專題17-相似三角形中的四心問題專練(一)(解析版)-九下數(shù)學(xué)專題培優(yōu)訓(xùn)練

第=page22頁，共=sectionpages22頁專題17相似三角形中的四心問題專練（一）班級：___________姓名：___________得分：___________一、選擇題已知直角三角形的兩條直角邊長分別為3，4，則該三角形的重心與外心的距離為(????)A.12 B.52 C.53【答案】D【分析】

本題考查了勾股定理、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、重心的性質(zhì)；熟練掌握勾股定理和重心定理，熟記直角三角形的外心是斜邊的中點是解題的關(guān)鍵．

根據(jù)勾股定理求出斜邊的長度，根據(jù)斜邊中線長為斜邊長的一半求出斜邊的中線CD，由重心定理即可得出GD的長．

【解答】

解：如圖所示：設(shè)D為AB的中點，連接CD，

∵∠ACB=90°，

∴斜邊AB=32+42=5，

∴斜邊AB的中線CD=12×5=52，

∵直角三角形的外心就為直角三角形斜邊上的中點，

∴D為Rt△ABC的外心，

∵重心是三角形中線的交點，故重心G如圖，點E為△ABC的內(nèi)心，過點E作MN?//?BC交AB于點M，交AC于點N.若AB=7，AC=5，BC=6，則MN的長為(

)A.3.5 B.4 C.5 D.5.5【答案】B【分析】連接EB、EC，如圖，利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)得到∠1=∠2，利用平行線的性質(zhì)得∠2=∠3，所以∠1=∠3，則BM=ME，同理可得NC=NE，接著證明△AMN∽△ABC，所以MN6=7?BM7，則BM=7?76MN①，同理可得CN=5?56MN②，把兩式相加得到MN的方程，然后解方程即可．

本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．

【解答】解：連接EB、EC，如圖，

∵點E為△ABC的內(nèi)心，

∴EB平分∠ABC，EC平分∠ACB，

∴∠1=∠2，

∵M(jìn)N//BC，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

∴BM=ME，

同理可得NC=NE，

∵M(jìn)N//BC，

∴△AMN∽△ABC，

∴MNBC=AMAB，即MN6=7?BM在△ABC中，AC=6，AB=14，BC=16，點D是△ABC的內(nèi)心，過D作DE//AC交BC于E，則DE的長為(????)

A.169 B.163 C.83 【答案】C【分析】過點B作BH//AC，交AD的延長線于點H，由內(nèi)心的性質(zhì)可證AB=BH=14，DE=EC，通過證明△ACF∽△HBF，可求CF的長，通過證明△DEF∽△ACF，可求DE的長．

本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)心的性質(zhì)，利用相似三角形的性質(zhì)求出CF的長是本題的關(guān)鍵．

【解答】解：如圖，過點B作BH//AC，交AD的延長線于點H，

∵點D是△ABC的內(nèi)心，

∴∠BAD=∠CAD，∠ACD=∠DCB，

∵DE//AC，BH//AC，

∴∠H=∠DAC，∠EDC=∠ACD，

∴∠H=∠BAD，∠EDC=∠ECD，

∴AB=BH=14，DE=EC，

∵BH//AC，

∴△ACF∽△HBF，

∴ACBH=CFBF，

∴614=CF16?CF

∴CF=245，

∵DE//AC，

∴△DEF∽△ACF，如圖，已知點B，D在AC的兩側(cè)，E，F(xiàn)分別是△ACD與△ABC的重心，且EF=?2，則BD的長度是(????)

A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【分析】

本題考查三角形的重心的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是作輔助線，靈活運用三角形重心的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)來解題，

連接DE并延長，交AC于點O，連接BO.根據(jù)重心的性質(zhì)得出FB=2FO，ED=2EO，再證明△EOF∽△DOB，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求出BD=3EF.

【解答】

解：如圖，連接DE并延長，交AC于點O，連接BO．

∵點E為△ADC的重心，

∴點O為AC的中點，F(xiàn)B=2FO；

又∵點F為△ABC的重心，

∴點F在線段BO上，ED=2EO；

∴OFOB=OEOD=13，

又∵∠EOF=∠DOB，

∴△EOF∽△DOB，

∴如圖，在△ABC中，點O為重心，則S△DOE：S△DCE=(????)

A.1：4

B.1：3

C.1：2

D.2：3

【答案】B【分析】

本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，先根據(jù)題意得出DE是△ABC的中位線是解答此題的關(guān)鍵．利用三角形重心的定義得出D是AB的中點，E是AC的中點，根據(jù)題意判斷出DE是△ABC的中位線，故可得出△ODE∽△OCB，由此可得出ODOC【解答】

解：由三角形重心的定義得出D是AB的中點，E是AC的中點，

∵在△ABC中，兩條中線BE，CD相交于點O，

∴DE是△ABC的中位線，

∴△ODE∽△OCB，

∴ODOC=12，

∴ODCD=13，

∵△DOE與△DCE等高，

如圖，點G是△ABC的重心，GD//BC，則S△ADG:S△ABC等于(????)．A.2:3 B.4:9 C.2:9 D.無法確定【答案】C【分析】

此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和三角形重心的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出SADG：S△ANC=(23)2是解題關(guān)鍵．根據(jù)重心的性質(zhì)得出AGGN=21，以及AGAN=23，即可得出SADG：S△ANC的比值，再利用三角形中線的性質(zhì)得出S△ANC=S△ABN，進(jìn)而得出答案．

【解答】

解：延長AG到BC于點N，

∵點G是△ABC的重心，GD//BC，

∴AGGN=21，

∴AGAN=2二、填空題如圖，G是△ABC的重心，AG⊥GC，AC=4，則BG的長為__________．【答案】4【分析】

本題考查了三角形重心，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，掌握三角形重心的定義是關(guān)鍵，延長BG交AC于D點，G是△ABC的重心，故BD為△ABC的中線；又AG⊥GC，故GD為Rt△AGC斜邊上的中線，根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可知GD=12AC，即可得到BG=2GD=AC．

【解答】

解：如圖，延長BG交AC于D點，

∵G是△ABC的重心，

∴BD為△ABC的中線，

又∵AG⊥GC，

∴GD為Rt△AGC斜邊上的中線，

∴GD=12AC，

∵G是△ABC如圖，點E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點D.AD與BC相交于點F，連結(jié)BE，DC，已知EF=2，CD=5，則AD=_____________．【答案】25【分析】

本題考查的是三角形的內(nèi)接圓與內(nèi)心、外接圓與外心，掌握三角形的內(nèi)心的定義、圓周角定理、相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．

根據(jù)三角形的內(nèi)心的定義得到BD=CD，△BDF∽△ADB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，代入計算即可．

【解答】解：∵點E是△ABC的內(nèi)心，

∴∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE，

∴BD=CD，∴BD=CD=5，

由圓周角定理得，∠CAD=∠CBD，

∵∠DBE=∠CBD+∠CBE，∠DEB=∠BAD+∠ABE，

∴∠DBE=∠DEB.∴DE=DB=5，

∴DF=DE?EF=3，

∵∠DBC=∠BAD，∠BDF=∠ADB，

∴△BDF∽△ADB，∴DF

如圖，△ABC中，AB=AC=310，BC=6，且若CD經(jīng)過△ABC的外心O交AB于D，則CD=______．

【答案】90【分析】延長AO交BC于F，作DE⊥BC于E，如圖，證明AF垂直平分BC得到∠AFC=90°，BF=CF=3，再利用勾股定理計算出AF=9，設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=OA=r，OF=9?r，根據(jù)勾股定理得到(9?r)2+32=r2，則可解得r=5，設(shè)DE=x，EF=y，根據(jù)平行線分線段成比例定理，由DE//AF得到DEAF=BEBF，則x=3(3?y)，由OF//DE得4x=33+y，再利用代入消元求出y=1513，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理，利用OF//DE可求出CD．

本題考查了平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例．也考查了三角形外心和等腰三角形的性質(zhì)．

【解答】解：延長AO交BC于F，作DE⊥BC于E，如圖，

∵AB=AC，OB=OC，

∴AF垂直平分BC，

∴∠AFC=90°，BF=CF=12BC=3，

在Rt△ACF中，AF=(310)2?32=9，

設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=OA=r，OF=9?r，

在Rt△OCF中，(9?r)2+32=r2，解得r=5，

∴OF=4，

設(shè)DE=x，EF=y，如圖，點G是△ABC的重心，GE//BC，如果BC=12，那么線段GE的長為

．

【答案】4【分析】

本題考查三角形的重心，屬于基礎(chǔ)題．

先根據(jù)三角形重心性質(zhì)得到AG=2GD，再證明△AGE～△ADC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可計算GE的長．

【解答】

解：因為點G是△ABC的重心，

所以AG=2GD，BD=DC=12BC=6，

因為GE?//BC，

所以△AGE～△ADC，

所以AGAD=GEDC，即GE如圖，點G是△ABC的重心，GH⊥BC，垂足為點H，若GH=6，則點A到BC的距離為______

【答案】18【分析】

本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的重心有關(guān)知識，根據(jù)題意作圖，利用重心的性質(zhì)AD：GD=3：1，同時還可以求出△ADE∽△GDH，從而得出AD：GD=AE：GH=3：1，根據(jù)GH=6即可得出答案．

【解答】

解：設(shè)BC的中線是AD，BC的高是AE，

由重心性質(zhì)可知：

AD：GD=3：1，

∵GH⊥BC，

∴△ADE∽△GDH，

∴AD：GD=AE：GH=3：1，

∴AE=3GH=3×6=18，

三、解答題如圖，在4×4的方格中，點A，B，C為格點．

(1)利用無刻度的直尺在圖1中畫△ABC的中線BE和重心G；

(2)在圖2中標(biāo)注△ABC的外心O并畫出外接圓及切線CP．

【分析】(1)根據(jù)中線的概念作圖；

(2)根據(jù)線段垂直平分線的定義作圖．

本題主要考查作圖?應(yīng)用與設(shè)計作圖，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的高線、中線以及角平分線的定義．

【解答】解：(1)如圖所示，BE和點G即為所求；

(2)如圖所示，⊙O和PC即為所求．已知：如圖1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于點D，∠CAB的三等分線AE、AF分別與CD交于點E、F，連結(jié)BE并延長與AC交于點M，連結(jié)MF并延長與BC交于點N．

(1)求∠ABE的度數(shù)；

(2)求證：點F是△BCM的內(nèi)心；

(3)如圖2，若AB=4，點Q為線段BC上一動點，點P是平面內(nèi)一點，且∠PDQ=90°，DPDQ=12，當(dāng)點Q從點C運動到點【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握住相似三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．

(1)根據(jù)已知∠ACB=90°，AC=BC，得出CD是△ABC的對稱軸，從而找出∠CAB的三等分線，求出∠ABE的度數(shù)；

(2)依據(jù)三線合一得出∠CAB的三等分線，由對稱的性質(zhì)得出BF是∠MBC的平分線，從而得出結(jié)論；

(3)由點H是BD的中點得出BD=CD，然后依據(jù)比值得出DHCD=DPDQ，再找出∠CDQ=∠HDP，從而得出△HDP∽△CDQ，然后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)逐步解答即可．

【解答】解：(1)∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠CAB=∠CBA=45°，

∵CD⊥AB于點D，

∴直線CD是△ABC的對稱軸，

∴∠ABE=∠BAE，

∴AE、AF是∠CAB的三等分線，

∴∠BAE=15°，

∴∠ABE=15°；

(2)連結(jié)BF，

由三線合一可知CD是∠ACB的角平分線，

∴AE、AF是∠CAB的三等分線，

∴AF是△AEC的角平分線，

根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得：BF是∠MBC的平分線，

∴點F是△BCM的內(nèi)心；

(3)取BD的中點H，連接HP，

∵點H是BD的中點，BD=CD，

∴DHCD=12，

∴DPDQ=12，

∴DHCD=DPDQ，

∵CD⊥AB，∠PDQ=90°，

∴∠CDQ+∠QDB=90°，∠QDB+∠HDP=90°，

∴∠CDQ=∠HDP，

∴△HDP∽△CDQ，

∴∠DHP=∠DCQ=45°，HPCQ=12如圖，在△ABC中，AD為邊BC上的中線，且AD平分∠BAC.嘉淇同學(xué)先是以A為圓心，任意長為半徑畫弧，交AD于點P，交AC于點Q，然后以點C為圓心，AP長為半徑畫弧，交AC于點M，再以M為圓心，PQ長為半徑畫弧，交前弧于點N，作射線CN，交BA的延長線于點E．

(1)通過嘉淇的作圖方法判斷AD與CE的位置關(guān)系是______，數(shù)量關(guān)系是______；

(2)求證：AB=AC；

(3)若BC=24，CE=10，求△ABC的內(nèi)心到BC的距離．【答案】(1)AD//CE；

EC=2AD

；

(2)證明：∵AD//CE，

∴∠BAD=∠E，∠DAC=∠ACE，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠DAC，

∴∠ACE=∠E，

∴AC=AE，

由(1)知△ABD∽△EBC，

∴ABEB=BDBC=12，

∴EB=2AB，即AB=AE，

∴AB=AC．

(3)解：∵BC=24，CE=10，

∴BD=12，AD=5，

∵AB=AC，BD=CD，

∴AD⊥BD，

設(shè)△ABC內(nèi)心到BC距離為r，

∴ABBD=5?rr，【分析】(1)由作圖方法可知∠DAC=∠ACE，則AD//CE，根據(jù)BC=2BD，可證CE=2AD；

(2)由(1)知△ABD∽△EBC，證出BE=2AB，得AB=AE，又AC=AE，則AB=AC；

(3)設(shè)△ABC內(nèi)心到BC距離為r，可得ABBD=5?rr，即可求出r．

本題是圓的綜合題目，考查了內(nèi)心的定義、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識．

【解答】解：(1)∵嘉淇的作圖方法可知∠DAC=∠ACE，

∴AD//CE，

∴△ABD∽△EBC，

∴BDBC=ADCE，

∵AD為邊BC上的中線，

∴BC=2BD，

∴CE=2AD，

故答案為：AD//CE，EC=2AD；

(2)證明：∵AD//CE，

∴∠BAD=∠E，∠DAC=∠ACE，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠DAC，

∴∠ACE=∠E，

∴AC=AE，

由(1)知△ABD∽△EBC，

∴ABEB=BDBC=12，

∴EB=2AB，即AB=AE，

∴AB=AC．

(3)解：∵BC=24，CE=10，

∴BD=12，AD=5，

∵AB=AC，BD=CD，

∴AD⊥BD，

設(shè)△ABC內(nèi)心到BC距離為r，如圖：AB是⊙O的直徑，AC交⊙O于G，E是AG上一點，D為△BCE內(nèi)心，BE交AD于F，且∠DBE=∠BAD．

(1)求證：BC是⊙O的切線；

(2)求證：DF=DG；

(3)若∠ADG=45°，DF=1，則有兩個結(jié)論：①AD?BD的值不變；②AD?BD的值不變，其中有且只有一個結(jié)論正確，請選擇正確的結(jié)論，證明并求其值．【分析】(1)先證∠DBC=∠BAD，再證∠DBC+∠ABD=90°，即∠ABC=90°，可得出結(jié)論；

(2)如圖1，連接DE，分別證∠BFD=∠ABD，∠BFD=∠DGC，則∠DFE=∠DGE，因為D為△BCE內(nèi)心，所以∠DEG=∠DEB，可得△DEF≌△DEG，即可得出結(jié)論；

(3)先判斷AD?BD的值不變，如圖2，在AD上截取DH=BD，連接BH、BG，先證AB=2BG，BD=DH，再證△ABH∽△GBD，求出AH的長，即可證明AD?BD=2．

本題考查了圓的有關(guān)概念及性質(zhì)，切線的判定定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性質(zhì)較強，解題關(guān)鍵是能夠熟練掌握各方面的知識，并能夠靈活運用圓的有概念及性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)等．

【解答】(1)證明：∵D為△BCE內(nèi)心，

∴∠DBC=∠DBE，

∵∠DBE=∠BAD．

∴∠DBC=∠BAD，

∵AB是⊙O

的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠DBC+∠ABD=90°，即∠ABC=90°，

∴AB⊥BC，

∴BC是⊙O

的切線；

(2)證明：如圖1，連接DE，

∵∠DBC=∠BAD，∠DBC=∠DBE，

∴∠DBE=∠BAD，

∴∠ABF+∠BAD=∠ABF+∠DBE，

∴∠BFD=∠ABD，

∵∠DGC=∠ABD，

∴∠BFD=∠DGC，

∴∠DFE=∠DGE，

∵D為△BCE內(nèi)心，

∴∠DEG=∠DEB，

在△DEF和△DEG中∠DFE=∠DGE∠DEG=∠DEFDE=DE，

∴△DEF≌△DEG(AAS)，

∴DF=DG；

(3)解：AD?BD的值不變；

如圖2，在AD上截取DH=BD，連接BH、BG，

∵AB是直徑，

∴∠ADB=∠AGB=90°，

∵∠ADG=45°，

∴∠ABG=∠ADG=45°，

∴AB=2BG，

∵∠BDH=90°，BD=DH，

∴∠BHD=45°，

∴∠AHB=180°?45°=135°，

∵∠BDG=∠ADB+∠ADG=90°+45°=135°，

∴∠AHB=∠BDG，

∵∠BAD=∠BGD，

∴△ABH∽△GBD，

∴AHDG=ABBG=2，

如圖1，P為△ABC內(nèi)一點，連接PA，PB，PC，在△PAB，△PBC和△PAC中，如果存在一個三角形與△ABC相似，那么就稱P為△ABC的自相似點．

(1)如圖2，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC>∠A，CD是AB上的中線，過點B作BE⊥CD，垂足為E.試說明E是△ABC的自相似點；(2)在△ABC中，∠A<∠B<∠C．

(i)如圖3，利用尺規(guī)作出△ABC的自相似點P(寫出作法并保留作圖痕跡)；

(ii)若△ABC的內(nèi)心P是該三角形的自相似點，求該三角形三個內(nèi)角的度數(shù)．(內(nèi)心是三角形三個內(nèi)角的角平分線交點)【分析】此題主要考查了相似三角形的判定以及三角形的內(nèi)心作法和作一角等于已知角，此題綜合性較強，注意從已知分析獲取正確的信息是解決問題的關(guān)鍵．

(1)根據(jù)已知條件得出∠BEC=∠ACB，以及∠BCE=∠ABC，得出△BCE∽△ABC，即可得出結(jié)論；

(2)(i)根據(jù)作一角等于已知角即可得出△ABC的自相似點；

(ii)根據(jù)∠PBC=∠A，∠BCP=∠ABC=∠2∠PBC=2∠A，∠ACB=2∠BCP=4∠A，即可得出各內(nèi)角的度數(shù)．

【解答】解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上的中線，

∴CD=12AB，

∴CD=BD，

∴∠BCE=∠ABC，

∵BE⊥CD，∴∠BEC=90°，

∴∠BEC=∠ACB，

∴△BCE∽△ABC，

∴E是△ABC的自相似點；

作法：①在∠ABC內(nèi)，作∠CBD=∠A，②在∠ACB內(nèi)，作∠BCE=∠ABC，BD交CE于點P，

則P為△ABC的自相似點；(ii)∵P是△ABC的內(nèi)心，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB，

∵△ABC的內(nèi)心P是該三角形的自相似點，

∴∠PBC=∠A，∠BCP=∠ABC=2∠PBC=2∠A，∠ACB=2∠BCP=4∠A，

∴∠A+2∠A+4∠A=180°，

∴∠A=180°7，

我們知道：三角形三條角平分線