF1<0是底角為的等腰三角形，則SKIPIF1<0的離心率為_____.【答案】SKIPIF1<0【解析】如圖所示，SKIPIF1<0是底角為的等腰三角形，則有|F1F2|=|PF2|,∠PF1F2=∠F2PF1=300,所以∠PFA=600,∠F2PF1=300,SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<07.設(shè)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0分別是橢圓SKIPIF1<0的左右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且SKIPIF1<0與x軸垂直，直線SKIPIF1<0與C的另一個交點(diǎn)為N.且直線MN的斜率為SKIPIF1<0，則C的離心率為_____【答案】SKIPIF1<0【解析】把SKIPIF1<0SKIPIF1<0，化為SKIPIF1<08.在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，橢圓SKIPIF1<0的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上，離心率為SKIPIF1<0。過F1的直線交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，且SKIPIF1<0的周長為16，那么SKIPIF1<0的方程為?！敬鸢浮縎KIPIF1<0【解析】由題意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以橢圓C的方程是SKIPIF1<09.已知斜率為的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，則k的取值范圍是_____.【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0，因?yàn)辄c(diǎn)M(1，m)在橢圓內(nèi)部，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．10．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是其左右交點(diǎn)，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0過點(diǎn)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上方，且SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，（1）若SKIPIF1<0是上頂點(diǎn)，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，且原點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0；（3）證明：對于任意SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0的直線有且僅有一條.【答案】（1）；（2）【解析】（1）有題可知：SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIP