新高考數(shù)學二輪復習 易錯點9平面向量（解析版）

易錯點09平面向量平面向量是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，是解決實際問題強有力的工具，是近年來高考的熱點之一．對向量問題的考查，往往與不等式、解析幾何、數(shù)列、平面幾何等知識結合起來．本文通過對近十年全國新課標卷試題進行分析、匯總，希望同學們能夠?qū)ζ矫嫦蛄康目枷?、考法、考試題型、難易程度有更加清晰的認識，避免走彎路，錯路，以提高復習的效率．易錯點1：忽略零向量；易錯點2：利用向量的數(shù)量積計算時，要認真區(qū)別向量SKIPIF1<0與實數(shù)a·b；易錯點3：利用向量的數(shù)量積計算時，判斷向量夾角的大小時要牢記“起點相同”；(1)求夾角的大小：若a，b為非零向量，則由平面向量的數(shù)量積公式得SKIPIF1<0SKIPIF1<0(夾角公式)，所以平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關角度的問題．（2）確定夾角的范圍：數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明不共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時兩向量的夾角為鈍角.易錯點4：向量數(shù)量積SKIPIF1<0的幾何意義中SKIPIF1<0的叫做SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的正射影的數(shù)量，它是一個數(shù)量，它可正，可負，也可以為0，要注意區(qū)分.易錯點5：向量數(shù)量積SKIPIF1<0>0并不等價于向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為銳角；易錯點6：三點共線問題1.若A、B、C三點共線，且SKIPIF1<0,則SKIPIF1<02.SKIPIF1<0中SKIPIF1<0確定方法（1）在幾何圖形中通過三點共線即可考慮使用“爪”字型圖完成向量的表示，進而確定SKIPIF1<0（2）若題目中某些向量的數(shù)量積已知，則對于向量方程SKIPIF1<0，可考慮兩邊對同一向量作數(shù)量積運算，從而得到關于SKIPIF1<0的方程，再進行求解（3）若所給圖形比較特殊（矩形，特殊梯形等），則可通過建系將向量坐標化，從而得到關于SKIPIF1<0的方程，再進行求解3.(1)證明向量共線：對于非零向量a，b，若存在實數(shù)λ，使a=λb，則a與b共線．(2)證明三點共線：若存在實數(shù)λ，使SKIPIF1<0，則A，B，C三點共線．【注】證明三點共線時，需說明共線的兩向量有公共點.易錯點7：向量與三角形的綜合(1)進行向量運算時，要盡可能地將它們轉化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位線及相似三角形對應邊成比例等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來．(2)向量的線性運算類似于代數(shù)多項式的運算，實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在線性運算中同樣適用．(3)用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧：①觀察各向量的位置；②尋找相應的三角形或多邊形；③運用法則找關系；④化簡結果.題組1：線性運算1（2018年新課標1卷）在ΔABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則eq\o(EB,\s\up5(→))=()A．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up5(→))-eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up5(→)) B．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up5(→))-eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up5(→)) C．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up5(→))+eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up5(→)) D．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up5(→))+eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up5(→))【答案】A【解析】SKIPIF1<0故選A2．(2015高考數(shù)學新課標1理科)設D為QUOTEABC所在平面內(nèi)一點SKIPIF1<0，則 ()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A解析：由題知SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，故選A．3.（2014新課標1）設SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的三邊SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0,故選A4.(2013新課標2理科)已知正方形的邊長為,為的中點,則．【答案】2【解析】在正方形中，,,所以題組2：共線定理的應用5．（2021新高考1卷）在正三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則A．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的周長為定值B．當SKIPIF1<0時，三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值C．當SKIPIF1<0時，有且僅有一個點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0D．當SKIPIF1<0時，有且僅有一個點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】BD【解析】由點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，可知點SKIPIF1<0在正方形SKIPIF1<0內(nèi)．A選項，當SKIPIF1<0時，可知點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0（包括端點）上運動．SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此周長SKIPIF1<0不為定值，所以選項A錯誤；B選項，當SKIPIF1<0時，可知點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0（包括端點）上運動．由圖可知，線段SKIPIF1<0//平面SKIPIF1<0，即點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離處處相等，SKIPIF1<0的面積是定值，所以三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值，所以選項B正確；C選項，當SKIPIF1<0時，分別取線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可知點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0（包括端點）上運動．很顯然若點SKIPIF1<0與SKIPIF1<0或SKIPIF1<0重合時，均滿足題意，所以選項C錯誤．D選項，當SKIPIF1<0時，分別取線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可知點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0（包括端點）上運動．此時，有且只有點SKIPIF1<0與SKIPIF1<0點重合時，滿足題意.所以選項D正確．因此，答案為BD.6．（2020年江蘇卷）在△ABC中，SKIPIF1<0D在邊BC上，延長AD到P，使得AP＝9，若SKIPIF1<0（m為常數(shù)），則CD的長度是________．【答案】0或SKIPIF1<0.【解析】∵SKIPIF1<0三點共線，∴可設SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0三點共線，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴根據(jù)余弦定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的長度為SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合，此時SKIPIF1<0的長度為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合，此時SKIPIF1<0，不合題意，舍去.故答案為：0或SKIPIF1<0.7．(2017年高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科)在矩形中，，，動點在以點為圓心且與相切的圓上，若，則的最大值為 ()A． B． C． D．【答案】A【解析】法一：以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標系，如下圖則，，，，連結，過點作于點在中，有即所以圓的方程為可設由可得所以，所以其中，所以的最大值為，故選A．法二：通過點作于點，由，，可求得又由，可求得由等和線定理可知，當點的切線（即）與平行時，取得最大值又點到的距離與點到直線的距離相等，均為而此時點到直線的距離為所以，所以的最大值為，故選A．另一種表達：如圖，由“等和線”相關知識知，當點在如圖所示位置時，最大，且此時若，則有，由三角形全等可得，知，所以選A．法三：如圖，建立平面直角坐標系設根據(jù)等面積公式可得圓的半徑是，即圓的方程是，若滿足即，，所以，設，即，點在圓上，所以圓心到直線的距離，即，解得，所以的最大值是，即的最大值是，故選A．法四：由題意，畫出右圖．設與切于點，連接．以為原點，為軸正半軸，為軸正半軸建立直角坐標系則點坐標為．∵，．∴．切于點．∴⊥．∴是中斜邊上的高．即的半徑為．∵在上．∴點的軌跡方程為．設點坐標，可以設出點坐標滿足的參數(shù)方程如下：而，，．∵∴，．兩式相加得：(其中，)當且僅當，時，取得最大值3．題組3:共線向量的坐標運算8．(2018年高考數(shù)學課標Ⅲ卷（理）)已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】依題意可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．9．(2015高考數(shù)學新課標2理科)設向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不平行，向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行，則實數(shù)SKIPIF1<0_________．【答案】SKIPIF1<0【解析】因為向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．題組4：垂直向量10．(2021年高考全國乙卷理科)已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】因為SKIPIF1<0，所以由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．11．(2020年高考數(shù)學課標Ⅱ卷理科)已知單位向量SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的夾角為45°，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直，則k=__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】由題意可得：SKIPIF1<0，由向量垂直的充分必要條件可得：SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．題組5：向量的數(shù)量積運算11．（2021上海卷）如圖，正方形SKIPIF1<0的邊長為3，求SKIPIF1<0________．【答案】9【解析】由題意得:SKIPIF1<0.12. （2021新高考2卷）已知向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0________.【答案】SKIPIF1<0【解析】因為SKIPIF1<0，平方可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.題組6：求夾角13．(2020年高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科)已知向量a，b滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 ()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0．故選：D．14．(2019年高考數(shù)學課標全國Ⅰ卷理科)已知非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為 ()A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．15．(2019年高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為單位向量，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________．【答案】SKIPIF1<0．【解析】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．16．(2016高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科)已知向量SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0 ()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由題意,得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,故選A.題組6：求向量的模17．(2020年高考數(shù)學課標Ⅰ卷理科)設SKIPIF1<0為單位向量，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______________．【答案】SKIPIF1<0【解析】因為SKIPIF1<0為單位向量，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<018．(2017年高考數(shù)學新課標Ⅰ卷理科)已知向量,的夾角為,,,則__________．【答案】【解析】法一:所以．法二(秒殺解法):利用如下圖形,可以判斷出的模長是以為邊長的菱形對角線的長度,則為．法三:坐標法依題意,可設,,所以所以．題組8：求最值19.（2020?新全國1山東）已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點，則SKIPIF1<0的取值范用是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0的模為2，根據(jù)正六邊形的特征，可以得到SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影的取值范圍是SKIPIF1<0，結合向量數(shù)量積的定義式，可知SKIPIF1<0等于SKIPIF1<0的模與SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影的乘積，所以SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0，故選：A.20.（2017新課標2卷）已知SKIPIF1<0是邊長為2的等邊三角形，SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0內(nèi)一點，則SKIPIF1<0的最小是_____.【答案】SKIPIF1<0【解析】以BC為SKIPIF1<0軸，以BC邊上的高為SKIPIF1<0軸建立坐標系，則SKIPIF1<0,設SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<01．在平行四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．-5 B．-4 C．-3 D．-2【答案】A【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選：A2．正方形SKIPIF1<0中，P，Q分別是邊SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由題意SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0故選：C．3．如圖，平面四邊形SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．3【答案】C【解析】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故選：C.4．已知向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：B.5．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【解析】由題設，SKIPIF1<0.故選：B.6．如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選：D7．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．5 B．7 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，，所以SKIPIF1<0.故選：D．8．已知向量SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角大小為（）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】D【解析】SKIPIF1<0向量SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0