高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)第四章知識(shí)點(diǎn)概率統(tǒng)計(jì)

高二下冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)小新老師總結(jié)選擇性必修第二冊(cè)第四章概率與統(tǒng)計(jì)4.1條件概率與事件的獨(dú)立性一、條件概率1.條件概率一般地，對(duì)于兩個(gè)事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率，稱(chēng)為事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，記作.2.條件概率的計(jì)算公式（在“|”之后的部分表示條件）3.條件概率的性質(zhì)（1）條件概率具有概率的性質(zhì)，任何事件的條件概率都在0和1之間，即；（2）；（3）若B和C是兩個(gè)互斥事件，則；（4）如果與B互為對(duì)立事件，則；（5）必然事件的條件概率為1，不可能事件的條件概率為0，若事件A與B互斥（A與B不能同時(shí)發(fā)生），則.二、乘法公式1.乘法公式 由條件概率的計(jì)算公式可知，，也就是說(shuō)，根據(jù)事件A發(fā)生的概率，以及已知事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率，可以求出A與B同時(shí)發(fā)生的概率.一般地，這個(gè)結(jié)論稱(chēng)為乘法公式.2.乘法公式的推廣 假設(shè)表示事件，且則一定成立，其中表示已知與都發(fā)生時(shí)發(fā)生的概率，而表示，，同時(shí)發(fā)生的概率.三、全概率公式1.全概率公式一般地，如果樣本空間為Ω，而為事件，則與是互斥的，且.從而.更進(jìn)一步，當(dāng)，且時(shí)，因?yàn)橛沙朔ü接?，因此，這稱(chēng)為全概率公式.2.全概率公式的推廣上述全概率公式本質(zhì)上是將樣本空間分成互斥的兩部分（即與）后得到的.不難想到，可以將樣本空間分成更多互斥的部分，從而得到如下更一般的結(jié)論.定理1：若樣本空間Ω中的事件滿(mǎn)足：（1）任意兩個(gè)事件均互斥，即（2）（3）則對(duì)Ω中的任意事件B，都有，且四、貝葉斯公式（*高考不做考察*）1.貝葉斯公式：一般地，當(dāng)，且時(shí)，有，這稱(chēng)為貝葉斯公式.2.貝葉斯公式的推廣： 同全概率公式一樣，貝葉斯公式也可以進(jìn)行推廣. 定理2：若樣本空間Ω中的事件滿(mǎn)足：（1）任意兩個(gè)事件均互斥，即（2）（3）則對(duì)Ω中的任意非零的事件B，有.上述公式也稱(chēng)為貝葉斯公式.五、事件的獨(dú)立性與條件概率的關(guān)系當(dāng)且時(shí)，由條件概率的計(jì)算公式有，即.也就是說(shuō)，此時(shí)事件A發(fā)生的概率與已知事件B發(fā)生時(shí)事件A發(fā)生的概率相等，也就是事件B的發(fā)生，不會(huì)影響事件A發(fā)生的概率，因此，當(dāng)時(shí)，A與B獨(dú)立的充要條件是.4.2隨機(jī)變量一、隨機(jī)變量及其與事件的聯(lián)系1.隨機(jī)變量一般地，如果隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，那么這個(gè)變量叫做隨機(jī)變量，通常采用字母X、Y（或希臘字母）來(lái)表示.如骰子向上的點(diǎn)數(shù)成活的樹(shù)苗棵數(shù)，小明每天接到電話的個(gè)數(shù)，大白早上到達(dá)學(xué)校的時(shí)間，這些都是隨機(jī)變量.2.離散型隨機(jī)變量設(shè)骰子向上的點(diǎn)數(shù)為X，則X的所有可能取值為1，2，3，4，5，6.所有取值都可以一一列出的隨機(jī)變量稱(chēng)為離散性隨機(jī)變量.3.離散型隨機(jī)變量的特征（1）可用數(shù)值表示；（2）試驗(yàn)之前可以判斷其可能出現(xiàn)的所有值；（3）試驗(yàn)之前不能確定取何值；（4）試驗(yàn)結(jié)果能一一列出.4.離散型隨機(jī)變量的分布列引入了隨機(jī)變量之后，隨機(jī)事件就可以用隨機(jī)變量來(lái)表示了，那么也就可以用隨機(jī)事件的概率來(lái)表示隨機(jī)變量的概率了.設(shè)向上的點(diǎn)數(shù)為事件X，，其中可簡(jiǎn)記為，同理，……，，我們用一個(gè)表格來(lái)表示，如下：X123456P 一般地，若離散型隨機(jī)變量X的可能取的不同值為，且X取一個(gè)值的概率為，用表格的形式表示如下：X……P……上面的表格稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱(chēng)為分布列，我們也可用，表示X的分布列.根據(jù)概率的性質(zhì)，離散型隨機(jī)變量的分布列具有以下性質(zhì)：（1），；（2）.3.兩點(diǎn)分布新生嬰兒的性別抽查結(jié)果，可能是男也可能是女，如果男嬰用0表示，女?huà)胗?表示.即且，，則隨機(jī)變量X的分布列為:X01P一般地，若隨機(jī)變量X的分布列形式如下：X01P1-pp則稱(chēng)X服從兩點(diǎn)分布，并稱(chēng)為成功概率，兩點(diǎn)分布的試驗(yàn)結(jié)果只有兩個(gè)可能性，且其概率之和為1.4.二項(xiàng)分布現(xiàn)有一批產(chǎn)品共20件，其中有兩件次品，從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取5件產(chǎn)品（有放回）進(jìn)行檢查，則抽中2件次品的概率是多少？一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則此時(shí)稱(chēng)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作，并稱(chēng)p為成功概率，二項(xiàng)分布是有放回的概率模型.5.超幾何分布現(xiàn)有一批產(chǎn)品共20件，其中有2件次品，從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽出5件產(chǎn)品（不放回）進(jìn)行檢查，則次品數(shù)X的概率分別是什么呢？①確定X的取值可能是0，1，2；②計(jì)算概率，，；③列出分布列X012P一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件，次品，則：即X01…mP…其中，且，則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從超幾何分布，超幾何分布的模型是不放回的抽樣模型.二、隨機(jī)變量的數(shù)字特征1.離散型隨機(jī)變量的均值一般地，如果離散型隨機(jī)變量X的分布列為X……P……則稱(chēng)為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平。2.離散型隨機(jī)變量的方差設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X……P……則描述相對(duì)于均值的偏離程度.而刻畫(huà)了隨機(jī)變量X與其均值的平均偏離程度.我們稱(chēng)為隨機(jī)變量X的方差，并稱(chēng)其算術(shù)平均根為隨機(jī)變量差的標(biāo)準(zhǔn)差.方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越小.3.離散型隨機(jī)變量均值（期望）和方差的性質(zhì)： 4.兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布的均值與方差一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么；.一般地，如果隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，那么；.若隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則.三、正態(tài)分布1.高爾頓實(shí)驗(yàn)：其中實(shí)數(shù)和為參數(shù)，我們稱(chēng)的圖像為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱(chēng)正態(tài)曲線.2.正態(tài)分布：完全由參數(shù)和確定，其中參數(shù)是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計(jì)，參數(shù)是衡量隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)，因此正態(tài)分布常記作.3.正態(tài)曲線的特點(diǎn)（1）曲線位于x軸上方，與x軸不相交（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)（3）曲線在處達(dá)到峰值（4）曲線與X軸之間的面積為1（5）當(dāng)一定時(shí)，曲線的位置由確定曲線隨著的變化，而沿x軸平移；（6）當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定，越小，曲線越“瘦高”，表示總體分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體分布越分散.4.3統(tǒng)計(jì)模型一、線性回歸模型1.相關(guān)關(guān)系兩個(gè)變量之間的關(guān)系，常見(jiàn)的有兩類(lèi)：一類(lèi)是確定性的函數(shù)關(guān)系；另一類(lèi)是變量間存在關(guān)系，但又不具備函數(shù)關(guān)系所要求的確定性，它們的關(guān)系是帶有一定隨機(jī)性的．當(dāng)一個(gè)變量取值一定時(shí)，另一個(gè)變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系．2.散點(diǎn)圖散點(diǎn)圖：將樣本中的個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)描在平面直角坐標(biāo)系中，就得到了散點(diǎn)圖．散點(diǎn)圖形象地反映了各個(gè)數(shù)據(jù)的密切程度，根據(jù)散點(diǎn)圖的分布趨勢(shì)可以直觀地判斷分析兩個(gè)變量的關(guān)系．3.正相關(guān)、負(fù)相關(guān)的概念如果當(dāng)一個(gè)變量的值變大時(shí)，另一個(gè)變量的值也在變大，則這種相關(guān)稱(chēng)為正相關(guān)；此時(shí)，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)在從左下角到右上角的區(qū)域．反之，一個(gè)變量的值變大時(shí)，另一個(gè)變量的值由大變小，這種相關(guān)稱(chēng)為負(fù)相關(guān)．此時(shí)，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)在從左上角到右下角的區(qū)域．散點(diǎn)圖可以判斷兩個(gè)變量之間有沒(méi)有相關(guān)關(guān)系．4.回歸直線方程回歸分析：對(duì)于具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法叫做回歸分析，即回歸分析就是尋找相關(guān)關(guān)系中這種非確定關(guān)系的某種確定性．回歸直線：如果散點(diǎn)圖中的各點(diǎn)都大致分布在一條直線附近，就稱(chēng)這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線．5.最小二乘法記回歸直線方程為：，稱(chēng)為變量對(duì)變量的回歸直線方程，其中叫做回歸系數(shù)．是為了區(qū)分的實(shí)際值，當(dāng)取值時(shí)，變量的相應(yīng)觀察值為，而直線上對(duì)應(yīng)于的縱坐標(biāo)是．設(shè)的一組觀察值為，，且回歸直線方程為，當(dāng)取值時(shí)，的相應(yīng)觀察值為，差刻畫(huà)了實(shí)際觀察值與回歸直線上相應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)之間的偏離程度，稱(chēng)這些值為離差．我們希望這個(gè)離差構(gòu)成的總離差越小越好，這樣才能使所找的直線很貼近已知點(diǎn)．記，回歸直線就是所有直線中取最小值的那條．這種使“離差平方和為最小”的方法，叫做最小二乘法．用最小二乘法求回歸系數(shù)有如下的公式：，，其中上方加“”，表示是由觀察值按最小二乘法求得的回歸系數(shù)．6.相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：⑴；⑵越接近于1，的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；⑶越接近于0，的線性相關(guān)程度越弱．可見(jiàn)，一條回歸直線有多大的預(yù)測(cè)功能，和變量間的相關(guān)系數(shù)密切相關(guān)．7.非線性回歸分析①非線性回歸分析的思想：研究?jī)蓚€(gè)變量的關(guān)系時(shí)，依據(jù)樣本點(diǎn)畫(huà)出散點(diǎn)圖，從整體上看，如果樣本點(diǎn)沒(méi)有分布在某個(gè)帶狀區(qū)域內(nèi)，就稱(chēng)這兩個(gè)變量之間不具有線性相關(guān)關(guān)系，此時(shí)不能直接利用線性回歸方程來(lái)建立兩個(gè)變量之間的關(guān)系.②非線性回歸方程當(dāng)回歸方程不是形如時(shí)，稱(chēng)回歸方程為非線性回歸方程.當(dāng)兩個(gè)變量不是線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，依據(jù)樣本點(diǎn)的分布選擇合適的曲線方程來(lái)擬合數(shù)據(jù)，可通過(guò)變量代換，利用線性回歸模型建立兩個(gè)變量間的非線性回歸方程.常見(jiàn)的非線性回歸方程的轉(zhuǎn)換方式如下：曲線方程曲線（曲線的一部分）變換公式變換后的線性函數(shù)二、獨(dú)立性檢驗(yàn)1.分類(lèi)變量變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類(lèi)別，像這樣的變量稱(chēng)為分類(lèi)變量.如：是否吸煙、是否禿頂、是否及格、性別、國(guó)籍等在日常生活中我們常常關(guān)心兩個(gè)分類(lèi)變量之間是否有關(guān)系，例如禿頂與及格是否有關(guān)系？性別對(duì)喜歡數(shù)學(xué)是否有影響？等等那有沒(méi)有什么直觀的形式呈現(xiàn)兩個(gè)分類(lèi)變量的關(guān)系呢？2.2×2列聯(lián)表一般的假設(shè)有兩個(gè)分類(lèi)變量X和Y，它們的取值分別為和，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱(chēng)為2×2列聯(lián)表）為：總計(jì)aba+bcdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d，其中為樣本容量.利用隨機(jī)變量來(lái)判斷“兩個(gè)分類(lèi)變量是否有關(guān)系”的方法稱(chēng)為獨(dú)立性檢驗(yàn).4.獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟第1步：假設(shè)兩個(gè)分類(lèi)變量沒(méi)有關(guān)系我們先假設(shè)H0：禿頂與及格沒(méi)有關(guān)系第2步：計(jì)算的觀測(cè)值k若H0成立，則禿頂與及格沒(méi)有關(guān)系，則應(yīng)該很小及格不及格總計(jì)禿頂16560225不禿頂453075總計(jì)21090300根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，利用的公式，計(jì)算可得的觀測(cè)值k，第3步：根據(jù)k的值判斷假設(shè)是否成立這時(shí)，我們要根據(jù)k的值判斷假設(shè)是否成立，那么k的值的判斷標(biāo)準(zhǔn)是什么呢？我們會(huì)借助臨界值，若，就認(rèn)為“兩個(gè)分類(lèi)變量之間沒(méi)有關(guān)系”，同時(shí)把“兩個(gè)分類(lèi)變量沒(méi)有關(guān)系”錯(cuò)誤的判斷為“兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系”的概率不超過(guò).常用的臨界值表如下：0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.0763.8415.0246.6357.87910.828犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05/超過(guò)95%的把握認(rèn)為它們有關(guān)當(dāng)k=2.076，則犯錯(cuò)誤的概率剛好是0.10，當(dāng)k越大，犯錯(cuò)誤的概率就越小