第1章-晶體學基礎-2-倒格子

倒易點陣主講：張希清11/22/20241為了研究衍射波的特性，1921年德國物理學家厄瓦爾德(P．P．Ewald)引入了倒易點陣的概念。倒易點陣是相對于正空間中的晶體點陣而言的，它是衍射波的方向與強度在空間的分布。由于衍射波是由正空間中的晶體點陣與入射波作用形成的，正空間中的一組平行晶面就可以用倒空間中的一個矢量或陣點來表示。用倒易點陣處理衍射問題時，能使幾何概念更清楚，數(shù)學推理簡化。可以簡單地想象，每一幅單晶的衍射花樣就是倒易點陣在該花樣平面上的投影。五、倒易點陣2倒易點陣定義假定晶體點陣基矢為a1、a2、a3，倒易點陣基矢為a1*、a2*、a3*，a1*、a2*、a3*

由下式定義：abcc*a*b*a*1=(a2×a3)/[a1·(a2×a3)]=(a2×a3)/V

a*2=(a3×a1)/[a2·(a3×a1)]=(a3×a1)/V

a*3=(a1×a2)/[a3·(a1×a2)]=(a1×a2)/V式中：V——陣胞（a1、a2、a3構成之平行六面體）體積，按矢量混合積幾何意義，V=a1

(a2×a3)。

3

倒易點陣參數(shù)及

*（a*2與a*3夾角）、

*（a*3與a*1夾角）和

*（a*1與a*2夾角）由正點陣參數(shù)表達為

a*1=(a2a3sin

)/V

a*2=(a3a1sin

)/V

a*3=(a1a2sin

)/V

cos

*[=(a*2·a*3)/a*2a*3]=(cos

cos

-cos

)/sin

sin

cos

*[=(a*3·a*1)/a*3a*1]=(cos

cos

-cos

)/sin

sin

cos

*[=(a*1·a*2)/a*1a*2]=(cos

cos

-cos

)/sin

sin

4以立方晶系為例：立方晶系有a=b=c，

=

=

，V=a3；將其代入上式，則有

*=90

同理可得b*、c*、

*、

*，即a*=b*=c*=1/a

*=

*=

*=90

5正點陣和倒易點陣中基本平移矢量之間的關系正點陣基本平移矢量：倒易點陣基本平移矢量：晶胞體積倒易點陣任一基矢和晶體點陣中的兩基矢正交。體積互為倒數(shù).·········6倒易基矢垂直于晶面bc*a*b*100001010ac倒易基矢的方向a*

(100)b*

(010)c*

(001)7與正點陣相同，由倒易點陣基矢可以定義倒易點陣矢量（為整數(shù)），具有以上形式的矢量稱為倒易點陣矢量，同晶體點陣類似，倒易點陣就是由倒易點陣矢量所聯(lián)系的諸點的列陣。倒易矢量：由倒易點陣的原點O至任一倒易點hkl的矢量為G*由倒格子組成的空間,也叫狀態(tài)空間.倒格子是(晶體結構)晶格在狀態(tài)空間的化身.倒易矢量*8(1)G*的方向與實際點陣面（hkl）相垂直，或G

*的方向是實際點陣面（hkl）的法線方向。(2)G

*的大小等于實際點陣面（hkl）面間距的倒數(shù)，即倒易矢量的兩個重要性質G*幾何意義:

正點陣中的每一組平行晶面(hkl)對應于倒易點陣中的一個點,此點處于這組晶面的公共法線上,即倒易矢量方向上;它至原點的距離為該晶面間距的倒數(shù)。9只需證明，則肯定垂直于平面。若離原點最近的晶面，在、、三個晶軸上的截距為：∵

而

∴

同理∴證明:10面間距ｄ就是或在法線方向的投影，法線方向就是的方向，此時原點也在晶面族的某一個平面上，因此只要求出原點與晶面之間的距離即可。1111、每個倒易矢量（每個倒易點）代表一組晶面,該矢量的方向垂直于所代表的晶面。該矢量的長度為晶面間距的倒數(shù)。倒易點陣的本質Oa1a3b3001002003004005006100101102103104105106200201202203204205206300301302303304305306a2b1空間點陣中的(hkl)面在倒易點陣中用一個結點表示12電子衍射圖2、實驗中:照相底片上的點是倒易點陣的投影。 照片上的點+投影形式

倒易點陣

實點陣13晶面間距的計算晶面間距(面網(wǎng)間距)指兩個相鄰晶面間的垂直距離。對晶面(hkl),一般用dhkl來表示其晶面間距。一般的規(guī)律是，在空間點陣中，晶面的晶面指數(shù)越小，其晶面間距越大，晶面的結點密度越大，它的X射線衍射強度越大，它的重要性越大。晶面間距在X射線分析中是十分重要的。14晶面間距的計算將的定義式代入上式，經適當運算后，即可得各晶系的晶面間距表達式。15立方晶系：四方晶系：六方晶系：16正交（斜方）單斜三斜17例1某斜方晶體的a=7.417?,b=4.945?,c=2.547?,計算d110和d200。d110=4.11?,d200=3.71?18干涉指數(shù)若僅考慮晶面的空間方位，則A1，B1，A2，B2，…與A1，A2，A3，…一樣，均以晶面指數(shù)（010）標識，但若進一步考慮二者晶面間距之不同，則可分別用（010）和（020）標識，此即為干涉指數(shù)。

（010）與（020）面（干涉指數(shù)引例）19干涉指數(shù)是對晶面空間方位與晶面間距的標識。（晶面指數(shù)只標識晶面的空間方位。）

干涉指數(shù)與晶面指數(shù)的關系：若將（hkl）晶面間距記為dhkl，則晶面間距為dhkl／n（n為正整數(shù)）的晶面干涉指數(shù)為（nh

nk

nl），記為（HKL），dhkl／n則記為dHKL。例如晶面間距分別為d110／2，d110/3的晶面，其干涉指數(shù)分別為（220）和（330）。干涉指數(shù)表示的晶面并不一定是晶體中的真實原子面，即干涉指數(shù)表示的晶面上不一定有原子分布。20(100)a/2a/4(200)(400)原點110220440原點21晶面夾角(其法線間的夾角）的計算很復雜，根據(jù)各晶系的特點，將倒點陣參數(shù)與正點陣參數(shù)換算，即可得到不同晶系各自的晶面夾角關系式。22對于等軸（立方）晶體，有：cosΦ=(H1H2+K1K2+L1L2)/[(H12+K12+L12)(H22+K22+L22)]1/2對于四方晶體，有：cosΦ=c2(H1H2+H1H2)+a2L1L2/[[c2(H12+K12)+a2L12]c2(H22+K22)+a2L22]]1/223晶帶晶帶方程：由于同一[uvw]晶帶各（HKL）晶面中法線與晶帶軸垂直，也即各（HKL）面對應的倒易矢量r*HKL與晶帶軸垂直，r*HKL?ruvw=0故有

得

Hu+Kv+Lw=0此式稱為晶帶方程（晶帶定理）24同一[uvw]晶帶中各（HKL）面對應的倒易（陣）點（及相應的倒易矢量）位于過倒易原點O*的一個倒易（陣點）平面內。反之，也可以說過O*的每一個倒易（陣點）平面上各倒易點（或倒易矢量