河南省駐馬店市第十中學(xué)2024-2025學(xué)年上學(xué)期九年級數(shù)學(xué)期中測試（解析版）

第1頁/共1頁2024年秋季九年級數(shù)學(xué)期中測試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分．1.下列方程是一元二次方程的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的概念，根據(jù)一元二次方程的定義即可求解，解題的關(guān)鍵是熟記一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為的整式方程，叫做一元二次方程．【詳解】、，是二元一次方程，原選項不符合題意；、，是二元二次方程，原選項不符合題意；、，是分式方程，原選項不符合題意；、，是一元二次方程，原選項符合題意；故選：．2.下列各組線段中，成比例的是（

）A.2cm，3cm，4cm，5cm B.2cm，4cm，6cm，8cmC.3cm，6cm，8cm，12cm D.1cm，3cm，5cm，15cm【答案】D【解析】【分析】分別計算各組數(shù)中最大與最小數(shù)的積和另外兩數(shù)的積，然后根據(jù)比例線段的定義進行判斷即可得出結(jié)論．【詳解】解：A、∵，∴選項A不成比例；B、∵，∴選項B不成比例；C、∵，∴選項C不成比例；D、∵，∴選項D成比例．故選：D．【點睛】本題考查了比例線段，解題關(guān)鍵是掌握判斷四條線段是否成比例的方法．3.下列性質(zhì)中正方形具有而矩形不具有的是（）A.對邊相等 B.對角線相等C.四個角都是直角 D.對角線互相垂直【答案】D【解析】【詳解】A.對邊相等，是平行四邊形的性質(zhì)，矩形和正方形都具有；B.對角線相等，是矩形的性質(zhì)，正方形也有；C.四個角都是直角，是矩形的性質(zhì)，正方形也有；D.對角線互相垂直，是菱形的性質(zhì)，正方形具有，而矩形沒有，故選D.4.如圖，以點O為位似中心，把放大為原圖形的2倍得到，以下說法中錯誤的是（）A.B.點C、點O、點三點在同一直線上C.D.【答案】D【解析】【分析】此題考查了位似變換，根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，對選項逐個判斷即可．【詳解】解：∵以點O為位似中心，把放大為原圖形的2倍得到，∴與是位似圖形，∴，A選項說法正確，不符合題意；點C、點O、點三點在同一直線上，B選項說法正確，不符合題意；，C選項說法正確，不符合題意；，D選項說法錯誤，符合題意；故選：D．5.《九章算術(shù)》是我國古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一，在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何?”翻譯成數(shù)學(xué)問題是：如圖所示，在中，，求的長，如果設(shè)，則可列方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】此題考查了勾股定理的實際應(yīng)用，設(shè)，則，根據(jù)列得等式，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵【詳解】解：設(shè)，則，∵，∴∴，故選：B6.秦腔，別稱“梆子腔”中國漢族最古老的戲劇之一，起于西周，源于西府，成熟于秦，是中國國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一．如圖是某同學(xué)收藏的秦腔郵票，分別是《火焰駒》《三滴血》和《游西湖》，它們除正面外完全相同．把這三張郵票背面朝上洗勻，從中隨機抽取一張，放回洗勻后，再從中隨機抽取一張，兩次抽取的卡片正面相同的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了列表法求概率，先令三張郵票的正面是A，B，C，再列表得出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，符合條件的結(jié)果，然后根據(jù)概率公式得出答案．【詳解】令三張郵票的正面是A，B，C，列表如下：

ABCABC由表格可知，一共有9種可能出現(xiàn)的結(jié)果，3種符合條件的結(jié)果，所以兩次抽取的卡片正面相同的概率是．故選：A．7.如圖，四邊形是菱形，，，于，則等于()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分求出AO、BO，再利用勾股定理列式求出AB，然后根據(jù)菱形的面積等對角線乘積的一半和底乘以高列出方程求解即可．【詳解】解：∵AC=12，DB=16，∴AO=6，BO=8，由勾股定理的，AB==10，∵AH⊥BC，∴S菱形ABCD=BC?AH=AC?BD，即10AH=×12×16，解得AH=，故選：B．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，主要利用了菱形的對角線互相垂直平分的性質(zhì)，難點在于利用菱形的面積的兩種表示方法列出方程．8.如圖，點為正方形對角線的中點，將以點為直角頂點的直角繞點旋轉(zhuǎn)的邊始終在正方形外），若正方形邊長為2，則在旋轉(zhuǎn)過程中與正方形重疊部分的面積為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】D【解析】【分析】如圖，連接，由點是的中點，然后結(jié)合正方形的性質(zhì)得到、、，進而結(jié)合得到，從而得證，再由全等三角形的性質(zhì)得到重疊部分四邊形的面積與的面積相等，最后由正方形的邊長求得結(jié)果．【詳解】解：如圖，連接，點是的中點，四邊形是正方形，，，，，，，，，，，正方形的邊長為2，，，，重疊部分四邊形的面積為1．故選：D．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是連接構(gòu)造全等三角形．9.如圖，在中，是高，矩形的頂點，分別在邊，上，在邊上若，，且，則矩形的周長為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了相似三角形判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，能夠靈活運用比例線段解決本題的關(guān)鍵．由四邊形是矩形，是邊上的高，，易證，，可得出，，結(jié)合，，，可得出，的值，故可得出矩形的周長．【詳解】解：四邊形是矩形，是邊上的高，，，，，，，，，，又，，，，，則，矩形的周長為，故選：A．10.如圖，在邊長為4的正方形中，點E、F分別是邊上的動點，且，連接，則的最小值為（）A8 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】連接AE，證明△ABE≌△BCF轉(zhuǎn)化線段AE=BF，可得到BF+DE=AE+DE，則通過作A點關(guān)于BC對稱點H，連接DH交BC于E′點，則DH的長為最小值，利用勾股定理求出DH長即可．【詳解】解：連接AE，∵四邊形ABCD是正方形，∴.AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，又BE=CF，∴△ABE≌△BCF(SAS)，∴AE=BF，所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值．作點A關(guān)于BC的對稱點H點，連接EH、BH，則A、B、H三點共線，且AE=EH，BH=AB=4，連接DH交BC于E′，則AE+DE=EH+DE≥DH，當(dāng)點E在E′處時取等號，∴BF+DE最小值為DH的長度．在Rt△ADH中，AH=8，AD=4，∴DH=，∴BF+DE最小值為．故選：D．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、最短距離問題，一般求兩條線段和最短距離問題，都利用對稱性質(zhì)和兩點之間線段最短轉(zhuǎn)化為一條線段長．二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分．11.已知，若b+d≠0，則＝_____．【答案】【解析】【分析】分別設(shè)a=2m，c=2n，根據(jù)可用m、n表示出b、d，代入所給代數(shù)式即可得答案.【詳解】設(shè)a=2m，c=2n，∵，∴b=3m，d=3n，∴==，故答案為：【點睛】本題考查等比性質(zhì)的應(yīng)用，若，則=k，熟練掌握等比性質(zhì)是解題關(guān)鍵.12.已知關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是___．【答案】且【解析】【分析】由方程有兩個不相等的實數(shù)根，則運用一元二次方程（a≠0）的根的判別式是即可進行解答【詳解】由關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根得，解得則且故答案為且【點睛】本題重點考查了一元二次方程根的判別式，在一元二次方程（a≠0）中，（1）當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）當(dāng)△＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）當(dāng)△＜0時，方程沒有實數(shù)根．13.如果關(guān)于x的一元二次方程x2+3x﹣7＝0的兩根分別為α，β，那么α2+4α+β＝___．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的解結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得出，將其代入即可得出結(jié)論．【詳解】解：關(guān)于x的一元二次方程x2+3x﹣7＝0的兩根分別為α，β，，，故答案為：4．【點睛】本題考查了一元二次方程的解以及根與系數(shù)的關(guān)系，牢記兩根之和等于是解題關(guān)鍵．14.如圖，F(xiàn)是正方形對角線上一點，連接，并延長交于點E．若，則的度數(shù)為_________．【答案】##度【解析】【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，利用正方形的性質(zhì)，由可證，依據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等，可得，由三角形的外角性質(zhì)可得到的度數(shù)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：四邊形是正方形，，，在和中，，，，，，，，，故答案為：．15.中，，P為邊上一動點，于E，于F，M為中點，則的最小值為_________．【答案】【解析】【分析】連接，可推出四邊形是矩形，可得；當(dāng)時，線段有最小值，此時也有最小值．詳解】解：∵∴四邊形是矩形連接，則過點M，且當(dāng)時，線段有最小值，此時也有最小值∵∴

則有∴故答案：【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、垂線段最短、勾股定理等．確定是解題關(guān)鍵．三、解答題：本題共7小題，共75分．16.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】本題考查了一元二方程的解法，根據(jù)所給一元二次方程的特點選擇適當(dāng)?shù)慕夥ㄊ墙忸}的關(guān)鍵．（1）利用配方法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可．【小問1詳解】解：移項，得，方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，得，配方，得，解得，；【小問2詳解】解：，這里，，，，∴，∴，．17.在4月23日“世界讀書日”來臨之際，某校為了了解學(xué)生的課外閱讀情況，從全校隨機抽取了部分學(xué)生，調(diào)查了他們平均每周的課外閱讀時間t（單位：小時）．把調(diào)查結(jié)果分為四檔，A檔：；B檔：；C檔：；D檔：．根據(jù)調(diào)查情況，給出了部分?jǐn)?shù)據(jù)信息：①A檔和D檔的所有數(shù)據(jù)是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5；②圖1和圖2是兩幅不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)以上信息解答問題：（1）求本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)，并將圖2補充完整；（2）已知全校共1200名學(xué)生，請你估計全校B檔的人數(shù)；（3）學(xué)校要從D檔的4名學(xué)生中隨機抽取2名作讀書經(jīng)驗分享，已知這4名學(xué)生，2名來自八年級，2名來自九年級，請用列表或畫樹狀圖的方法，求抽到的2名學(xué)生來自不同年級的概率．【答案】（1）40人，補全圖形見解析（2）480人（3）【解析】【分析】本題考查條形統(tǒng)計圖以及樹狀圖法，注意結(jié)合題意中“寫出所有可能的結(jié)果”的要求，使用列舉法，注意按一定的順序列舉，做到不重不漏．（1）用A檔人數(shù)除以所占百分比即可得到總?cè)藬?shù)；用總?cè)藬?shù)減去A檔，B檔和D檔人數(shù)，即可得到C檔人數(shù)，從而可補全條統(tǒng)計圖；（2）先求出B檔所占百分比，再乘以1200即可得到結(jié)論；（3）分別用，，，表示四名同學(xué)，然后通過畫樹狀圖表示出所有等可能的結(jié)果數(shù)，再用概率公式求解即可.【小問1詳解】解：由①可知，A檔有8人；本次調(diào)查人數(shù)是：（人）；∴C檔人數(shù)是：（人），補充完整圖2如圖：【小問2詳解】（人）答：全校B檔的人數(shù)為480人，【小問3詳解】用，表示2名來自八年級的學(xué)生，，表示2名來自九年級的學(xué)生，

所有的等可能的結(jié)果數(shù)有12個，抽到的2名學(xué)生來自不同年級的的結(jié)果數(shù)有8個，∴抽到的2名學(xué)生來自不同年級的概率．18.如圖，在和中，，．（1）求證；（2）已知，，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）利用相似三角形的判定定理證得與相似；（2）利用（1）中的相似三角形的對應(yīng)邊成比例得到：，由此可以求得的長度．【小問1詳解】證明：∵，∴∴.又，∴.【小問2詳解】解：∵，∴.又，，∴.【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19.張老師周末給學(xué)生們布置了一項實踐作業(yè)：應(yīng)用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識實地測量周邊某物體(高樓、路燈、大樹等)的高度．善思小組決定測量人民公園一棵高大的柿子樹的高度，下面是該小組的部分測量方案及測量數(shù)據(jù)：測量工具標(biāo)桿，皮尺測量方案選一名同學(xué)作為觀測者，在觀測者與樹之間的地面直立一根標(biāo)桿．觀測者調(diào)整自己的位置，使樹的頂端、標(biāo)桿的頂端與自己的眼睛恰好在一條直線上．這時其他同學(xué)測出觀測者的腳到樹底端的距離，以及觀測者的腳到標(biāo)桿底端的距離，然后測出標(biāo)桿的高．測量示意圖測量數(shù)據(jù)線段AB表示樹，標(biāo)桿，觀測者的眼睛到地面的距離，觀測者的腳到樹底端的距離，觀測者的腳到標(biāo)桿底端的距離．…

請你根據(jù)上述信息，幫善思小組求出樹AB的高度．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)：過點作于點，交于點，則四邊形與四邊形是矩形，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：如圖，過點作于點，交于點，則四邊形與四邊形是矩形，，，，，由題意得，，，即，，，答：樹AB的高度為．20.已知四邊形為正方形，點在邊上，連接．（1）尺規(guī)作圖：過點作于點，交于點（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）求證：．（請補全下面的證明過程）證明：在正方形中，，_____，，，，，∴_______．，______．通過上面的操作，進一步探究得到這樣的結(jié)論；兩端點在正方形的一組對邊上且______的線段長相等．【答案】（1）見解析（2）；；；垂直【解析】【分析】本題考查了過一點作線段垂線，余角性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（）利用基本作圖，過點作的垂線即可；（）先根據(jù)等角的余角相等得到，則可判斷，所以，于是探究得到：兩端點在正方形的一組對邊上且垂直的線段長相等；【小問1詳解】解：如圖，即為所求；【小問2詳解】證明：∵正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；通過上面的操作，進一步探究得到這樣的結(jié)論：兩端點在正方形的一組對邊上且垂直的線段長相等．21.商場某種商品平均每天可銷售30件，每件盈利50元，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價1元，商場平均每天可多售出2件．（1）若某天該商品每件降價3元，當(dāng)天可獲利多少元？（2）設(shè)每件商品降價元，請寫出盈利與的函數(shù)關(guān)系式（將函數(shù)關(guān)系式化簡，不必寫出自變量的取值范圍）；（3）在上述銷售正常情況下，每件商品降價多少元時，商場日盈利可達到2000元？【答案】（1）當(dāng)天可獲利1692元（2）（3）每件商品降價25元時，商場日盈利可達到2000元【解析】【分析】本題主要考查一元二次方程及二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意；（1）由題意可知每天的銷售量為36件，利潤為47元，然后問題可求解；（2）由題意易得商場每天銷售的件數(shù)為件，然后根據(jù)利潤=單個利潤×銷售量可進行求解；（3）根據(jù)（2）及題意可進行求解．【小問1詳解】解：由題意得：（元）；答：當(dāng)天可獲利1692元．【小問2詳解】解：由題意得：，∴盈利與的函數(shù)關(guān)系式；【小問3詳解】解：由（2）即題意得：，解得：，∵為了盡快減少庫存，∴，答：每件商品降價25元時，商場日盈利可達到2000元．22.如圖所示，在中，，，，點從點出發(fā)沿CA方向以的速度向點勻速運動，同時點從點出發(fā)沿AB方向以的速度向點勻速運動，當(dāng)其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設(shè)點運動的時間是秒（），過點作于點，連接．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）四邊形能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的值；如果不能，請說明理由；（3）當(dāng)為何值時，為直角三角形？請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）能，（3）或，理由見解析【解析】【分析】（）根據(jù)時間和速度表示出和CD的長，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半求出的長，可得，再證明即可求證；（）由（）知四邊形為平行四邊形，如果四邊形能夠成為菱形，則必有鄰邊相等，即，據(jù)此列方程求解即可；（）當(dāng)為直角三角形時，有三種情況：①當(dāng)時，②當(dāng)時，③當(dāng)時，分別找出等量關(guān)系列方程即可求出的值即可．【小問1詳解】證明：由題意得，，，∵，∴，∵，，∴，∴，∴；∵，∴，∴四邊形是平行四邊形；【小問2詳解】解：四邊形能夠成為菱形，理由如下：由（）得，四邊形為平行四邊形，若為菱形，則，∵，，∴，∴，∴，∴當(dāng)時，四邊形能夠成為菱形；【小問3詳解】解：分三種情況：