27.4 正多邊形和圓 同步練習(xí)

第27章圓27.4正多邊形和圓基礎(chǔ)過關(guān)全練知識點(diǎn)1圓內(nèi)接正多邊形及相關(guān)定義1.(2022吉林長春寬城期末)給出下列說法:①各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形;②各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形;③各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形;④各角相等的圓外切多邊形是正多邊形.其中正確的是()A.①④ B.②③ C.①③ D.②④2.(2022廣東潮州饒平英才實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)如圖所示,△OAB為正三角形,以點(diǎn)O為圓心,OA長為半徑作☉O,直徑FC∥AB,AO,BO的延長線分別交☉O于點(diǎn)D,E,連結(jié)DE、EF、AF、CD、BC.求證:六邊形ABCDEF是正六邊形.知識點(diǎn)2圓內(nèi)接正多邊形的相關(guān)計(jì)算3.(2022四川成都中考)如圖,正六邊形ABCDEF內(nèi)接于☉O,若☉O的周長等于6π,則正六邊形的邊長為()A.3 B.6 C.3 D.234.(2023湖南衡陽船山實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)苯分子的環(huán)狀結(jié)構(gòu)是由德國化學(xué)家凱庫勒提出的.隨著研究的不斷深入,發(fā)現(xiàn)苯分子中的6個碳原子與6個氫原子均在同一平面內(nèi),且所有碳碳鍵的鍵長都相等(如圖1),組成了一個完美的六邊形(正六邊形),圖2是其平面示意圖,則∠1的度數(shù)為()A.130° B.120° C.110° D.60°5.(2023重慶萬州模擬)如圖,☉O與正五邊形ABCDE的兩邊AE,CD分別相切于A,C兩點(diǎn),則∠AOC的度數(shù)是.

6.(2023四川成都武侯模擬)已知AB、AC分別是同一個圓的內(nèi)接正方形和內(nèi)接正六邊形的邊,那么∠BAC的度數(shù)是.

7.(2023河南駐馬店驛城期末)如圖,☉O的內(nèi)接正五邊形ABCDE的對角線AD與BE相交于點(diǎn)G,AE=2,則EG的長是.8.(2023浙江溫州鹿城期末)如圖,正六邊形ABCDEF內(nèi)接于☉O,半徑r=4,求這個正六邊形的邊長和邊心距OM的長.知識點(diǎn)3正多邊形的畫法9.剪紙藝術(shù)是最古老的中國民間藝術(shù)之一,山東煙臺的剪紙是其中比較有代表性的.傳統(tǒng)的剪紙先通過對折的方式將紙等分,小穎想通過將圓形紙片八等分的方式作正多邊形,請你幫小穎利用直尺和圓規(guī)作一個正八邊形.能力提升全練10.(2023安徽中考)如圖,正五邊形ABCDE內(nèi)接于☉O,連結(jié)OC,OD,則∠BAE-∠COD=()A.60° B.54° C.48° D.36°11.(2023山西中考)蜂巢結(jié)構(gòu)精巧,其巢房橫截面的形狀均為正六邊形.下圖是部分巢房的橫截面圖,圖中7個全等的正六邊形不重疊且無縫隙,將其放在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P,Q,M均為正六邊形的頂點(diǎn).若點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)分別為(-23,3),(0,-3),則點(diǎn)M的坐標(biāo)為()A.(33,-2) B.(33,2) C.(2,-33) D.(-2,-33)12.(2023福建中考)中國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的“割圓術(shù)”,即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓的方法來近似估算,指出“割之彌細(xì),所失彌少.割之又割,以至于不可割,則與圓周合體,而無所失矣.”“割圓術(shù)”孕育了微積分思想,他用這種思想得到了圓周率π的近似值為3.1416.如圖,☉O的半徑為1,運(yùn)用“割圓術(shù)”,以圓內(nèi)接正六邊形的面積近似估計(jì)☉O的面積,可得π的估計(jì)值為33A.3 B.22 C.3 D.2313.(2022山西大同新榮模擬)閱讀與思考請閱讀下列材料,并完成相應(yīng)的任務(wù):克羅狄斯·托勒密(約90年~168年),是希臘數(shù)學(xué)家,天文學(xué)家,地理學(xué)家和占星家.在數(shù)學(xué)方面,他還論證了四邊形的特性,即有名的托勒密定理,托勒密定理的內(nèi)容如下:圓的內(nèi)接四邊形的兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積的和.如圖1,若四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,則有.任務(wù):

(1)材料中劃橫線部分應(yīng)填寫的內(nèi)容為;

(2)如圖2,正五邊形ABCDE內(nèi)接于☉O,AB=2,求對角線BD的長.圖1圖214.(2022浙江金華中考)如圖1,正五邊形ABCDE內(nèi)接于☉O,閱讀以下作圖過程,并回答問題:作法:如圖2.1.作直徑AF.2.以F為圓心,FO的長為半徑作圓弧,與☉O交于點(diǎn)M,N.3.連結(jié)AM,MN,NA.(1)求∠ABC的度數(shù);(2)△AMN是正三角形嗎?請說明理由;(3)從點(diǎn)A開始,以DN的長為半徑,在☉O上依次截取點(diǎn),再依次連結(jié)這些點(diǎn),得到正n邊形,求n的值.圖1圖2素養(yǎng)探究全練15.如圖所示,M,N分別是☉O的內(nèi)接正三角形ABC,正方形ABCD,正五邊形ABCDE,……,正n邊形ABCDE…的AB,BC上的點(diǎn),且BM=CN,連結(jié)OM,ON.(1)求第1個圖中∠MON的度數(shù);(2)第2個圖中∠MON的度數(shù)是,第3個圖中∠MON的度數(shù)是;

(3)試探究∠MON的度數(shù)與正n邊形的邊數(shù)n的關(guān)系.(直接寫出答案)16.教材的“課題學(xué)習(xí)”要求同學(xué)們用一張正三角形紙片折疊成正六邊形,小明同學(xué)按照如圖所示的步驟折疊:請你根據(jù)小明同學(xué)的折疊方法,回答以下問題:(1)如果設(shè)正三角形ABC的邊長為a,那么CO=(用含a的式子表示);

(2)根據(jù)折疊的性質(zhì)可以知道△CDE的形狀為三角形;

(3)請利用(1)(2)中的結(jié)論,證明六邊形KHGFED是一個正六邊形

第27章圓27.4正多邊形和圓答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練1.A②中的說法錯誤,例如圓外切多邊形是菱形,而菱形各邊相等,但不是正多邊形;③中的說法錯誤,例如圓內(nèi)接多邊形是矩形,而矩形各個角都是90°,都相等,但不是正多邊形.故正確的說法為①④.2.證明∵△OAB是正三角形,∴∠AOB=∠OAB=∠OBA=60°,∴∠DOE=∠AOB=60°,∵FC∥AB,∴∠AOF=∠OAB=60°,∠BOC=∠OBA=60°,∴∠COD=∠AOF=60°,∠EOF=∠BOC=60°,∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠AOF,∴AB=BC=CD=DE=EF=AF,∴AB=BC=CD=DE=EF=AF,BCF=CDA=DEB=EFC=FAD=ABE,∴∠BAF=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA,∴六邊形ABCDEF是正六邊形.3.C連結(jié)OB、OC,如圖,∵☉O的周長等于6π,∴☉O的半徑OB=OC=6π2π=3,∵六邊形ABCDEF是正六邊形,∴∠BOC=360°4.B∵六邊形ABCDEF是正六邊形,∴AB=AF=EF,∠BAF=(6-2)×180°6=120°,∴∠ABF=∠AFB=180°?120°30°,同理∠EAF=30°,∴∠1=180°-30°-30°=120°.5.144°解析正五邊形的內(nèi)角=(5-2)×180°÷5=108°,∴∠E=∠D=108°,∵AE,CD分別與☉O相切于A,C兩點(diǎn),∴∠OAE=∠OCD=90°,∴∠AOC=540°-90°-90°-108°-108°=144°.6.15°或105°解析本題易因考慮不全而致錯.分情況求解如下:(1)如圖1,∠BAC=∠CAO-∠BAO=60°-45°=15°;(2)如圖2,∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°+15°=105°.綜上所述,∠BAC的度數(shù)為15°或105°.7.5-1解析在☉O的內(nèi)接正五邊形ABCDE中,設(shè)EG=x,易知∠AEB=∠ABE=∠EAG=36°,∠BAG=∠AGB=72°,∴AB=BG=AE=2,∵∠AEG=∠BEA,∠EAG=∠EBA,∴△AEG∽△BEA,∴AEBE=EG∴AE2=EG·EB,∴22=x(x+2),解得x1=-1+5,x2=-1-5(舍去),∴EG=5-1.8.解析如圖所示,連結(jié)OB、OC,∵多邊形ABCDEF是正六邊形,∴∠BOC=60°,∵OB=OC=4,∴△BOC是等邊三角形,∴BC=OC=OB=4,∠OBM=60°,∴BM=2,∴OM=3BM=23,∴這個正六邊形的邊長為4,邊心距OM的長為23.9.解析如圖,先畫圓,再畫兩條互相垂直的直徑AE,CG,將圓弧4等分,再畫出AG,GE所對弦的垂直平分線HD,FB,這樣就將圓弧8等分,最后順次連結(jié)各等分點(diǎn)得到正八邊形ABCDEFGH.能力提升全練10.D∵五邊形ABCDE是正五邊形,∴∠BAE=(5-2)×180°5=108°,∠COD=360°11.A如圖,設(shè)中間正六邊形的中心為D,連結(jié)DB.∵點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)分別為(-23,3),(0,-3),圖中是7個全等的正六邊形,∴AB=BC=23,OQ=3,∴OA=OB=3,∴OC=33,易知∠ODB=60°,∴OD=1,CM=DQ=DB=2,∴M(33,-2).12.C如圖,AB是正十二邊形的一條邊,點(diǎn)O是正十二邊形的中心,過A作AM⊥OB于M,在正十二邊形中,∠AOB=360°÷12=30°,設(shè)OA=1,則AM=12OA=12,∴S△AOB=12OB·AM=12×1×12=113.解析(1)根據(jù)托勒密定理可得AC·BD=AB·CD+AD·BC,故答案為AC·BD=AB·CD+AD·BC.(2)如圖,連結(jié)AD、AC.∵五邊形ABCDE是正五邊形,∴△ABC≌△DCB≌△AED,∴AB=BC=CD=2,AC=BD=AD,設(shè)AC=BD=AD=x.在圓內(nèi)接四邊形ABCD中,由托勒密定理可得AC·BD=AB·CD+AD·BC,即x2=2×2+x·2,解得x1=1+5,x2=1-5(舍去),∴對角線BD的長為1+5.14.解析(1)∵五邊形ABCDE是正五邊形,∴∠ABC=(5-2)×180°5(2)△AMN是正三角形.理由:如圖,連結(jié)ON,NF,由題意可得FN=ON=OF,∴△FON是等邊三角形,∴∠NFA=60°,∴∠NMA=60°,同理可得∠ANM=60°,∴∠MAN=60°,∴△MAN是正三角形.(3)如圖,連結(jié)OD,∵∠AMN=60°,∴∠AON=120°,∵∠AOD=360°5∴∠NOD=∠AOD-∠AON=144°-120°=24°,∵360°÷24°=15,∴n的值是15.素養(yǎng)探究全練15.解析(1)如圖所示,連結(jié)OB,OC,∵△ABC為正三角形,∴∠BOC=120°,∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB=30°,∴∠OBM=60°-30°=30°,∴∠OBM=∠OCN,又∵BM=CN,OB=OC,∴△OMB≌△ONC,∴∠BOM=∠CON,∴∠MON=∠BOC=120°.(2)90°;72°.(3)∠MON=360°n16.解析